1

Val més una imatge que mil paraules

Xavier Rabasa Professor de Matemàtiques

2

INDEX Nombres naturals 3 Nombres enters 5 Fraccions 9 Repartiments 14 Percentatges 16 Semblança 19 Àrea 21 Volum i superfície 27 Successions i series 31 Identitats 38 Polinomis 40 Equacions de primer grau 44 Inequacions de primer grau 47 Sistema d’inequacions de primer grau 51 Equacions de segon grau 52 Triangles rectangles 55 Trigonometria 58 Combinatòria 60 Probabilitat 67

3

NOMBRES NATURALS

Operacions

Propietats

1 42 3 0

+ =

= o + + =

523 =+

933333 =++=o

4

+ = +

3223 +=+

=

o = o =

3223 oo =

o+ = +

2232)23(2 oo +=+

+ = + =

22002 =+=+

o = o =

22112 == oo

5

NOMBRES ENTERS Representació gràfica sobre la recta real

Suma i Resta

1 42 3 0 2− 1−3− 4−

+ = + =

+ = + =

202 =+ 202 −=+−

02)2()2(2 =+−=−+

6

Producte

+ =

523 =+

+ =

523 −=−−

+ += =

123 =− 123 −=+−

o = o

o o

=

= =

221 =o 2)2(1 −=−o

22)1( −=− o 2)2()1( =−− o

7

Divisió

7− 3

2−

1−

)1(3)2()7( −+−=− o

6+

o = o

o o

=

= =

632 =o 6)3(2 −=−o

63)2( −=− o 6)3()2( =−− o

8

Potència

7 3

2

1

1327 += o

6−

3

= =o o

2

= o =

8)2)(2)(2()2( 3 −=−−−=−

16)4)(4()4( 2 +=−−=−

9

FRACCIONS Parts de la unitat

Concepte de fracció

La fracció com a nombre mixt

10

Exemples de fraccions

Fraccions equivalents - simplificació de fraccions

412

412

49

=+=

9 4

2 1

486

483

4812

488

11

Representació gràfica

Comparació de fraccions

3

1

8

7

12

9

4

3=

12

8

3

2=

12

Suma de fraccions

81

486=

161

483=

41

4812

= 61

488=

+ + =167

4821

481236

4812

483

486

==++

=++

41

164=

83

166=

85

832

83

82

83

41

=+

=+=+

13

Producte de fraccions

Divisió de fraccions

57

43

75:

43

7543

o==

14

REPARTIMENTS DIRECTAMENT PROPORCIONAL ( 3 , 5 , 8 )

Percentatge unitari

colors

percentatge

unitari quantitat a

repartir 16

3

163

Q

16

5

165

Q

16

8

168

Q

TOTAL

1

Q

INVERSAMENT PROPORCIONAL ( 2 , 3 , 5 ) Equival a: directament proporcional ( 1/2, 1/3 , 1/5 )

3015

21=

3010

31=

306

51=

Equival a: directament proporcional ( 15 , 10 , 6 )

163

165

168

16853 =++

15

colors

percentatge

unitari quantitat a

repartir 31

15

3115

Q

31

10

3110

Q

31

6

316

Q

TOTAL

1

Q

3115

3110

316

3161015 =++

16

PERCENTATGES EL PERCENTATGE APLICAT A UNA QUANTITAT

MESURA DE PERCENTATGES

COLOR PERCENTATGE

UNITARI PERCENTATGE

24

8 248 x 100 = 33’33..%

242

242 x 100 = 8’33..%

24

3 243 x 100 = 12’5%

246

246 x 100 = 25%

244

244 x 100 = 16’66..%

24

1 241 x 100 = 4’166..%

%25 10025

= =

17

TOTAL 1 100

INCREMENT POSITIU O NEGATIU D’UNA QUANTITAT MESURAT EN PERCENTATGE

TRANSFORMACIONS I PERCENTATGES

DEFINICIONS I RELACIONS:

%25− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

100251

=

ko =

Factor multiplicatiu: (k)

=k VI

VI

VF

VF

%I+ VI

VF

%25+ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

100251

=

18

i =

-Percentatge unitari de l’increment: (i )

= 1k −

VI

VI VF

∆ =

Increment: ( ∆ )

VI VF

19

SEMBLANÇA FIGURES SEMBLANS

EXEMPLE

V 'V

S 'S

VkVSkS

lkl

o

o

o

3

2

''

'

===

l l' k

2k

3k

k/1

2k/1

3k/1

20

h

hh 2'=

SS ·4'=

VV ·8'=

2=k 'h

h

42 =k

83 =k

21

ÀREES Rectangle i Paral·lelogram

Paral·lelogram i Triangle

Paral·lelogram i trapezi

Polígon Regular i Triangle

b b

h

hbA o= hbA o=

h

h

b b

hbA o=

2hbA o

=

h

b

b

B B

2)( hbBA o+

= hBbA o)( +=

22

Polígon Regular i Circumferència

Circumferència i Sector Circular

rperímetrep π== 2

a

apotemaa =

2

22

2rrrapA π=

π==

oo

ra =

perímetrep =

perímetrep =

a

apotemaa =

2apA o

=

23

Exemples:

a)

b)

5

4

17

10

4 5

2017034 −+=A

9

5 6

24 3

4

6 39245435 +++=A

r

lr

−−−−−απ−−−

º2º360

Ar−−−−−απ−−−

ºº360 2

º360º2 απ

=oo rl

º360º2 απ

=oo rA

⇒

24

c)

d)

e)

f) g)

14

26

8

28)·2614( +

=A

20 10

π=−π= 75)510( 22A

10

23 π+= 25130A

25

h)

i)

j)

4

8

19216·4162 =−=A

24

10 180

25·243 ==A

16

16

π+=π+= 48644364 2A

12

π+=π+= 18722672

2

A

8 12

4

6

10

2321640 π++=A

26

k)

l)

4

9

8

463016 =+=A

10

19

12

9

5 3

210190146 =++=A

27

VOLUMS I SUPERFÍCIES PRISMA

CILINDRE

CON

28

PIRÀMIDE

ESFERA

Exemples

29

8

8

10

26

12

10

π=π+π=

π=π+π=

64810·6·6··34

26410·6··26··4

23

2

V

S π=+π=

π=+π+π=1552)513·(·8

626)513·(·2·813··222

2

VS

30

10

16

8

6

8·5·6·16·168·5··2)16166·(2

2π+=π+++=

VS

10

23

3

)2·25180(2

)5·46(2)2·25180(2

π+=

π++π

+=

V

S

12

12

12

6

6

6

33

22

6126·412·6

+=+=

VS

12

10

4

4·6··3110·6·6··

32

52·6·10·6··26··2

223

2

π+π+π=

π+π+π=

V

S

31

SUCCESSIONS NUÈRIQUES Successió de nombres senars

PROGRESSIONS ARITMÈTIQUES Definició i Terme General

Suma dels n primers termes

1 3 5 7

1 + 3 + 5 + 7 = 42

1 + 3 + 5 + 7 +.....+(2n-1) = n2

n

4

2a 4a 1a 3a

daa nn +=−1

daa )24(24 −+= dxnaa xn )( −+=

dnaan )1(1 −+=

32

PROGRESSIONS GEOMÈTRIQUES Definició i Terme General raa nn ·1−= . Suma dels n primers termes i Suma Total si 0→na

2a

4a

1a

3a

4a

3a

2a 1a

4)·(2 41 aaS += 2

4)·( 414

aaS +=

2)·( 1 naaS n

n

+=

raa nn ·1−= 25

25

−= raa xn

xn raa −=

1a 2a 3a 4a

1

1

−= n

n raa

33

SUCCESSIONS DE POTÈNCIES

=4S

=4·Sr

=− 44 rSS r

raaS−−

=1

414

rraaS n

n −−

=11

Si 0→na raS−

=∞ 1

1

1a 2a

2a

3a

3a

4a

4a 5a

5a 1a

5)15()54321(2 +=++++

2)1(....4321 nnn +

=+++++

34

222 4321 +++ 222 4321 +++

222 4321 +++ 222 4321 +++

222 4321 +++ 222 4321 +++

⇔

35

SUCCESSIÓ DE FIBONACCI

2nsi2nsi1nsi

aa11

a

1n2n

n>==

+=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−

2)14·2)(14(4)4321(3 2222 ++

=+++

14·2 +

2)14(4 +

6)14·2)(14(4)4321( 2222 ++

=+++

6

)12)(1(......21 222 ++=+++

nnnn

24

23

22

21

14·2 +

36

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...........

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

nn

n 251

251

51a

SERIE ARMÒNICA

0..........n1...............

41

31

21

11

→

∞→≅++++ )n(Lnn1...............

41

31

21

11

SUCCESSIÓ DE NOMBRES POLIGONALS

37

NOMBRES 1a 2a 3a

na

TRIANGULARS 1 3 6 2

1)·1n(nn −+

QUADRATS 1 4 9 2

2)·1n(nn −+

PENTAGONALS 1 5 12 2

3)·1n(nn −+

HEXAGONALES 1 6 15 2

4)·1n(nn −+

HEPTAGONALES 11 7 18 2

5)·1n(nn −+

38

IDENTITATS NOTABLES DIFERÈNCIA DE QUADRATS

=

a b

a

b

2a

2b ba·

ba +

ba·

2)( ba +

222 2)( bababa ++=+

=

+2b

a

b 2a

ba +

ba −

-

))((22 bababa −+=−

2a =

2a 2b =

ba +

QUADRAT D’UNA SUMA

ba −

39

QUADRAT D’UNA DIFERÈNCIA

222 2)( baabba +=+−

2)( ba −

ba·

ba·

2a

2b

=

222 2)( bababa +−=−

40

POLINOMIS SUMA I RESTA DE POLINOMIS

PRODUCTE DE POLINOMIS

=

x4 5

x2

3

2x8

15 x12

15x22x8)5x4)(3x2( 2 ++=++

x10

x2 3

x4 5

2x8 x12

x10 15

2x8 x22 15

2x8

2x3

2x11

+

x10

x3−

x7

6

2−

4

2x8

2x3

2x5

x10

x3−

x13

6

2−

8

-

41

DIVISIÓ DE POLINOMIS

REGLA DE RUFFINI (divisió entre ax ± )

x2 5−

x4 2x8− x20

x30 6

15

x30− 75

81

81)15x4)(5x2(6x10x8 2 ++−=++

2x8 x10 6

x2 5−

x4 2x8− x20

x30 6 5− x2

15 x30− 75

81

2x8 x10 6

81)15x4)(5x2(6x10x8 2 ++−=++

42

TRIANGLE DE TARTAGLIA

x 5−

2x8 3x8− 2x40

x2 4

x40

x200

4

4 x2

8 2 4

5

8

40 200

40 202

3x8

2x40

2x40−

x202

1014)202x40x8)(5x(4x2x8 23 +++−=++

202

x202− 1010

1014

0

1010

1014

5x05x =⇒=−

x 5−

x8 2x8− x40

x50 6

50

x50− 250

256

6 x10 2x8

8 10 6

5

8

40 250

50 256

5x05x =⇒=−

256)50x8)(5x(6x10x8 2 ++−=++

43

POÈNCIA D’UN BINOMI

x

x

a+

a+

ax 2a

2x ax

222 a·1ax·2x·1)ax( ++=+

x

2ax xa2 2

3x 2ax2

a

2x ax2 2a

xa2

3a

)a·1a·x·3a·x·3x·1()ax( 32233 +++=+

1

1

1

1

1

1

1

1

2

3 3

4 6 4

1 5 10 10 5 1

44

EQUACIONS DE PRIMER GRAU

Propietat: Tot terme que està sumand o restant passa a l’altre costat d’una igualtat amb signe contrari. I

II

III

IV

=x =− x =1 =−1

+ = =

+ = =

x pot prendre valors positius o negatius o fins i tot zero

43 =x x340 −=

x34 −=− 043 =−x

45

Propietat: Si dividim o multipliquem les dues parts d’una igualtat per un mateix nombre positiu o negatiu, la igualtat no varia. I

II

Exemple I

II

Exemple I

II

63 =x

36

=x

83 =x

38

=x

93 =x 3=x

46

Exemple I

II

III

4x2 =−

x24 =−

224x −=

−=

47

INEQUACIONS DE PRIMER GRAU

Propietat: Tot terme que està sumand o restant passa a l’altre costat de la desigualtat amb el signe contrari I

II

III

=x =− x =1 =−1

+ = =

+ = =

x pot prendre valors positius o negatius o fins i tot zero

43 >x x340 −>

x34 −>−

48

Propietat: Si dividim o multipliquem les dues parts d’una desigualtat per un mateix nombre positiu la desigualtat no varia. I

II

Propietat: Si dividim o multipliquem les dues parts d’una desigualtat per un mateix nombre negatiu la desigualtat varia. I

II

III

93 >x 39

>x

93 >− x 39

>− x

39−

<x

49

Exemple I

II

Exemple I

II

Exemple I

II

III

6x3 >

36x >

4x2 >− x24 >−

8x3 >

38x >

50

224x −=

−<

51

SISTEMES D’INEQUACIONS DE PRIMER GRAU =x

1043 >+x

4103 −>x

2>x 4<x

1132 <+x

3112 −<x

42 << x

52

EQUACIONS DE SEGON GRAU a) TIPUS 22 ax =

ax + ax −

0))(( =−+ axax

022 =− ax

aa

x

x

2x 2a

22 ax =

53

Condició: ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=−

0

0

axo

axSolució:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=

axo

ax

b) TIPUS bxx =2

Condició: ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=

0

0

bxox

Solució : ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

bxox 0

x bx −

0)( =− bxx

2x

x

b

bxx =2

54

c) TIPUS 02 =++ cbxax

0444 22 =++ acabxxa acbbabxxa 444 2222 −=++

222 )4()2( acbbax −=+

Condició:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=+

−+=+

acbbaxo

acbbax

42

42

2

2

Solució:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−−−=

−+−=

aacbbx

oa

acbbx

24

24

2

2

22 )4( acb − 2)2( bax +

55

TRIANGLES RECTANGLES

A

2c

2a

c

b

a 222 abc =+

2b

c b c b

PITÀGORESDETEOREMA

56

2b

m n

h

2c

a

b c

ancamb

o

o

==

2

2

CATETDELTEOREMA

57

222 hmb +=

m n

h

222 hnc +=

a

b c

nmh o=2

mnnma 2222 ++=

ALTURALDETEOREMA

'

58

TRIGONOMETRIA RAONS TRIGONOMÈTRIQUES

INTERPRETACIÓ GEOMÈTRICA SOBRE LA CIRCUMFERÈNCIA UNITAT

59

RELACIONS ANGULARS ENTRE QUADRANTS α−=β º180 α=β sinsin α−=β coscos

α+=β º180 α−=β sinsin α−=β coscos

α−=β α−=β sinsin α=β coscos

α=α− cos)º90sin( α=α− sin)º90cos(

60

COMBINATÒRIA Variacions ordinàries ( grups triats amb ordre i sense repetició) Exemple: triar tres boles d’una amb una sense retorn de la següent urna.

242·3·43

4 ==V )1)....(2)(1( +−−−= nmmmmV nm

61

Permutacions: ( grups totals triats amb ordre i sense repetició) Exemple: triar totes les boles d’una amb una sense retorn de la següent urna.

241·2·3·44 ==P 1·2).....2)(1(! −−== nnnnPn

62

Variacions amb repetició ( grups triats amb ordre i amb possible repetició) Exemple: triar dues boles d’una amb una i amb retorn de la següent urna.

22

4 44·4 ==VR nnm mmmmVR == ......

Combinacions ordinàries ( grups triats sense ordre i sense repetició) Exemple: triar tres boles de cop i sense retorn de la següent urna.

63

41·2·32·3·4

3

343

4 ===PVC

PVC

n

nmn

m =

Combinacions amb repetició: ( grups amb possible repetició i sense ordre ) Exemple: triar tres boles amb retorn i no tenir en compte l’ordre d’extracció de la següent urna:

64

201·2·34·5·6

3

363

13434 ==== −+

PVCCR CCR n

nmnm 1−+=

Permutacions amb repetició ( diferents particions d’un conjunt en subconjunts amb el nombre d’elements predeterminats per a cada subconjunt) = ( permutacions d’un determinat conjunt d’objectes repetits o no repetits ) Exemple: permutar les boles de la següent urna

65

66

30!1!·2!·2

!5·· 11

23

25

1,2,25 === CCCPR

C25 CC 2

325· CCC 1

123

25 ··

67

PROBABILITAT Experiment simple: triar un quadrat i analitzar el seu color.

Experiment simple: llançar una fletxa a l’atzar i analitzar el color seleccionat.

73

72

72

p = x 7117 =⇒= xx

Successos elementals equiprobables al triar qualsevol quadrat

possiblescasosfavorablescasoscolorp

__)( =

68

Experiment compost: llançar un dau dues vegades i analitzar la suma dels resultats.

361)12()2( ==== SpSp

362)11()3( ==== SpSp

363)10()4( ==== SpSp

364)9()5( ==== SpSp

365)8()6( ==== SpSp

361)7( ==Sp

p

p

p

p

=

=

=

=

x

x4

x7

x6

1811674 =⇒=+++ xxxxx

Successos elementals NO equiprobables respecte al color i Sí equiprobables respecte a cada quadrat de la mateixa àrea

Successos elementals equiprobables respecte a cada un dels 36 resultats possibles

possiblescasosfavorablescasossumap

__)( =

69

Experiment compost: llançar una moneda dues vegades i analitzar els resultats amb les seves probabilitats.

Experiment compost: seleccionar una urna A o B i triar una bola per analitzar el seu color G o V. a) Sense cap condició

21

21

A

B

63

63

62

64

41

63·

21

=

41

63·

21

=

61

62·

21

=

31

64·

21

=

c

+

21

21

c

+

c

+

21

21

21

21

70

)(Ap

)(Bp

A

B

)/( AGp

)/( AVp

)/( BGp

)/( BVp

)( GAp I

)( VAp I

)( GBp I

)( VBp I

)( GAp I = )(Ap )/( AGp )/( AGp =)( GAp I

)(Ap

Probabilitat Condicionada

)()()( GBpGApGp II +=

Probabilitat Total

)( VAp I = )(Ap )/( AVp )/( AVp =

)( VAp I

)(Ap

)()()( VBpVApVp II +=

71

b) Si se sap que s’ha complert A

c) Si se sap que ha sortit vermell

1

0

A

B

63

63

62

64

21

63·1 =

21

63·1 =

062·0 =

064·0 =

1)( =Ap

0)( =Bp

A

B

)/( AGp

)/( AVp

)/( BGp

)/( BVp

)( GAp I

)( VAp I

0)( =GBp I

0)( =VBp I

)()/()( AGpAGpGp I== )()/()( AVpAVpVp I==

72

21

21

A

B

0

1

0

1

00·21

=

211·

21

=

00·21

=

211·

21

=

)(Ap

)(Bp

A

B

0

)/( AVp

0

)/( BVp

0

)( VAp I

0

)( VBp I

)/()·()/()·(

)/()·(

)()(

)()/(

BVpBpAVpAp

AVpAp

VBpVAp

VApVAp

+=

+=

II

I

Teorema de Bayes

/()·()/()·()/()·(

)()()(

)/(VpBpAVpAp

BVpBpVBpVAp

VBpVBp

+=

+=

II

I