tema 5: introducción al análisis temporal de sistemas lineales

Tema 5: Introducción al análisis temporal de sistemas lineales

Introducción

n En este tema se analizará el comportamiento temporal de sistemas lineales simples ante señales de entrada de prueba, principalmente la entrada en escalón.

n Se analizarán los sistemas de primer y segundo orden. También se harán algunas consideraciones para sistemas de orden superior.

n A partir de modelos de Función de Transferencia se analizará el comportamiento obteniendo la respuesta temporal mediante al cálculo de la antitransformada y analizando el efecto de la posición de los polos con respecto al comportamiento del sistema

)()()(2

sssUsGsY

...)sen()( 2221 +++= -- tpt eabteaty ws

Respuesta temporal de sistemas de primer orden

dtaybuy

buaydtdy

U(s)Y(s)G(s)

:ncia transferede función deforma en nulas, iniciales scondicione las si o

)( integralforma en o

ldiferencia ec.forma en

n Se puede describir

RCsUsY

y! ys1

tiempo)de unidadesen (medida tiempode Constante :

salida)y entrada de las a conformes (unidades uy estática Ganancia :K

1U(s)Y(s)G(s)

:nulas iniciales scondicionecon

uKydtdy

n Se suele expresar con parámetros con significado físico:

RCssUsY

-+ y! y

estables) (sistemas tiempode Constante :

modificaNo1

Amplifica1

Atenúa1

uy estática Ganancia :K

positivasiempre

negativaopositivaserpuede

unitario escalón un )( con1)(

KsUsYsGsi

n Respuesta a un escalón unitario:

! "#"$%unoporTanto

permanenterégimen

envalor

eyeKty )1()1()( tt-

--º-=

99.0)1(598.0)1(495.0)1(386.0)1(263.0)1(

)1()1()(

etParaetParaetParaetParaetPara

eyeKtyunoporTanto

permanenterégimen

envalor

tt"#"$%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.050.10.150.20.250.30.350.40.450.50.550.60.650.70.750.80.850.90.951

1.051.11.151.2

tiempotiempot

)1( tt

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

tiempo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

tiempo

Entrada en escalón Respuesta del sistema

¿Cómo obtener el modelo G(s) del sistema?

n Identificación por respuesta a un escalón:n Queremos obtener el modelo de un sisteman Sometemos el sistema a una entrada en escalón y obtenemos la respuesta

experimentalmente

Sistema real

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

tiempo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

tiempo

Entrada en escalón Respuesta del sistema

Respuesta típica de sistema de primer orden:evolución exponencial con pendiente no nula en el instante de cambio del escalón

n Identificación por respuesta a un escalón:

Función de transferencia candidata

sKsGt+

Dos parámetros:¿K?¿ ?t

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

tiempo

K: se obtiene observando el régimen permanente

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

tiempo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

tiempo

78.363.0 =D× y

78,578.3278.3663.063.0%63

=+=×=D

tFinalmentesegundoslosaesquevalorestealcanzasequeelentiempoelobtenerpermitegráficalaallevadoque

escalóndelantesteníaquevaloralsumadoyessalidaladefinalincrementodelel: se obtiene

observando el régimen transitorio

Función de transferencia obtenida:

RECUERDE: Para definir el modelo se han utilizado variables incrementales, por lo que para obtener los valores reales hay que tener en cuenta el punto de funcionamiento.

Sistema real

ModeloG(s)

)(tu )(ty

:entofuncionami de Punto

0)()( utut -=b 0)()( ytyt -=a

n Respuesta a una entrada en rampa

0)1()(

ormadaantitransfla calculando

11)()()(

)(0,)(

=Þ³=

teKKtty

sUsGsY

sKsUtttu

Sistema de primer orden: entrada senoidal

22)( fwwt

tsenKy

tsentu

22)( fwwt

tsenKy

tsentu

Si t tiende a infinito

Sistema de primer orden: filtrado

)()(22)( fw

+== tsenKytsentu trp

n Suele expresarse como

n Parametrización habitual (a2>0)

n Considerando condiciones iniciales nulas:

[rad/s] natural frecuencia:nal][adimensio ión amortiguac de eCoeficient : U]Y/dim [dim estática ganancia :K

wwwd uKydtdy

nnn =++

ubyadtdya

Respuesta temporal de sistemas de 2º orden

dtyd 112

2U(s)Y(s)G(s)

02:Polos

2U(s)Y(s)G(s)

-±-=-

dwwdwwd

n Análisis del sistema:

siempre)0( inestable sistema nula o positiva real partecon polos0 si

1:Polos

>ÞÞ£

dwwd nn

n Análisis del sistemaCaso 1: Sistema con amortiguamiento negativo o nulo

uadosubamortig entocomportami:

1:Polos

estable sistema negativa real partecon conjugados complejoscon polos10 si

aamortiguadnaturalfrecuenciaconjj

wwwddwwd

±-=×-±-

ÞÞ<<

n Ánálisis del sistemaCaso 2: Sistema subamortiguado

1:Polos 2 -±- dwwd nn

oamortiguad tecríticamen entocomportami)2(:Polos

estable sistema negativos dobles reales polos1 si

-ÞÞ=

n Análisis del sistemaCaso 3: Sistema críticamente amortiguado

iguadosobreamort entocomportami1:Polos

estable sistema negativos reales polos1 si 2 -±-

n Análisis del sistemaCaso 4: Sistema sobreamortiguado

úúû

êêë

-=-==<

)1cos1(coshacerpuedese1como

)(cos(1[)(

ormadaantitransf la calculando )()()(s1U(s)

daaadd

tseneKty

tsenteKty

sUsGsY

n Respuesta a un escalón unitarioCaso 2: Sistema subamortiguado 10 << d

dgeneralida de pérdidasin 1 supondrá se adelanteEn =K

tsenety d

212 es sistema del

oscilación de periodo el

n Respuesta a un escalón unitario: Sistema subamortiguado (caso 2)

jnn21:Polos dwwd -±-

)cos(1)](1

)[cos(1)(2

ttsentety nddtn ww

ddwdw -=-

Tiempo

n Respuesta a un escalón unitario Límite entre los casos 1 y 2 0=d

ormadaantitransf calculando

)()()(s1U(s) 22 sssss

sUsGsYnn

n Respuesta a un escalón unitarioCaso 3: Sistema críticamente amortiguado

netty ww -+-= )(1)(

0=d3.0=d

n Respuesta a un escalón unitario: Sistemas con amortiguamientos entre 0 y 1

úúúúú

êêêêê

÷øöç

èæ ---÷

øöç

èæ -+-

!!"!!#$!!"!!#$

111211)(

ormadaantitransf calculando)()()(s1U(s)

ylentalExponencia

yrápidalExponencia

t nn eety

sUsGsY

wddwdd

n Respuesta a un escalón unitarioCaso 4: Sistema sobreamortiguado 0>d

0 5 10 150

1y2paraejemplopor == nwd

rápida33

n Respuesta a un escalón unitario: sistema sobreamortiguado

1y2 == nwd

0 5 10 15-0.2

Tiempo

exacta

n Respuesta a un escalón unitario: sistema sobreamortiguado

Tiempo

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

n Respuesta a un escalón unitario: respuesta de un sistema sobreamortiguado en función del amortiguamiento

2=d 3=d

1=d4=d

Respuesta temporaln Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón):

● Tiempo de subida (ts):Es el tiempo necesario para que la señal de salida pase de un porcentaje inicial a uno final de su valor en régimen permanente. Normalmente se usan del 0 al 100%, 5 al 95% o 10 al 90%● Lo más habitual es (10-90%) o (0-100%) en sistemas subamortiguados

● Tiempo de pico (tp): Intervalo de tiempo hasta que se produce el primer pico en la señal de salida.● No está definido en sistemas de primer orden y sistemas de segundo orden

sobreamortiguados

§ Tiempo de establecimiento (te): Tiempo que tarda la señal de salida en establecerse en una banda alrededor del valor en régimen permanente. Los valores más usados son ± 2% y ± 5%

§ Sobreoscilación (SO): Amplitud de la primera oscilación en tanto por ciento con respecto al valor de la señal en régimen permanente.

Tiempo

)()()(

100%)(0 -st

Respuesta temporal

1.0ln9.0ln

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.050.10.150.20.250.30.350.40.450.50.550.60.650.70.750.80.850.90.951

1.051.11.151.2

tiempotiempo

nCaracterización del transitorio (Respuesta a escalón):

Tiempo de subida (10-90%) Sistema de 1º Orden

Respuesta temporal

)05.0ln(

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.050.10.150.20.250.30.350.40.450.50.550.60.650.70.750.80.850.90.951

1.051.11.151.2

tiempotiempo

nCaracterización del transitorio (Respuesta a escalón):

Tiempo de establecimiento te (5%) Sistema de 1º Orden

dssdsd

sdsdsd

tttgttgsentsen

sitsenttsent

tsentety

tsentetysn

wapapwaw

-=Þ-=Þ-=Þ-=Þ

-=Þ=-

+Þïþ

)(cos)()cos(

cos1)(

)cos(0)(1

)[cos(1)(

21 dwap

Tiempo de subida (0-100%) (ts): Sistema de 2º orden subamortiguado

Tiempo de subida (10-90%) Sistema de 2º orden subamortiguado

Se puede obtener de la gráfica, en la que se representa:

)()9010( dw ftsn =× -

21 dwp

ttsentsenedttdy

dttdy n

pppwwwd

=Þ=Þ=-

en produce se picoprimer el

...,3,2,0, t

:salida la de derivada la cero hace se donde instantes

...,3,2,,00)(0)(1

)(0)(2

Tiempo

Tiempo de pico (tp): Sistema de 2º orden subamortiguado

tdelfranja

cionesSimplifica

)05.01ln(105.01

:que t tal instante elen 1))y( (supuesto final valor del 5% del franja una de dentroquedan senvolvente Las

11 :son señal esta de senvolvente curvas las )(

×--=Þ=-

etsenety

Tiempo

Tiempo de establecimiento (te): Sistema de 2º orden subamortiguado

100)()()(

.(%).¥

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

Sobreoscilación (S.O.)Sistema de 2º orden subamortiguado

100.(%).luego

[cos1)y(t1)y( si

+-==¥

esene n

S.O.(%)

(95%) 3

)()(acos

wpwapada

a s wd SO ts tp te¯ ¯ ¯ ¯

- - ¯ ¯ ¯dnw

SO = cte

tp = cte

Respuesta temporal

n Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón): Sistema de 2º orden subamortiguado

...)( nulas) (C.I. ormadaantitransf Calculando

)()(...)()()(...)()(

sUasasas

bsbsbsY

tubdttdub

dttudb

dttudbya

dttdya

dttyda

+++++++

++++=++++

Sistema de orden superior

n Ecuación diferencial lineal de orden n

En general, los polos de G(s) podrán ser o bien polos reales o bien complejos conjugados, por lo que la respuesta ante una entrada en escalón se puede calcular:

negativa) real partecon polos sus (Todos permanenterégimen un alcanza sistema el si Sólo

ón)continuaci aón demostraci (* )(limestáticaganancialasiendo

)]1cos()1([)(

)('1)(

tctsenbeeaKty

×-+×-++=

++Õ+Õ

+Õ×=

åå dwdw

*La demostración hace uso del Teorema del valor final:

)(lim1)(limK luego

)(lim ademásy 1)(

unitarioescalón un sea u(t) queen caso elen

)()(lim)(lim)(lim

sUsGssYsty

®®¥®

=××=

××=×=

• En la práctica, se dan situaciones en que algunos polos tienen una influencia en la respuesta del sistema es muy superior a la del resto de polos, a estos polos se les denomina polos dominantes.

• Esta situación ya se consideró en el estudio del sistema sobreamortiguado (exponencial rápida vs. exponencial lenta)

• Los polos dominantes son los polos que dan la respuesta más lenta.

• La rapidez de respuesta viene dada por el exponente de la exponencial (la parte real del polo), recuerde:

reales) (polos iguadosobreamortorden segundo de sistemasen )1(-

complejo) (polo uadosubamortigorden segundo de sistemasen

real) (poloorden primer de sistemasen 1

ïýü

rápido

n Polos dominantes:

• En la práctica, los polos dominantes se determinan por la distancia relativa de los mismos al eje imaginario

p1,p’ 1 se van a considerar dominantes si d2/d1>5

n Polos dominantes:

p1 se va a considerar dominante si d2/d1>5

n Polos dominantes:

p1 se va a considerar dominante si d2/d1>5

n Polos dominantes:

• En la práctica, un sistema de orden superior puede ser reducido despreciando el efecto de los polos no dominantes (polos rápidos).

• IMPORTANTE: al eliminar los polos no dominantes: LA GANANCIA ESTÁTICA DEBE QUEDAR INALTERADA

Ejemplo:)17)(16)(1(

544)(+++

-1-16-17

-1 es el dominante

n Polos dominantes:

)17)(16)(1(544

)17)(16)(1(544)(

ssssssG

-1-16-17

-1 es el dominante.

n Polos dominantes:

Tiempo(s)0 1 2 3 4 5 6

2.5y(t)

• Se ha pasado de un sistema de orden 3 a uno de orden 1 eliminando los dos polos no dominantes.

• En la figura se representa el error cometido en la respuesta del sistema ante un escalón al simplificar la función de transferencia

n Polos dominantes:

2 ++ ss

• Ejemplo 2:

-1+j y -1-json los dominantes

n Polos dominantes:

2 ++ ss

• Se elimina el polo no dominante, (se mantiene su ganancia estática)

n Polos dominantes:

0 1 2 3 4 5 60

121481023 +++ sss

226/10

2 ++ ss

• Comparación de las respuestas

n Polos dominantes:

0 1 2 3 4 5 60

121481023 +++ sss

• Comparación de las respuestas

2 ++ ss

rápida

Sistema completo

n Polos dominantes:

• Interpretación física:

Al considerar los polos dominantes se está simplificando el sistema sustituyendo la evolución de la respuesta correspondiente a los polos no dominantes por una evolución “instantánea”.

Ejemplo:

Suponga una habitación que se pretende calentar con un calefactor de resistencias.

Estamos interesados en conocer el tiempo que debemos esperar desde que se conecta el calefactor hasta que se alcanzan unas condiciones estacionarias en la habitación.

Para ello se modelan dos subsistemas:

- El calefactor - entrada: tensión aplicada (V), salida: potencia calorífica aportada (kW)

- El habitáculo - entrada: potencia calorífica recibida del calefactor (kW), salida: incremento de temperatura con respecto al exterior (ºC)

n Polos dominantes:

• Se tiene el modelo dado por el siguiente diagrama de bloques:

11501.0+s 12400

Dinámica del calefactor

Dinámica del habitáculo

n Polos dominantes:

• Las ganancias estáticas determinan los valores de régimen permanente cuando se aplican 220V en la entrada:

11501.0+s 12400

qV PDinámica del

calefactorDinámica del

habitáculo

CkWPVV

º4.15)(2,2)(220)(

:iasestacionarscondicioneen

=¥=¥=¥

n Polos dominantes:

• Si la entrada (V) es un escalón de 0 a 220 v., obtenemos:

0 3000 60000

11501.0+s 12400

qV PDinámica del

habitáculo

)(ºCq

0 3000 60000

V (voltios) P (kW)

n Polos dominantes:

11501.0+s 12400

qV PDinámica del

habitáculo

Dinámica rápidaPolo: -1/15 =-0.0667

Dinámica LentaPolo: -1/2400=-0.00041 Dominante

-0.00041-0.0667

0.0667/0.0041=160 >> 5

n Polos dominantes:

0 3000 60000

01.0 124007+s

Dinámica del Calefactor aproximada

Dinámica del habitáculo

)(ºCq

0 3000 60000

V (voltios)

0 3000 60000

15P (kW)

n Polos dominantes: Aplicando la dinámica del polo dominante

Time (sec.)0 20000

11501.0+s

Dinámica del Calefactor real

0 3000 60000

V (voltios)

P (kW)

0 20000

PV P (kW)Dinámica del

Calefactor aproximada

0 3000 60000

V (voltios)

n Polos dominantes: Se ha sustituido la dinámica del polo rápido por una dinámica instantánea

tt eetyssssG

105 18162)()10)(5(

)1(100)(

-- -+=

Efecto de los ceros en la respuestan Los ceros afectan al transitorio

0 0.4 0.8 1.20

tt eetyss

105 242)()10)(5(

-- +-=

0 1 20

6yc(t)

dy(t)/dt

y(t))()(1)(será derespuesta La

por dadosistema delrespuesta la es Si

)()11()sea ,una Dada

tydttdy

cty(s)G

G(s)y(t)

(sGG(s)

eeeeeety

105105

2020242)(--

=-++-=

Efecto de los ceros en la respuestan Ceros de fase mínima: son ceros que se encuentran en el semiplano izquierdo

-20 -15 -10 -5 0 5

0 1 20

x xo o o o

0 1 20

C>0 à la derivada SUMA. Mientras más lejos esté el cero del eje imaginario, menor será su influencia

Efecto de los ceros en la respuesta

n Ceros de fase mínima

-20 -15 -10 -5 0 5

0 1 2-4

x x o o

C<0 à la derivada RESTA à Respuesta inversa

Efecto de los ceros en la respuesta

n Ceros de fase no mínima: son ceros que se encuentran en el semiplano derecho

tema 5: introducción al análisis temporal de sistemas lineales

Documents

sistemas lineales (señales y sistemas)

dinamica sistemas lineales

capitulo 1 sistemas lineales

sistemas lineales i

sistemas lineales tema 2

matemáticas básicas: sistemas lineales

sistemas lineales 1.ppt

sistemas lineales acoplados

sistemas de ecuaciones lineales

sistemas lineales tablas

sistemas lineales 2.ppt

sistemas lineales

sistemas de ecuaciones lineales - academia...

tarea 3 - sistemas lineales

sistemas lineales 5

2-sistemas lineales

sistemas de ecuaciones lineales

apuntespak sistemas lineales i

05 aplicaciones sistemas lineales

tema sistemas de ecuaciones - sistemas lineales