tipos de ecuaciones
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COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS REY
AREA DE TECNOLOGIA E INFORMATICA
TIPOS DE ECUACIONES
11°B
VALENTINA VALENCIA MARIN
JORGE IVÁN SUAREZ
ARMENIA, QUINDIO
2015
Contenido Ecuación lineal .............................................................................................................................................. 4
Ejemplo de ecuaciones lineales (vitutor ) ................................................................................................. 4
Ecuación cuadrática ...................................................................................................................................... 7
Ejemplo de ecuaciones cuadráticas: (vitutor) ........................................................................................... 7
Ecuaciones racionales ................................................................................................................................. 10
Ejemplos de ecuaciones racionales: (matematicas y listo ) .................................................................... 10
Ecuaciones logarítmicas .............................................................................................................................. 13
Ejemplos de ecuaciones logarítmicas: (wikimate) .................................................................................. 13
Bibliografía .................................................................................................................................................. 16
Tabla de ilustraciones
Ilustración 1. ecuacion lineal ........................................................................................... 4
Ilustración 2. ecuacion cuadratica ................................................................................... 7
Ilustración 3.ecuacion racional ...................................................................................... 10
Ilustración 4. ecuacion logaritmica ................................................................................ 13
Ecuación lineal
Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de
igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene
productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y
restas de una variable a la primera potencia. En todo anillo conmutativo pueden
definirse ecuaciones de primer grado. (wikipedia)
Una ecuación lineal con n incógnitas es cualquier expresión del tipo: a1x1 + a2x2 +
a3x3 + ... + anxn = b, donde ai, b Pertenece
Los valores ai se denominan coeficientes,
b es el término independiente.
Los valores xi son las incógnitas. (vitutor)
Ilustración 1. ecuacion lineal
Ejemplo de ecuaciones lineales (vitutor )
4(𝑥 + 10) = −6(2 − 𝑥) − 6𝑥
Realizamos distributiva
4𝑥 − 40 = −12 − 6𝑥 − 6𝑥
Pasamos los números con x aun lado y los números normales al otro
4𝑥 − 6𝑥 + 6𝑥 = −12 + 40
Sumamos o restamos si es necesario
4𝑥 = 28
Despejamos la x pasando el 4 a dividir
𝑥 =28
4
𝑥 = 7
28(6𝑥−7
4+
3𝑥−5
7) = 28 (
5𝑥+78
28)
Primero se pretende “eliminar” el denominador 28 del segundo miembro; para ello se
multiplican ambos miembros por 28, de modo que en el segundo miembro el producto
se eliminará con el denominador. En el caso del primer miembro se podrán hacer las
divisiones con los respectivos denominadores, de modo que 28/4 queda en un factor 7 y
28/7 queda en el factor 4.
28 (6𝑥 − 7
4) + 28 (
3𝑥 − 5
7) = 28(
5𝑥 + 78
28)
Se realizan los productos distributivos que quedan planteados (habiendo eliminado ya
los denominadores correspondientes)
7(6𝑥 − 7) + 4(3𝑥 − 5) = 1(5𝑥 + 78)
42𝑥 − 49 + 12𝑥 − 20 = 5𝑥 + 78
54𝑥 − 69 = 5𝑥 + 78
Se agrupan los términos en x en el primer miembro de la igualdad y los términos sin x
en el segundo miembro.
54𝑥 − 5𝑥 = 78 + 69
4) Se realizan operaciones y se halla el resultado final.
49𝑥 = 147
𝑥 = 3
4
𝑥−3=
5
𝑥−2
Hacemos una multiplicación en cruz que queda de la siguiente manera
4(𝑥 − 2) = 5(𝑥 − 3)
Se hace distributiva
4𝑥 − 8 = 5𝑥 − 15
Separe los números con x a un lado y los normales al otro y opere
15 − 8 = 5𝑥 − 4𝑥
7 = 𝑥
Ecuación cuadrática
Una ecuación algebraica de segundo grado1 2 o simplemente ecuación cuadrática de
una variable es una ecuación algebraica que conlleva una expresión algebraica de
términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser
representada por un trinomio de segundo grado o binomio de segundo grado. La
expresión general de una ecuación cuadrática de una variable es:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Donde x representa la variable, y donde a, b y c son números enteros ; a es el
coeficiente cuadrático o principal (distinto de 0), b el coeficiente lineal o coeficiente del
término de primer grado, y c es el término independiente. (wikipedia)
Ilustración 2. ecuacion cuadratica
Ejemplo de ecuaciones cuadráticas: (vitutor)
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0
Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación
cuadrática a la siguiente fórmula:
5±√52−4∗6
2 =
𝟓±√𝟐𝟓−𝟐𝟒
𝟐=
𝟓±√𝟏
𝟐=
𝟓±𝟏
𝟐 =
𝑥 = 3 𝑜 𝑥 = 2
𝑥2 + (7 − 𝑥)2 = 25
Hacemos binomio al cuadrado
𝑥2 + 49 − 14𝑥 + 𝑥2 = 25
Pasamos el 25 al otro lado y operamos
2𝑥2 − 14𝑥 + 24 = 0
Dividimos todo entre 2
𝑥2 − 7𝑥 + 12 = 0
𝑥 =7±√49−48
2 =
7±1
2 = 𝑥1 = 4; 𝑥2 = 3
−𝑥2 + 7𝑥 − 10 = 0
Multiplicamos todo por -1
(−1) ∗ (−𝑥2 + 7𝑥 − 10) = (−1) ∗ 0
𝑥2 − 7𝑥 + 10 = 0
Ecuaciones racionales
una ecuación Racional o Fraccionaria , es aquella en la cual la variable aparece en el
denominador de al menos un término de la ecuación.
Las ecuaciones racionales son de la forma:
P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x)≠0. (ecuaciones racionales)
Ilustración 3.ecuacion racional
Ejemplos de ecuaciones racionales: (matematicas y listo )
3
𝑥2−1+
𝑥+2
𝑥−1=
𝑥
𝑥+1
Con el primer denominador hacemos factorización
3
(𝑥+1)(𝑥−1)+
𝑥+2
𝑥−1=
𝑥
𝑥+1
Hacemos suma de fraccionarios
3+(𝑥+2)(𝑥+1)
(𝑥+1)(𝑥−1)=
𝑥(𝑥−1)
(𝑥+1)(𝑥−1)
Cancelamos los denominadores
3 + (𝑥 + 2)(𝑥 + 1) = 𝑥(𝑥 − 1)
Hacemos distributiva
3 + 𝑥2 + 𝑥 + 2𝑥 + 2 = 𝑥2 − 𝑥
Cancelamos las variables que se puedan y agrupamos
3𝑥 + 𝑥 = −2 − 3
Sumamos o restamos
4x = −5
Despejamos
𝑥 = − 5 4⁄
3
𝑥−
2
𝑥2 +5𝑥−2
𝑥= 5
Buscar el denominador común entre los denominadores del primer miembro y hacemos
suma de fraccionarios
3𝑥 − 2 + (5𝑥 − 2) ∗ 𝑥
𝑥2=
5𝑥2
𝑥2
Cancelar el denominador común y hacemos distributiva
3x − 2 + 5x2 − 2x = 5x2
Resolver la ecuación mediante sumas y restas y finalmente despeje
3𝑥 − 2𝑥 = 2
𝑥 = 2
7+𝑥
𝑥+5=
𝑥+3
𝑥+2
Buscar el denominador común entre los denominadores de ambos miembros
(𝑥 + 5)(𝑥 + 2)
Ahora hacemos suma de fracciones en la que se Modifica los numeradores como en la
suma de fracciones:
(7 + 𝑥)(𝑥 + 2)
(𝑥 + 5)(𝑥 + 2)=
(𝑥 + 3)(𝑥 + 5)
(𝑥 + 5)(𝑥 + 2)
Cancelar el denominador común en ambos miembros
(7 + 𝑥)(𝑥 + 2) = (𝑥 + 3)(𝑥 + 5)
Hacemos distributiva
7𝑥 + 14 + 𝑥2 + 2𝑥 = 𝑥2 + 5𝑥 + 3𝑥 + 15
Resolver la ecuación
9𝑥 + 𝑥2 − 𝑥2 − 5𝑥 − 3𝑥 = 15 − 14
𝑥 = 1
Ecuaciones logarítmicas
Una ecuación logarítmica es una ecuación en la que la incógnita se encuentra dentro
del argumento del logaritmo o bien como base del logaritmo.
El logaritmo que suele aparecer en las ecuaciones logarítmicas es el decimal o el
neperiano y, normalmente, siempre la misma base en toda la ecuación.
La forma de resolverlas es la misma cualquiera que sea la base del logaritmo, por lo
que en este tema vamos a simbolizar los logaritmos como log, entendiendo que la base
es 10, mientras no digamos lo contrario. (Cuervo)
Ilustración 4. ecuacion logaritmica
Ejemplos de ecuaciones logarítmicas: (wikimate)
log4(5𝑥 + 6) = 4
Convertimos la ecuación en exponencial
5𝑥 + 6 = 44
Resolvemos el número elevado
5𝑥 + 6 = 256
Ponemos los números con x a un lado y los normales al otro
5𝑥 = 250
Despejamos
𝑥 = 50
3 log 𝑥 = log 25 + log 𝑥
Paso el 3 a la potencia de x
log 𝑥3 = log 25
Cancelamos los log
𝑥3 = 25𝑥
Pasamos el 25 para el otro lado y hacemos factor común
𝑥(𝑥2 − 25) = 0
Hacemos factorización
𝑥(𝑥 + 5)(𝑥 − 5) = 0
Por tanto x es igual
A 𝑥 = 5 𝑥 = −5 𝑥 = 0
El único válido es el primero porque es necesario que sea mayor que 0
X=5
log2 𝑥2 − log2(𝑥 −3
4)=2
Pasamos a dividir el segundo logaritmo y a elevar la igualdad
log2(𝑥2
𝑥 −34
) = log2 4
Cancelamos los log
𝑥2
𝑥 −34
= 4
Pasamos lo que está dividiendo a multiplicar
𝑥2 = 4𝑥 − 3
Pasamos todo a un lado
𝑥2 − 4𝑥 + 3
𝑥 =4±√16−12
2 = 𝑥1 = 3, 𝑥2 = 1
Bibliografía
Cuervo, l. S. (s.f.). Descartes 2D. Recuperado el 1 de noviembre de 2015, de Descartes 2D:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Ecuaciones_exponenciale
s_logaritmicas/Ecuaciones_logaritmicas.htm
ecuaciones racionales. (s.f.). Recuperado el 01 de noviembre de 2015, de ecuaciones racionales:
https://everfrank90.wordpress.com/category/uncategorized/
matematicas y listo . (s.f.). Recuperado el 01 de noviembre de 2015, de matematicas y listo :
http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/racecuac.htm
vitutor. (s.f.). Recuperado el 01 de noviembre de noviembre, de vituror:
http://www.ditutor.com/sistemas_1/ecuaciones_lineales.html
vitutor. (s.f.). Recuperado el 01 de noviembre de 2015, de vitutor:
http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/2_e.html
vitutor . (s.f.). Recuperado el 01 de noviembre de 2015, de vitutor:
http://www.vitutor.net/2/7/ecuaciones_lineales.html
wikimate. (s.f.). Recuperado el 01 de noviembre de 2015, de wikimate:
https://wikimate.wikispaces.com/Ecuaciones+logar%C3%ADtmicas
wikipedia. (s.f.). Recuperado el 01 de noviembre de 2015, de wikipedia :
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_primer_grado
wikipedia. (s.f.). Recuperado el 01 de noviembre de 2015, de wikipedia:
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_segundo_grado
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