tema 8. características de las funciones. funciones

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

7. Halla el dominio, los puntos de corte con los ejes, el signo y la simetría de las siguientes funciones:

a) 22)( 23 +−−= xxxxf

� Función polinómica ℜ=→ )( fDom

� Puntos de corte con el eje OX

=+−−=

xxxy (Utilizamos el método de igualación) 022 23 =+−−⇒ xxx

2 1 2 1 +−−

2 1 1 −−+

0 2 1 1 −−

=−=⇒=−−

=⇒=−⇔=−−⋅−⇔=+−−

2 o 102

0)2()1(0222

xxxxxx

Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,1(− )0,1( y )0,2(

� Puntos de corte con el eje OY

=+−−=

xxxy(Utilizamos el método de sustitución) ⇒ 220020 23 =+−⋅−=y ⇒ 2=y

Luego, el punto de corte con el eje OY es )2,0(

� Signo de la función

• ℜ=)( fDom

• 2 ò 1 10220)( 23 ==−=⇔=+−−⇔= xxxxxxxf

)2)(1)(1(22 23 −−+=+−− xxxxxx

Por tanto,

)2,1()1,( si 0)( ∪−−∞∈< xxf

),2()1,1( si 0)( +∞∪−∈> xxf

� Simetría de la función

SIGNO DE f(x) − + − +

conocidas simetríashay No

222)()(2)()( 2323 ⇒

−≠++−−=+−−−−−=−

xxxxxxxf

b) 44)( 24 ++= xxxf

� Función polinómica ℜ=→ )( fDom

xxy (Utilizamos el método de igualación) 044 24 =++⇒ xx

044 variablede cambio el Hacemos

044 bicuadradaEcuación 22

=++⇒=•=++•

realsolución existe no2 variablede cambio el Deshacemos

16164 grado 2º deecuación la Resolvemos

2 ⇒−=⇒•

−=−=

=±−=−±−=•

Por tanto no hay puntos de corte con el eje de abscisas.

xxy (Utilizamos el método de sustitución) ⇒ 44040 24 =+⋅+=y ⇒ 4=y

Luego, el punto de corte con el eje OY es )4,0( .

• ℜ=)( fDom

• realsolución tieneno 0440)( 24 ⇔=++⇔= xxxf

Por tanto,

ℜ∈∀> xxf 0)(

⇒=+=+−+−=− )(444)(4)()( 2424 xfxxxxxf )(xf es PAR (gráfica simétrica respecto al eje OY)

� Función racional }2,1{}023/{)( 2 −ℜ==+−−ℜ=→ xxxfDom

(Utilizamos el método de igualación) 00023

=⇒=⇒=+−

⇒ xxxx

Luego, el punto de corte con el eje OX es )0,0(

SIGNO DE f(x) +

(Utilizamos el método de sustitución) 002030

=⇒=+⋅−

=⇒ yy

• }2,1{)( −ℜ=fDom

• 0023

=⇔=+−

⇔= xxx

Por tanto,

),2()1,0()0,( si 0)( +∞∪∪−∞∈> xxf

232)(3)(

−≠

+−−−−=−

� Función racional }1,1{}01/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom

SIGNO DE f(x) + + − +

)2,1( si 0)( ∈< xxf

=−+=

(Utilizamos el método de igualación) realsolución existe no0101

⇒=+⇒=−+

⇒ xx

=−+=

−=⇒−=−+=⇒ yy

Luego, el punto de corte con el eje OY es )1,0( −

• }1,1{)( −−ℜ=fDom

• realsolución hay no0 101

10)( 4

⇒=+⇔=−+⇔= x

Por tanto,

)1,1( si 0)( −∈< xxf ),1()1,( si 0)( +∞∪−∞∈> xxf

⇒=−+=

−−−=− )(

xxf )(xf es PAR (gráfica simétrica respecto al eje OY)

� Función racional }1(}01/{)( −ℜ==−−ℜ=→ xxfDom

SIGNO DE f(x) + − +

(Utilizamos el método de igualación) 0001

=⇒=⇒=−

⇒ xxx

=⇒=−

=⇒ yx

• }1{)( −ℜ=fDom

• 00 01

0)( 33

=⇒=⇔=−

⇔= xxx

Por tanto,

),1()0,( si 0)( +∞∪−∞∈< xxf

)1,0( si 0)( ∈> xxf

1)(1)(

−≠

−−−=−

SIGNO DE f(x) − + −

f) 13)( +−= xxf

� Función radical ),3[}03/{)( +∞=≥−−ℜ=→ xxfDom

=+−=

xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒−=−⇒=+−⇒ 13013 xx

negativo) númeroun ser puede no 3 de resultado (el realsolución tieneNo −⇒ x

=+−=

xyOY eje elcon corte de puntohay No)(0 ⇒∉ fDom

)( 0)()( 013),3[ 03 fDomxxffDomxxxx ∈∀>⇒∈∀>+−⇒+∞∈∀≥−

13)( ⇒

−≠+−−=−

Observa que ),3[)( +∞=fDom , por tanto, la función no puede ser simétrica ni respecto al eje OY ni

respecto al origen de coordenadas. Es decir, no puede ser par ni impar.

Observa también que 13)( +−= xxf es la función xy = trasladada verticalmente 1 unidad hacia

arriba y 3 unidades a la derecha.

g) 12)( +−= xxf

� Función radical ),1[}01/{)( +∞−=≥+−ℜ=→ xxfDom

=+−=

xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒=+⇒=+−⇒ 21012 xx

3412)1( 22 =⇒=+⇒=+⇒ xxx

=+−=

xy(Utilizamos el método de sustitución) 11102 =⇒=+−=⇒ yy

)0,1[)( −=fDom

0)( =xf ⇒=+⇒=+−⇒ 21012 xx 3412)1( 22 =⇒=+⇒=+ xxx

Por tanto,

),3( si 0)( +∞∈< xxf )3,1[ si 0)( −∈> xxf

SIGNO DE f(x) + −

12)( ⇒

−≠+−−=−

Observa que ),1[)( +∞−=fDom , por tanto, la función no puede ser simétrica ni respecto al eje OY ni

respecto al origen de coordenadas. Es decir, no puede ser par ni impar.

Observa también que 12)( +−= xxf es la función xy −= trasladada verticalmente 2 unidades

hacia arriba y 1 unidades a la izquierda.

3 2 5)(

� Dominio

⇒=)(

(Valores de x en los que g y h están definidas a la vez excepto aquellos en los que h se

anula)

ℜ=−==→−= )5(Dominio5 23 2 xyDomxy

}0{−ℜ→= xy Eliminamos el 0 porque el denominador no puede anularse

}0{)( Por tanto, −ℜ=fDom

xy (Utilizamos el método de igualación) 05050

5 23 23 2

=−⇒=−⇒=−⇒ xx

552 ±=⇒=⇒ xx

5 0 5− 0

Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,5(− y )0,5(

xy OY eje elcon corte de puntohay No)(0 ⇒∉ fDom

• }0{)( −ℜ=fDom

• 50)( ±=⇔= xxf

Por tanto,

)5,0()5,( si 0)( ∪−−∞∈< xxf ),5()0,5( si 0)( +∞∪−∈> xxf

⇒−=

−−=−

−−=− )(

55)()(

3 23 2

xxf La función es IMPAR (su gráfica es simétrica respecto

al origen de coordenadas)

� Dominio

SIGNO DE f(x) − + − +

0 ∞− 1 1− ∞+

Función radical con índice par

−ℜ∈=→ 01

xxxfDom

)1)(1(0

1 :inecuación laresolver que Tenemos

+−⇔≥+−

1 o 00)1(0 2224 −±==⇔=−⇔=− xxxxxx

realsolución tieneno 101 22 ⇒−=⇔=+ xx

),1[}0{]1,()( Por tanto, +∞∪∪−−∞=fDom

−⇒=

xx1 o 00)1(0 2224 −±==⇒=−⇒=−⇒ xxxxxx

Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,0( )0,1(− y )0,1(

001000

=⇒=+

−=⇒ yy

• ),1[}0{]1,()( +∞∪∪−−∞=fDom

• 1 o 00)( −±==⇔= xxxf

)( 0)( Por tanto, fDomxxf ∈∀≥

SIGNO DE f(x) + +

∞− 1 -1

−=+−−−−=− )(

)()()(

xxxf La función es PAR (su gráfica es simétrica respecto al

eje OY)

j) 1)( 12

−= −xexf

� ℜ=)( fDom

=−= −

(Utilizamos el método de igualación) 101 11 22

=⇒=− −− xx ee 1012 ±=⇒=−⇒ xx

Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,1( )0,1(−

=−= −

11 1102

−=⇒−=−=−= −−

Luego, el punto de corte con el eje OY es

ℜ=)( fDom

0)( =xf 1±=⇔ x

Por tanto,

)1,1( si 0)( −∈< xxf

),1()1,( si 0)( +∞∪−−∞∈> xxf

⇒=−=−=− −−− )(11)( 11)( 22

xfeexf xx La función es PAR (su gráfica es simétrica respecto al eje OY)

SIGNO DE f(x) + − +

k) xxxf −=3

� ℜ=−== )()( 3 xxyDomfDom

== −

=⇒ −xx xa x 0 puessolución tieneNo ∀>⇒

== −

1150 =⇒==⇒ yy

ℜ∈∀>⇒ℜ∈∀> xxfba b 0)( 0

55)(33 )()( ⇒

−≠==− +−−−−

xf xxxx

5 0 5− -2 2

l) )4log()( 2 −= xxf

� ),2()2,(}04/{)( 2 +∞∪−−∞=>−−ℜ= xxfDom

)4log( 2

xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒=−⇒=−⇒ 140)4log( 22 xx

552 ±=⇒=⇒ xx

Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,5(− y )0,5(

)4log( 2

• ),2()2,()( +∞∪−−∞=fDom

• 0)( =xf ⇒=−⇒=−⇒ 140)4log( 22 xx 552 ±=⇒= xx

Por tanto,

)5,2()2,5( si 0)( ∪−−∈< xxf

),5()5,( si 0)( +∞∪−∞∈> xxf

SIGNO DE f(x) + − − +

OY) eje al respecto simétrica es gráfica(su PAR es )( )()4log()4)log(()( 22 xfxfxxxf ⇒=−=−−=−

m) 6log)( 2 −= xxf

� ),6(}06/{)( +∞=>−−ℜ= xxfDom

xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒=−⇒=−⇒ 1606log2 xx 7=x

• ),6()( +∞=fDom

• 0)( =xf 7=⇒ x

SIGNO DE f(x) − +

Por tanto,

)7,6( si 0)( ∈< xxf

),7( si 0)( +∞∈> xxf

),6()( +∞=fDom , por tanto, la función no puede ser simétrica ni respecto al eje OY ni respecto al

origen de coordenas. Es decir, no puede ser par ni impar.

8. Obtener toda la información posible de las siguientes funciones:

1) }2,2{)( −−ℜ=fDom

2) ),1[)0,()(Re +∞∪−∞=fc

3) }2,2{dcontinuida de Dominio −−ℜ=

2−=x discontinuidad asintótica o de salto infinito

2=x discontinuidad asintótica o de salto infinito

4) Puntos de corte con el eje OX: No hay

Puntos de corte con el eje OY: )1,0(

5) Signo de )(xf

),2()2,( si 0)( +∞∪−−∞∈< xxf

)2,2( si 0)( −∈> xxf

6) Es Par (simétrica respecto al eje OY)

7) No es periódica

8) Asíntotas verticales: 2y 2 =−= xx

Asíntota horizontal: 0=y

9) )0,2()2,( si decrece )( −∪−−∞∈xxf

),2()2,0( si crece )( +∞∪∈xxf

10) Mínimos relativos: )1,0(

Máximos relativos: No hay

No tiene extremos absolutos

11) No está acotada.

1) ),2()2,5[)( +∞∪−=fDom

2) ℜ=)(Re fc

3) }2,0,2{dcontinuida de Dominio −−ℜ=

2−=x discontinuidad de salto finito

0=x discontinuidad eviatable

4) Puntos de corte con el eje OX: )0,4(−

5) Signo de )(xf

),2()4,,5[ si 0)( +∞∪−−∈< xxf

)2,4( si 0)( −∈> xxf

6) No es simétrica

7) No es periódica

8) Asíntota vertical: 2=x

Asíntota horizontal por la derecha: 0=y

9) )0,2( si decrece )( −∈xxf

),2()2,0()2,5( si crece )( +∞∪∪−−∈xxf

10) Mínimos relativos: No hay

1) }0{)( −ℜ=fDom

2) ),2()2,()(Re +∞∪−−∞=fc

3) }0{dcontinuida de Dominio −ℜ=

4) Puntos de corte con el eje OX: No hay

Puntos de corte con el eje OY: No hay

5) Signo de )(xf

)0,( si 0)( −∞∈< xxf

),0( si 0)( +∞∈> xxf

6) Es impar (simétrica respecto al origen de coordenadas)

7) No es periódica

8) Asíntotas verticales: 0=x

Asíntota horizontal: No hay

Asíntota oblicua: xy =

9) )1,0()0,1( si decrece )( ∪−∈xxf

),1()1,( si crece )( +∞∪−−∞∈xxf

10) Mínimos relativos: )2,1(

Máximos relativos: )2,1( −−

1) }1{)( −ℜ=fDom

2) ℜ=)(Re fc

3) }1{dcontinuida de Dominio −ℜ=

4) Puntos de corte con el eje OX: )0,0(

5) Signo de )(xf

)0,( si 0)( −∞∈< xxf

),1()1,0( si 0)( +∞∪∈> xxf

6) No es simétrica

7) No es periódica

8) Asíntotas verticales: 1=x

Asíntota horizontal: No tiene

Asíntota oblicua: 2+= xy

9) )3,1( si decrece )( ∈xxf

),3()1,0(),( si crece )( +∞∪∪−∞∈xxf

Mínimos relativos:

1) ℜ=)( fDom

2) ]2,0[)(Re =fc

3) ℜ=dcontinuida de Dominio

4) Puntos de corte con el eje OX: )0,1(

5) Signo de )(xf

xxf 0)( ∀≥

1 si 0)( == xxf

),1()1,( si 0)( +∞∪−∞∈> xxf

6) No es simétrica

7) No es periódica

8) Asíntotas verticales: No tiene

Asíntota horizontal: 1=y

Asíntota oblicua: No tiene

9) )1,1( si decrece )( −∈xxf

),1()1,( si crece )( +∞∪−−∞∈xxf

Mínimo relativo y absoluto: )0,1(

Máximo relativo y absoluto: )2,1(−

• Acotada superiormente

Conjunto de cotas superiores: ),2[ +∞

Supremo = 2 Máximo absoluto = 2 y lo alcanza en 0=x

• Acotada inferiormente

Conjunto de cotas superiores: ]0,(−∞

Ínfimo = 0 Máximo absoluto = 0 y lo alcanza en 1=x

9. Representa gráficamente las siguientes parábolas:

a) 32)( 2 ++= xxxf

1) ∪⇒>= cóncava01a

2) Eje de simetría: 12

2−=⇒

−=⇒−= xx

3) Vértice )2,1( 23213)1(2)1()1(

−⇒

=+−=+−⋅+−=−=

4) Puntos de corte con los ejes

Eje OX:

realsolución tieneno2

12420322 ⇒

−±−=⇒=++ xxx ⇒No hay puntos de corte con el eje OX

Eje OY: 30

El punto de corte con el eje OY es )3,0(

5) Tabla de valores

x 4− 3− 2− 1− 0 1 2

y 11 6 3 2 3 6 11

b) 34)( 2 +−= xxxf

2=⇒=⇒

−= xxa

3) Vértice )1,2( 13843)2(4)2()2(

−⇒

−=+−=+⋅−==

Eje OX:

=+−=

=−±=⇒=+−1

121640342

xxxx ⇒PC con eje OX: )0,3( y )0,1(

Eje OY: 30

=+−=

5) Tabla de valores

x 1− 0 1 2 3 4 5

y 8 3 0 1− 0 3 8

c) xxxf 5)( 2 −−=

1) ∩⇒<−= convexa01a

2) Eje de simetría 2

2−=⇒

−=⇒

−= xxa

3) Vértice

−⇒

==+−=

−⋅−

−−=

−=−=

Eje OX:

=−−=

⇔=−−⋅⇔=−−5

00)5(052

xxxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son )0,0( y )0,5(−

Eje OY: 00

=−−=

5) Tabla de valores

x 6− 5− 4− 3− 2

5− 2− 1− 0 1

y 6− 0 4 6 4

25 6 4 0 6−

d) 5)( 2 += xxf

� )(xf es la función 2xy = trasladada verticalmente 5 unidades hacia arriba.

2=⇒==⇒

−= xxa

3) Vértice )0,0( 0

4) Tabla de valores

x 2− 1− 0 1 2

y 4 1 0 1 4

e) 6)( 2 +−= xxf

� )(xf es la función 2xy −= trasladada verticalmente 6 unidades hacia arriba.

2xy −=

2=⇒=

−=⇒

−= xxa

3) Vértice )0,0( 0

4) Tabla de valores

x 2− 1− 0 1 2

y 4− 1− 0 1− 4−

f) 2)1(3)( −= xxf

� )(xf es la función 23xy = trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha.

23xy =

2=⇒==⇒

−= xxa

3) Vértice )0,0( 0

4) Tabla de valores

x 2− 1− 0 1 2

y 12 3 0 3 12

g) 96)( 2 −+−= xxxf

−−=⇒

−= xxa

3) Vértice )0,3( 091899)3(6)3()3(

=−+−=−⋅+−==

Eje OX:

=−+−=

363660962

−±−=

−−±−=⇒=−+−

xxx ⇒ El punto de corte con el eje OX es )0,3(

Eje OY: 90

−=⇒

=−+−=

El punto de corte con el eje OY es )9,0(−

5) Tabla de valores

x 0 1 2 3 4 5 6

y 9− 4 1 0 1− 4− 9−

h) 2)3()( 2 +−= xxf

� )(xf es la función 2xy = trasladada verticalmente 2 unidades hacia arriba y horizontalmente 3

unidades a la derecha

2=⇒==⇒

−= xxa

3) Vértice )0,0( 0

4) Tabla de valores

x 2− 1− 0 1 2

y 4 1 0 1 4

i) 2)1()( 2 −+−= xxf

� )(xf es la función 2xy −= trasladada verticalmente 6 unidades hacia arriba.

2xy −=

2=⇒=

−=⇒

−= xxa

3) Vértice )0,0( 0

4) Tabla de valores

x 2− 1− 0 1 2

y 4− 1− 0 1− 4−

10. Representa gráficamente las siguientes funciones racionales:

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc

• No corta a los ejes coordenados

• 0=x asíntota vertical

−∞=

• 0=y asíntota horizontal

+∞→

−∞→

• Tabla valores

x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6

y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0

)( −=

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc

−∞=−

+∞=−

+∞→

−∞→

• Tabla valores

x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6

y 5,0 1 5,1 3 6 6− 3− 5,1− 1− 5,0−

)( −=x

xf )(xf→ es la función x

y3= trasladada verticalmente 2 unidad abajo.

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc

−∞=

+∞→

−∞→

• Tabla valores

x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6

y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0

xxf )(xf→ es la función

3= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha.

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc

−∞=

+∞→

−∞→

• Tabla valores

x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6

y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0

3= trasladada horizontalmente 2 unidades a la derecha y 4

unidades hacia arriba

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc

−∞=

+∞→

−∞→

• Tabla valores

x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6

y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0

3= trasladada horizontalmente 5 unidades a la izquierda.

El estudio de la función x

y3= lo hemos hecho en el apartado a)

g) ⇒++

−=⇒+−= 2

xxf )(xf es la función

3 −=

izquierda la a unidad 1 T.H.

arriba unidades 2 T.V.

2 −x

−−−−

La función x

−= la hemos representado en el apartado b)

h) ⇒+−

=⇒−+= 1

xxf )(xf es la función

derecha la a unidades 2 T.H.

arriba unidad 1 T.V.

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc

• 0=x es asíntota vertical

−∞=

0 0=y es asíntota horizontal

+∞→

−∞→

• Tabla valores

x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6

y 1− 2− 3− 6− 12− 12 6 3 2 1

11. Representa gráficamente las siguientes funciones radicales:

a) 21)(12)( −−=⇒−+−= xxfxxf )(xf→ es la función xy = trasladada horizontalmente 1

unidad a la derecha y verticalmente 2 unidades hacia abajo

� xy =

• ),0[)( +∞=fDom

• Tabla de valores x 0 1 4 9

y 0 1 2 3

b) 42)( ++−= xxf )(xf→ es la función xy −= trasladada horizontalmente 2 unidades a la izquierda

y verticalmente 4 unidades hacia arriba

� xy −=

• ),0[)( +∞=fDom

y 0 1− 2− 3−

c) 71)( +−= xxf )(xf→ es la función xy = trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha y

verticalmente 7 unidades hacia arriba

� xy =

• ),0[)( +∞=fDom

y 0 1 2 3

12. Representa gráficamente las siguientes funciones exponenciales:

• ℜ=)(xDomf

• ),0()((Re +∞== xfyc

• Asíntota horizontal por la derecha 0=y ( +

+∞→= 0)(lim xf

• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 27 9 3 1 3

1)( )(xf→ es la simétrica de

1 respecto al eje OY

• ℜ=

• ),0()3

1(Re +∞=

+∞→= 0)(lim xf

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 27 9 3 1 3

1 trasladada horizontalmente 1 unidad a la izquierda.

• ℜ=

• ),0()3

1(Re +∞=

+∞→= 0)(lim xf

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 27 9 3 1 3

1)( −

1 trasladada verticalmente 2 unidades hacia abajo.

• ℜ=

• ),0()3

1(Re +∞=

+∞→= 0)(lim xf

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 27 9 3 1 3

e) xxf 2)( −= )(xf→ es la simétrica de xy 2= respecto al eje OX

� xy 2=

• ℜ== )2( xyDom

• ),0()2(Re +∞== xyc

• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +

−∞→= 0)(lim xf

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

1 1 2 4 8

f) 12)( −= xxf )(xf→ es la función xy 2= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha

� xy 2=

• ℜ== )2( xyDom

• ),0()2(Re +∞== xyc

−∞→= 0)(lim xf

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

1 1 2 4 8

g) 32)( 1 −= +xxf )(xf→ es la función xy 2= trasladada horizontalmente 1 unidad a la izquierda y

verticalmente 3 unidades abajo.

� xy 2=

• ℜ== )2( xyDom ),0()2(Re +∞== xyc

−∞→= 0)(lim xf

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

1 1 2 4 8

h) 22)( 1 += −xxf )(xf→ es la función xy 2= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha y

verticalmente 2 unidades arriba.

� xy 2=

• ℜ== )2( xyDom ),0()2(Re +∞== xyc

−∞→= 0)(lim xf

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

1 1 2 4 8

13. Representa gráficamente las siguientes funciones logarítmicas:

a) )3(log)( 2 −= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada horizontalmente 3 unidad a la derecha

� xy 2log=

• ),0()log( 2 +∞== xyDom

• ℜ== )log(Re 2 xyc

• Punto de corte con el eje OX )0,1(

• No corta el eje OY

• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→

)(lim0

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3

b) xxf 2log)( −= )(xf→ es la simétrica de la función xy 2log= respecto al eje OX

� xy 2log=

• ),0()log( 2 +∞== xyDom

)(lim0

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3

c) )(log)( 2 xxf −= )(xf→ es la simétrica de la función xy 2log= respecto al eje OY

� xy 2log=

),0()log( 2 +∞== xyDom

ℜ== )log(Re 2 xyc

Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→

)(lim0

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3

d) 1)2(log)( 2 −−= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada verticalmente 1 unidades hacia abajo

y horizontalmente 2 unidades a la derecha

� xy 2log=

• ),0()log( 2 +∞== xyDom

)(lim0

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3

e) 1log)(

1 −= xxf )(xf→ es la función xy3

1log= trasladada verticalmente 1 unidad hacia abajo

� xy3

• ),0()log(3

1 +∞== xyDom

• ℜ== )log(Re3

No corta el eje OY

• Asíntota vertical por la derecha 0=x +∞=+→

)(lim0

1 1 3 9

y 2 1 0 1− 2−

f) )1(log)( 2 −= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha

� xy 2log=

• ),0()log( 2 +∞== xyDom

)(lim0

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3

g) 1)1(log)(3

1 −+= xxf )(xf→ es la función xy3

1log= trasladada verticalmente 1 unidad hacia abajo y

horizontalmente 1 unidad a la izquierda

� xy3

• ),0()log(3

1 +∞== xyDom

• ℜ== )log(Re3

)(lim0

1 1 3 9

y 2 1 0 1− 2−

h) 2)3(log)(2

1 −+= xxf )(xf→ es la función xy2

1log= trasladada verticalmente 2 unidad hacia abajo y

3 unidades a la izquierda

� xy2

• ),0()log(2

1 +∞== xyDom

• ℜ== )log(Re2

)(lim0

• Tabla de valores

x 8 4 2 1 2

y 3− 2− 1− 0 1 2 3

i) 3)1(log)( 2 +−= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha

y verticalmente 3 unidades hacia arriba

� xy 2log=

• ),0()log( 2 +∞== xyDom ℜ== )log(Re 2 xyc

• Punto de corte con el eje OX )0,1( No corta el eje OY

)(lim0

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3

14. Representa gráficamente las siguientes funciones definidas a trozos:

a) ]2,0()0,()(

∪−∞=⇒

≤≤+<<−−

−≤−= fDom

• linealfunción 13 →−= xy

x •− 2 3− 4− y 7− 10− 11−

x Ο− 2 1− Ο0 y 3 2 1

• (parábola) cuadráticafunción 2 →= xy

cóncava01 →>=a (0,0)Vértice→

x •0 1 •2 y 0 1 4

b) ),3()0,()(

)( 2 +∞∪−∞=⇒

><≤−+−−

−<−

= fDom

• constantefunción 4 si 5 →−<−= xy

• (parábola) cuadráticafunción 322 →+−−= xxy

convexa01 →<−=a

43213)1(2)1(

2Vértice2

−⇒

=++−=+−⋅−−−=

−=−

=−=→ V

x •− 4 3− 2− 1− Ο0 y 5− 0 3 4 3

• constantefunción 3 si 1 →>= xy

ℜ=⇒

≥<≤−<≤−

= fDom

• linealfunción →= xy

x Ο0 1− 2− y 0 1− 2−

• (parábola) cuadráticafunción 12 →−= xy

cóncava01 →>=a

)1,0( 1

2Vértice −⇒

==−=→

• linealfunción →−= xy

x •2 3 Ο4 y 2− 3− 4−

• constantefunción 4 si 1 →≥= xy

x •0 1 Ο2 y 1− 0 3

d) ℜ=⇒

≤= )(

0 1)( fDom

• constantefunción 0 si 1 →≤= xy

• hipérbola 1 →=x

}0{)( −ℜ=fDom

No corta a los ejes coordenados

0=x asíntota vertical

0=y asíntota horizontal

x 5,0 1 2 4

y 2 1 5,0 25,0

e) }2{)(

)( 2 −−ℜ=⇒

≥+−<<−

= fDom

• constantefunción 2 si 2 →−<= xy

• (parábola) cuadráticafunción 2 →= xy

cóncava01 →>=a

)0,0( 1

2Vértice ⇒

==−=→

• linealfunción 42 →+−= xy

x •1 2 3

y 2 0 2−

f) }0{)( 0

0 1)( −ℜ=⇒

>−= fDom

xsixxf

• linealfunción 1→−= xy

x Ο0 1 2

y 1− 0 1

• hipérbola 1 →=x

}0{)( −ℜ=fDom

x Ο− 2 0 Ο1 y 4− 0 1

+∞==

−∞==

−→

1)(lim

x 0=y asíntota horizontal

=∞−

+∞→

−∞→

g) }2{)(

−ℜ=⇒

≤+−

= fDom

• (parábola) cuadráticafunción 12 →+−= xy

convexa01 →<−=a

)1,0( 1

2Vértice ⇒

=−=→

x •1 0 1− 2−

5,0−

1− 2− 4−

y 2− 1−

5,0−

25,0−

y 0 1 0 3−

• hipérbola 2

1 →−

}2{)( −ℜ=fDom

+∞==

−∞==

−→

1)(lim

=∞−

+∞→

−∞→

• linealfunción 1→+= xy

x •5 6 7

y 6 7 8

x Ο1 5,1 5,2 3 4 Ο5

y 1− 2− 2 1 5,0 3

h) }2{)( 0

0 1)( −−ℜ=⇒

>−= fDom

xsixxf

• linealfunción 1→−= xy

x Ο0 1 2 y 1− 0 1

• hipérbola 2

1 →+

}2{)( −−ℜ=fDom

2−=x asíntota vertical

+∞==

−∞==

+−→

−−→

=∞−

+∞→

−∞→

x Ο0 1− 5,1− 5,2− 3− 4−

y 5,0 1 2 2− 1− 5,0

i) ),5(]4,()(

5 o 4 2

)( +∞∪−∞=

>=−<<−

• lexponenciafunción 2 →= − xy

x •0 1− 2− 3−

y 1 2 4 8

x Ο0 1 Ο4 y 3 2 1−

x 4 Ο5 6 7

y 2 3 4 5

j) 34)( 2 −+−= xxxf

1º) Representamos la parábola: 342 −+−= xxy

2) Eje de simetría 222

2=⇒=

−−=⇒

−= xxa

3) Vértice )1,2( 13843)2(4)2()2(

=−+−=−⋅+−==

Eje OX:

=−+−=

⇔−

±−=−

−±−=⇔=−+−3

121640342

xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son

)0,1( y )0,3(

Eje OY: 30

−=⇒

=−+−=

El punto de corte con el eje OY es )3,0( −

5) Tabla de valores

x 1− 0 1 2 3 4 5

y 8− 3− 0 1 0 3− 8−

2º) Representamos )(xf : Recuerda

≥<−

≥−−

<−+=−−=

0 si 2

0 si 22)(

xxxxxxf

• 22 −+= xxy

1) ∪⇒>= cóncva01a

2) Eje de simetría 5,05,02

2−=⇒−=−=⇒

−= xxa

3) Vértice

−−⇒

−=−=−

Eje OX:

=−+=

⇔±−=+±−=⇔=−+2

811022

xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son )0,1( y

)0,2(−

Eje OY: 20

−=⇒

=−+=

5) Tabla de valores

x 3− 2− 1− 2

1− 0 1 2

y 4 0 2− 4

9− 2− 0 4

• 22 −−= xxy

1) ∪⇒>= cóncva01a

2) Eje de simetría 5,02

2==⇒

−= xa

3) Vértice

−⇒

−=−=−

Eje OX:

=−−=

⇔±=+±=⇔=−−1

811022

xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son )0,1(− y

Eje OY: 20

−=⇒

=−−=

5) Tabla de valores

x 2− 1− 0 2

1 1 2 3

y 4 0 2− 4

9− 2− 0 4

l) 45)( 2 −−= xxxf

1º) Representamos la parábola: 452 −−= xxy

2) Eje de simetría 5,22

2==⇒

−= xa

3) Vértice

−⇒

−=−=−

⋅−

25,104

5,22 V

Eje OX:

=−−=

−≅−=

≅+=⇔±=

−+±=⇔=−−

162550452

xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje

OX son

Eje OY: 40

−=⇒

=−−=

El punto de corte con el eje OY es )4,0( −

5) Tabla de valores

x 0 1 2 2

5 3 4 5

y 4− 8− 10− 4

41− 10− 8− 4−

≥<−

m) xxf ln)( =

1º) Representamos la función logarítmica: xy ln=

• ),0()ln( +∞== xyDom

• Corta al eje OX en el punto )0,1(

• No corta al eje OY

• 0=x es asíntota vertical por la derecha ))(lim(0

−∞=+→

x +0 1 e 2e

y ∞− 0 1 2

≥<−

n) 42)( −= xxf

1º) Representamos la función exponencial: 42 −= xy (que, a su vez, es la función xy 2= trasladada

verticalmente 4 unidades hacia abajo)

� xy 2=

• ℜ== )2( xyDom

• ),0()2(Re +∞== xyc

• No corta al eje OX Punto ce corte con el eje OY )1,0(

−∞→= 0)(lim xf

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

1 1 2 4 8

≥<−

o) )2ln()( −= xxf

1º) Representamos la función logarítmica: )2ln( −= xy (que, a su vez, es la función xy ln= trasladada

horizontalmente 2 unidades a la derecha) � xy ln=

• ),0()ln( +∞== xyDom

• Corta al eje OX en el punto )0,1(

• No corta al eje OY

• 0=x es asíntota vertical por la derecha ))(lim(0

−∞=+→

x +0 1 e 2e

y ∞− 0 1 2

≥<−

1º) Representamos la función 1

xy , que a su vez, es la función

2= trasladada horizontalmente 1

unidad a la derecha

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc

−∞=

+∞→

−∞→

• Tabla valores

x 4− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 4

y 5,0− 1− 2− 4− 4 2 1 5,0

≥<−

++−=

−−=

⇒−+

=⇒++−= 1

xy Es la función

izquierda la a unidad 1 T.H.

abajo unidad 1 T.V.

+++−

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc

−∞=

+∞→

−∞→

• Tabla valores

x 4− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 4

y 5,0− 1− 2− 4− 4 2 1 5,0

≥<−

−−=

xxy , que es la función

2−= trasladada horizontalmente 3

unidades a la derecha

y2−=

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc

−∞=−

+∞=−

+∞→

−∞→

• Tabla valores

x 4− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 4

y 5,0 1 2 4− 4− 2− 1− 5,0−

≥<−

15. Representa gráficamente las siguientes funciones:

Todas las funciones de este ejercicio se obtienen efectuando transformaciones a las funciones senxy = ,

xy cos= ò tgxy = .

� senxy =

• ℜ== )( senxyDom

• ]1,1[)(Re −== senxyc

• Periódica de periodo π2=T

3π π2

y 0 1 0 1− 0

� xy cos=

• ℜ== )cos( xyDom

• ]1,1[)cos(Re −== xyc

• Periódica de periodo π2=T

3π π2

y 1 0 1− 0 1

� tgxy =

Ζ∈+−ℜ== kktgxyDom ;

2)12()(π

• ℜ== )(Re tgxyc

• Periódica de periodo π=T

π−=x es asíntota vertical

−∞=

−→

π=x es asíntota vertical

−∞=

π− 0 4

y ∞− 1− 0 1 ∞+

a) )()( π+= xsenxf senxy =→ trasladada horizontalmente π unidades a la izquierda.

c) 4)()( −+= πxsenxf senxy =→ trasladada horizontalmente π unidades a la izquierda y verticalmente

4 unidades hacia abajo.

g) →−= )()( xsenxf es la simétrica de senxy = respecto al eje OX

−−=2

xsenxf senxy −=→ trasladada horizontalmente 2

π a la derecha.

senxy −= es la simétrica de senxy = respecto al eje OX

h) →−= )()( xsenxf es la simétrica de senxy = respecto al eje OY. Pero, recuerda que αα sensen −=− )( ,

por tanto, en este caso también es la simétrica de senxy = respecto al eje OX.

k) 1)( −= senxxf senxy =→ trasladada verticalmente 1 unidad hacia abajo.

)( −

+= πxsenxf senxy =→ trasladada horizontalmente

π unidades a la izquierda y 1 unidad hacia

abajo.

cos)(π

xxf xy cos=→ trasladada horizontalmente 2

π unidades a la izquierda

+−=2

cos)(π

xxf es la simétrica de la función del apartado d) respecto al eje OX

f) →+

+−= 32

cos3)(ππ

xxxf es la función del apartado e) trasladada verticalmente 3

unidades hacia arriba.

l) 2cos)( += xxf xy cos=→ trasladada verticalmente 2 unidades hacia arriba

−−=2

cos)(π

xxf es la simétrica de la función

xy respecto al eje OX.

xy xy cos=→ trasladada horizontalmente 2

π unidades a derecha.

i) →

xtgxf es la función tgxy = trasladada horizontalmente 2

π a la derecha

j) →

xtgxf es la función tgxy = trasladada horizontalmente 4

π a la izquierda

m) →⋅= xsenxf 2)( Se obtiene a partir de la función xseny = por una dilatación vertical (se modifica su

recorrido ]2,2[)(Re −=fc )

→=]1,1[ Recorrido

πTxseny

→⋅=]2,2[ Recorrido

πTxsenxf

o) →= )2( )( xsenxf Se obtiene a partir de la función xseny = por una contracción horizontal (se

modifica su periodo ππ ==2

→=]1,1[ Recorrido

πTxseny

2)(πT

xsenxf

r) →

senxf Se obtiene a partir de la función xseny = por una dilatación vertical (se modifica

su recorrido ]3,3[)(Re −=fc ) y una dilatación horizontal (se modifica su periodo ππ4

2 ==T )

→=]1,1[ Recorrido

πTxseny

πTxsenxf

s) 1 2)( −⋅= xsenxf

� xseny 2⋅= se obtiene a partir de xseny = por una dilatación vertical (se modifica su recorrido

( ]2,2[)2(Re −== senxyc )

� 1 2)( −⋅= xsenxf se obtiene a partir de xseny 2⋅= por una traslación vertical de 1 unidad hacia abajo

( ]1,3[)(Re −=fc )

→=]1,1[ Recorrido

πTxseny

→−⋅=]1,3[ Recorrido

21 2)(

πTxsenxf

n) →⋅= xxf cos2

1)( se obtiene a partir de la función xy cos= por una contracción vertical (se modifica

−=fc

→=]1,1[ Recorrido

=→⋅=

1 Recorrido

p) →⋅= )3( cos2)( xxf Se obtiene a partir de la función xy cos= por una dilatación vertical (se modifica

su recorrido ]2,2[)(Re −=fc ) y una contracción horizontal (se modifica su periodo 3

2 π=T )

→=]1,1[ Recorrido

=→⋅=

]2,2[ Recorrido3

2) 3cos(2)(

q) →⋅−= )2( cos2

1)( xxf Se obtiene a partir de la función xy cos−= por una contracción vertical (se

modifica su recorrido

1)(Re fc ) y una contracción horizontal (se modifica su periodo

ππ ==2

→−=]1,1[ Recorrido

=→⋅−=

1 Recorrido

) 2cos(2

A su vez, xy cos−= es la simétrica de xy cos= respecto al eje OX.

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