SISTEMAS LINEALES ITRANSFORMADAS DE FOURIER

IndiceIntroduccin De la SCF a la TFCondiciones de DirichletTransformada de una Seal CausalTransformada de la Funcin del SistemaEspectros de EnergaPropiedadesTransformadas de Fourier de Seales de PotenciaEstado estacionario

Introduccin Una de las caractersticas principales de los sistemas es su espectro de frecuencia anteriormente analizado con los espectros discretos por medio de SCF y CnUna de las restricciones a este anlisis es la periodicidad de la seal. Pero no todas las seales son peridicas.Es interesante sino muy importante saber el comportamiento de un sistema a una seal que tiene un espectro caracterstico y a otras con formas diferentes Este anlisis se lo puede realizar a partir de el la Transformada de Fourier

De la SCF a la TFDe la representacin de la SCFSi dilatamos la funcin peridica f(t)

De la SCF a la TFSi reemplazamos la definicin de Cn en f(t)

De la SCF a la TFDe la representacin de la SCF

Esta expresin es la llamada la integral de Fourier y se entiende mejor si separamos las integrales

Donde y son llamadas transformada directa e inversa de Fourier respectivamente

De la SCF a la TFLa notacin utilizada para representar estas integrales son

Como la F(w) es una funcin compleja puede separarse en su parte real e imaginaria como

De la SCF a la TFAs mismo por su forma compleja F(w) puede representarse por su Magnitud y Fase

donde

Las graficas de |F(w)| y (w) son llamados espectros continuos de Magnitud y Fase

Condiciones de DirichletNo todas las funciones se pueden representar por la integral de Fourier como en las series de Fourier estas deben cumplir ciertas condiciones llamadas de Dirichlet f(t) debe ser absolutamente integrable

f(t) debe tener un nmero finito de mximos y mnimos en cualquier intervalo finitof(t) debe tener un nmero finito de discontinuidades finitas en cualquier intervalo finitoLamentablemente estas condiciones excluyen a las seales peridicas y paso pero afortunadamente con la inclusin de la funcin impulso sean posible su anlisis como seales de energa

Resultados interesantes Transformada de un pulso rectangular

Resultados interesantes Transformada de un pulso rectangular trasladado La nica diferencia se encuentra en la grfica de su fase ya que el traslado introduce un exponencial complejo

El ejemplo muestra la relacin inversa entre T y w

Resultados interesantes Una relacin analtica que muestra este efecto es

Esta relacin se la puede entender como duracin y ancho de banda equivalentes

Resultados interesantes La simetra de la funcin puede causar resultados interesantes al analizar las integrales y utilizar los criterios de ortogonalidad

si f(t) es par entonces ser real Pura F(w) y si es impar ser puramente Compleja

Resultados interesantes Hallar la transformada de Fourier delas siguientes funciones y grficar su espectro de magnitud y fase

Transformada de una Seal CausalAl analizar una funcin causal f(t) puede ser escrita como

de la misma manera se puede demostrar que

Tambin se puede demostrar que fp(t) se puede calcular a partir de Fp(w) lo mismo que fi(t) de Fi(w) implica que

Transformada de una Seal CausalPor otro lado

Estos resultados nos permiten definir las transformadas seno y coseno de Fourier

Transformada de una Seal CausalEjercicioCalcular la transformada coseno y seno de

Resp:

Transformada de la Funcin del SistemaSea un sistema mostrado en la figura

La relacin entrada salida esta dada por la convolucin

Si aplicamos a esta relacin la transformada de Fourier se puede demostrar que

Donde H(w) es llamada Funcin de transferencia o respuesta de frecuencia del sistema Estos resultados son muy tiles para el estudio de Sistemas Lineales y Dinmicos

Transformada de la Funcin del SistemaModelos de dispositivos dinmicos y no dinmicos

Transformada de la Funcin del SistemaEjemplo Circuito RC

Luego de aplicar las impedancias equivalentes en el dominio de la frecuencia se analiza el circuito como uno resistivo

Transformada de la Funcin del SistemaEs comn dibujar el espectro de magnitud en una escala logartmica con la siguiente notacin

Que para el ejemplo anterior

Por lo tanto

Espectros de EnergaEs interesante analizar el clculo de el espectro de energa de una seal en el dominio de la frecuencia donde se puede demostrar que:

As tambin la energa de la respuesta de un sistema puede ser representado como

Donde se puede deducir que la energa asociada a la salida de un sistema es proporcional a la entrada y ese factor de proporcionalidad es

Por ello muchas veces se la llama funcin de transferencia de energa

Propiedades

LinealidadEscalamiento

Retardo

Modulacin

Simetra

Derivada

Convolucin

Correlacin

Transformadas de Fourier de Seales de PotenciaComo seales peridicas tenemos

Estado estacionarioUn Sistema en el cual se desea analizar la respuesta a una entrada senoidal en su estado estacionario, es posible utilizando las tcnicas de las TF

si

Estado estacionarioContinua

Por lo tanto basta conocer la funcin de H(w) para saber la respuesta y(t)

Ejemplos En el siguiente circuito determinar la corriente en el inductor y la potencia promedio

Ejercicios