unidad 1 vectores

vectores

Conceptos generales

Magnitudes vectoriales

Ejes de coordenadas

Dibujo de un vector

Modulo dirección y

sentido

Componentes de un

vector

Cosenos directores

Vectores unitarios

Expresiones de un

vector

Términos que se emplean y significado

matemático

Ortogonal

Independencia lineal

Paralelo

Perpendicular

Perpendicular

No se pueden obtener

unos de otros

Forma 0 º

Forma 90º

subíndices

x = parte x de algo

y = parte y de algo

z = parte z de algo

0 = inicial lo del principio

f = final, cuando acaba

i = inicial

A = situación inicial o de partida

B = situación final

símbolos

Δ incremento (es una diferencia)

∑ suma ( se usa un subíndice para decir

cuantos elementos tiene)

θ ángulo

α ángulo con el eje x

β ángulo con el eje y

γ ángulo con el eje z

Términos que se emplean y significado

vectorial1. Paralelo

2. Perpendicular

3. Proyección

4. Desplazamiento

5. Distancia

6. Angulo

7. Triangulo

8. paralelogramo

9. Diagonal mayor del Paralelogramo

10. Diagonal menor del paralelogramo

11. Área del paralelogramo

12. Superficie del triangulo

1. Producto vectorial

2. Producto escalar

3. Producto escalar

4. Diferencia de vectores

5. Modulo de la diferencia

6. Producto escalar

7. Diferencia de vectores

8. Suma de vectores

9. Suma de vectores

10. Diferencia de vectores

11. Modulo del producto vectorial

12. Modulo del producto vectorial/2

Magnitudes vectoriales

Vector de posición r

Velocidad v

Aceleración a

Campo gravitatorio g

Campo eléctrico E

Campo magnético B

Superficie S

Vector propagación

FUERZAS

Peso

Normal

Tensión

Fuerza de rozamiento

Fuerza elástica

Fuerza gravitatoria

Fuerza eléctrica

Fuerza magnética

Fuerza nuclear

Álgebra y calculo vectorial

Álgebra vectorial

Suma

Descomposición

Diferencia

Producto por un escalar

Producto escalar

Producto vectorial

Calculo vectorial

Derivación

Integración vectorial

Escritura de un vector

Mediante letras mayúsculas o

minúsculas.

En negrita

Con una flecha encima

definiciones

coordenadas

Números que se dan para

localizar un punto en el que se

encuentra un cuerpo

Coordenadas

cartesianas x, y, zCoordenadas polares: r y φ

Ejes de coordenadas

cartesianas

Son los ejes x y z

PX

Y

Z

Símbolos de los ángulos

Entre segmentos θ

Con el eje x : φ

Con los ejes x, y, z α, β, γ

hipotenusa

stocatetoopuesen

hipotenusa

iguocatetocontcos

Teorema de Pitágoras y

del coseno (a y b son

módulos de vectores)

22 baR

cos222 abbaR

Formula elemental de

trigonometría

sen 2 θ + cos2 θ = 1

modulo

Valor absoluto del vector

Coincide con la distancia del segmento

222zyx AAAA

Vector unitario

Es el que tiene de modulo la unidad

El símbolo usado para designarlo es –u-con un subíndice que indica su dirección

u r dirección radial

u x dirección x también i

u y dirección y también j

u z dirección z también k

Vectores unitarios ortogonales

Forman 90º entre sí

i

j

k

A

Au

Cosenos directores

• Cosenos de los ángulos que el vector forma con el eje x y z

A

Aycos

A

AxcosA

Azcos

dirección

Línea que contiene al vector

Se expresa por su vector unitario

Vector de posición

Es un vector cuyo origen es el punto 0,0,0

y su extremo el punto considerado

Se representa con la letra r

Vector desplazamiento

Es el vector cuyo origen es el punto de

salida de un móvil y cuyo extremo es el

punto de llegada

Se representa como Δ r

Expresiones de un vector

Mediante tres números entre paréntesis

Mediante el modulo y su vector unitario

Mediante tres vectores unitarios

ortogonales

Mediante su modulo y los cosenos

directores

),,( zyx AAAA

uA

,

kAjAiAA zyx

cos,cos,cos,A

Suma de vectores

Es el vector obtenido trasladando los

vectores y colocando e extremo de uno en

el origen del otro y uniendo origen con

extremo

También se obtiene por la regla del

paralelogramo

¿Cómo se hace la suma?

Teorema del coseno

Sumando las componentes

cos222 ABBABA

kBkAjBjAiBiABA

kBjBiBB

kAjAiAA

zzyyxx

zyx

zyx

¿Qué significado tiene la suma?

Es la diagonal mayor del paralelogramo

formado por los dos vectores

Componentes de un vector

Son las proyecciones sobre los ejes x y z

Descomposición de un vector

Es la operación contraria a la suma

Teniendo el vector obtener las

componentes

¿Como se hace la descomposición de un

vector?

Mediante las formulas del seno y el

coseno

Razón de la descomposición de

vectores

Si tenemos una magnitud

vectorial, podemos hacer las operaciones

en las que interviene mediante el vector o

mediante las componentes.

Descomponemos el vector

Operamos escalarmente las componentes

que es mas fácil

Volvemos a componer el vector

diferencia

Es otro vector obtenido por la regla del

triangulo

¿Cómo se hace la diferencia?

Mediante la regla del coseno

Operando las componentes

¿Qué significa la diferencia?

Es la distancia entre los extremos de los

vectores

Multiplicación por un escalar k

Es el producto del vector por un numero

¿Cómo se hace la multiplicación por un

escalar?

Se multiplica cada una de su

componentes

¿Qué significado tiene la multiplicación

por un escalar?

Es como si agrandáramos o

disminuyéramos el vector k veces

Producto escalar

Es un escalar que se obtiene

multiplicando dos vectores.

¿Cómo se hace el producto

escalarMultiplicando las componentes

Se organiza ordenando los vectores uno

debajo del otro y coincidiendo las

componentes.

Mediante la ecuación A B =A B cosθ

zzyyxx

zyx

zyx

BABABABA

kBjBiBB

kAjAiAA

Aplicaciones del producto

escalarConocer el ángulo entre dos vectores

Saber si son perpendiculares

Producto vectorial

Es el producto de dos vectores

obteniéndose un vector que tiene por

módulo A B sen θ y dirección y sentido

perpendicular al plano formado por los

vectores

¿Cómo se hace el producto vectorial?

Su modulo se obtiene mediante la ecuación

A B = A B sen ө

Su dirección mediante la regla del tornillo

También se llama regla del la mano derecha, del sacacorchos.

Mediante un determinante04163607131 jade

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

BA

Aplicaciones del producto

vectorialHallar el ángulo entre los vectores

Hallar el área del triángulo formado por

ellos

Hallar un vector perpendicular al plano

formado por ellos

Derivada de un vector

Se deriva cada una de sus componentes

Derivadas elementales que se

podrán tener en las pruebasDe una constante = 0

De una potencia: se resta un numero al exponente y se multiplica por el exponente

De una raíz: se convierte en potencia

De un producto: derivada del primero por el segundo + derivada del segundo por el primero

De un cociente: derivada del numerador por el denominador-derivada del denominador por el numerador.

Del seno: el coseno

Del coseno: - el seno

Integración vectorial

Se integra cada una de sus componentes

Integrales elementales que se

podrán tener en las pruebas

De d x es x + C

Las constantes salen fuera de la integral

De una potencia se suma 1 al exponente y se divide

por el numero obtenido.

De una suma o diferencia: suma o diferencia de

integrales

Del seno = - coseno

Del coseno = seno

Notación

Escribir espacio inicial

Escribir posición inicial

Escribir tiempo final

Escribir velocidad en un tiempo t 1

Escribir aceleración en un tiempo t2

Escribir campo eléctrico E en un punto

Desarrollar

∆ x entre dos puntos

∆ t entre el comienzo y el final

∆ t entre dos tiempos cualquiera

∆ e entre la salida y la llegada

∆v entre el comienzo y el final4

1

i

i

ia

2

1

2

1

j

j

j

i

i

i ba

Usando el teorema de pitágoras, el

seno y coseno, y un dibujo

demostrar

222zyx AAAA

22

yx AAA

1cos22sen

Usando el producto por un

escalar y los vectores unitarios

ortogonales i, j, k y las razones

trigonometricas, demostrar.

A

Au

kAjAiAA zyx

cosAAx

cosAAy

cosAAz

problemasLos problemas que a continuación

aparecen no son para practicar

sino problemas tipo donde se

concreta la teoría y que hay que

aprender.

Dado el vector A=(3,4,0)

Expresarlo en función de los vectores unitarios ortogonales.

Hallar su módulo

Hallar su vector unitario

Expresarlo en función de su módulo y vector unitario

Indicar sus componentes

Hallar los cosenos directores

Expresarlo en función de su módulo y cosenos directores

OPERACIONES CON

VECTORESSUMA, RESTA,

MULTIPLICACION,

DESCOMPOSICION, DERIVADA

INTEGRAL.

DESCOMPOSICIÓN: Dado un vector

A en el plano de modulo 10

formando 30º con el eje xHallar la proyección sobre el eje x

Hallar la proyección sobre el eje y

Indicar los cosenos directores

Indicar como se escribe la proyección sobre el eje x

Indicar como se escribe la proyección sobre el eje y

Indicar qué relación existe entre ambas

proyecciones.

Dados los vectores (2,12,3) y

(3,-1,2)Hallar su suma

Hallar su diferencia

Hallar el producto escalar

Hallar el producto del primero por el

escalar 2

Hallar el producto vectorial

Dados dos vectores A y B de

módulos 6 y 8 formando 60 º

Hallar su suma

Hallar su diferencia

Hallar su producto escalar

Hallar el módulo de su producto vectorial

Dado el vector r = (t 3 , t 2, t)

Expresarlo en función de los vectores

unitarios ortogonales

Hallar su derivada

Hallar su integral en función de t

aplicaciones

Demostrar que los vectores (senθ, cos θ)

y (– cos θ, sen θ ) son ortogonales

Realizar todos los productos escalares y

vectoriales posibles de i, j, k

Hallar la derivada del vector (sen θ cos θ).

Hallar el ángulo que forman los

vectores (3,4,0) (4,3,0)

Hallar a para que los vectores

siguientes sean perpendiculares

(2,3,1) y (1,-a,3)

Demostrar que los vectores (3,-2,1)

(2,1,-4) (1,-3,5) forman un triángulo

rectángulo.

Desde un acantilado se dispara un cañón que forma un ángulo de 60º con la horizontal. La bala sale a 200 m/s. Descomponer la velocidad de la bala.

Sobre un péndulo actúan dos fuerzas, el peso hacia el centro de la tierra y la tensión en la dirección de la cuerda y hacia el techo. Elegir un sistema de referencia para descomponer las fuerzas que actúan sobre un péndulo y descomponerlas

Hallar la proyección de (-1,2,1)sobre

(1,-1,2).

Hallar los ángulos del vector (4,-1,3)

con los ejes cartesianos.

Hallar el ángulo que deben formar

dos vector de módulos 3 y 4 para

que su suma sea 5

Hallar un vector unitario

perpendicular al plano formado por

los vectores(1,1,2) y(2,-1,-1) y el

área del triangulo que forman

El módulo de un vector es y forma 90º

con el vector . (2,12,3). Hallar el módulo

de su suma

Los vectores de posición de dos puntos

son 2, 1, 4, y 1, 4, 3 Hallar la expresión

vectorial de los tres lados del triángulo que

forman al unir sus extremos

Un vector tiene su origen en el punto 1,1,1

el módulo del vector de posición de su

extremo es 9. Los cosenos directores son

2/3 1/3 2/3. Hallar el vector desplazamiento

14

Un cuerpo tiene las siguientes ecuaciones

de movimiento: x = 10t y = 5t2

z = 4

A) Hallar el vector velocidad y

aceleración en t = 1 s

B) Hallar la dirección de la

velocidad(vector unitario) y decir si

el movimiento es rectilinbeo o

curvilíneo.

Un cuerpo tiene las siguientes ecuaciones de

movimiento: x = 2sent y =2 cos t z = 0

A) Hallar el vector velocidad y

aceleración en t = s

B) Hallar la dirección de la

velocidad(vector unitario) y decir si el

movimiento es rectilíneo o curvilíneo.

C) Demostrar que el vector de posición y

la aceleración tienen la misma dirección

D) Demostrar que la velocidad y la

aceleración son perpendiculares.

Una fuerza tiene la

expresión F = 2x i. Hallar

el trabajo desde x = 1 a x =

5

W= 12 F dr

Una fuerza tiene la

expresión F = 2 i + 3xj + z

k

Hallal el trabajo desde el

punto (0,0,0) al (1,1,1)

Dada la fuerza F = senx i +

cos x j. Hallar el trabajo desde

el punto 3,4 al 4,3