triangulos rectangulos
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Triángulos Rectángulos
Prof. Carmen Batiz
UGHS
Llena la tabla siguiente con la información que se te ofrecerá másadelante.
Medidasde los lados
Cuadradode los lados
a b C a b c
∆A
∆B
∆C
∆D
AB
CD
1. ¿Qué puedes observar de los resultados de la tabla? 2. ¿Qué puedes concluir en cuanto a la relación que tienen los lados de deun triángulo rectángulo ?
Teorema de Pitágoras
a2 + b2 = c2
En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los lados es igual al cuadrado de
la hipotenusa
El tamaño de un televisor rectángulares dado por la diagonal de de la
pantalla. ¿Cuál es el tamaño de la pantalla?
16.2 “
21.6”
La altura de un rectángulo mide 21.6 y su ancho mide 16.2. Halla la diagonal
del rectángulo.
a² + b² = c²
16.2 “ (16.2)2 + (21.6) = c²
26 2.44 + 466.56 = c²
729 = c²
21.6” c = 27
La diagonal de un rectángulo mide 20”. Un lado del rectángulo mide 12 “. Halla la medida del otro lado del
rectánglo.
La diagonal de un rectángulo mide 20”. Un lado del rectángulo mide 12 “. Halla la medida del otro lado del
rectánglo.
12” 20”
a² + b² = c²
(12² + b² = (20) ²
144+ b² = 400b² = 400 – 144b² = 256b = 16
Los lados de un tríangulo son dados. Determina si éstos forman un triángulo rectángulo.
1. 15, 25, 20
2. 8, 13, 10
Los lados de un tríangulo son dados. Determina si éstos forman un triángulo rectángulo.
1. 15, 25, 20
2. 8, 13, 10
1. a2 + b2 = c2(15)² + (20) ² = (25) ²
225 + 400 = 625625 = 625
2. (8) ² + (10) ² = (13) ²
64 + 100 = 169164 ≠ 169
Teorema de triángulos rectángulossemejantes
Si la altura esta trazada en la hipotenusa de un triángulo rectángulo, entonces los dos ángulos formados son semejantes a la figura del triángulo original y a cada otra.
C
B
D
A
∆ABC ~ ∆ACD ~∆CBD
Teorema de triángulos rectángulossemejantes
En el ∆ ABC , AB es la hipotenusa y los lados son AC y CB.
En el ∆ ACD , AC es la hipotenusa y los lados son CD y AD.
En el ∆ ACD , CB es la hipotenusa y los lados son CD y DB.
C
B
D
A
Teorema de triángulos rectángulossemejantes
Por lo tanto cada uno de éstos lados son correspondientes y se pueden expresar como:
Si ∆ ABC ~ ∆ CBD, entonces AB = CB
BC BDC
B
D
A
Ejemplos:
Completa:
1. QS = ?
RS PS
2. QS = ?
QR QP
3. RQ = PR
RS ?
P
R Q
S
contestaciones:
Completa:
1. QS = ? RSRS PS
2. QS = ? PR
QR QP3. RQ = PR RS
RS ?
P
R Q
S
∆MNQ, XY es la altura de la hipotenusa de MN. Identifica los triángulos semejantes.
N
M
X
Y
∆MNX, XY es la altura de la hipotenusade MN. Identifica los triángulossemejantes.
N
M
X
Y∆ MNX ~ ∆MXY ~ ∆NXY
Ejercicio
Utiliza el diagrama para completar cada proporción.
1. b = a 2. b + c = da ? d ?
3. ? = e 4. d = b + ce c ? a
MN
P
L
b c
da
e
Contestaciones
Utiliza el diagrama para completar cada proporción.
1. b = a 2. b + c = da ? d ?
3. ? = d 4. d = b + ce c ? a
MN
P
L
b c
da
e
e
b + cc
b
Encuentra la medida de x, y y zA
c B
D
yx
6
10
z
Encuentra la medida de x, y y zA
c B
D
yx
6
10
z∆ABC ~ ∆ACD ~ ∆BCDPOR LO TANTO:
AB = AC 16 = Y Y² = 96 AC AD Y 6 Y = =
(6) ² + X² = 9636 + X² = 96
X² = 96- 36X = 60
X2 + (10) ² = Z²
60 + 100 = Z²
160 = Z²
Z = =
96 64
160 104
Utiliza el diagrama para hallar AO, OC.
AO
C
y
x
Utiliza el diagrama para hallar AO, OC.
A
O
C
y
x
AO = 10 unidadesEn cambio OC se buscacon la f’ormula de distancia:
85 OC
49 36 OC
7)-(0 6)²-0 ( OC
)y–(y )²– x x( OC
2
2
2121
Halla la distancia entre los puntos(-4,6) y ( 0,3)
5
25
9 16
6)-(3 (-4))² -0 (
)y–(y )²– x x(
2
2
2121
Halla la distancia entre los puntos(-4,6) y ( 0,3)
5
= ( x₂ – x₁)² + (y₂–y₁) 2
= (0-(-4)² + (3 -6) ²
= 16 + 9= 85
Relaciones de Triángulos Rectángulos
Triángulo 45⁰- 45⁰- 90⁰
en este caso el triángulo es isósceles.
Triángulo 30⁰-60⁰-90⁰
45⁰
45⁰
a
a
30⁰
a
60⁰
2a3a
2a
45º,45º, 90º
2a
2
45º
45º
a
a
Si los dos ángulos de un triángulo
rectángulo rectángulo miden
45º, entonces la hipotenusa mide
veces la medida de sus lados.
EJEMPLO 1:
45º
45º
10
10
Halla la medida de la hipotenusa.
Contestación 1:
45º
45º
10
10
Halla la medida de la hipotenusa.
210
EJEMPLO 2:
8
Halla la medida de los catetos.
Contestación 2:
.22- mida que ladoun hay
no porque negativo el elimina se 22
32
264
8
2
2
222
x
x
x
xx
8
Halla la medida de los catetos.
30º,60º, 90º
3a
3
30º
a
2a
Si los dos ángulos de un triángulo
rectángulo miden 30º y 60º
entonces la hipotenusa mide
dos veces la medida del lado corto
y la medida del otro lado es
veces la medida del lado corto.
60º
Ejercicio 3
30º
15
Halla la medida de los catetos.
60º
Contestación 3
35.7
3
30º
El lado más corto es la mitad
de la hipotenusa.
15
Halla la medida de los catetos.
60º
7.5
El lado más largo es
veces el lado corto.
Ejercicio 4
30º 8
Halla la medida de el cateto y la
hipotenusa.
60º
Contestación 4:
38
3
30º 8
Halla la medida de el cateto y la
hipotenusa.
60ºLa hipotenusa es el doble del lado
corto, que es 8. Por lo tanto la
hipotenusa mide 16.
16
El otro lado es veces el lado
corto.
38
Halla la medida exacta deconocida de cada lado del triangulo.
1. 2.
3. 4.
A
F
E
D
R
Q
P
B
AC
B
C
7
5 2
45⁰
530⁰
60⁰
30⁰
60⁰
7
Halla la medida exacta deconocida de cada lado del triángulo.
1. 2.
3. 4.
A
F
E
D
R
Q
P
B
AC
B
C
745⁰
530⁰
60⁰
30⁰
60⁰
7
3
341 BA
3
37 BC 4.
3 5 PR
10 PQ 3.
5 FE
5 DF 2.
7 CB
2 7 AB 1.
25
TRIGONOMETRÍA
sen A = opuesto
hipotenusa
cos A = adyacente
hipotenusa
tan A = opuesto
adyacente
Para recordarte: sohcahtoa
B
AC
Encuentra los valores de las variables en cada figura.
1. 2.
Encuentra los valores de las variables en cada figura.
1. 2.
La información que estan dandoes opuesto e hipotenusa por lo tanto utilizaremos:
sen x = 6 3 = 312 2
x = 60⁰
La información que estan dandoes adyacente y opuesto por lo tanto utilizaremos:
tan 15⁰ = 20 = z
z = 20 tan 15⁰ z ≈ 5.4
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