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Tema 6: Respuesta frecuencialde sistemas lineales
Teoría de SistemasY Control Automático
2
Índice
n Introducciónn Respuesta de un sistema lineal a señales
sinusoidalesn Transformación de Fouriern Representación gráfica de la respuesta
frecuencial¨ Diagrama de Nyquist¨ Diagrama de Bode
3
Introducciónn Objetivo:
n Herramienta de análisis de sistemas (Análisis frecuencial)¨ Desarrollo en series y transformada de Fourier
n Señal de entrada muy frecuente en ingeniería¨ Sistemas eléctricos
n Régimen senoidal permanenten Transitoriosn Efectos de variaciones de cargan Armónicos en red
4
Introducción¨ Sistemas mecánicos
5
Introducción
n Sistemas electrónicos¨ Filtros
Filtro π
Filtro Butterworth
ConversorAC/DCBuck-boost
Oscilador en puente de Wien
6
Índice
n Introducciónn Respuesta de un sistema lineal a señales
sinusoidalesn Transformación de Fouriern Representación gráfica de la respuesta
frecuencial¨ Diagrama de Nyquist¨ Diagrama de Bode
7
Respuesta frecuencial de sistemas linealesn Salida en régimen permanente ante una entrada sinusoidal
8
Respuesta frecuencial de sistemas lineales
n Antitransformando
n Asumiendo que el sistema alcanza un régimen permanente
9
Respuesta frecuencial de sistemas linealesn Calculando los coeficientes se tiene
de donde se deduce que
10
Respuesta frecuencial de sistemas linealesn Sustituyendo se llega a
n De donde se obtiene que
11
Respuesta temporal
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
12
Ejemplo
n Sistema de primer orden
13
Ejemplon Aborsor de vibraciones
¨ Balance al cuerpo de masa Mc
¨ Balance al cuerpo de masa Ma
xa(t)
Ka
K B
Mc
Ma
xc(t)
14
Ejemplo
n Para una vibración de frecuencia
n El cuerpo auxiliar haceque para una cierta frecuenciael otro cuerpo no vibre.
15
Índice
n Introducciónn Respuesta de un sistema lineal a señales
sinusoidalesn Transformación de Fouriern Representación gráfica de la respuesta
frecuencial¨ Diagrama de Nyquist¨ Diagrama de Bode
16
Transformación de Fouriern Sea una señal periódica de período T, entonces se puede
descomponer en suma de señales sinusoidales (armónicos)
siendo
17
Ejemplo 1
http://www.kettering.edu/~drussell/Demos.html
n Señal en escalón unitario
18
Ejemplo 2n Señal en rampa de pendiente 1
http://www.kettering.edu/~drussell/Demos.html
19
Ejemplo 3n Señal impulsional de amplitud 1
http://www.kettering.edu/~drussell/Demos.html
20
Interpretación frecuencial de la respuesta de sistemas lineales
n Sea un sistema lineal excitado con una entrada periódica
n La respuesta será
21
Ejemplon Respuesta en escalón de período 20 de un sistema de
primer orden
1 3 5 7 9 11 13 15 17 190
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
cu
|G(j wi)|
cy
22
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Salida hasta el armónico 1
23
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Salida hasta el armónico 2
24
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Salida hasta el armónico 3
25
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Salida hasta el armónico 4
26
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Salida hasta el armónico 5
27
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Salida hasta el armónico 6
28
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Salida hasta el armónico 7
29
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Salida hasta el armónico 8
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Salida hasta el armónico 9
31
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Salida hasta el armónico 10
32
Interpretación frecuencial de la respuesta de sistemas lineales
n Se observa que los armónicos de las señales decaen con el orden del armónico.¨ Armónicos muy atenuados aportan poco a la
señal¨ Se puede definir una frecuencia a partir de la
cual los armónicos aportan poco a la señal.¨ Esta frecuencia se denomina ancho de banda¨ Es una medida de la rapidez de la señal
n Los sistemas dinámicos tienden a atenuar las altas frecuencias (armónicos de alto orden)¨ Se puede definir un ancho de banda como
una medida de su rapidez
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
cu
|G(j wi)|
cy
33
Transformada de Fouriern En el caso en que las señales no sean periódicas (T→∞)
la descomposición en serie se convierte en
¨ Relación con la transformada de Laplace
¨ Infinitos armónicos (definidos para toda frecuencia)
¨ Ancho de banda: rango de frecuencias de armónicossignificativos
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Frecuencia w (rad/s)
34
Índice
n Introducciónn Respuesta de un sistema lineal a señales
sinusoidalesn Transformación de Fouriern Representación gráfica de la respuesta
frecuencial¨ Diagrama de Nyquist¨ Diagrama de Bode
35
Representaciones gráficas
n Objetivo: representar gráficamente¨ Diagrama de Bode:
2 Gráficas escalares en escala semilogarítmica
n Módulo
n Argumento
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
Magn
itude
(dB)
10-2 10-1 100 101 102 103
-180
-135
-90
-45
0
Phas
e (de
g)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
36
Representaciones gráficas
n Objetivo: representar gráficamente¨ Diagrama de Nyquist
n Representación en polaresn Cada punto es un valor de G(jw) para cierta frecuencia wn Curva parametrizada
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
37
Diagrama de Bode
n Expresar el sistema en Forma de Bode
38
Diagrama de Boden Cálculo de G(jw)
n Cálculo del módulo
39
Diagrama de Bode
n Cálculo del argumento
Propiedad Aditiva:El Bode se calcula sumando el diagrama de cada
uno de sus factores
40
Bode de la Ganancia
41
Bode de un Cero de fase mínima
42
Bode de un Cero de fase no mínima
43
Bode de un integrador
44
Bode de un derivador
45
Bode de un polo estable
46
Bode de un polo inestable
47
Bode de un Polo Complejo
• Depende de d• El módulo presenta un máximo para d≤0.707
Pico de Resonancia
48
Bode de un Polo Complejo
49
Ejemplo 1
10-2 110-3 10 102 rad/s10-1
20
-20
m1
m2
G(jω)
0s
s5.21
10)G(+
=
50
Ejemplo 1
0º
- 90ºf2
f1
G(jω)
51
Ejemplo 1
0º
- 90ºf2
f1
G(jω)
0º
- 90ºf2
f1
G(jω)G(jω)
10-2 110-3 10 102 rad/s10-1
20
-20
m1
m2
G(jω)
0
10-2 110-3 10 102 rad/s10-110-2 110-3 10 102 rad/s10-1
20
-20
m1
m2
G(jω)G(jω)
0
52
Ejemplo 2
m1m3
G(jω)
0
m2
10-2 1 10 103 rad/s10-1 102
)10(1)G(ss
s+
=
53
Ejemplo 2
0º
-90º
f3
f1
G(jω)
f2
-180º
10-2 1 10 103 rad/s
10-1 102
54
Ejemplo 3
m1m3
G(jω)
200
-20
m2
10-2 1 10 103 rad/s10-1 102
m4
)100()1()G(
++
=ssss
55
Ejemplo 3
0º
-90º f2
f1
G(jω)
10-2 1 10 103 rad/s10-1 102
90º
f3
f4
0º
-90º f2
f1
G(jω)G(jω)
10-2 1 10 103 rad/s10-1 10210-2 1 10 103 rad/s10-1 102
90º
f3
f4
56
Ejemplo 4:
10-2 10-1 100 101 102 103-180-160-140-120-100-80-60-40-20
020
módulo asintótico de G(w*j)
10-2 10-1 100 101 102 103-270
-225
-180
-135
-90Fase de G(w*j)
57
Ejemplo 5:
10-1 100 101 102 103-80
-60
-40
-20
0
20módulo asintótico de G(w*j)
10-1 100 101 102 103-180
-135
-90
-45
0Fase de G(w*j)
58
Trazado de Diagrama de Nyquist
n Trazado aproximado a partir del D. Bode¨ Valores a frecuencias bajas.¨ Tendencia a frecuencias altas.¨ Puntos de corte con ejes coordenados.
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
Mag
nitu
de (d
B)
10-2 10-1 100 101 102 103
-180
-135
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
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