tema 6 elementos geométricos del espacio

UNIDAD 6: CUERPOS GEOMÉTRICOS

2º E.S.O. CURSO 2011-2012 – 2º

EVALUACIÓN

ÍNDICE• Elementos geométricos del espa

cio. • Posiciones relativas

de dos rectas, de una recta y un plano y de dos planos en el espacio.• Ángulos diedros y poliedros.• Poliedros. Elementos de un polie

dro. Clasificación en cóncavos y convexos.

.

ÍNDICE

• Relación de Euler • Poliedros

regulares: tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo o hexaedro y dodecaedro• Poliedros no regulares: prismas

y pirámides. • Cuerpos de revolución: cilindro,

cono y esfera.

ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DEL ESPACIO

Punto: Unidad mínima de expresión geométrica. Se

representan con letras mayúsculas

Recta: Se representa mediante una línea recta. Se

simboliza con letras minúsculas : r , s, t…

ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DEL ESPACIO

Plano: Se representa por medio de un

paralelogramo. Se simboliza con letras griegas: α, β,

γ

De esto ya hablamos en clases anteriores.

Recuerda que el punto no tiene dimensión, la recta

tiene dimensión 1 y el plano dimensión 2

ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DEL ESPACIO

Y podemos definir, segmento, semirrecta o

semiplano.

Pero el espacio tendrá dimensión 3 (altura,

anchura y profundidad)

Por un punto del espacio pasan infinitas rectas

pero por dos puntos una única recta. Luego para

determinar una recta necesitamos dos puntos

ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DEL ESPACIO

Pero ¿Y en el esapacio?

Pues por un punto podemos trazar infinitos planos

Por dos puntos infinitos planos

Por tres puntos un ÚNICO plano

(Dibujos de estas situaciones puedes ver en el libro

en la página 165)

Posiciones relativas de dos rectas, de una recta y un plano y de dos planos en el espacio.

Al igual que en el plano dos rectas pueden ser:

Secantes: Se cortan en un único punto

Paralelas: No se cortan

Coincidentes: Tienen todos sus puntos en común

Posiciones relativas de dos rectas, de una recta y un plano y de dos planos en el espacio.

Posiciones relativas de dos rectas, de una recta y un plano y de dos planos en el espacio.

Pero en el espacio tenemos una nueva posibilidad

Rectas que se cruzan: No se cortan en ningún

punto pero NO existe ningún plano que las contenga

Posiciones relativas de dos rectas, de una recta y un plano y de dos planos en el espacio.

Pero con respecto a las rectas perpendiculares tenemos

dos posibilidades:

1. Dos rectas son perpendiculares si están contenidas en

el mismo plano y son perpendiculares en el plano

2. Dos rectas son perpendiculares si se cruzan de modo

que podemos encontrar una paralela a una de ellas,

contenida en el mismo plano y perpendicular a ésta. VER

DIBUJO PAG 166

Posiciones relativas de dos rectas, de una recta y un plano y de dos planos en el espacio.

Posiciones relativas de una recta y un plano:

Secante (un punto en común)

Paralela (ningún punto en común)

Contenida (Todos los puntos pertenecen al plano)

(DIBUJOS PÁGINA 167

P O S I C I O N E S R E L AT I VA S D E D O S R E C TA S, D E U N A R E C TA Y U N P L A N O Y

D E D O S P L A N O S E N E L E S PA C I O

Una recta es perpendicular a un plano si es

PERPENDICULAR a cualquier recta de ese plano

Dos planos son secantes si tienen una recta en

común

Dos planos son paralelos si no tienen ninguna recta

en común

Dos planos son coincidentes si tienen todos sus

puntos en comun

ÁNGULOS DIEDROS Y POLIEDROS

Un ángulo DIEDRO es la región del espacio

delimitada por dos semiplanos

ÁNGULOS DIEDROS Y POLIEDROS

La medida de un ángulo diedro es la medida de su

ángulo rectilíneo

ÁNGULOS DIEDROS Y POLIEDROS

Igual que los ángulos en el plano los ángulos

diedros pueden ser cóncavos o convexos y por otro

lado pueden ser: Diedro agudo, Diedro recto y

diedro obtuso

Además dos planos son perpendicuares si son

secantes y los cuatro diedros que forman son rectos

ÁNGULOS DIEDROS Y POLIEDROS

Un ángulo poliedro es la región del espacio

delimitada por tres o más planos que concurren en

un punto

Un ángulo poliedro tiene cara, vértice y arista

P O L I E D R O S. E L E M E N T O S D E U N P O L I E D R O. C L A S I F I C A C I Ó N E N C Ó N C AV O S Y

C O N V E X O S

Un Poliedro es una región del espacio delimitada por

polígonos. Además tiene tres elementos característicos:

Cara, Arista y Vértice

Cara: cada uno de los polígonos del poliedro

Arista: Cada uno de los lados de los polígonos, o dicho de

otro modo, los cortes de dos polígonos.

Vértice: Cada uno de los puntos de corte de las aristas, o

dicho de otro modo, el corte de tres polígonos.

P O L I E D R O S . E L E M E N T O S D E U N P O L I E D R O. C L A S I F I C A C I Ó N E N C Ó N C A V O S Y C O N V E X O S

Observa que la arista es en realidad un ÁNGULO

DIEDRO

Y el vértice un ángulo POLIEDRO

P O L I E D R O S. E L E M E N T O S D E U N P O L I E D R O. C L A S I F I C A C I Ó N E N C Ó N C AV O S

Y C O N V E X O S

Poliedros

P O L I E D R O S . E L E M E N T O S D E U N P O L I E D R O. C L A S I F I C A C I Ó N E N C Ó N C A V O S Y C O N V E X O S

Un poliedro es CONVEXO si TODOS sus ángulos

son convexos

Un poliedro es CÓNCAVO si ALGÚN ángulo es

cóncavo

Relación de Euler

En todos los poliedros convexos se cumple la

relación de EULER:

C + V = A + 2Siendo C= nº de Caras

V = nº de Vértices

A = nº de Aristas

RELACIÓN DE EULER

http://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler

Poliedros regulares: tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo o hexaedro y dodecaedro

Un poliedro es REGULAR si todas sus caras son

polígonos regulares y en cada uno de sus vértices

concurre el mismo número de aristas.

Sólo hay 5 poliedros regulares: Tetraedro,

Octaedro, Icosaedro, Hexaedro o Cubo y

Dodecaedro. También se llaman Sólidos Platónicos

(los antiguos griegos ya sabían que no había más de

5 poliedros regulares)

P O L I E D R O S R E G U L A R E S : T E T R A E D R O, O C TA E D R O, I C O S A E D R O, C U B O O

H E XA E D R O Y D O D E C A E D R O

Tetraedro

4 Triángulo equilátero.

3 números de aristas por vértice

P O L I E D R O S R E G U L A R E S : T E T R A E D R O, O C TA E D R O, I C O S A E D R O, C U B O O

H E XA E D R O Y D O D E C A E D R O

Octaedro:

8 triángulos equiláteros

4 aristas por vértice

P O L I E D R O S R E G U L A R E S : T E T R A E D R O , O C T A E D R O , I C O S A E D R O , C U B O O H E X A E D R O Y

D O D E C A E D R O

Icosaedro

20 triángulos equiláteros

5 aristas por vértice

P O L I E D R O S R E G U L A R E S : T E T R A E D R O , O C T A E D R O , I C O S A E D R O , C U B O O H E X A E D R O Y

D O D E C A E D R O

Hexaedro o Cubo

6 cuadrados

3 aristas por vértice

P O L I E D R O S R E G U L A R E S : T E T R A E D R O , O C T A E D R O , I C O S A E D R O , C U B O O H E X A E D R O Y

D O D E C A E D R O

Dodecaedro

12 pentágonos regulares

3 aristas por vértice

P O L I E D R O S R E G U L A R E S : T E T R A E D R O, O C T A E D R O, I C O S A E D R O, C U B O O H E X A E D R O Y D O D E C A E D R O

Resumen

Construcción sólidos platónicos

Historia Sólidos Platónicos

Poliedros no regulares: prismas y pirámides.

Un poliedro no es regular cuando: Alguna de sus

caras no es un polígono regular o en dos de sus

vértices concurre un número distinto de aristas

Hay de dos tipos: Primas y Pirámides

POLIEDROS NO REGULARES: PRISMAS Y P IRÁMIDES

PRISMAS

Un prisma es un poliedro en el que dos de sus caras son polígonos

iguales y paralelos, y el resto son paralelogramos.

El nombre del prisma vendrá dado por el polígono de la base, es

decir, prisma triangular, cuadrangular, pentagonal…

Los elementos de un prisma son: bases, vértices, altura, cara lateral,

arista básica y arista lateral

Un prisma es regular si es recto y los polígonos básicos son

regulares

POLIEDROS NO REGULARES: PRISMAS Y P IRÁMIDES

Prismas

POLIEDROS NO REGULARES: PRISMAS Y P IRÁMIDES

Pirámides

Una pirámide es un poliedro en el que una de sus caras es un polígono

cualquiera y las otras son triángulos que tienen un vértice en común.

Dependiendo del polígono se llamarán pirámide triangular,

cuadrangular, pentagonal…

Los elementos de una pirámide son: Vértice, base, arista básica, arista

lateral y altura.

Una pirámide es regular si es recta y su base es un polígono regular

POLIEDROS NO REGULARES: PRISMAS Y P IRÁMIDES

Pirámides

Cuerpos de revolución: cilindro, cono y esfera.

Un cuerpo de revolución se obtiene al girar un

figura plana 360º alrededor de un eje,.

Este año estudiaremos tres: cilindro, cono y esfera

Cuerpos de revolución: cilindro, cono y esfera

Cilindro

Se obtiene al girar 360º un rectángulo alrededor

de uno de sus lados. Sus elementos son: Eje de

revolución, Generatriz, Bases (Son círculos) y altura.

En los cilindros la altura coincide con la generatriz

CUERPOS DE REVOLUCIÓN: C IL INDRO, CONO Y ESFERA

Cilindros

CUERPOS DE REVOLUCIÓN: C IL INDRO, CONO Y ESFERA

Cono

Se obtiene al girar un triángulo rectángulo

alrededor de uno de sus catetos. Sus elementos son:

Base, (es un círculo), generatriz, vértice, altura y eje

de revolución

En un cono, la generatriz NO coincide con la

altura.

CUERPOS DE REVOLUCIÓN: C IL INDRO, CONO Y ESFERA

Cono

CUERPOS DE REVOLUCIÓN: C IL INDRO, CONO Y ESFERA

Esfeera

Se obtiene al girar 360º un semicírculo alrededor

de su diámetro

Los elementos más característicos de las esferas

son el centro y el radio. Además es importante

señalar las diferencias entre semiesfera y

hemisferio; cuña esférica y huso esférico; segmento

esférico y casquete esférico; segmento esférico de

dos bases, zona esférica

CUERPOS DE REVOLUCIÓN: C IL INDRO, CONO Y ESFERA

Esfera

CUERPOS DE REVOLUCIÓN: C IL INDRO, CONO Y ESFERA

Esferas

CUERPOS DE REVOLUCIÓN: C IL INDRO, CONO Y ESFERA

Cuerpos de revolución

http://www.youtube.com/watch?v=-_-fCQNX1Fk