teorema del seno y el coseno

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANÁLITICA

JAVIER DARIO BALLENANA DEISI MUÑOZ

GLEYVER ANDRES GONZALEZEDWIN LIBARDO CARDENAS

FABIAN RINCON RINCON

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAUNAD

INTRODUCCIÓNLa trigonometría es de gran utilidad en la solución de problemas de medición de longitudes difíciles para el ser humano, tales como la altura de las montañas, la altura de árboles y la anchura de ríos y lagos, entre otros.En este blog nos centraremos, en la forma de resolver un triángulo de cualquier tipo, llámese triángulo Isósceles, Escaleno o Equilátero; para lo cual haremos uso de dos teoremas muy importantes en trigonometría.Recordemos que solucionar o resolver un triángulo consiste en hallar la longitud de todos sus lados, así como la medida de sus ángulos internos.

Gracias a las razones trigonométricas y al Teorema de Pitágoras, es posible dar solución a un triángulo rectángulo; pero, como no todos los triángulos poseen las mismas características de estos; se hizo necesario desarrollar dos teoremas que dieran solución a cualquier tipo de triángulos. Estos teoremas se conocen con el nombre de Teorema del Seno y el Teorema del Coseno.

Teorema del senoLa ley del Seno se utiliza para solucionar un triángulo oblicuángulo cuando se conoce un lado y dos ángulos o cuando se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.Para un triángulo con lados a,b y c y ángulos opuestos a cada lado A,B y C respectivamente, se cumple:

𝒂

𝑺𝒆𝒏 𝑨=

𝒃

𝑺𝒆𝒏 𝑩=

𝒄

𝑺𝒆𝒏 𝑪

Es decir, en todo triángulo oblicuángulo la medida de los lados es directamente proporcional al seno de los ángulos opuestos.La ley del Seno se puede demostrar de la siguiente manera:En un triángulo 𝐴𝐵𝐶 se traza una altura ℎ, y se obtienen dos triángulos rectángulos 𝐴𝐷𝐶 y 𝐷𝐶𝐵(figura).

C

A BD

b a

d

h

c

(figura 1).

La ley del Coseno se utiliza para resolver un triángulo oblicuángulo cuando se conocen los tres lados del triángulo o cuando se conocen dos lados del triángulo y el ángulo comprendido entre ellos.Para un triángulo con lados a, b, c y ángulos opuestos a cada lado A, B y C respectivamente, se cumple:

𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐. 𝒃. 𝒄. 𝑪𝒐𝒔𝑨𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐. 𝒂. 𝒄. 𝑪𝒐𝒔𝑩𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝟐. 𝒂. 𝒃. 𝑪𝒐𝒔𝑪

El cuadrado de la longitud de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de las longitudes de estos lados por el ángulo que se forma entre ellos.La demostración del teorema del coseno se basa en el teorema de Pitágoras. En un triángulo 𝐴𝐵𝐶se traza una altura ℎ y se obtiene dos triángulos rectángulos 𝐴𝐷𝐶 y 𝐷𝐶𝐵.

TEOREMA DEL COSENO

EJEMPLODado el siguiente triángulo, no rectángulo; halle la distancia del lado 𝑎utilizando el Teorema del Coseno.

GRACIAS