u3 herramientas matematicas

8/17/2019 U3 Herramientas matematicas

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3.1 Representación de la posición.

• Movimiento Mecánico. Bases para su estudio.

• Métodos vectorial, de coordenadas y natural.

• Magnitudes cinemáticas.

• Movimiento unidimensional y tridimensional.• Movimiento rectilíneo uniformemente variado.

Movimiento rectilíneo uniforme.

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Movimientomecánico

Mecánica delos cuerpos

macroscópicos

Cinética: Rama de laMecánica que sededica a investigar lascausasque provocan elmovimiento mecánico.

Cinemática: Ramade la Mecánica quese dedica a ladescripción delmovimientomecánico sininteresarse por las

causas que loprovocan.

Cinemática de los manipuladores:

Propiedades

geométricas y temporales del

movimiento de brazos articulados



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Como inicio...

• Recuerda que es el producto interno

X∙ = = = +

+ +

∙ = cos

cos = ∙

Practicar con el dot



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Trayectorias punto a punto

En este tipo de trayectorias cada articulación evoluciona desdesu posición inicial hasta su posición final sin hacer ningún tipo deconsideración sobre el estado o evolución del resto de lasarticulaciones. Se pueden distinguir dos casos:

• Movimientoejeaeje sólosemueveunejecadavez, una vezque halla alcanzado su posición lo hará el siguiente. Ofrece unmayor tiempo de ciclo a cambio de un menor consumo depotencia.

• Movimiento simultáneo de ejes todas las articulacionescomienzan a moverse simultáneamente, acabando su

movimiento cada una en un instante diferente. El tiempo totalnecesario coincide con el del eje mas lento, pudiéndose dar lacircunstancia de que el resto de los actuadores hallan forzadosu movimiento particular par finalmente tener que esperar ala más lenta



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Además, se establece que ...

• Cinemática Directa…

q1

q2

q3

X0

Y0

Z0



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q2

Link 2

q1

q3

Link 1

Cinemática Directa…

Link 3

????

X1,Y1,Z1 =???

X2,Y2,Z2 =???

q1(t)

q2(t)

q3(t)



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Posición y Orientación de un Cuerpo en el Espacio...

X0Y0

Z0

j0

k0

i0

O1

O1

Posición del cuerpo

O1

x

O1y

O1z

O1 =

Orientación del cuerpo

i1 = i1x io + i1y jo + i1z ko

j1 = j1x io + j1y jo + j1z ko

k1 = k1x io + k1y jo + k1z ko

i1x = i1 • io

i1y = i1 • jo

i1z = i1 • ko



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P0 = P0x io + P0y jo + P0z k0

Visto desde el SC0

Consideremos solo Orientación...

X0Y0

Z0

j0

k0

i0

i1

k1

j1

P

Pox = P0 • io

Pox = P1 • io = P1x i1 • io + P1y j1 • io + P1z k1 • io

P1 = P1x i1 + P1y j1 + P1z k1

Pero visto desde el SC1

Poy = P1 • jo = P1x i1 • jo + P1y j1 • jo + P1z k1 • jo

Poz = P1 • ko = P1x i1 • ko + P1y j1 • ko + P1z k1 • ko



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X0Y0

Z0

j0

k0

i0

i1

k1

j1

P

P1 = P1x i1 + P1y j1 + P1z k1



Visto desde el SC0

Pox i1 • io j1 • io k1 • io

Poy

Poz

i1 • jo j1 • jo k1 • jo

i1 • ko j1 • ko k1 • ko

P1x

P1y

P1z

=

Matricialmente tenemos...

Po = R01

*P1

Visto desde el SC0



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X0Y0

Z0

j0

k0

i0

i1

k1

j1

P

P1 = P1x i1 + P1y j1 + P1z k1



Visto desde el SC0

Pox i1 • io j1 • io k1 • io

Poy

Poz

i1 • jo j1 • jo k1 • jo

i1 • ko j1 • ko k1 • ko

P1x

P1y

P1z

=

Matricialmente tenemos...

Visto desde el SC1



11/35


X0Y0

Z0

j0

k0

i0

i1

k1

j1

P

Así, la Matriz viene a ser...

Pox

i1 j1 k1PoyPoz

P1x

P1y

P1z

=

Poxi0

j0

k0

Poy

Poz

P1x

P1y

P1z

=

T

T

T



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Esta Matriz tiene algunas características...

Pox

i1 j1 k1PoyPoz

P1x

P1y

P1z

=

1. Los vectores columna de la matriz son ortogonales...

2. Los vectores columna tienen norma unitaria

3. La matriz R01 es ortogonal... (R T*R=I) y det(R01)=1

(R01 )

-1= (R0

1)T R10 = (R0

1)T



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1. Representa una matriz de transformación de coordenadas entre dos S.C.

R01 Matriz de Rotación

Esta Matriz tiene varias interpretaciones...

Po = R01 *P1

X0

Y0

Z0

j0

k0

i0

i1

k1

j1

P



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2.-Representa la orientación de un sistema de coordenadas...



X0

Y0

Z0

j0

k0

i0

i1

k1

j1

P

Pox

i1 j1 k1Poy

Poz

P1x

P1y

P1z

=



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3.-Representa un operador matricial de rotación vectorial...



Pox

Poy

Poz

P1x

P1y

P1z

= R0

1

α

X

Y

Z

P1

P0

“...La ortogonalidad de la matriz mantienela norma del vector...”



16/35

X0Z0

Y0

Rotaciones elementales...

i1

j1

k1α

α

RZ, α=

cos(α) −sen (α) 0

sen(α) cos (α) 00 0 1

RX, α=

1 0 0

0 cos(α) −sen (α)

0 sen(α) cos (α)

RY, α=

cos(

α) 0sen (

α)0 1 0

-sen(α) 0 cos (α)

“Sentido Positivo de las rotaciones”Z0

Y0X0 X1

Y1

Z1

Y0 Z0

X0

X1

Z1

Y1

j1

k1

i1

k1

i1

j1



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Composición de Matrices de Rotación...

X0

Y0

Z0 Z0

X1

Y1

Z1

X0

Y0

Z0Y0

X1

Y1

Z1

R02=RZ,90*RY,90

R02=RY,90*RZ,90

≠

Ejemplo…Rotaciones elementales R02 =R01R12

R01=RZ,90

R12=RY,90

R02 =R0

1R12

R01=RY,90

R12=RZ,90

Y1

X2

Z2

Y2

X2

Z2

Y2

Z1


C ©


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X0

Y0

Z0Y0

X1

Y1

Z1R0

2=RY,90*RZ,90

Reinterpretemos la segunda operación …

Z2

X2

Y2Z0

Como operaciones sobre el SC base …

= R02=RZ,90*RY,90Como operaciones sobre el SC actual o móvil …


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R02=R01*R12

Ejemplo…Rotaciones sobre el sistema base

R01=RY, ϕ

R12=??≠RY,90

X0

Y0

Z0

X1

Y1

Z1

ϕ

ϕ

ϕ

θ

ϕ

ϕ

θ

X2

Y2

Z2

θ

“debemos determinar R12”

Y1

Z1

X1


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R02=R01*R12

Usemos rotaciones elementales

R12

=RY, -ϕ * RZ, θ * RY, ϕ

X0

Y0

Z0

X1

Y1

Z1

ϕ ϕ

ϕ

θ

X2

Y2

Z2

θ

ϕ

Z

ϕ

X

θ

X

Y

Z

ϕ

Y

X

Z

R02=RY, ϕ * RY, -ϕ * RZ, θ * RY, ϕ

R02=RZ, θ * RY, ϕ

1RA2DAR0

n=R1*R2*…*Rn

Ley de Composición

de Rotaciones Elementales

R0n=Rn*…R2*R1

Rotaciones Sistema Móvil

Rotaciones Sistema Base


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Rotación alrededor de un eje arbitrario...

Recordando...

X0

Y0

Z0

X1

Y1

Z1

ϕ ϕ

ϕ

θ

X2

Y2

Z2

θ

ϕ

Z

ϕ

X

θ

X

Y

Z

ϕ

Y

X

Z

Alineamos uno de los ejes conel eje de giro…...

Eje de rotación...

Rotamos sobre el eje de giro…

Desalineamos…Devolvemos laalineación inicial…




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X0

Y0

Z0

α

βφ

rx

ry

rz Rr, φ =RZ, α * RY, β * RZ, φ * RY, -β * RZ, -α

Alinear Giro nos

devolvemos

1RA 2DA

3RA

4TA 5TA




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X0

Y0

Z0

α

βφ

rx

ry

rz

Rr, φ =RZ, α * RY, β * RZ, φ * RY, -β * RZ, -α

Son matrices elementales de rotación...

( )22

yx

y

rr

rsen

+=α ( )

22cos

yx

x

rr

r

+=α

( ) 22 yx rrsen += β ( ) zr= β cos




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θ+θ⋅+⋅⋅θ⋅−⋅⋅θ⋅−⋅⋅θ+θ⋅+⋅⋅θ⋅+⋅⋅θ⋅−⋅⋅θ+

=θcosArsenrArrsenrArr

senrArrcosArsenrArr

senrArrsenrArrcosAr

R

zxzyyzx

xzyyzyx

yzxzyxx

,r

2

2

2

( )θ−= cosAdonde 1K

Toda matriz tiene un “eje-ángulo” equivalente

=

333231

232221

131211

rrr

rrrrrr

R

−++

=θ

−

2

13322111

rrrcos

( )

−−−

θ=

1221

3113

2332

2

1

rr

rr

rr

senrr

θ+θ−=θ+=++

θ+++=++

coscoscosArrr

cosArrrrrrzyx

313

3

332211

222

332211

θ=−

θ−−θ+=−

senrrr

senrArrsenrArrrr

x

xzyxzy

22332

2332




26/35


Ejemplo…

=

001

100

010

R

−++= −

2

1cos 332211

1 rrrθ

( )

−−−

θ=

1221

3113

2332

2

1

rr

rrrr

senrr

011120

2

1cos

2

1000cos ±=

−=

−++= −−θ

( )

−−−=

−−−=

=

1

11

577,0

10

1010

1202

1

120

senrr

θ

X0

Z0

120

rx

ry

rz

X1

Y1

Z1Y0




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Representación mínima de la orientación…

Requerimos sólo de tres parámetros independientes…

“La matriz de rotación da una descripción redundante”

Angulos de EulerSe generan a partír de 3 rotaciones elementales

X

Y

Z

X-Y

X-Z

Y-X

Y-Z

Z-Y

Z-X

X-Y-X

X-Y-Z X-Z-X

X-Z-YY-X-YY-X-Z Y-Z-X

Y-Z-YZ-Y-X

Z-Y-Z Z-X-Y

Z-X-Z




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Angulos de Euler

X0

Y0

Z0

X1

Z1

φ

Y1

φ

φ

Y2

X2

Z2

θ

θθϕ

Z3

X3

Y3

ϕ

ϕ

R01=RZ,Φ

R12=RY,

θ

R02=RZ,

Φ

RY,θ

R23=RZ,Ψ

R03=RZ,Φ RY, θ RZ,Ψ =Reuler

θψ θψ θ−θφψ φ+ψ θφ−ψ φ+ψ θφθφψ φ−ψ θφ−ψ φ−ψ θφ

=csscs

ssccscsscccs

sccssccssccc

Reuler




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Angulos de Roll, Pitch y Yaw

X0

Y0

Z0

X1

Z1

ψ Y1

ψ

Ψ

R01=RX, Ψ

R0

2=RY,θ

RX, Ψ

R03=RZ,Φ RY, θ RX,Ψ =RRPY

ψ θψ θθ−ψ φ−ψ θφψ φ+ψ θφθφψ φ+ψ θφψ φ−ψ θφθφ

=ccscs

sccssccssscs

sscsccsssccc

RRPY

Se generan a partír de 3 rotaciones elementales sobre el sistema base…

Y2

X2

Z2

θ θθ

θ

φZ3

X3

Y3

φ

φ

φ

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Transformaciones Homogéneas

X0Y0

Z0

j0

k0

i0

i1

k1

j1

P1

Consideremos también la traslación del objeto rígido

O10 P0

110

100 PR OP ∗+=

Matricialmente…

=

× 1P

10OR

1P 1

31

1

0

1

00

r

r

r

110

00 PA

1PP 13

rr

=

= ×

“representación homogenea”

“Matriz de transformación homogenea”

1

1

0

0

1

1

0

0

10

0

1 PRRORPR ∗+=

1

00110

10

OPP RR T T rrr

−=




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=

× 1

P

10

OR

1

P 1

31

10100 r

“Matriz de Rotación” “Vector de Traslación”

“Vector de Perspectiva” “Escala”

=

×− 1101

0

31

1

01

1

0

1

0 PO

PRR

T T r

r

rr

“La trasformacióninversa”

(A01) T≠A1

0




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X0Y0

Z0

Consideremos algunas traslaciones elementales

d

==

1000

d100

0010

0001

TrasA dz10 ,

X1 Y1

Z1

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X0Y0

Z0


X1 Y1

Z1

d

==

1000

0100

0010d001

TrasA dx10 ,


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34/35


X0Y0

Z0


X1 Y1

Z1

==

1000

0100

d0100001

TrasA dy10 ,

d


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X0Y0

Z0

j0

k0

i0

i1

k1

j1

Consideremos varios sistemas…

P1

P0

1

1

0

1

00 PROP ∗+=

22

11

1

1

00

PAP

PAPrr

=

=P2

O10

O12

2

2

1

2

11 PROP ∗+=

2

2

02

2

1

1

01

1

00 PAPAAPAP ===


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