valores y vectores caraterísticos

Instituto Tecnológico de

Estudios Superiores de la

Región Carbonífera

o Cinthia Edurne Sánchez Nieto

Valores y Vectores

Caraterísticos

Objetivo:

Comprender que una transformación X Ax

puede mover vectores en diversas direcciones.

Determinar si un vector dado es un vector propio

de una matriz.

Deducir si un escalar específico es un vector propio.

Hoja de Trabajo No. 6

Selección del material: investigar el concepto de valores y

vectores característicos en el libro algebra lineal y sus

aplicaciones del autor David C. Lay pag.295 vectorial,

axiomas de espacios vectoriales, ecuaciones de la recta y

del plano, graficar en R2 y R3.

Sea A una matriz de nxn con elementos reales, el

número (real o complejo) recibe el nombre de valor

característico de A. Si existe un vector diferente de cero v en

Cn tal que Av = λv se dice que el vector v ≠ 0 es un vector

característico de A correspondiente al valor característico λ.

Interpretar: Reconocer gráficamente los vectores propios.

Síntesis: Identificar la acción de una matriz A ala ser

multiplicada por un vector.

Preparación

I. Sean A = u = v =

i. Graficar los vectores u y v.

Acciones en el aula

3 -2

1 0

-1

1

2

1

u (-1,1) v (2,1)

ii. Multiplicar Au y Av y graficar los vectores resultantes.

Continuación…

3 -2

1 0

-1

1

(-3 -2)

(-1+0)

-5

-1= =

3 -2

1 0

2

1

(6 -2)

(2+0)

4

2= =

Au =

Av =

Au (-5,-1)

Av (4,2)

Continuación…

iii. Conteste las siguientes preguntas

1. Describe las acciones en la matriz A al ser multiplicada por el vector u.

Desvía su dirección con respecto al vector u. Que quieredecir que no pertenece a la matríz A.

2. Describe las acciones de la matriz A al ser multiplicada por el vector v.

El vector se duplica, y sigue la trayectoria del vector v. Pertenece a la matriz A.

Continuación…

II.Conteste y resulva los siguientes ejercicios

1. ¿A qué se le llama vector propio de una matriz (nx)?

Vector característico de A.

2. Sean A =

i. Son los vectores u y v vectores propios de A partiendo de

que Ax = λx.

1 6

5 2

6

-5

3

-2u = v =

Continuación…

Comprobación del punto anterior.

P(λ) = det(A – λI)

1 6

5 2

λ 0

0 λ- =

(1- λ) 6

5 (2-λ)

det = (1-λ) (2-λ) = 2 – λ – 2λ + λ2 – 30

= λ2 – λ – 28 = 0

(λ – 7) (λ + 4) = 0 λ1 = 7

λ2 = - 4

Continuación…

1 6

5 2

6

-5Au = =

6 – 30

30 – 10=

- 24

20

λu =6

-5-4 =

- 24

20

1 6

5 2

3

-2Av = =

3 – 12

15 – 4=

- 9

11

λv =3

-27 =

21

- 14

х

ii. Grafique los vectores u y v y los vectores Au y Av.

Continuación…

u (6, -5)

v (3, -2)

Av (-9, 11)

Au (-24, 20)

iii. Interprete los resultados con relación a la acción quegenera la matriz A al ser multiplicada por u y v.

La matriz A difiere en dirección con respecto al

vector original v. Por lo tanto v no es vector

caracteristico de A.

Al multiplicar la matriz A por el vector u esta se

mantiene den su rango lineal pero opuesto,

comprobando que u es un vector caracteristico de A.

Continuación…

Conclusiones

1. ¿Cómo determinas si un vector es propio de una

matriz?

Si al multiplicarlo por la matriz el

resultado es igual a multiplicarlo por su

valor propio.

2. ¿Cómo determinas si los valores son propios?

Si al multiplicarlo por su vector propio

es igual a multiplicar la matriz por su vector

propio.