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Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
LA TRANSFORMADA DE LAPLACEPROPIEDADES OPERACIONALES
Introducción
Con el propósito de ahorrar trabajo, en lugar de utilizar la definición de la Transformada de Laplace en cierto tipo de funciones, conviene la utilización de algunas propiedades que simplifican el proceso.
Estas propiedades se sintetizan enseguida.
Traslación en el eje sPRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN
Si L {f(t)}=F(s) y a es cualquier número real, entonces:
L {eatf(t)}=F(s-a)
Demostración:
De acuerdo con la definición:
)()()()}({ )( asFdttfedttfeetfe tasatstat
00
L
Problemas:
Evalúe:
2
2
24
3
52
3
)(
)}({
}{
s
s
tCose
tet
t
L
L
L
1- 3.
2.
1.
Función escalón unitario
La función escalón unitario U (t-a) se define como:
at
atat
1
00 U )(
Representación de funciones mediante la función escalón unitario
Cuando una función f definida para toda t>0 se multiplica por U (t-a), la función escalón unitario “desactiva” una parte de la gráfica de dicha función.
Por ejemplo, para “desactivar” de la función: f(t)=t-3 la porción de la gráfica de f en el intervalo 0<t<2, simplemente se forma el producto: (t-3) U (t-2)
Representación de funciones mediante la función escalón unitario…
La función escalón unitario también se puede usar para escribir funciones definidas por partes en forma compacta.Por ejemplo, si se consideran los intervalos 0<t<2 y 2<t<3 y los valores correspondientes de U (t-2) y U (t-3), la función
sería: f(t) = 2 – 3 U (t-2) + U (t-3)
30
321
202
t
t
t
tf )(
Representación de funciones mediante la función escalón unitario…
También, la función definida por partes
se puede expresar por: f(t) = g(t) – g(t) U (t-a) + h(t) U (t-a)
De manera similar, una función del tipo:
se escribe: f(t) = g(t)[ U (t-a) - U (t-b)].
atth
attgtf
)(
)()(
0
bt
btatg
at
tf
0
00
)()(
Traslación en el eje tSEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN
Si F(s)= L {f(t)} y a>0, entonces: L { f(t-a)U (t-a) } = e-asF(s).
Demostración:Mediante la propiedad del intervalo aditivo de integrales,
se puede escribir como la suma de dos integrales.
0
dtatatfeatatf st )()()()( UU L
Traslación en el eje tSEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN…
Ahora bien, si v=t-a, dv=dt en esta última integral:
a
st
a
sta
st
dtatfeatatf
dtatatfedtatatfeatatf
)()()(
)()()()()()(
U L
UUU L at0para uno
at0para cero0
).()}({)()()(
)()()( )(
sFetfedvvfeeatatf
dvvfeatatf
asassvas
a
avs
LU L
U L
0
Problemas
Obtenga la Transformada de Laplace para cada una de las funciones indicadas.
ses
tt
at
31
4
13
52232
1
L .
U U L .
U L .
)()(
)(
Derivadas de una transformada
La Transformada de Laplace del producto de una función f(t) con t se puede encontrar mediante diferenciación de la Transformada de Laplace. Supongase que F(s)=L {f(t)} existe y que es posible
intercambiar el orden de diferenciación e integración. Entonces:
)}({)}({
)}({)()]([)()(
tfds
dttf
ttfdtttfedttfes
dttfeds
dsF
ds
d ststst
L L
L
:decir es000
Derivadas de una transformada…
Se puede usar el último resultado para obtener la Transformada de Laplace de t2f(t);
Estos dos casos nos conducen a lo siguiente: Si F(s) = L {f(t)} y n=1, 2, 3, . . . , entonces
)}({)}({
)}({)}(*{)}({
tfds
dtf
ds
d
ds
d
ttfds
dttfttft
L L
L L L
2
2
2
)()()}({ sFds
dtft
n
nnn 1 L
Problema
Evalúe:
L { t Cos(kt) }
Transformadas de integrales(Convolución)
Si las funciones f y g son continuas por partes en [0,+Inf), entonces el producto especial, denotado por f*g, se define mediante la integral:
y se llama convolución de f y g. La convolución de f*g es una función de t
t
dtgfgf0
)()(*
Teorema de convolución
Si f(t) y g(t) son funciones continuas por partes en [0,+Inf) y de orden exponencial, entonces:
L {f*g} = L {f(t)} L {g(t)} = F(s) G(s)
Forma inversa:
L -1{F(s)G(s)} = f*g
Teorema de convolución…
Demostración:
Si se procede de manera formal, se tiene:
0
0
dgetfsG
dfetfsF
Sean
s
s
)()}({)(
)()}({)(
:
L
L
Teorema de convolución…
Manteniendo t fija, se permite que t=+, dt=d, de modo que:
0 0
0 0
00
dgedf
ddgfe
dfedfesGsF
s
s
ss
)()(
)()(
)()()()(
)(
)(
Teorema de convolución…
Puesto que f y g son continuas y de orden exponencial, es posible intercambiar el orden de integración:
dt
gf
dtgfe
dtgfdtesGsF
tst
tst
}*{
)()(
)()()()(
L
0 0
0 0
0
.)()()()( dttgedfsGsF st
Problema
Evalúe
t
dtSene0
)( L
Transformada de una integral
Cuando g(t) = 1, L {g(t)}=G(s)=1/s; el teorema de convolución implica que la Transformada de Laplace de la integral de f es:
De manera inversa:
s
sF
sSFdf
t )()()(
1
0
L
t
dfs
sF
0
1 )()( L
Problema
Obtenga
)( 1
12
1
ss L
Transformada de una función periódica
Si una función periódica tiene un periódo T, T>0, entonces f(t+T)=f(t).
Si f(t) es continua por partes en [0,+Inf), de orden exponencial y periódica en T, entonces:
.)()(
T
st
sTdttfe
etf
01
1 L
Transformada de una función periódica…
Primeramente escribiremos la Transformada como la suma de dos integrales:
Cuando se hace t=u+T, la última integral se convierte en:
De donde:
T
stT
st dttfedttfetf )()()}({0
L
)}({)()()( )( tfeduufeeduTufedttfe sTsusTTus
T
st L
00
.)()(
T
st
sTdttfe
etf
01
1 L
Problema
Si:
y fuera del intervalo [0,2), f(t+2) = f(t)[Función de onda cuadrada]
Determine L {f(t)}.
210
101
t
ttf )(
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