val més una imatge que mil paraules xavier rabasa...val més una imatge que mil paraules xavier...
Post on 06-Mar-2020
9 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
Val més una imatge que mil paraules
Xavier Rabasa Professor de Matemàtiques
2
INDEX Nombres naturals 3 Nombres enters 5 Fraccions 9 Repartiments 14 Percentatges 16 Semblança 19 Àrea 21 Volum i superfície 27 Successions i series 31 Identitats 38 Polinomis 40 Equacions de primer grau 44 Inequacions de primer grau 47 Sistema d’inequacions de primer grau 51 Equacions de segon grau 52 Triangles rectangles 55 Trigonometria 58 Combinatòria 60 Probabilitat 67
3
NOMBRES NATURALS
Operacions
Propietats
1 42 3 0
+ =
= o + + =
523 =+
933333 =++=o
4
+ = +
3223 +=+
=
o = o =
3223 oo =
o+ = +
2232)23(2 oo +=+
+ = + =
22002 =+=+
o = o =
22112 == oo
5
NOMBRES ENTERS Representació gràfica sobre la recta real
Suma i Resta
1 42 3 0 2− 1−3− 4−
+ = + =
+ = + =
202 =+ 202 −=+−
02)2()2(2 =+−=−+
6
Producte
+ =
523 =+
+ =
523 −=−−
+ += =
123 =− 123 −=+−
o = o
o o
=
= =
221 =o 2)2(1 −=−o
22)1( −=− o 2)2()1( =−− o
7
Divisió
7− 3
2−
1−
)1(3)2()7( −+−=− o
6+
o = o
o o
=
= =
632 =o 6)3(2 −=−o
63)2( −=− o 6)3()2( =−− o
8
Potència
7 3
2
1
1327 += o
6−
3
= =o o
2
= o =
8)2)(2)(2()2( 3 −=−−−=−
16)4)(4()4( 2 +=−−=−
9
FRACCIONS Parts de la unitat
Concepte de fracció
La fracció com a nombre mixt
10
Exemples de fraccions
Fraccions equivalents - simplificació de fraccions
412
412
49
=+=
9 4
2 1
486
483
4812
488
11
Representació gràfica
Comparació de fraccions
3
1
8
7
12
9
4
3=
12
8
3
2=
12
Suma de fraccions
81
486=
161
483=
41
4812
= 61
488=
+ + =167
4821
481236
4812
483
486
==++
=++
41
164=
83
166=
85
832
83
82
83
41
=+
=+=+
13
Producte de fraccions
Divisió de fraccions
57
43
75:
43
7543
o==
14
REPARTIMENTS DIRECTAMENT PROPORCIONAL ( 3 , 5 , 8 )
Percentatge unitari
colors
percentatge
unitari quantitat a
repartir 16
3
163
Q
16
5
165
Q
16
8
168
Q
TOTAL
1
Q
INVERSAMENT PROPORCIONAL ( 2 , 3 , 5 ) Equival a: directament proporcional ( 1/2, 1/3 , 1/5 )
3015
21=
3010
31=
306
51=
Equival a: directament proporcional ( 15 , 10 , 6 )
163
165
168
16853 =++
15
colors
percentatge
unitari quantitat a
repartir 31
15
3115
Q
31
10
3110
Q
31
6
316
Q
TOTAL
1
Q
3115
3110
316
3161015 =++
16
PERCENTATGES EL PERCENTATGE APLICAT A UNA QUANTITAT
MESURA DE PERCENTATGES
COLOR PERCENTATGE
UNITARI PERCENTATGE
24
8 248 x 100 = 33’33..%
242
242 x 100 = 8’33..%
24
3 243 x 100 = 12’5%
246
246 x 100 = 25%
244
244 x 100 = 16’66..%
24
1 241 x 100 = 4’166..%
%25 10025
= =
17
TOTAL 1 100
INCREMENT POSITIU O NEGATIU D’UNA QUANTITAT MESURAT EN PERCENTATGE
TRANSFORMACIONS I PERCENTATGES
DEFINICIONS I RELACIONS:
%25− ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
100251
=
ko =
Factor multiplicatiu: (k)
=k VI
VI
VF
VF
%I+ VI
VF
%25+ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
100251
=
18
i =
-Percentatge unitari de l’increment: (i )
= 1k −
VI
VI VF
∆ =
Increment: ( ∆ )
VI VF
19
SEMBLANÇA FIGURES SEMBLANS
EXEMPLE
V 'V
S 'S
VkVSkS
lkl
o
o
o
3
2
''
'
===
l l' k
2k
3k
k/1
2k/1
3k/1
20
h
hh 2'=
SS ·4'=
VV ·8'=
2=k 'h
h
42 =k
83 =k
21
ÀREES Rectangle i Paral·lelogram
Paral·lelogram i Triangle
Paral·lelogram i trapezi
Polígon Regular i Triangle
b b
h
hbA o= hbA o=
h
h
b b
hbA o=
2hbA o
=
h
b
b
B B
2)( hbBA o+
= hBbA o)( +=
22
Polígon Regular i Circumferència
Circumferència i Sector Circular
rperímetrep π== 2
a
apotemaa =
2
22
2rrrapA π=
π==
oo
ra =
perímetrep =
perímetrep =
a
apotemaa =
2apA o
=
23
Exemples:
a)
b)
5
4
17
10
4 5
2017034 −+=A
9
5 6
24 3
4
6 39245435 +++=A
r
lr
−−−−−απ−−−
º2º360
Ar−−−−−απ−−−
ºº360 2
º360º2 απ
=oo rl
º360º2 απ
=oo rA
⇒
24
c)
d)
e)
f) g)
14
26
8
28)·2614( +
=A
20 10
π=−π= 75)510( 22A
10
23 π+= 25130A
25
h)
i)
j)
4
8
19216·4162 =−=A
24
10 180
25·243 ==A
16
16
π+=π+= 48644364 2A
12
π+=π+= 18722672
2
A
8 12
4
6
10
2321640 π++=A
26
k)
l)
4
9
8
463016 =+=A
10
19
12
9
5 3
210190146 =++=A
27
VOLUMS I SUPERFÍCIES PRISMA
CILINDRE
CON
28
PIRÀMIDE
ESFERA
Exemples
29
8
8
10
26
12
10
π=π+π=
π=π+π=
64810·6·6··34
26410·6··26··4
23
2
V
S π=+π=
π=+π+π=1552)513·(·8
626)513·(·2·813··222
2
VS
30
10
16
8
6
8·5·6·16·168·5··2)16166·(2
2π+=π+++=
VS
10
23
3
)2·25180(2
)5·46(2)2·25180(2
π+=
π++π
+=
V
S
12
12
12
6
6
6
33
22
6126·412·6
+=+=
VS
12
10
4
4·6··3110·6·6··
32
52·6·10·6··26··2
223
2
π+π+π=
π+π+π=
V
S
31
SUCCESSIONS NUÈRIQUES Successió de nombres senars
PROGRESSIONS ARITMÈTIQUES Definició i Terme General
Suma dels n primers termes
1 3 5 7
1 + 3 + 5 + 7 = 42
1 + 3 + 5 + 7 +.....+(2n-1) = n2
n
4
2a 4a 1a 3a
daa nn +=−1
daa )24(24 −+= dxnaa xn )( −+=
dnaan )1(1 −+=
32
PROGRESSIONS GEOMÈTRIQUES Definició i Terme General raa nn ·1−= . Suma dels n primers termes i Suma Total si 0→na
2a
4a
1a
3a
4a
3a
2a 1a
4)·(2 41 aaS += 2
4)·( 414
aaS +=
2)·( 1 naaS n
n
+=
raa nn ·1−= 25
25
−= raa xn
xn raa −=
1a 2a 3a 4a
1
1
−= n
n raa
33
SUCCESSIONS DE POTÈNCIES
=4S
=4·Sr
=− 44 rSS r
raaS−−
=1
414
rraaS n
n −−
=11
Si 0→na raS−
=∞ 1
1
1a 2a
2a
3a
3a
4a
4a 5a
5a 1a
5)15()54321(2 +=++++
2)1(....4321 nnn +
=+++++
34
222 4321 +++ 222 4321 +++
222 4321 +++ 222 4321 +++
222 4321 +++ 222 4321 +++
⇔
35
SUCCESSIÓ DE FIBONACCI
2nsi2nsi1nsi
aa11
a
1n2n
n>==
+=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−
2)14·2)(14(4)4321(3 2222 ++
=+++
14·2 +
2)14(4 +
6)14·2)(14(4)4321( 2222 ++
=+++
6
)12)(1(......21 222 ++=+++
nnnn
24
23
22
21
14·2 +
36
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...........
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
nn
n 251
251
51a
SERIE ARMÒNICA
0..........n1...............
41
31
21
11
→
∞→≅++++ )n(Lnn1...............
41
31
21
11
SUCCESSIÓ DE NOMBRES POLIGONALS
37
NOMBRES 1a 2a 3a
na
TRIANGULARS 1 3 6 2
1)·1n(nn −+
QUADRATS 1 4 9 2
2)·1n(nn −+
PENTAGONALS 1 5 12 2
3)·1n(nn −+
HEXAGONALES 1 6 15 2
4)·1n(nn −+
HEPTAGONALES 11 7 18 2
5)·1n(nn −+
38
IDENTITATS NOTABLES DIFERÈNCIA DE QUADRATS
=
a b
a
b
2a
2b ba·
ba +
ba·
2)( ba +
222 2)( bababa ++=+
=
+2b
a
b 2a
ba +
ba −
-
))((22 bababa −+=−
2a =
2a 2b =
ba +
QUADRAT D’UNA SUMA
ba −
39
QUADRAT D’UNA DIFERÈNCIA
222 2)( baabba +=+−
2)( ba −
ba·
ba·
2a
2b
=
222 2)( bababa +−=−
40
POLINOMIS SUMA I RESTA DE POLINOMIS
PRODUCTE DE POLINOMIS
=
x4 5
x2
3
2x8
15 x12
15x22x8)5x4)(3x2( 2 ++=++
x10
x2 3
x4 5
2x8 x12
x10 15
2x8 x22 15
2x8
2x3
2x11
+
x10
x3−
x7
6
2−
4
2x8
2x3
2x5
x10
x3−
x13
6
2−
8
-
41
DIVISIÓ DE POLINOMIS
REGLA DE RUFFINI (divisió entre ax ± )
x2 5−
x4 2x8− x20
x30 6
15
x30− 75
81
81)15x4)(5x2(6x10x8 2 ++−=++
2x8 x10 6
x2 5−
x4 2x8− x20
x30 6 5− x2
15 x30− 75
81
2x8 x10 6
81)15x4)(5x2(6x10x8 2 ++−=++
42
TRIANGLE DE TARTAGLIA
x 5−
2x8 3x8− 2x40
x2 4
x40
x200
4
4 x2
8 2 4
5
8
40 200
40 202
3x8
2x40
2x40−
x202
1014)202x40x8)(5x(4x2x8 23 +++−=++
202
x202− 1010
1014
0
1010
1014
5x05x =⇒=−
x 5−
x8 2x8− x40
x50 6
50
x50− 250
256
6 x10 2x8
8 10 6
5
8
40 250
50 256
5x05x =⇒=−
256)50x8)(5x(6x10x8 2 ++−=++
43
POÈNCIA D’UN BINOMI
x
x
a+
a+
ax 2a
2x ax
222 a·1ax·2x·1)ax( ++=+
x
2ax xa2 2
3x 2ax2
a
2x ax2 2a
xa2
3a
)a·1a·x·3a·x·3x·1()ax( 32233 +++=+
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3 3
4 6 4
1 5 10 10 5 1
44
EQUACIONS DE PRIMER GRAU
Propietat: Tot terme que està sumand o restant passa a l’altre costat d’una igualtat amb signe contrari. I
II
III
IV
=x =− x =1 =−1
+ = =
+ = =
x pot prendre valors positius o negatius o fins i tot zero
43 =x x340 −=
x34 −=− 043 =−x
45
Propietat: Si dividim o multipliquem les dues parts d’una igualtat per un mateix nombre positiu o negatiu, la igualtat no varia. I
II
Exemple I
II
Exemple I
II
63 =x
36
=x
83 =x
38
=x
93 =x 3=x
46
Exemple I
II
III
4x2 =−
x24 =−
224x −=
−=
47
INEQUACIONS DE PRIMER GRAU
Propietat: Tot terme que està sumand o restant passa a l’altre costat de la desigualtat amb el signe contrari I
II
III
=x =− x =1 =−1
+ = =
+ = =
x pot prendre valors positius o negatius o fins i tot zero
43 >x x340 −>
x34 −>−
48
Propietat: Si dividim o multipliquem les dues parts d’una desigualtat per un mateix nombre positiu la desigualtat no varia. I
II
Propietat: Si dividim o multipliquem les dues parts d’una desigualtat per un mateix nombre negatiu la desigualtat varia. I
II
III
93 >x 39
>x
93 >− x 39
>− x
39−
<x
49
Exemple I
II
Exemple I
II
Exemple I
II
III
6x3 >
36x >
4x2 >− x24 >−
8x3 >
38x >
50
224x −=
−<
51
SISTEMES D’INEQUACIONS DE PRIMER GRAU =x
1043 >+x
4103 −>x
2>x 4<x
1132 <+x
3112 −<x
42 << x
52
EQUACIONS DE SEGON GRAU a) TIPUS 22 ax =
ax + ax −
0))(( =−+ axax
022 =− ax
aa
x
x
2x 2a
22 ax =
53
Condició: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=−
0
0
axo
axSolució:
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=
axo
ax
b) TIPUS bxx =2
Condició: ⎪⎩
⎪⎨⎧
=−
=
0
0
bxox
Solució : ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=
bxox 0
x bx −
0)( =− bxx
2x
x
b
bxx =2
54
c) TIPUS 02 =++ cbxax
0444 22 =++ acabxxa acbbabxxa 444 2222 −=++
222 )4()2( acbbax −=+
Condició:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=+
−+=+
acbbaxo
acbbax
42
42
2
2
Solució:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−−−=
−+−=
aacbbx
oa
acbbx
24
24
2
2
22 )4( acb − 2)2( bax +
55
TRIANGLES RECTANGLES
A
2c
2a
c
b
a 222 abc =+
2b
c b c b
PITÀGORESDETEOREMA
56
2b
m n
h
2c
a
b c
ancamb
o
o
==
2
2
CATETDELTEOREMA
57
222 hmb +=
m n
h
222 hnc +=
a
b c
nmh o=2
mnnma 2222 ++=
ALTURALDETEOREMA
'
58
TRIGONOMETRIA RAONS TRIGONOMÈTRIQUES
INTERPRETACIÓ GEOMÈTRICA SOBRE LA CIRCUMFERÈNCIA UNITAT
59
RELACIONS ANGULARS ENTRE QUADRANTS α−=β º180 α=β sinsin α−=β coscos
α+=β º180 α−=β sinsin α−=β coscos
α−=β α−=β sinsin α=β coscos
α=α− cos)º90sin( α=α− sin)º90cos(
60
COMBINATÒRIA Variacions ordinàries ( grups triats amb ordre i sense repetició) Exemple: triar tres boles d’una amb una sense retorn de la següent urna.
242·3·43
4 ==V )1)....(2)(1( +−−−= nmmmmV nm
61
Permutacions: ( grups totals triats amb ordre i sense repetició) Exemple: triar totes les boles d’una amb una sense retorn de la següent urna.
241·2·3·44 ==P 1·2).....2)(1(! −−== nnnnPn
62
Variacions amb repetició ( grups triats amb ordre i amb possible repetició) Exemple: triar dues boles d’una amb una i amb retorn de la següent urna.
22
4 44·4 ==VR nnm mmmmVR == ......
Combinacions ordinàries ( grups triats sense ordre i sense repetició) Exemple: triar tres boles de cop i sense retorn de la següent urna.
63
41·2·32·3·4
3
343
4 ===PVC
PVC
n
nmn
m =
Combinacions amb repetició: ( grups amb possible repetició i sense ordre ) Exemple: triar tres boles amb retorn i no tenir en compte l’ordre d’extracció de la següent urna:
64
201·2·34·5·6
3
363
13434 ==== −+
PVCCR CCR n
nmnm 1−+=
Permutacions amb repetició ( diferents particions d’un conjunt en subconjunts amb el nombre d’elements predeterminats per a cada subconjunt) = ( permutacions d’un determinat conjunt d’objectes repetits o no repetits ) Exemple: permutar les boles de la següent urna
65
66
30!1!·2!·2
!5·· 11
23
25
1,2,25 === CCCPR
C25 CC 2
325· CCC 1
123
25 ··
67
PROBABILITAT Experiment simple: triar un quadrat i analitzar el seu color.
Experiment simple: llançar una fletxa a l’atzar i analitzar el color seleccionat.
73
72
72
p = x 7117 =⇒= xx
Successos elementals equiprobables al triar qualsevol quadrat
possiblescasosfavorablescasoscolorp
__)( =
68
Experiment compost: llançar un dau dues vegades i analitzar la suma dels resultats.
361)12()2( ==== SpSp
362)11()3( ==== SpSp
363)10()4( ==== SpSp
364)9()5( ==== SpSp
365)8()6( ==== SpSp
361)7( ==Sp
p
p
p
p
=
=
=
=
x
x4
x7
x6
1811674 =⇒=+++ xxxxx
Successos elementals NO equiprobables respecte al color i Sí equiprobables respecte a cada quadrat de la mateixa àrea
Successos elementals equiprobables respecte a cada un dels 36 resultats possibles
possiblescasosfavorablescasossumap
__)( =
69
Experiment compost: llançar una moneda dues vegades i analitzar els resultats amb les seves probabilitats.
Experiment compost: seleccionar una urna A o B i triar una bola per analitzar el seu color G o V. a) Sense cap condició
21
21
A
B
63
63
62
64
41
63·
21
=
41
63·
21
=
61
62·
21
=
31
64·
21
=
c
+
21
21
c
+
c
+
21
21
21
21
70
)(Ap
)(Bp
A
B
)/( AGp
)/( AVp
)/( BGp
)/( BVp
)( GAp I
)( VAp I
)( GBp I
)( VBp I
)( GAp I = )(Ap )/( AGp )/( AGp =)( GAp I
)(Ap
Probabilitat Condicionada
)()()( GBpGApGp II +=
Probabilitat Total
)( VAp I = )(Ap )/( AVp )/( AVp =
)( VAp I
)(Ap
)()()( VBpVApVp II +=
71
b) Si se sap que s’ha complert A
c) Si se sap que ha sortit vermell
1
0
A
B
63
63
62
64
21
63·1 =
21
63·1 =
062·0 =
064·0 =
1)( =Ap
0)( =Bp
A
B
)/( AGp
)/( AVp
)/( BGp
)/( BVp
)( GAp I
)( VAp I
0)( =GBp I
0)( =VBp I
)()/()( AGpAGpGp I== )()/()( AVpAVpVp I==
72
21
21
A
B
0
1
0
1
00·21
=
211·
21
=
00·21
=
211·
21
=
)(Ap
)(Bp
A
B
0
)/( AVp
0
)/( BVp
0
)( VAp I
0
)( VBp I
)/()·()/()·(
)/()·(
)()(
)()/(
BVpBpAVpAp
AVpAp
VBpVAp
VApVAp
+=
+=
II
I
Teorema de Bayes
/()·()/()·()/()·(
)()()(
)/(VpBpAVpAp
BVpBpVBpVAp
VBpVBp
+=
+=
II
I
top related