actividades iniciales -...
TRANSCRIPT
Solucionario
Solucionario
7 Lugares geométricos en el espacio
ACTIVIDADES INICIALES
7.I Escribe unas ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos A(1, 2, −3) y B(−2, −1, 1). Calcula, además, un par de ecuaciones implícitas que la determinen.
AB (−3, −3, 4)
+−=−=−=
tz
ty
tx
43
32
31
=++=+−
+=
−−=
−−
0534
01
4
3
3
2
3
1
zx
yxzyx
7.II Indica si las siguientes ecuaciones paramétricas determinan o no la misma recta:
+=−−=
−=
tz
ty
tx
22
1
2
+−=
−=
−=
sz
sy
sx
22
11
2
14
Para que representaran la misma recta, debería verificarse que:
+=+=+=
+−=+
−=−−
−=−
ts
ts
ts
st
st
st
24
24
24
2222
111
2
142
Como en los tres casos se obtiene la misma relación entre t y s, las ecuaciones representan a la misma recta.
7.III Escribe unas ecuaciones paramétricas para el plano que pasa por los puntos A(−1, −2, 0), B(2, −1, 1) y C(0, −3, 2). Calcula su ecuación implícita.
AB = (3, 1, 1) y AC = (1, −1, 2)
+=−+−=++−=
stz
sty
stx
2
2
31
021
211113
=+−+
zyx
3x − 5y − 4z − 7 = 0
7.IV Indica si las siguientes ecuaciones paramétricas determinan el mismo plano:
+−=−=
−=
stz
sty
sx
22
2
3
μ−λ+=μ+λ+=
λ−=
2
1
1
z
y
x
El punto (3, 0, 0) pertenece al primer plano t = s = 0 y sin embargo no pertenece al segundo, ya que:
=−=μ=+−=μ
−=λ
μ−λ+=μ+λ+=
λ−=
022
121
2
20
10
13
el sistema es incompatible. Por tanto, representan diferentes planos.
88
Solucionario
EJERCICIOS PROPUESTOS
7.1 Calcula las ecuaciones de los siguientes lugares geométricos e identifícalos indicando sus elementos más importantes.
a) Puntos del plano que equidistan de los puntos A(3, –1) y B (–5, 3).
b) Puntos del plano que equidistan de las rectas r : x – y = 0 y s : 2x + y = 0.
c) Puntos del plano tales que su distancia al eje de abscisas es el doble de su distancia al origen de coordenadas.
d) Puntos del plano cuya distancia al origen de coordenadas es la mitad de su distancia al punto (0, 2).
a) Sea P(x, y) un punto cualquiera del lugar.
d(P, A) = d(P, B) 2222 )3()5()1()3( −++=++− yxyx
x2 − 6x + 9 + y2 + 2y + 1 = x2 + 10x + 25 + y2 − 6y + 9 16x − 8y + 24 = 0 2x − y + 3 = 0
Se trata de la mediatriz del segmento de extremos A y B.
b) El lugar pedido está formado por las dos bisectrices de las rectas r y s. Sea P(x, y) un punto de las bisectrices.
d(P, r) = d(P, s) 2222 12
2
11 +
+±=+
−
yxyx
5
2
2
yxyx +±=−
( 5 2 2) ( 5 2) 0x y − − + = ; 0)25()225( =−−+ yx
c) Sea P(x, y) un punto cualquiera del lugar.
d(P, OX) = y ; d(P, O) = 22 yx + 034442 2222222 =++=+= yxyxyyxy
El único punto que verifica esta ecuación es el origen de coordenadas. El lugar geométrico es este único punto.
d) Sea P(x, y) un punto cualquiera del lugar.
−+=+ 2222 )2(2
1yxyx 4x2 + 4y2 = x2 + y2 – 4y + 4 3x2 + 3y2 + 4y – 4 = 0 0
3
4
3
422 =−++ yyx
Se trata de una circunferencia de centro C2
, 0,2 2 3
A B− − − =
y de radio r = 3
4
3
4
36
16
44
22
=+=−+ CBA
7.2 Calcula las ecuaciones de las siguientes cónicas e identifícalas indicando sus elementos más importantes:
a) Puntos del plano que distan 3 unidades del punto P(2, –2).
b) Puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos F (0, 4) y F '(0, –4) es 2.
c) Puntos del plano que equidistan de la recta y = 2 y del punto (0, –2).
d) Puntos del plano cuya suma de distancias a los puntos F (3, 0) y F '(–3, 0) es 10.
a) Circunferencia de centro P(2, −2) y radio 3: (x − 2)2 + (y + 2)2 = 9 x2 + y2 − 4x + 4y − 1 = 0
b) Hipérbola centrada en el origen y con ejes sobre los ejes de abscisas: 1151
22
=− yx
c) Parábola de foco F(0, −2) y directriz y = 2: yxyyxyyyxy 84444)2(2 222222 −=+++=−+++=−
d) Elipse centrada en el origen y con ejes sobre los ejes de abscisas: 11625
22
=+ yx
7.3 Escribe las ecuaciones paramétricas de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas y tiene de radio r.
cos
sen
x r t
y r t
= =
89
Solucionario
Solucionario
7.4 (TIC) Para la curva de ecuaciones paramétricas
−=
=21 ty
tx, completa la tabla y dibuja de forma
aproximada su gráfica.
7.5 Comprueba que unas posibles ecuaciones paramétricas para la elipse 12
2
2
2
=+b
y
a
x pueden ser:
==
tby
tax
sen
cos
2 2 2 2 2 2 2 22 2
2 2 2 2 2 2
( cos ) ( sen ) cos sencos sen 1
x y a t b t a t b tt t
a b a b a b+ = + = + = + =
7.6 Escribe las ecuaciones implícita y explícita de las curvas cuyas ecuaciones paramétricas son:
a)
+=
=
ty
tx
22
1
2
b)
+=
+=2
3
1 ty
ttx
a) x
yx
yx
tty
tx
4
2
122
2
12
22
1
2
+=⋅+==
+=
=
Ecuación implícita: 04
2
1 =−−x
y . Ecuación explícita: x
y4
2
1 +=
b) 01)1(1
2232232
22
2
3
=−−+=+===+⋅=
+=+=
xyyxyyy
xy
y
xttyttx
ty
ttx
Ecuación implícita: y3 – y2 – x2 = 0 con (x, y) ≠ (0, 0). No existe la ecuación explícita.
7.7 Pasa a coordenadas polares los siguientes puntos dados en cartesianas: A(3, 3); B ( )2,2− ; C(−1, 0);
D ( )3,3 − .
A (3, 3):
2 2 2 2 23 3 18 18 3 23 2,
4tg 1 arctg(1)4
r x y rAy
x
= + = + = = = π πθ = = θ = =
B (− 2 , 2 ):
2 22 2 2 22 2 4 3
2,3arctg( 1) 4tg 1 4
rr x yBy
x
== + = + = π π θ = − = θ = = −
C (−1, 0): ( )2 2 2 1 1
1,arctg(0)tg 0
r x y rCy
x
= + = = π θ = = πθ = =
D(3, − 3 ):
22 2 2 2 12 2 33 3 12
112 3,3 113 6arctgtg
3 63
rr x yDx
y
= == + = + = π π θ = − = θ = = −
t –2 –1 –0,5 0 0,5 1 2
x
y
t −2 −1 −0,5 0 0,5 1 2 x −2 −1 −0,5 0 0,5 1 2 y −3 0 0,75 1 0,75 0 –3
O X
Y
1
1
90
Solucionario
7.8 Pasa a coordenadas cartesianas los puntos que tienen por coordenadas polares:
A(2, π ); B
π
3
2,1 ; C(0, 0); D
π
2
3,3 .
A(2, π ): ( )cos 2cos 22, 0
sen 2sen 0
x rA
y r
= θ = π = − − = θ = π = C(0, 0): C(0, 0)
B
π
3
2,1 :
2 1cos cos
1 33 2,
2 22 3sen sen
3 2
x r
B
y r
π = θ = = − − π = θ = =
D
π
2
3,3 : ( )
3cos 3cos 0
2 0, 33
sen 3sen 32
x rP
y r
π = θ = = − π = θ = = −
7.9 Escribe la ecuación implícita en coordenadas polares de:
a) La recta que pasa por el origen de coordenadas y por el punto (–1, –1).
b) La circunferencia que pasa por los puntos A (2, 0); B (–2, 0) y C (0, –2).
a) Se trata de la bisectriz del primer y tercer cuadrante cuya ecuación en coordenadas cartesianas es y = x.
Por tanto, r cosθ = r senθsen
1cos
r
r
θ = =θ
tg θ = 1
π=θ
π=θ
4
54
b) La circunferencia que pasa por A(2, 0), B(−2, 0) y C(0, −2) tiene por ecuación implícita en coordenadas cartesianas x2 + y2 = 4 de centro el origen y radio 2. Por tanto, su ecuación en coordenadas polares es r = 2.
7.10 (PAU) Calcula la ecuación del plano mediador del segmento de extremos A(1, –2, 3) y B(5, 0, 3).
d(P, A) = d(P, B) 222222 )3()5()3()2()1( −++−=−+++− zyxzyx
x2 − 2x + 1 + y2 + 4y + 4 + z2 − 6z + 9 = x2 − 10x + 25 + y2 + z2 − 6z +9 8x + 4y − 20 = 0
La ecuación del plano mediador es π : 2x + y − 5 = 0.
7.11 (PAU) Calcula las ecuaciones de los planos bisectores de los planos π , que pasa por los puntos A(1, 1, 2), B(2, 2, 0) y C(–1, 3, 2), y π ', de ecuación 2x + 2y − z + 5 = 0.
Plano π : 002
211211
=−
−−−
zyx
z + 2y − 4 + 2x − 4 + z = 0 x + y + z = 4
d(P, π) = d(P, π') 3
522
3
4
)1(22
522
111
4222222
+−+±=−++
−++
+−+±=++
−++ zyxzyxzyxzyx
Los planos bisectores serán:
3( 4) 2 2 5 : (2 3 ) (2 3 ) (1 3 ) 5 4 3 0
3( 4) 2 2 5 : (2 3 ) (2 3 ) ( 3 1) 5 4 3 0
x y z x y z x y z
x y z x y z x y z
+ + − = + − + α − + − − + + + = + + − = − − + − β + + + + − + − =
7.12 (PAU) Calcula los siguientes lugares geométricos:
a) Puntos del espacio que distan 3 unidades de la recta r :
==
00
zy
b) Puntos del espacio que distan 3 unidades del plano π : x + y = 0.
a) La recta r es el eje X. Si P(x, y, z) d(P, r) = 22 zy + y2 + z2= 9
Se trata de una superficie cilíndrica de eje el eje X.
b) Se trata de dos planos paralelos a π : x + y = 0. P(x, y, z) d(P, π) =: 3 2
32 : 3 2
x yx y
x y
α + =+ = ± β + = −
91
Solucionario
Solucionario
7.13 Indica cuáles de las siguientes expresiones determinan una superficie y, en caso afirmativo, cuáles
representan un plano.
a)
+=−=
⋅+=
2
2
tz
sty
sttx
c)
+=+=
++−=
1
12
2)1(2
sz
ty
stx
b) x + 2y + 2
z = 3 d) y + z + senx = 0
a) Representan una superficie ya que son tres ecuaciones dependientes de dos parámetros. Pero no determinan un plano, puesto que no todas las expresiones son de primer grado (hay un factor t s).
b) Representan una superficie que, además, es un plano.
c) Representa una superficie que es un plano ya que es una ecuación de primer grado.
d) Es una superficie pero no un plano. El sumando senx no es lineal (de primer grado).
7.14 Halla dos puntos y la ecuación implícita de la superficie:
+=+=
+=
tz
sty
sx
1
222
Si s = 0, t = 0 A(2, 0 1). Si s = −1, t = 2 B(1, 5, 3)
y = (z − 1)2 + (x − 2)2 y = z2 − 2z + 1 + x2 − 4x + 4 y = x2 + z2 − 4x − 2z + 5
7.15 Di qué tipo de curva representan las siguientes ecuaciones implícitas:
=−++
=++
04
4222
222
zzyx
zyx
Halla unas ecuaciones paramétricas para la misma.
La primera ecuación representa una superficie esférica de centro el origen y radio 2. La segunda representa otra superficie esférica de centro el punto (0, 0, 2) y radio 2.
Se cortan en la circunferencia contenida en el plano z = 1 de centro (0, 0, 1) y radio r = 312 22 =−
Luego las ecuaciones paramétricas son
==
=
1
sen3
cos3
z
ty
tx
7.16 (PAU) Escribe la ecuación de las esferas cuyas características son las siguientes:
a) De centro, el punto C(–2, 1, 2), y de radio, r = 4.
b) Uno de sus diámetros es el segmento de extremos A(2, –1, 3) y B(4, –1, 1).
a) (x + 2)2 + (y − 1)2 + (z −2)2 = 42 x2 + y2 + z2 + 4x − 2y − 4z − 7 = 0
b) El centro estará situado en el punto medio de AB: M(3, −1, 2).
El radio será d(M, A) = r = 2101 =++
La esfera es: (x − 3)2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 = 2 2 x2 + y2 + z2 − 6x + 2y − 4z + 12 = 0
7.17 Escribe unas ecuaciones paramétricas para la esfera que tiene por ecuación x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 6z + 11 = 0.
C(1, −2, 3) y 3114
36
4
16
4
4 =−++=r Las ecuaciones paramétricas son:
1 3 cos sen
2 3 cos cos
3 3 sen
x
y
z
= + ⋅ α ⋅ β = − + ⋅ α ⋅ β = + ⋅ α
92
Solucionario
7.18 (PAU) Halla la ecuación de la esfera cuyo centro es el punto P(2, –2, 0) y tal que el plano que pasa por los puntos A(0, 1, –1), B(–1, 0, –1) y C(1, 1, 1) es tangente a ella. Calcula las coordenadas del punto de tangencia.
Plano π que pasa por A, B y C: 0120101
11=
+−−
−
zy
x 2x − 2y − z + 1 = 0
Radio de la esfera: r = d(P, π) = 39
144=
++ La ecuación de la esfera es: (x − 2)2 + (y + 2)2 + z2 = 9
=−++=+−++
+−=+−=−+−++
=+−−=+++−
0)1(0122244
0144
0122
9)2()2( 222222222222
zyxzzyxzyx
yxzyx
zyx
zyx
x = 0, y = 0, z = 1. El punto de tangencia es el Q(0, 0, 1).
7.19 (PAU) Halla la ecuación de la esfera de radio r = 4, tangente a los planos XY e YZ, y que pasa por el punto
A(1, 2, 4 + 7 ). Calcula los puntos de tangencia con estos planos coordenados.
Como r = 4 y es tangente a XOY y YOZ, el centro es de la forma C(4, b, 4).
Por tanto, d(C, A) = 2 47)2(9 2 =+−+ b (b – 2)2 = 0 b = 2 C(4, 2, 4)
La ecuación de la esfera es: (x − 4)2 + (y − 2)2 + (z − 4)2 = 16, y los puntos de tangencia son: (4, 2,0) y (0,2,4).
7.20 (PAU) Estudia la posición relativa de la esfera y el plano en los siguientes casos:
a) σ : x2 + y2 + z2 + 2x – 8 = 0; π : x + 2y + 2z – 8 = 0
b) σ : x2 + y2 + z2 – 2y + 4z – 4 = 0; π : y – 3 = 0
c) Esfera de centro el origen de coordenadas y radio 3, y plano π : x + 2y + 2z + 10 = 0.
a) C(–1, 0, 0); r = 3; d(C, π ) = 33
9
441
81==
++
−−. r = d(C, π ) El plano es tangente a la esfera.
b) C(0, 1, −2); r = 3; d(C, π ) = 21
31=
−. r > d(C, π ) El plano corta a la esfera en una circunferencia.
c) C(0, 0, 0); r = 3; d(C, π ) = 3
10
9
10= . r < d(C, π ) El plano es exterior a la esfera.
7.21 (PAU) Estudia la posición relativa de la esfera y la recta en los siguientes casos:
a) Esfera de centro C(0, 0, 0) y r = 6, y recta s :
=−=+
0
182
z
yx
b) σ : x2 + y2 + z2 + 2x – 35 = 0; r :
==+
4
7
z
zx
a) 028872536)182(
0
182
36222
222
=++=++
=−−=
=++yyyy
z
yx
zyx
; 05765760518442 <−=−=−=Δ acb
No hay soluciones reales, por lo que la recta es exterior a la esfera.
b)
−==−+++
==
=−+++
)4,2,3(
)4,2,3(40356169
4
3
035222
222
B
Ayy
z
x
xzyx
. La recta corta a la esfera.
93
Solucionario
Solucionario
7.22 Pasa a coordenadas cartesianas los siguientes puntos determinados por sus coordenadas cilíndricas y esféricas:
a) A(r, θ , z) =
π
3,3
2,3 ; B(r, θ , z) = (4, π , –4) b) A(r, α , β ) = (3, π , 0); B(r, α , β ) =
ππ
6,
4,4
a) 2
3
2
13
3
2cos3cos −=
−⋅=π=θ= rx ;
2 3 3 3sen 3sen 3
3 2 2y r
π= θ = = ⋅ = ; z = 3 A
−3,
2
33,
2
3
( ) 414cos4cos −=−⋅=π=θ= rx ; sen 3sen 3 0 0y r= θ = π = ⋅ = ; z = –4 B(−4, 0, −4)
b) x = r cos α sen β = 3cos π sen 0 = 0; y = r sen α sen β = 3sen π sen 0; z = r cos β = 3cos 0 = 3 A(0, 0, 3)
x = 4cos4
π sen
6
π= 2 ; y = 4sen
4
π sen
6
π= 2 ; z = 4cos
6
π= 32 B( 2 , 2 , 32 )
7.23 Pasa a coordenadas cilíndricas los siguientes puntos: A (x, y, z) = (0, 2, 2), B (x, y, z) =
−
2
12,4,
2 2 4 2
2tg
0 22
r x y
y
xz z
= + = =
π θ = = θ =
= =
A
π
2,2
,2
2 2 20 2 5
2 1tg 6,75 rad
4 21
2
r x y
z z
= + = = θ = − = − θ = = =
B
2
1;75,6;52
7.24 Pasa a coordenadas esféricas los siguientes puntos: A(x, y, z) = (0, 3, 3), B(x, y, z) =
−
−4
1,
2
1,1
2 2 2r x y z= + + ; tgy
xα = ;
2 2 2cos
z
x y zβ =
+ +
18 3 2r = = ; 3
tg0 2
πα = α = ; 3 2
cos2 43 2
πβ = = β = A
ππ
4,
2,23
21
4r = ;
1tg 3,61
2α = α = ;
114cos 1,35
21 214
β = = β = B
35,1;61,3;
4
21
7.25 Halla las ecuaciones paramétricas de la superficie cónica de vértice V(1, 4, –1) y de directriz la curva:
−=
+=
=
3
2
)1(
)2(
tz
ty
tx
( )( )
2 2
3 3 2
1 ( 1) 1 ( 1)
4 ( 2) 4 4 4
1 ( 1) 1 1 3 3
x s t x s t
y s t y s t t
z s t z s t t t
= + ⋅ − = + − = + + − = + +
= − + − + = − + − +
7.26 Halla las ecuaciones paramétricas de la superficie cilíndrica de directriz
===
tz
ty
x
sen
cos2
1
y tal que sus
generatrices son paralelas al eje X.
La dirección de las generatrices será (1, 0, 0). Las ecuaciones serán:
1
2cos
sen
x s
y t
z t
= + = =
94
Solucionario
7.27 Halla las ecuaciones paramétricas de la superficie de traslación de directriz
−==
+=
tz
y
tx
0
1
y generatriz el eje
de coordenadas Z.
El punto de corte de las dos curvas es P(0, 0, 1). Una generatriz es OZ:
===
sz
y
x
0
0
Por tanto: 0
1
0
1
1
00
01
=
−+−==
+=
−+−=+=
++=y
stz
y
tx
stz
y
tx
. Se trata del plano coordenado OXZ: y = 0
7.28 Halla las ecuaciones paramétricas de la superficie de revolución que se engendra al girar, alrededor del eje Z, la recta que pasa por los puntos O(0, 0, 0) y A(1, 1, 1).
La recta que pasa por O(0, 0, 0) y A(1, 1, 1) es
===
tz
ty
tx
. Las ecuaciones paramétricas serán :
cos
sen
x t s
y t s
z t
= = =
7.29 (TIC) Identifica las siguientes cuádricas:
a) 11649
222
=−−zyx
b) 12 222 =++ zyx c) zyx
222
22
=+ d) zyx 42 22 =−
a) 11649
222
=−− zyx 1
1649
222
−=++− zyx Hiperboloide de dos hojas
b) 12 222 =++ zyx 1
2
111
222
=++ zyx Elipsoide
c) zyx
222
22
=+ 14
22 yxz += Paraboloide elíptico
d) zyx 42 22 =− 24
22 yxz −= Paraboloide hiperbólico
7.30 a) Di qué tipo de cuádrica representa la ecuación: 1449436 222 =−− zyx
b) Indica el tipo y elementos de la cónica que se obtiene al cortar la cuádrica por los planos x = 1, y = 1 y z = 1.
a) Dividiendo por 144: 116364
116364
222222
−=++−=−− zyxzyx Se trata de un hiperboloide de dos hojas.
b) Intersección con x = 1: 4
3
1636
22
−=+ zy Intersección vacía
Intersección con y = 1: 1
9
148
9
3736
37
16436
37
164
222222
=−=−−=+− zxzxzx Hipérbola contenida en y = 1
Intersección con z = 1: 1
4
153
4
1716
17
36436
17
364
222222
=−=−−=+− yxyxyx Hipérbola contenida en z =1
95
Solucionario
Solucionario
EJERCICIOS
Lugares geométricos en el plano
7.31 Representa y halla la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(3, 2) y B(−1, 4).
d(P, A) = d(P, B) 2222 )4()1()2()3( −++=−+− yxyx
x2 − 6x + 9 + y2 −4y + 4 = x2 + 2x +1 + y2 − 8y + 16
8x − 4y + 4 = 0 2x − y + 1 = 0
7.32 Halla la ecuación de las bisectrices de las rectas r : x – 2y = 0 y s : x + 3y = 0.
Represéntalas y comprueba que son perpendiculares.
d(P, r) = d(P, s) 10
3
5
2 yxyx +±=−
Las ecuaciones de las bisectrices serán:
0)322()12(:3222 =+−−+=− yxayxyx
0)223()12(:3222 =−++−−=− yxbyxyx
Las bisectrices a y b son perpendiculares ya que:
0891)223()223()12()12( =+−=−⋅+−+⋅−
7.33 Halla el lugar geométrico de los puntos del plano tales que sus distancias a la recta r : 2x + y – 3 = 0 son iguales a una unidad. Identifica el lugar.
d(P, r) = 1
−=+
+=+=
−+
532:
532:1
5
32
yxb
yxayx. Son dos rectas paralelas a r.
7.34 Halla el lugar geométrico de los puntos del plano tales que su mínima distancia a la circunferencia de centro el origen de coordenadas, y de radio 2, sea igual a una unidad. Representa e identifica el lugar.
Como la mínima distancia de un punto P a una circunferencia de centro C es la distancia entre el punto P y el punto intersección de la circunferencia con PC, se trata de dos circunferencias concéntricas con la dada y de radios 1 y 3 respectivamente.
7.35 Halla el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a los ejes de coordenadas coincida con el cuadrado de su distancia al origen. Representa e identifica el lugar.
d(P, OX) + d(P, OY) = d(P, O)2
y + x = 2
22
+ yx y + x = x2 + y2 x2 + y2 − x − y = 0
Se trata de una circunferencia de centro C
2
1,
2
1 y radio r =
2
2
2
1
4
1
4
1 ==+
O X
A
BY
1
1
O X
s r
Y
1
1
O X
Y
1
1
O X
P
x
y
Y
1
1
96
Solucionario
7.36 Halla el lugar geométrico de los puntos del plano tales que:
a) Su distancia al punto fijo A(1, –3) sea igual a 2.
b) La suma de distancias a los puntos fijos A(–3, 0) y B(3, 0) sea igual a 10.
c) La diferencia de distancias a los puntos fijos A(0, –5) y B(0, 5) sea igual a 8.
d) Equidisten del punto F(0, 2) y de la recta y + 2 = 0.
Identifica cada uno de estos lugares.
a) Circunferencia de centro A(1, −3) y radio 2 : (x − 1)2 + (y + 3)2 = 4 x2 + y2 – 2x + 6y + 6 = 0
b) Elipse de focos A(−3, 0) y B(3, 0) y semieje mayor 5: 11625
192525
2222
=+=−
+ yxyx
c) Hipérbola de focos A(0, −5) y B(0, 5) y semieje real en OY y con longitud 4: 1916
1162516
2222
=−=−
− xyxy
d) Parábola: x2 = 8y
7.37 Halla la ecuación de cada una de las siguientes cónicas:
a) Circunferencia de centro C(1, –4) y radio r = 3.
b) Elipse de focos F '(0, –2) y F(0, 2) y semieje mayor 3.
c) Hipérbola de focos F '(–3, 0) y F(3, 0) y semieje real 2.
d) Parábola de foco F(–2, 0) y directriz x − 2 = 0.
a) (x − 1)2 + (y + 4)2 = 9 x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0
b) 159
1499
2222
=+=−
+ xyxy
c) 154
1494
2222
=−=−
− yxyx
d) xyyxx 8)2(2 222 −=++=−
7.38 (TIC) Halla el lugar geométrico de los puntos del plano tales que equidisten de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes y del punto (0, 4). Representa e identifica el lugar.
d(P, y = x) = d(P, (0,4)) −++=−+−+=−yyxxyyxyx
yx1632222)4(
2
222222
03216222 =+−++ yxyyx Se trata de una parábola de foco F(0, 4) y directriz y = x.
O X
dF
Y
1
1
97
Solucionario
Solucionario
Ecuaciones paramétricas de una curva
7.39 Identifica y escribe unas ecuaciones paramétricas de las siguientes curvas del plano:
a) 2x – 3y + 4 = 0 c) y2 – y – x – 2 = 0 e) 2x2 + 2y2 – 3 = 0 g) x2 – y2 – 4 = 0
b) x2 + y2 – y = 0 d) x + y – xy = 0 f) x2 + 2y2 – 2 = 0 h) y2ex = 1
a) Recta:
+=
=
3
42ty
tx
b) Circunferencia centro C
2
1,0 y radio
2
1:
+=
=
ty
tx
sen2
1
2
1
cos2
1
c) 2
2
1
−y = x +
4
9. Parábola:
=
−
−=
ty
tx4
9
2
12
d) Cónica:
−=
=
1t
ty
tx
e) Circunferencia centro C(0, 0) y radio 2
3:
=
=
ty
tx
sen2
3
cos2
3
f) 12
22
=+ yx
. Elipse centrada en (0, 0) y de semiejes a = 2 , b = 1: 2 cos
sen
x t
y t
=
=
g) 144
22
=− yx. Hipérbola:
2
cos2 tg
xt
y t
= = ⋅
h) 2
x
y e−
= . Exponencial decreciente: 2x
x t
y e
= − =
7.40 Escribe las ecuaciones paramétricas para la curva x3 + y3 = xy utilizando el parámetro t =x
y.
Como y = tx ( )
+=
+=
+
==+=⋅+⋅=⋅=+
1
1
11
3
2
3
3332333
t
ty
t
tx
t
txttxttxxtxtxxxtx
7.41 Escribe la ecuación implícita de cada una de las siguientes curvas determinadas por unas ecuaciones paramétricas, e identifícalas.
a) 2cos
2 sen
x t
y t
= =
b)
+−==
124
22 tty
tx c)
3
cos6 tg
xt
y t
= =
d)
==
ty
tx
sen
cos2
a) 2 2 2 2 2 24(cos sen ) 4 4x y t t x y+ = + = + = c) 2 2 2 2
22
1tg 1 1
3 6 cos 3 6
x y x yt
t− = − = − =
b) 1112
22
4 222
+−=+−=+⋅−
= xxyxx
xxy d)
2 22 2 2 2cos sen 1 1
2 4
x xy t t y + = + = + =
98
Solucionario
7.42 Eliminando t en las ecuaciones paramétricas:
+=
+=
3
2
3
1
2
1
2
t
ty
t
tx
, calcula la ecuación implícita de la curva que
determinan. Observa que y = tx.
yxyxx
y
x
yx
x
yx
y
xx
ytxt
t
tty
t
ty
t
tx
22
1
2
1
2
1
2
1
2
332
3
3
33
3
2
3
=+=++
==⋅=+
⋅=
+=
+=
7.43 (TIC) Con la ayuda de una tabla de valores, representa de forma aproximada las siguientes curvas, dadas por ecuaciones paramétricas:
a)
+=
+=
1
13
2
ty
tx b)
−=
+=
tty
ttx
1
1
a)
b)
Coordenadas polares en el plano
7.44 Pasa a coordenadas polares los puntos dados en coordenadas cartesianas A(–1, 3 ) y B(–2, –2).
22( 1) 3 2 2
( , ) : 2;3 2 3arctg1 3
rA r A
= − + = π θ π θ = =
−
;
2 2( 2) ( 2) 2 2 5( , ) : 2 2;2 5 4arctg
2 4
rB r B
= − + − = π θ − π θ = = −
7.45 Pasa a coordenadas cartesianas los puntos dados en coordenadas polares A
π
4
3,2 y B
π
3
5,1 .
( )3
2cos 24( , ) : 2, 23
2sen 24
xA x y A
y
π = = − − π = =
;
5 1cos
1 33 2( , ) : ,
2 25 3sen
3 2
x
B x y B
y
π = = − π = = −
7.46 Determina la ecuación en coordenadas polares de la curva de ecuación yyxyx =−−+ 2222 .
2 sen 1 senr r r r− = θ − = θ
t –3 –2 –1 0 1 2 3 4
x 10 5 2 1 2 5 10 17
y –26 –7 0 1 2 9 28 65
t –2 –1 1
2− 0
1
2 1 2
x 5
2− −2
5
2− −
5
2 2
5
2
y 3
2− 0
3
2 −
3
2− 0
3
2
O X
Y
2
2
O X
Y
1
1
99
Solucionario
Solucionario
7.47 Determina la ecuación implícita de la curva cuya ecuación en coordenadas polares es θ−
=cos1
3r .
¿Qué tipo de curva es?
22
22
2
2
22
1
3
1
11
3
yx
xyx
x
y
yx
+−
=+
+−
=+ 963 222 +==−+ xyxyx
Se trata de una parábola de eje el eje X y abierta hacia la derecha.
7.48 Calcula la ecuación en coordenadas cartesianas de la curva cuya ecuación en coordenadas polares es r = 7cos θ . Identifícala.
22 2 2
2
1 1tg cos
1 tg1
y x
yx x yx
θ = θ = = =+ α ++
; r = 22 yx +
En coordenadas rectangulares será: 4
49
2
707
7 22
22
22
22 =+
−=−+
+=+ yxxyx
yx
xyx
Es una circunferencia de centro
0,
2
7 y radio
2
7.
Lugares geométricos en el espacio
7.49 (PAU) Calcula la ecuación del lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los puntos A(–1, –1, 4) y B(3, –3, 0). Identifica este lugar geométrico.
d(P, A) = d(P, B) 222222 )3()3()4()1()1( zyxzyx +++−=−++++
x2 + 2x + 1 + y2 +2y + 1 + z2 − 8z + 16 = x2 − 6x + 9 + y2 + 6y + 9 + z2 8x − 4y − 8z = 0 2x − y − 2z = 0
Se trata del plano mediador del segmento de extremos A y B, es decir, el plano perpendicular al segmento AB que pasa por su punto medio.
7.50 (PAU) Calcula la ecuación del lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los planos:
π :
+===
stz
sy
tx
π ': x – y = 0.
Identifica este lugar geométrico.
La ecuación implícita del plano π es x + y − z = 0.
d(P, π ) = d(P, π ')
=−−−+
=++−−
−±=−+
02)23()23(:
02)23()23(:
23 zyxb
zyxayxzyx
Se trata de los planos a y b bisectores del diedro que forman π y π ', es decir, los planos perpendiculares que dividen al diedro que forman π y π ' en cuatro partes iguales.
100
Solucionario
7.51 Dados los puntos del espacio A(–5, 0, 0) y B(5, 0, 0):
a) Calcula la distancia d que los separa.
b) Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que distan d unidades de A y de B a la vez.
c) Identifica el lugar hallado.
a) d(A, B)= 10102 = unidades
b) d(P, A) = d(P, B) = 5
==−+++
=−−++=−+++
=++−
=+++0
07510
07510
07510
10)5(
10)5( 222
222
222
222
222
x
xzyx
xzyx
xzyx
zyx
zyx
c) Se trata de la circunferencia que se obtiene al cortar la esfera de centro C(–5, 0, 0) y radio 5.
7.52 Calcula la ecuación del lugar geométrico de los puntos del espacio que distan 5 unidades de la recta
r :
==
4
3
y
x.
d(P, r) = | PQ |, con Q(3, 4, λ) tal que PQ = (3 − x, 4 − y, λ − z) ⊥ ru
= (0, 0, 1) λ − z = 0 λ = z.
Por tanto, d(P, r) = ( ) ( ) 5043 222 =+−+− yx La ecuación del lugar geométrico es (x − 3)2 + (y − 4)2 = 25.
Se trata de un cilindro de eje r y tal que el corte con planos paralelos a XOY son circunferencias de radio 5.
Obviamente, los puntos del eje Z, que son de la forma (0, 0, t), verifican la ecuación del lugar.
Ecuación de una superficie
7.53 Indica si las siguientes ecuaciones dependientes de parámetros representan alguna superficie y, en caso afirmativo, indica si la superficie es un plano.
a)
=λ−=
λ+λ+=
3
2
1 2
z
y
x
b)
λ−=λ−=λ+=
3
2
1
z
y
x
c)
=μ−=
μ+λ+=
3
2
1 2
z
y
x
d)
λ−=λ−=
μ+λ+=
3
2
1
z
y
x
a) Al aparecer un único parámetro, se trata de una curva y no de una superficie.
b) Al aparecer un único parámetro y ser todas las expresiones de primer grado, se trata de una recta.
c) Se trata de una superficie pero no es un plano ya que las expresiones no son todas de primer grado.
d) Se trata de una superficie. Es un plano ya que las expresiones son todas de primer grado.
7.54 Calcula, en cada caso, la ecuación implícita de las superficies cuyas ecuaciones paramétricas son:
a)
=+−−=
++=
sz
sty
stx
2
1
b)
=+−=+=
sz
sty
stx 22
a)
=+−−=
++=
sz
sty
stx
2
1
012212
1=+−+−−=−−=
+−−=++=
zyxyzzxtzty
ztx
b) ( ) 022 2222
22
=−−++−=
−=−==
=+−=+=
xyzzyzyzxyzyst
zs
sz
sty
stx
7.55 Escribe las ecuaciones paramétricas de la superficie que tiene por ecuación implícita: 1144169
22
=+yx
.
Ecuaciones paramétricas:
===
sz
ty
tx
sen12
cos13
101
Solucionario
Solucionario
Coordenadas cilíndricas y esféricas
7.56 Determina las coordenadas cilíndricas del punto: P(x, y, z) = (3, 3 , 3).
( )22 2 23 3 12 2 3
3arctg arctg rad
3 63
r x y
y
xz z
= + = + = =
πθ = = =
= =
π
3,6
,32P
7.57 Determina las coordenadas cartesianas de un punto cuyas coordenadas cilíndricas son P 2, , 36
π −
.
cos 2cos 36
x rπ= θ = = ; sen 2sen 1
6y r
π= θ = = ; 3z z= = − ( 3,1, 3)P −
7.58 Determina las coordenadas esféricas del punto: P(x, y, z) = (0, 1, 1).
2 2 2 2 2 20 1 1 2r x y z= + + = + + = ; 1
arctg arctg0 2
y
x
πα = = = ; 2 2 2
1arccos arccos
42
z
x y z
πβ = = =+ +
;
ππ
4
,2
,2P
7.59 Determina las coordenadas cartesianas de un punto cuyas coordenadas esféricas son P
ππ
4
3,
2
3,22 .
3 3sen cos 2 2 sen cos 0
4 23 3
sen sen 2 2 sen sen 2 (0, 2, 2)4 2
3cos 2 2 cos 2
4
x r
y r P
z r
π π = β α = =
π π = β α = = − − −
π = β = = −
7.60 Calcula la longitud del segmento OA, sabiendo que las coordenadas cilíndricas de A son 7
2, , 24
π
.
14
7cos2cos =π=θ= rx ; 1
4
7sen2sen −=π=θ= ry ; z = 2 − )2,1,1(A 62)1(1 222 =+−+=OA
La superficie esférica
7.61 En cada uno de los siguientes casos, calcula las coordenadas del centro y la medida del radio de las esferas:
a) x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 6z – 2 = 0 b) 4x2 + 4y2 + 4z2 – 4x – 8y – 4z + 5 = 0
a) Sea C(a, b, c) el centro de la esfera y r el radio. Se verifica:
===−==
−++=−=
−=−=−==
−=−=
416,3,2,1
2
26
24
22
2222
rcba
rcbaG
cF
bE
aD
Centro C(1, −2, 3), radio r = 424
36
4
16
4
4 =+++
b) La ecuación de la esfera se puede escribir como 04
52222 =+−−−++ zyxzyx .
=====
−++==
−=−=−=−=−=−=
2
1
4
1,
2
1,1,
2
1
4
5
21
22
21
2222
rcba
rcbaG
cF
bE
aD
Centro C
2
1,1,
2
1 , radio r =
2
1
4
5
4
1
4
4
4
1 =−++
102
Solucionario
7.62 (PAU) Dada la esfera de ecuación x2 + y2 + z2 – 2z − 3 = 0.
a) Calcula las coordenadas de su centro y la medida de su radio.
b) Calcula la ecuación del plano tangente a la esfera en el punto P(0, 0, 3).
a) C(0, 0, 1), r = 2434
4 ==+
b) CP = (0, 0, 2) || n
= (0, 0, 1) z + D = 0. El plano debe pasar por P 3 + D = 0 D = −3 z – 3 = 0.
7.63 (PAU) Determina la posición relativa de los planos: π : 3y + 5z = 22, π ' : y + 2z = 3, π '' : z = 4 respecto de la superficie esférica de ecuación: x2 + y2 + z2 – 4x + 2y – 4z + 5 = 0.
El centro de la esfera es el punto C(2, −1, 2) y el radio mide r = 2454
16
4
4
4
16 ==−++ u.
22 53
15),(
+=πCd > r = 2 El plano π es exterior a la esfera.
22 21
0)',(
+=πCd < r = 2 El plano π ' es secante a la esfera. La corta en una circunferencia.
21
2)'',( =πCd = r = 2 El plano π '' es tangente a la esfera en el punto P(2, –1, 4).
7.64 (PAU) a) Calcula la ecuación de la superficie esférica que tiene por diámetro el segmento de extremos A(–2, 0, 3) y B(0, 2, 1).
b) Calcula el valor, o los valores, de k para que la recta r :
==
+=
tz
ty
tkx
sea tangente a la esfera del apartado
anterior.
a) El centro de la esfera será el punto medio del segmento. Por tanto, C(−1, 1, 2).
El radio medirá la mitad del diámetro. Por tanto, 3)2(222
1 222 =−++=r .
La ecuación de la superficie esférica será: 3)2()1()1( 222 =−+−++ zyx 03422222 =+−−+++ zyxzyx .
b) Se sustituye x = k + t; y = t; z = t en la superficie y se obtiene la ecuación 032)42(3 22 =+++−+ kktkt .
Para que la recta sea tangente, la ecuación anterior deberá tener una única solución. Entonces:
2 5 5 5 58 40 20 0 ;
2 2k k k k
− + − −Δ = − − − = = =
7.65 Se considera la esfera de centro C(1, 1, 1) y tangente al plano de ecuación 9x – 2y + 6z = 2:
a) Calcula la medida del radio de la esfera.
b) Halla la ecuación de la esfera.
c) Escribe la ecuación del plano tangente a la esfera y que pasa por el punto P(1, 2, 1).
a) 136481
2629)02629,( =
++
−+−==−+−= zyxCdr
b) La ecuación de la esfera será: 022221)1()1()1( 222222 =+−−−++=−+−+− zyxzyxzyx .
c) Un vector normal del plano buscado es el )0,1,0(=CP . Además, el plano tangente debe contener a P. Por tanto: y + D = 0, entonces 2 + D = 0, luego D = –2 e y – 2 = 0.
103
Solucionario
Solucionario
7.66 Escribe la ecuación de la esfera, del plano π y de la circunferencia C que aparece en la figura.
Esfera: x2 + y2 + z2 = 9 Plano π : z = 2 Circunferencia C :
==++
2
9222
z
zyx
7.67 Halla la ecuación de la esfera concéntrica con la esfera de ecuación 4x2 + 4y2 + 4z2 – 4x + 16y + 1 = 0, y que tenga por radio la unidad.
4x2 + 4y2 + 4z2 – 4x + 16y + 1 = 0 x2 + y2 + z2 − x + 4y +4
1= 0 Centro C
− 0,2,
2
1, radio r = 2
4
1
4
16
4
1 =−+
La esfera concéntrica de radio 1 será: 2
2
1
−x + (y + 2)2 + z2 = 12 x2 + y2 + z2 − x + 4y −
4
13= 0 4x2 + 4y2 + 4z2 − 4x +16y − 13 = 0
Curvas en el espacio
7.68 Halla la ecuación implícita que determina los puntos de la curva que tiene por ecuaciones paramétricas:
=
=
+=
3
2
1
tz
ty
tx
( ) ( )
=−
+−=
====
−==
==
+=
0
12)1(1
23
2
2323326
22
3
2
zy
xxy
zyttt
xyt
tz
ty
tx
7.69 Identifica cada una de las siguientes curvas del espacio:
a)
===
tz
ty
tx
b)
===
tz
ty
tx
sen
cos
c)
=
=++
4
14
1222
z
zyx d)
==+
3
122
z
yx
a) Recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene como dirección la del vector u
= (1, 1, 1).
b) Hélice.
c) Circunferencia que se obtiene al cortar la esfera de centro el origen y radio 2
1 con el plano
4
1=z .
d) Circunferencia que se obtiene al cortar el cilindro x2 + y2 = 1 con el plano z = 3. Tiene su centro en C(0, 0, 3), radio 1 y está contenida en el plano z = 3.
X
O
Z
C
Y
π
1 1
21
104
Solucionario
Superficies cónicas, cilíndricas, de traslación y de revolución
7.70 Halla las ecuaciones paramétricas y la ecuación implícita de la superficie cónica cuyo vértice es el punto V(0, 0, 4) y cuya directriz es la circunferencia contenida en el plano XY, con centro el origen de coordenadas y cuyo radio mide 3 unidades.
La circunferencia es:
===
0
sen3
cos3
z
ty
tx
. La superficie es:
−=⋅=⋅=
sz
tsy
tsx
44
sen3
cos3
⇔ 222 )4(91616 zyx −=+ .
7.71 Calcula la ecuación implícita de la superficie cilíndrica cuya directriz es D :
==+
1
922
z
yxy cuyas
generatrices son paralelas a la recta r :
==
0
0
y
x.
D :
===
1
sen3
cos3
z
ty
tx
. El vector director de las generatrices es v
= (0, 0, 1). La superficie es:
+===
sz
ty
tx
1
sen3
cos3
⇔ x2 + y2= 9.
7.72 Dadas las curvas C :
=
−=+=
2
2
2
tz
ty
tx
y D :
===
0z
sy
sx
, halla la ecuación implícita de la superficie de traslación
engendrada por C cuando se mueve sobre D.
El punto común es A(2, 2, 0). ( )
42
00
22
22 2
22
yxzyxt
tz
tsy
tsx
tz
sty
stx−=−=
=
−=+=
−+=
−+−=−++=
7.73 Calcula la ecuación implícita y unas ecuaciones paramétricas de la superficie de revolución engendrada
por la curva de ecuaciones
=+=
2
0
zx
y al girar alrededor del eje Z.
2 2 2 2
cos 0sen cos
sen 0cos sen (2 )
2 2
x t s s x t s
y t s s y t s x y t z
z t z t
= − = = + = + = = − = − = −
X
O
Z
Yr
V
105
Solucionario
Solucionario
Superficies cuádricas
7.74 (TIC) Identifica las siguientes cuádricas:
a) 2x2 + y2 – z2 = 1 d) 2x2 + y2 – z2 = –1
b) 2
1x2 + y2 + z2 = 1 e)
2
1x2 + y2 – z = 0
c) 2
1x2 – y2 – z = 0
a) 111
2
12
2
2
2
2
2
=−+
zyx Hiperboloide de una hoja d) 1
11
2
12
2
2
2
2
2
−=−+
zyx Hiperboloide de dos hojas
b) ( ) 1112
2
2
2
2
2
2
=−+ zyx Elipsoide e) z = ( )
22
2
2y
x + Paraboloide elíptico
c) z = ( )2
2
2
2y
x − Paraboloide hiperbólico
7.75 (TIC) Di el tipo de cuádrica que representan las siguientes ecuaciones, e indica el tipo y elementos de las cónicas que se obtienen al cortar por los planos x = 2, y = –1 y z = 3:
a) 22 zxy += b) 22 zxy −=
a) 22 zxy += Paraboloide elíptico.
=+=
=+=
2
4
2
222
x
zy
x
zxy Parábola contenida en el plano x = 2, vértice (2, 4, 0) y eje paralelo al eje Y.
−=+=−
−=+=
1
1
1
2222
y
zx
y
zxy Conjunto vacío
=+=
=+=
3
9
3
222
z
xy
z
zxy Parábola contenida en el plano z = 3, vértice (0, 9, 3) y eje paralelo al eje Y.
b) 22 zxy −= Paraboloide hiperbólico.
=−=
=−=
2
4
2
222
x
zy
x
zxy Parábola contenida en el plano x = 2, vértice (2, 4, 0) y eje paralelo al eje Y.
−=−=−
−=−=
1
1
1
2222
y
zx
y
zxy Hipérbola contenida en el plano y = –1.
=−=
=−=
3
9
3
222
z
xy
z
zxy Parábola contenida en el plano z = 3, vértice (0, −9, 3) y eje paralelo al eje Y.
7.76 (TIC) Mediante el estudio de las diferentes secciones que se obtienen al cortar las siguientes superficies por planos paralelos a los planos de coordenadas, indica qué tipo de cuádrica corresponde a cada una de ellas:
a) 122
222
=−+ zyx
c) 122
222
=++ zyx
e) 022
22
=−+ zyx
b) 022
22
=−− zyx
d) 122
222
=−− zyx
a) XY: circunferencias; XZ: hipérbolas; YZ: hipérbolas Hiperboloide de una hoja.
b) XY: hipérbolas para z ≠ 0 y dos rectas para z = 0; XZ: parábolas; YZ: parábolas Paraboloide hiperbólico.
c) XY: circunferencias; XZ: elipses; YZ: elipses Elipsoide.
d) XY: hipérbolas; XZ: hipérbolas; YZ: elipses Hiperboloide de una hoja.
e) XY: circunferencias; XZ: parábolas; YZ: parábolas Paraboloide elíptico.
106
Solucionario
PROBLEMAS
7.77 Calcula la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos cuyas coordenadas polares son
A
π
4
3,3 y B
π
2
3,2 .
( )
2 2
3 3 18 18 3 33cos ,3sen , ; 2cos ,2sen 0, 2
4 4 2 2 2 2
18 4 18 18 4 18, 13 2 18
2 2 2 2
A B
AB AB
π π π π = − = −
+ + = − = + − = +
7.78 Calcula las coordenadas polares y rectangulares del vértice A del triángulo equilátero AOC, sabiendo que el punto A pertenece al primer cuadrante y que las coordenadas cartesianas de O y de C son O(0, 0) y C(6, 0).
Las coordenadas polares del punto C son (6, 0). Por tanto, las coordenadas polares de A serán: ( )
π=θ
3,6,rA .
Las coordenadas rectangulares de A serán: ( )33,333
3sen6
33
cos6A
y
x
=π=
=π=.
7.79 Dada la ecuación en coordenadas polares θ= cos4r .
a) Escribe dicha ecuación en coordenadas cartesianas.
b) Estudia la figura geométrica que representa, e indica los elementos más importantes que la determinan.
a) 22
cosyx
x
+=θ , por tanto: 04
4 22
22
22 =−++
=+ xyxyx
xyx
b) Circunferencia de centro C(2, 0) y radio r = 24
16 = .
7.80 Demuestra que la ecuación en coordenadas polares r = sen θ representa una circunferencia.
Calcula el centro y el radio de la misma.
2 2sen
y
x yθ =
+022
22
22 =−++
=+ yyxyx
yyx Circunferencia de centro C
2
1,0 y radio r =
2
1
4
1 =
7.81 Dados los puntos del espacio A(2, –2, 5), B(2, –4, 3) y C(2, –2, 1), y el plano de ecuación π : x + y + z = 3:
a) Halla las coordenadas del centro de la superficie esférica que pasa por los puntos A, B y C y tal que dicho centro está situado en el plano dado.
b) Halla la medida del radio de la esfera anterior.
c) Escribe la ecuación de la superficie esférica.
Plano mediador del segmento AB : 01=−+ zy ; plano mediador del segmento AC : 03 =−z a) El centro estará situado en la intersección de los planos mediadores calculados con el plano proporcionado:
)3,2,2(3,2,2
3
3
1
−=−==
=++=
=+Czyx
zyx
z
zy
b) Radio: 24),( === ACdr
c) 4)3()2()2( 222 =−+++− zyx
107
Solucionario
Solucionario
7.82 (PAU) Dados los puntos del espacio: A(1, 0, 0), B(1, 1, 0), C(1, 0, 1) y D(2, 0, 0):
a) Calcula la ecuación de la única esfera que pasa por los cuatro puntos.
b) Halla las coordenadas del centro y del radio de la esfera.
c) Calcula la superficie de la esfera.
d) Calcula el volumen de la esfera.
a) La ecuación de la esfera es x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0
=++=++++=++++
=++
024
011
011
01
DA
DCA
DBA
DA
A = −3, B = −1, C = −1, D = 2
La esfera es x2 + y2 + z2 − 3x − y − z + 2 = 0
b) 2
31 =c ,
2
12 =c ,
2
13 −=c C
2
1,
2
1,
2
3;
2
32
4
1
4
1
4
9 =−++=r
c) Superficie: S = 4 π r2 = 3 π u2
d) Volumen: π=π=π=2
3
8
33
3
4
3
4 3rV u3
7.83 Un objeto se lanza con una velocidad inicial v0, formando esta un ángulo α con la horizontal. La posición del objeto, con respecto al tiempo t, viene dada por las ecuaciones paramétricas
0
20
( cos )
1( sen )
2
x v t
y v t gt
= α = α −
siendo g el valor de la aceleración de la gravedad.
a) Calcula la ecuación implícita de la trayectoria del móvil.
b) Interpreta la forma de dicha trayectoria.
c) Suponiendo que α = 30º, v0 = 500 m/s y g = 9,8 m/s2; calcula la distancia horizontal recorrida por el objeto y la duración del movimiento.
a) 2
220
2
000 cos2tg
cos2
1
cossen
cosx
v
gx
v
xg
v
xvy
v
xt o
α−α=
α
−α
⋅α=α
=
b) 22 2
0
tg2 cos
gy x x
v= α −
α es una parábola de eje paralelo al eje de ordenadas y abierta hacia abajo.
c)
−=−=
==22 9,42509,4)30sen500(
3250)30cos500(
tttty
ttx
Para y = 0 t = 0, es decir, momento inicial, o 250
51 s4,9
t = ≈ , es decir, momento final.
=⋅= 513250x 22 092,5 m
El alcance es de aproximadamente 22 093 m y la duración del movimiento de aproximadamente 51 s.
108
Solucionario
7.84 Dada la recta r :
=−−=−723
12
zy
yx y los puntos A(0, 1, –1) y B(1, 1, –2):
a) Calcula las coordenadas del punto de intersección del plano mediador del segmento de extremos A y B con la recta r.
b) Se considera la esfera que pasa por A y B y que tiene su centro situado en la recta r. Calcula las coordenadas del centro de la esfera y la medida de su radio.
c) Calcula la ecuación de la superficie esférica anterior.
a) Punto medio de 1 3
: , 1,2 2
AB M −
El vector normal del plano buscado será el AB y además deberá contener al punto M.
02202
3
2
10)1,0,1( =−−−==++=+−−= zxDDDzxAB
)2,1,0(02: −∩=−− CrzxC
b) El centro será el punto C y el radio será la distancia que separa a C de A: 1)1(),( 2 =−== ACdr
c) La ecuación de la esfera será: 04421)2()1( 222222 =++−++=++−+ zyzyxzyx
7.85 La circunferencia de la figura está determinada por la intersección de la esfera cuya ecuación es x2 + y2 + z2 – 4z – 6 = 0 con el plano de ecuación π : 2x – y – 2z + 13 = 0.
a) Calcula el centro C y el radio R de la esfera.
b) Halla las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por C y por el centro T de la circunferencia.
c) Calcula las coordenadas del punto T.
d) Calcula la medida del radio r de la circunferencia.
a) Centro de la esfera: )2,0,0(2
4,
2
0,
2
0CC
−−−− ; Radio de la esfera: 10)6(200 222 =−−++=R
b) El vector normal al plano tiene la misma dirección que la recta buscada.
Entonces:
2
:
2 2
x t
CT y t
z t
= = − = −
c) 2(2 ) ( ) 2(2 2 ) 13 0 1 ( 2,1,4)T CT t t t t T= ∩ π − − − − + = = − −
d) Sea r el radio de la circunferencia: ( ) 191021)2(10),(2
222222 =−=
++−−==+ rRrTCd
PROFUNDIZACIÓN
7.86 Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que describe el punto medio de un segmento de 10 unidades de longitud, y cuyos extremos se apoyan constantemente uno en el eje de ordenadas y el otro en el eje de abscisas. Identifica dicho lugar.
Sean A(0, a) y B(b, 0): a2 + b2 = 100. Sea (x, y) un punto genérico
==
=
ya
xbabyx
2
2
2,
2),( .
Como a2 + b2 = 100, sustituyendo, x2 + y2 = 25 que es una circunferencia de centro el origen y radio 5.
T
CR
r
π
109
Solucionario
Solucionario
7.87 Calcula la ecuación del lugar geométrico de los puntos C del espacio tales que el área del triángulo ABC es 1, siendo A(0, –1, 0) y B(0, 1, 0). Identifica el lugar.
La mitad del módulo del producto vectorial de AB = (0, 2, 0) y AP = (x, y + 1, z) es el área del triángulo
)2,0,2(1
020 xzzyx
kji−=
+ 244 22 =+ xz 4x2 + 4z2 = 4 x2 + z2 = 1. Se trata de una superficie cilíndrica.
7.88 (TIC) Identifica y halla la ecuación implícita de la curva cuyas ecuaciones paramétricas son:
+=
+=
2
2
1
1
1
t
ty
tx
01
1
1 222222
2
2
22
2=−+=+
+=
+=
+
== xyxxyxyx
xx
x
yx
x
x
yxt
x
y
Circunferencia de C
0,
2
1 y r =
2
1
4
1 =
7.89 Halla la ecuación implícita en coordenadas esféricas de la esfera cuya ecuación es: x2 + y2 + z2 – 2x = 0.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
cos sen
sen sen 2 cos sen sen sen cos 2 cos sen 0
cos
sen cos 2 cos sen 0 2 cos sen 0 2cos sen
x r
y r x y z x r r r r
z r
r r r r r r
= α β = α β + + − = α β + α β + β − α β = = β
β + β − α β = − α β = = α β
7.90 Dada la superficie de ecuaciones paramétricas:
===
sz
ty
tx
sen2
cos2
a) Calcula su ecuación implícita en coordenadas cartesianas, e identifícala.
b) Calcula su ecuación implícita en coordenadas cilíndricas.
a) 4cos4sen4 2222 =+=+ ttyx x2 + y2 = 4 Superficie cilíndrica
b) ==θ+θ 44sencos 22222 rrr Ecuación de la superficie r = 2
7.91 Dados el plano de ecuación π : x + 2y – 2z + 18 = 0 y la esfera x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 4 = 0:
a) Calcula el haz de planos paralelos a π .
b) Calcula las ecuaciones de los planos tangentes a la esfera y que son paralelos a π .
a) Haz de planos paralelos a π : 022 =+−+ Dzyx
b) Los planos buscados deben pertenecer al haz anterior y además deben verificar que la distancia del centro de la esfera a ellos coincida con la medida del radio. Centro: C(1, –2, 0);
Radio: 3441 =++=r
=−−+π−==+−+π=
=++
+−=π
0622:'6
01222:123
441
41),(
zyxD
zyxDDCd
π’’π’π
C
110
Solucionario
7.92 (TIC) Considera la curva C :
==+
0
44 22
x
zy.
a) Di qué tipo de curva es e indica sus elementos más importantes.
b) Escribe las ecuaciones paramétricas de dicha curva.
c) Escribe la ecuación implícita de la superficie que se genera al girar la curva C alrededor del eje Z.
a)
=
=+
0
12: 2
22
x
zy
C La curva es una elipse contenida en el plano YOZ y de semiejes 1 y 2 respectivamente.
b) Ecuaciones paramétricas
===
tz
ty
x
C
sen2
cos
0
:
c) 14
1
41
coscossen
sen2
coscos
sencos2
222
22
2
2222 =++=
−
+=+=+
==
−=z
yxz
yx
t
yxss
tz
sty
stx
Elipsoide
7.93 Dadas las rectas r :
==+
0
7
x
zy y s :
−===
tz
y
tx
7
0
2
y la esfera x2 + y2 + z2 – 2x – 6y + 2z + 2 = 0, calcula las
ecuaciones de los planos tangentes a la esfera y que sean paralelos a las rectas r y s.
El vector n
normal de los planos buscados debe ser perpendicular a los vectores:
ru
= (0, 1, –1) y su
= (2, 0, –1) de dirección de las rectas r y s.
Por tanto, )2,2,1( −−−=×= sr uun
. Los planos tendrán por ecuación x + 2y + 2z + D = 0
Centro de la esfera: C(1, 3, –1); Radio: 32191 =−++=r
=−++π−==+++π=
=++
+−+=π
01422:'14
0422:43
441
261),(
zyxD
zyxDDCd
RELACIONA Y CONTESTA
Elige la única respuesta correcta en cada caso:
7.1 El centro y el radio de la esfera de ecuación x2 + y2 + z2 − 4x + 2z + 1 son:
A) Centro (2, 1, −1) y radio r = 4. D) Centro (2, 1, −1) y radio r = 2.
B) Centro (2, 0, −1) y radio r = 4. E) La ecuación no representa una esfera.
C) Centro (2, 0, −1) y radio r = 2.
C) La ecuación de la esfera es (x − 2)2 − 4 + y2 + (z + 1)2 − 1 + 1 = 0 (x − 2)2 +y2 + (z + 1)2 = 4. Por tanto, el centro es (2, 0, −1) y el radio 2.
7.2 Las ecuaciones paramétricas
=+−=ty
tx
cos
sen2 representan:
A) Una esfera de centro el origen de coordenadas. D) Una esfera de radio 1.
B) Una recta en el plano de dirección (1, 1). E) Ninguna de las opciones anteriores.
C) Una circunferencia en el plano de centro (−2, 0) y radio 1.
C) Como sent = x + 20, entonces: sen2t + cos2t = (x + 2)2 + y2 = 1
Se trata, por tanto, de una circunferencia con centro (−2, 0) y radio 1.
111
Solucionario
Solucionario
7.3 El lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los puntos A(1, 0, 2) y B(–1, 2, –2) es:
A) La recta que pasa por el punto M(0, 1, 0) y tiene dirección perpendicular al vector AB .
B) El plano que contiene a los puntos A y B y tiene como uno de sus vectores de dirección el AB .
C) El plano π : x − y + 2z + 1 = 0.
D) El plano π : −x + y − 2z = 0.
E) Ninguna de las anteriores opciones es cierta.
C) Sea X(x, y) un punto genérico del plano.
d(X, A) = d(X, B) → 222222 )2()2()1()2()1( ++−++=−++− zyxzyx
x2 + 1 − 2x + y2 + z2 + 4 − 4z = x2 + 1 + 2x + y2 + 4 − 4y + z2 + 4 + 4z π : x − y + 2z + 1 = 0
7.4 La posición relativa de la esfera x2 + y2 + z2 − 2x − 3 = 0 y el plano π : 2x − y − z + 3 = 0 es:
A) El plano corta a la esfera en una circunferencia de centro C(1, 1, 1) y radio 1.
B) El plano corta a la esfera en una circunferencia de centro C(−2, 1, 1) y radio 2 .
C) El plano es tangente a la esfera en el punto P(1, 0, 2).
D) El plano es tangente a la esfera en el punto P(−1, 0, 1).
E) Ninguna de las anteriores opciones es cierta.
E) La esfera tiene centro O(1, 0, 0) y radio 2. d(O, π ) = 26
5
114
32 >=++
+. El plano es exterior a la esfera.
7.5 La ecuación de la superficie cilíndrica de directriz la circunferencia contenida en el plano XOY y con centro en el origen y radio 1 y de generatrices paralelas al eje Z es:
A) 122 =+ yx C) 1;122 ==+ zyx E) 0222 =++ zyx
B) 0;122 ==+ zyx D) 1222 =++ zyx
A) Las ecuaciones implícitas de la circunferencia directriz son
==+
0
122
z
yx
Las ecuaciones paramétricas de la superficie cilíndrica son
===
sz
ty
tx
sen
cos
La implícita es x2 + y2 = 1.
Señala, en cada caso, las respuestas correctas:
7.6 La circunferencia de centro C(1, −1) y radio 2=r verifica que:
A) Su ecuación en coordenadas cartesianas carece de término independiente.
B) Sus ecuaciones paramétricas son
+−=+=
ty
tx
sen21
cos21
C) Sus ecuaciones paramétricas son
+−=
+=
ty
tx
sen21
cos21
D) Su ecuación en coordenadas polares es 2=r .
E) Ninguna de las anteriores opciones es cierta.
A) La ecuación de la circunferencia es x2 + y2 − 2x + 2y = 0 y carece de término independiente.
C) Las ecuaciones paramétricas son
+−=
+=
ty
tx
sen21
cos21
La respuesta D no es cierta, pues la ecuación polar 2=r representa una circunferencia de radio 2 pero centrada en el origen de coordenadas.
112
Solucionario
7.7 Se considera la superficie cuádrica de ecuación 4x2 + y2 + z2 = 4.
A) Al cortarla, por planos paralelos, al plano coordenado XOY se obtiene siempre una elipse o una circunferencia.
B) Al cortarla por el plano z = 2, se obtiene una elipse.
C) Al cortarla por el plano z = 1, se obtiene una elipse.
D) Al cortarla por el plano x = 1, se obtiene el punto (1, 0, 0).
E) Se trata de un elipsoide de semiejes 1, 2 y 2.
C, D y E: 1221
1441
442
2
2
22222222 =++=++=++ zyxzyx
zyx
La respuesta A no es cierta, ya que muchos de los planos indicados son exteriores a la elipse.
La respuesta B no es cierta, ya que al cortarla por z = 2, se obtiene el punto (0, 0 2).
Elige la relación correcta entre las dos afirmaciones dadas:
7.8 Se considera un punto P del plano cuyas coordenadas polares son P(r, θ ) con r > 0.
a) Se verifica que tg θ es real y negativa. b) Se verifica que el punto pertenece al tercer cuadrante.
A) a es equivalente a b. D) a y b no se pueden dar a la vez.
B) a implica b, pero b no implica a. E) Ninguna de las dos afirmaciones se puede verificar.
C) b implica a, pero a no implica b.
D) Si la tangente es real y negativa, el ángulo θ pertenece al segundo o cuarto cuadrante. Por tanto, no pueden darse las dos condiciones a la vez.
Señala el dato innecesario para contestar:
7.9 Para calcular la ecuación de una elipse en el plano se dan los siguientes datos:
a) Los ejes son paralelos a los ejes de coordenadas. c) La semidistancia focal es c = 3.
b) El centro de la elipse es el punto P(−1, 2). d) Pasa por el punto Q(4, 2).
A) Puede eliminarse el dato a. D) Puede eliminarse el dato d.
B) Puede eliminarse el dato b. E) No puede eliminarse ningún dato.
C) Puede eliminarse el dato c.
E) Si los ejes son paralelos a los ejes de coordenadas y el centro es (−1, 2), la elipse es 1)2()1(
2
2
2
2
=−++b
y
a
x.
Para calcular a y b se necesitan las dos condiciones c = 3 y 102522
=+ba
: 4,525
32
22
==
=
=− baa
ba
Analiza si la información suministrada es suficiente para contestar la cuestión:
7.10 Al cortar la esfera de ecuación x2 + y2 + z2 = 1 mediante el plano π se obtiene una circunferencia. Se pretende hallar el radio de dicha circunferencia y, para ello, se proporciona:
a) La ecuación del plano π . b) La distancia del plano π al origen de coordenadas.
A) Cada dato es suficiente por sí solo para poder hallar la solución.
B) a es suficiente por sí solo, pero b no.
C) b es suficiente por sí solo, pero a no.
D) Son necesarios los dos datos juntos.
E) Hacen falta más datos.
A) Si se conoce la ecuación del plano, se puede obtener la ecuación de la circunferencia y, por tanto, su centro y su radio.
Si se conoce la distancia d del plano al origen de coordenadas, el radio de la circunferencia se puede obtener
mediante 22 dRr −= , siendo R = 1 el radio de la esfera.
Crd
π
113