u3 herramientas matematicas
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8/17/2019 U3 Herramientas matematicas
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3.1 Representación de la posición.
• Movimiento Mecánico. Bases para su estudio.
• Métodos vectorial, de coordenadas y natural.
• Magnitudes cinemáticas.
• Movimiento unidimensional y tridimensional.• Movimiento rectilíneo uniformemente variado.
Movimiento rectilíneo uniforme.
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Movimientomecánico
Mecánica delos cuerpos
macroscópicos
Cinética: Rama de laMecánica que sededica a investigar lascausasque provocan elmovimiento mecánico.
Cinemática: Ramade la Mecánica quese dedica a ladescripción delmovimientomecánico sininteresarse por las
causas que loprovocan.
Cinemática de los manipuladores:
Propiedades
geométricas y temporales del
movimiento de brazos articulados
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Como inicio...
• Recuerda que es el producto interno
X∙ = = = +
+ +
∙ = cos
cos = ∙
Practicar con el dot
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Trayectorias punto a punto
En este tipo de trayectorias cada articulación evoluciona desdesu posición inicial hasta su posición final sin hacer ningún tipo deconsideración sobre el estado o evolución del resto de lasarticulaciones. Se pueden distinguir dos casos:
• Movimientoejeaeje sólosemueveunejecadavez, una vezque halla alcanzado su posición lo hará el siguiente. Ofrece unmayor tiempo de ciclo a cambio de un menor consumo depotencia.
• Movimiento simultáneo de ejes todas las articulacionescomienzan a moverse simultáneamente, acabando su
movimiento cada una en un instante diferente. El tiempo totalnecesario coincide con el del eje mas lento, pudiéndose dar lacircunstancia de que el resto de los actuadores hallan forzadosu movimiento particular par finalmente tener que esperar ala más lenta
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Además, se establece que ...
• Cinemática Directa…
q1
q2
q3
X0
Y0
Z0
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q2
Link 2
q1
q3
Link 1
Cinemática Directa…
Link 3
????
X1,Y1,Z1 =???
X2,Y2,Z2 =???
q1(t)
q2(t)
q3(t)
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Posición y Orientación de un Cuerpo en el Espacio...
X0Y0
Z0
j0
k0
i0
O1
O1
Posición del cuerpo
O1
x
O1y
O1z
O1 =
Orientación del cuerpo
i1 = i1x io + i1y jo + i1z ko
j1 = j1x io + j1y jo + j1z ko
k1 = k1x io + k1y jo + k1z ko
i1x = i1 • io
i1y = i1 • jo
i1z = i1 • ko
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P0 = P0x io + P0y jo + P0z k0
Visto desde el SC0
Consideremos solo Orientación...
X0Y0
Z0
j0
k0
i0
i1
k1
j1
P
Pox = P0 • io
Pox = P1 • io = P1x i1 • io + P1y j1 • io + P1z k1 • io
P1 = P1x i1 + P1y j1 + P1z k1
Pero visto desde el SC1
Poy = P1 • jo = P1x i1 • jo + P1y j1 • jo + P1z k1 • jo
Poz = P1 • ko = P1x i1 • ko + P1y j1 • ko + P1z k1 • ko
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Consideremos solo Orientación...
X0Y0
Z0
j0
k0
i0
i1
k1
j1
P
P1 = P1x i1 + P1y j1 + P1z k1
Pero visto desde el SC1
P0 = P0x io + P0y jo + P0z k0
Visto desde el SC0
Pox i1 • io j1 • io k1 • io
Poy
Poz
i1 • jo j1 • jo k1 • jo
i1 • ko j1 • ko k1 • ko
P1x
P1y
P1z
=
Matricialmente tenemos...
Po = R01
*P1
Visto desde el SC0
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Consideremos solo Orientación...
X0Y0
Z0
j0
k0
i0
i1
k1
j1
P
P1 = P1x i1 + P1y j1 + P1z k1
Pero visto desde el SC1
P0 = P0x io + P0y jo + P0z k0
Visto desde el SC0
Pox i1 • io j1 • io k1 • io
Poy
Poz
i1 • jo j1 • jo k1 • jo
i1 • ko j1 • ko k1 • ko
P1x
P1y
P1z
=
Matricialmente tenemos...
Visto desde el SC1
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Consideremos solo Orientación...
X0Y0
Z0
j0
k0
i0
i1
k1
j1
P
Así, la Matriz viene a ser...
Pox
i1 j1 k1PoyPoz
P1x
P1y
P1z
=
Poxi0
j0
k0
Poy
Poz
P1x
P1y
P1z
=
T
T
T
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Consideremos solo Orientación...
Esta Matriz tiene algunas características...
Pox
i1 j1 k1PoyPoz
P1x
P1y
P1z
=
1. Los vectores columna de la matriz son ortogonales...
2. Los vectores columna tienen norma unitaria
3. La matriz R01 es ortogonal... (R T*R=I) y det(R01)=1
(R01 )
-1= (R0
1)T R10 = (R0
1)T
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Consideremos solo Orientación...
1. Representa una matriz de transformación de coordenadas entre dos S.C.
R01 Matriz de Rotación
Esta Matriz tiene varias interpretaciones...
Po = R01 *P1
X0
Y0
Z0
j0
k0
i0
i1
k1
j1
P
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Consideremos solo Orientación...
2.-Representa la orientación de un sistema de coordenadas...
R01 Matriz de Rotación
Esta Matriz tiene varias interpretaciones...
X0
Y0
Z0
j0
k0
i0
i1
k1
j1
P
Pox
i1 j1 k1Poy
Poz
P1x
P1y
P1z
=
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Consideremos solo Orientación...
3.-Representa un operador matricial de rotación vectorial...
R01 Matriz de Rotación
Esta Matriz tiene varias interpretaciones...
Pox
Poy
Poz
P1x
P1y
P1z
= R0
1
α
X
Y
Z
P1
P0
“...La ortogonalidad de la matriz mantienela norma del vector...”
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X0Z0
Y0
Rotaciones elementales...
i1
j1
k1α
α
RZ, α=
cos(α) −sen (α) 0
sen(α) cos (α) 00 0 1
RX, α=
1 0 0
0 cos(α) −sen (α)
0 sen(α) cos (α)
RY, α=
cos(
α) 0sen (
α)0 1 0
-sen(α) 0 cos (α)
“Sentido Positivo de las rotaciones”Z0
Y0X0 X1
Y1
Z1
Y0 Z0
X0
X1
Z1
Y1
j1
k1
i1
k1
i1
j1
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Composición de Matrices de Rotación...
X0
Y0
Z0 Z0
X1
Y1
Z1
X0
Y0
Z0Y0
X1
Y1
Z1
R02=RZ,90*RY,90
R02=RY,90*RZ,90
≠
Ejemplo…Rotaciones elementales R02 =R01R12
R01=RZ,90
R12=RY,90
R02 =R0
1R12
R01=RY,90
R12=RZ,90
Y1
X2
Z2
Y2
X2
Z2
Y2
Z1
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C ©
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Composición de Matrices de Rotación...
X0
Y0
Z0Y0
X1
Y1
Z1R0
2=RY,90*RZ,90
Reinterpretemos la segunda operación …
Z2
X2
Y2Z0
Como operaciones sobre el SC base …
= R02=RZ,90*RY,90Como operaciones sobre el SC actual o móvil …
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Composición de Matrices de Rotación...
R02=R01*R12
Ejemplo…Rotaciones sobre el sistema base
R01=RY, ϕ
R12=??≠RY,90
X0
Y0
Z0
X1
Y1
Z1
ϕ
ϕ
ϕ
θ
ϕ
ϕ
θ
X2
Y2
Z2
θ
“debemos determinar R12”
Y1
Z1
X1
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Composición de Matrices de Rotación...
R02=R01*R12
Usemos rotaciones elementales
R12
=RY, -ϕ * RZ, θ * RY, ϕ
X0
Y0
Z0
X1
Y1
Z1
ϕ ϕ
ϕ
θ
X2
Y2
Z2
θ
ϕ
Z
ϕ
X
θ
X
Y
Z
ϕ
Y
X
Z
R02=RY, ϕ * RY, -ϕ * RZ, θ * RY, ϕ
R02=RZ, θ * RY, ϕ
1RA2DAR0
n=R1*R2*…*Rn
Ley de Composición
de Rotaciones Elementales
R0n=Rn*…R2*R1
Rotaciones Sistema Móvil
Rotaciones Sistema Base
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Rotación alrededor de un eje arbitrario...
Recordando...
X0
Y0
Z0
X1
Y1
Z1
ϕ ϕ
ϕ
θ
X2
Y2
Z2
θ
ϕ
Z
ϕ
X
θ
X
Y
Z
ϕ
Y
X
Z
Alineamos uno de los ejes conel eje de giro…...
Eje de rotación...
Rotamos sobre el eje de giro…
Desalineamos…Devolvemos laalineación inicial…
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Rotación alrededor de un eje arbitrario...
X0
Y0
Z0
α
βφ
rx
ry
rz Rr, φ =RZ, α * RY, β * RZ, φ * RY, -β * RZ, -α
Alinear Giro nos
devolvemos
1RA 2DA
3RA
4TA 5TA
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Rotación alrededor de un eje arbitrario...
X0
Y0
Z0
α
βφ
rx
ry
rz
Rr, φ =RZ, α * RY, β * RZ, φ * RY, -β * RZ, -α
Son matrices elementales de rotación...
( )22
yx
y
rr
rsen
+=α ( )
22cos
yx
x
rr
r
+=α
( ) 22 yx rrsen += β ( ) zr= β cos
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Rotación alrededor de un eje arbitrario...
θ+θ⋅+⋅⋅θ⋅−⋅⋅θ⋅−⋅⋅θ+θ⋅+⋅⋅θ⋅+⋅⋅θ⋅−⋅⋅θ+
=θcosArsenrArrsenrArr
senrArrcosArsenrArr
senrArrsenrArrcosAr
R
zxzyyzx
xzyyzyx
yzxzyxx
,r
2
2
2
( )θ−= cosAdonde 1K
Toda matriz tiene un “eje-ángulo” equivalente
=
333231
232221
131211
rrr
rrrrrr
R
−++
=θ
−
2
13322111
rrrcos
( )
−−−
θ=
1221
3113
2332
2
1
rr
rr
rr
senrr
θ+θ−=θ+=++
θ+++=++
coscoscosArrr
cosArrrrrrzyx
313
3
332211
222
332211
θ=−
θ−−θ+=−
senrrr
senrArrsenrArrrr
x
xzyxzy
22332
2332
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Rotación alrededor de un eje arbitrario...
Ejemplo…
=
001
100
010
R
−++= −
2
1cos 332211
1 rrrθ
( )
−−−
θ=
1221
3113
2332
2
1
rr
rrrr
senrr
011120
2
1cos
2
1000cos ±=
−=
−++= −−θ
( )
−−−=
−−−=
=
1
11
577,0
10
1010
1202
1
120
senrr
θ
X0
Z0
120
rx
ry
rz
X1
Y1
Z1Y0
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Representación mínima de la orientación…
Requerimos sólo de tres parámetros independientes…
“La matriz de rotación da una descripción redundante”
Angulos de EulerSe generan a partír de 3 rotaciones elementales
X
Y
Z
X-Y
X-Z
Y-X
Y-Z
Z-Y
Z-X
X-Y-X
X-Y-Z X-Z-X
X-Z-YY-X-YY-X-Z Y-Z-X
Y-Z-YZ-Y-X
Z-Y-Z Z-X-Y
Z-X-Z
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Angulos de Euler
X0
Y0
Z0
X1
Z1
φ
Y1
φ
φ
Y2
X2
Z2
θ
θθϕ
Z3
X3
Y3
ϕ
ϕ
R01=RZ,Φ
R12=RY,
θ
R02=RZ,
Φ
RY,θ
R23=RZ,Ψ
R03=RZ,Φ RY, θ RZ,Ψ =Reuler
θψ θψ θ−θφψ φ+ψ θφ−ψ φ+ψ θφθφψ φ−ψ θφ−ψ φ−ψ θφ
=csscs
ssccscsscccs
sccssccssccc
Reuler
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Angulos de Roll, Pitch y Yaw
X0
Y0
Z0
X1
Z1
ψ Y1
ψ
Ψ
R01=RX, Ψ
R0
2=RY,θ
RX, Ψ
R03=RZ,Φ RY, θ RX,Ψ =RRPY
ψ θψ θθ−ψ φ−ψ θφψ φ+ψ θφθφψ φ+ψ θφψ φ−ψ θφθφ
=ccscs
sccssccssscs
sscsccsssccc
RRPY
Se generan a partír de 3 rotaciones elementales sobre el sistema base…
Y2
X2
Z2
θ θθ
θ
φZ3
X3
Y3
φ
φ
φ
yhttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
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Transformaciones Homogéneas
X0Y0
Z0
j0
k0
i0
i1
k1
j1
P1
Consideremos también la traslación del objeto rígido
O10 P0
110
100 PR OP ∗+=
Matricialmente…
=
× 1P
10OR
1P 1
31
1
0
1
00
r
r
r
110
00 PA
1PP 13
rr
=
= ×
“representación homogenea”
“Matriz de transformación homogenea”
1
1
0
0
1
1
0
0
10
0
1 PRRORPR ∗+=
1
00110
10
OPP RR T T rrr
−=
yhttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
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Transformaciones Homogéneas
=
× 1
P
10
OR
1
P 1
31
10100 r
“Matriz de Rotación” “Vector de Traslación”
“Vector de Perspectiva” “Escala”
=
×− 1101
0
31
1
01
1
0
1
0 PO
PRR
T T r
r
rr
“La trasformacióninversa”
(A01) T≠A1
0
yhttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
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Transformaciones Homogéneas
X0Y0
Z0
Consideremos algunas traslaciones elementales
d
==
1000
d100
0010
0001
TrasA dz10 ,
X1 Y1
Z1
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
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Transformaciones Homogéneas
X0Y0
Z0
Consideremos algunas traslaciones elementales
X1 Y1
Z1
d
==
1000
0100
0010d001
TrasA dx10 ,
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Transformaciones Homogéneas
X0Y0
Z0
Consideremos algunas traslaciones elementales
X1 Y1
Z1
==
1000
0100
d0100001
TrasA dy10 ,
d
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Transformaciones Homogéneas
X0Y0
Z0
j0
k0
i0
i1
k1
j1
Consideremos varios sistemas…
P1
P0
1
1
0
1
00 PROP ∗+=
22
11
1
1
00
PAP
PAPrr
=
=P2
O10
O12
2
2
1
2
11 PROP ∗+=
2
2
02
2
1
1
01
1
00 PAPAAPAP ===
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