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Unidad 4 – Lección 4.1
Antiderivadas y La Integral Indefinida
03/03/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 20
Actividades 4.1
• Referencia del Texto: Sección 4.9 Antiderivadas, Ver ejemplos
1 al 7
• Ejercicios de Práctica: Páginas 332-333: Impares 1 – 29
• Asignación 4.1: Página 333; 32
• Referencias del Web:
Khan Academy - Integrales Definidas e Indefinidas – Antiderivadas
e Integrales Indefinidas, Integrales indefinidas de x elevada a una
potencia, Antiderivadas de 𝑥−1; Antiderivadas Trigonométricas y
Exponenciales Básicas.
Paul’s Online Note – Indefinite Integrals
Visual Calc - Antiderivatives / Indefinite Integrals; Tutorial sobre
antiderivadas y el integral indefinido. Table of Elementary Indefinite
Integrals. Ejercicios de práctica (Drill) usa Java.
eMathLab – Indefinite Integrals
Prof. José G. Rodríguez Ahumada03/03/2014 2 de 20
Antiderivada
• Una función F es la antiderivada de f sobre un
intervalo I si F’(x) = f(x) para todo x en I.
• Ejemplo:
• es una antiderivada de
• Otras son:
• En general, si F es una función antiderivada de f
sobre un intervalo I, cualquier otra antiderivada de f
será de la forma F(x) + c donde c es una constante.
Prof. José G. Rodríguez Ahumada03/03/2014
5)( 2 xxxF
12)( xxf
1)( 2
1 xxxF xxxF 2
2 )( xxxF 2
3 )(
3 de 20
Integral indefinida
• La integral indefinida de f(x) se define como el
conjunto de todas las antiderivadas F de f(x).
donde c es una constante.
• Ejemplos:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada03/03/2014
cxFdxxf )()(
dxx 12 xx 2c
dxx cos xsin c
dxx3
4
4x c
4 de 20
Ejemplo 1
1. Determine las antiderivadas de f(x) = sin x
• Como
2. Determine
• Como
Prof. José G. Rodríguez Ahumada03/03/2014
cxdxx cos sinxxdx
dsin)(cos
cxdxx tan sec2xx
dx
d 2sec)(tan
dxx sin
dxx sec2
5 de 20
Otras antiderivadas ..
• Recuerde:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada03/03/2014
dx x
1 dxxecx tans cx sec
dxxx cotcsc cx csc
dx
x21
1cx 1tan
dxx21
1cx 1sin
dxe xcex
dx a x ca
a x
ln
cx ||ln
6 de 20
Reglas básicas de antiderivadas
Prof. José G. Rodríguez Ahumada03/03/2014
ckxdxk
xndx xn1
n 1 c , n 1
dx 5 cx 5
dxx 3c
x
4
4
Ejemplos:
dx cx
Ejemplos:
dxx 21
cx
2
3
23
cx
3
2 23
cxx
3
2
dx cx
7 de 20
Reglas básicas de antiderivadas …
• Ejemplos:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada03/03/2014
dxfcdxcf (x) (x)
dx5cosx dxx cos5 cx sin5
dx 3- x dxx 3 cx
ln3 c
x
ln
3
dxx26 cx
36
3
dxx26 cx 32
8 de 20
Reglas básicas de antiderivadas …
• Ejemplos:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada03/03/2014
dxgdxfdxf (x) (x) g(x)](x)[
dxxx 122
dxxdxdxx 122
3
3x
22
2x x
cxxx 23
31
c
dx
x
21
cx
x
2
12
2
1
dxxdx 2
1
2 1
cxx 4
dxxdx 2
1
2 1
321 cccc
9 de 20
Ejercicio #1
1.
2.
3.
Prof. José G. Rodríguez Ahumada03/03/2014
dxxx 121 53
dxx 4 3
dxxdxxdx 53 12
cxxx 64 24
1
dxx 43
cx
4
7
47
cxx
7
4 4 3
dx
x
61 xdxdx
x
16 ||ln6 x c
cx
7
4 4
7
10 de 20
Ejercicio #2
Prof. José G. Rodríguez Ahumada03/03/2014
dxx cos
dxx sin
dxx sec2cx tan
dxxx tan sec cx sec
dxxx cot csc cx csc
dxx csc2cx cot
cx sin
cx cos
dx x
1
dxe xcex
dx a x ca
a x
ln
cx ||ln
dx
x21
1cx 1tan
dxx21
1cx 1sin
11 de 20
Ejemplo 2
• Encuentre la antiderivada de
• Solución:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada03/03/2014
x
xxxxf
52sin4)(
x
x
x
xxxf
2152
sin4)( 2142sin4
xxx
dxxxx 2sin4 214
dxxdxxdxx
2142 sin4
dxxdxxdxx
2142 sin4
cxx
x 21
5 21
52cos4
cxxx 25
2cos4 5
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Ejercicio #3
Prof. José G. Rodríguez Ahumada03/03/2014
2ex dx
2ex c
1
5 1 x 2 dx
1
5sin1 x c
6
1 x 2 dx
6tan1 x c
dx
x
1
1
2cx 1cos
dx 37xc
x
7ln
37
dx
x
1
1
2cx 1sin
dx
x
1
11
2
Observe que hay otra solución ...
¡Estas dos son equivalentes!
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Ejercicio #4
Encuentre
Prof. José G. Rodríguez Ahumada03/03/2014
dxxex sec73 2
dxxdxex sec73 2
cxex tan73
dxx
x
23
dx
xx
x 23
dxxx 2
1
2
1
23
dxxdxx 2 3 2
1
2
1
cxx
2
12
2
33
2
1
2
3
cxxx 42
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Ejemplo 3
• Encuentre f si si 𝑓(1) = 3
• Solución: f es una antiderivada de f’(x).
Prof. José G. Rodríguez Ahumada03/03/2014
21
105)('
xxf x
dxx
xf x
21
105)( de dasAntideriva
dxx
dxx
21
105
dxx
x
21
110
5ln
5cx
x
1cos105ln
5
cxxfx
1cos105ln
5)(
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Solución del Ejemplo 3 …
• Si f(1) = 3
Prof. José G. Rodríguez Ahumada03/03/2014
c )1(cos105ln
53 1
)1(
c 05ln
53
5ln
53c
5ln
53cos10
5ln
5)( 1 xxf
x
cxxfx
1cos105ln
5)(
16 de 20
Ejemplo 4
Encuentre 𝑓 si 𝑓(0) = 2, 𝑓’(0) = 1,
Solución:
Si f’(0) = 1,
entonces c = 1:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada03/03/2014
34064)( xxxf
dxxxxf 34064)(' dxxxdxdx 34064
cxx
x 4
402
6442
cxxx 42 1034
1)0(4)0(3)0(101 24
14310)(' 24 xxxxf
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Solución del Ejemplo 4…
• Si f(0) = 2, entonces:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada03/03/2014
dxxxxxf 14310)( 24
dxdxxdxxdxx 14310 24
cxxxx
2
43
35
10235
cxxxx 235 22
222)( 235 xxxxxf
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Fórmulas de Integración de funciones
trigonométicas
• Recuerde:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada03/03/2014
tan 𝑥 𝑑𝑥 = − ln cos 𝑥 + 𝑐
cot 𝑥 𝑑𝑥 = ln sin 𝑥 + 𝑐
sin 𝑥 𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝑐
cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝑐
sec 𝑥 𝑑𝑥 = ln sec 𝑥 + tan 𝑥 + 𝑐
csc 𝑥 𝑑𝑢 = −ln 𝑐sc 𝑥 + 𝑐𝑜t 𝑥 + 𝑐
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Resumen de Fórmulas de Integración
Prof. José G. Rodríguez Ahumada03/03/2014
dxx sec2cx tan
dxx csc2cx cot dx
x
1 dxe x ce x
cx ||ln
dxx21
1cx 1sin
dxx cos
dxx sin dxxx tan sec cx sec
dxxx cot csc cx csccx sin
cx cos
dxa x ca
a x
ln
dx
x21
1cx 1tan tan 𝑥 𝑑𝑥 = − ln cos 𝑥 + 𝑐
cot 𝑥 𝑑𝑥 = ln sin 𝑥 + 𝑐
sec 𝑥 𝑑𝑥 = ln sec 𝑥 + tan 𝑥 + 𝑐
csc 𝑥 𝑑𝑥 = −ln 𝑐sc 𝑥 + 𝑐𝑜t 𝑥 + 𝑐
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