capitulo 1 sistemas lineales

Capítulo 1 Modelos de Sistemas Lineales

1 Apuntes del Curso de Sistemas Lineales. José Juan Rincón Pasaye FIE-UMSNH

Capítulo 1

Modelos de Sistemas Lineales 1.1.- Conceptos Básicos Sistema.- es una combinación de elementos que actúan en conjunto, para cumplir un objetivo. La descripción más útil en ingeniería para un sistema es la de causa-efecto, de hecho, podemos decir que un sistema es cualquier cosa que se pueda describir en términos de una relación entre las variables que le suministra el exterior (entradas) y las cantidades que se pueden observar del sistema (salidas) y que dependen de las entradas. Así, el siguiente diagrama es una representación muy general de un sistema.

Sistema

Entradas Salidas

* * *

* * *

Los sistemas pueden clasificarse en:

SISTEMAS

ESTATICOS(Ecuaciones algebraicas)

DINAMICOS(Ecuaciones diferenciales)

VARIANTES EN EL TIEMPO

(ED con coef variables)

INVARIANTES EN EL TIEMPO

(ED con coef CTEs)

S. LINEALES S. NO LINEALES S. LINEALES S. NO LINEALES



Ejemplos:

• ( )y y sen t•+ = ; sistema dinámico lineal variante en el tiempo.

• ( ) 26 0sen y y+ = ; sistema no lineal estático.

• ( ) 0sen t y y•+ = ; sistema dinámico lineal variante en el tiempo. Propiedades de los Sistemas. Memoria.- Un sistema se dice que tiene memoria (sistema dinámico) si su salida depende de los valores que haya tomado en el pasado (es decir, de las entradas presentes y pasadas). Por ejemplo, la carga eléctrica de un capacitor depende del valor a partir del cual comenzó a cargarse. La descripción de los sistemas con memoria requiere el uso de ecuaciones diferenciales o ecuaciones de diferencias, a diferencia de los sistemas sin memoria (estáticos) en los cuales la salida depende exclusivamente de las entrada en el instante presente y que pueden representarse mediante ecuaciones algebraicas. Causalidad.- Un sistema se dice causal si su salida en un instante dado depende de exclusivamente de valores de la entrada y de la propia salida en el instante de tiempo presente o de tiempos anteriores. Así, un sistema no-causal es un sistema cuya salida depende de las entradas en instantes de tiempo posteriores al instante actual, es decir, de entradas en el futuro. Obviamente un sistema de este tipo no puede existir operando en tiempo real. Los sistemas no-causales son comunes en filtrado de datos procesamiento de imágenes, ya que en estos casos un bloque de datos es almacenado y luego procesado “fuera de línea” (es decir, en tiempo diferido) La función transferencia de un sistema causal es una función racional propia (en el dominio de Laplace o en el dominio de la transformada Z). Invariancia en el tiempo.- En general, la salida (y) de un sistema dinámico depende tanto del instante de tiempo actual (t), como del instante (t0) en que el sistema “comienza” a evolucionar. Es decir, en general y = y(t,t0). Ejemplo: Un auto va cambiando en el camino la manera en que responde, no solamente por la naturaleza del terreno, sino también por la cantidad de combustible que va cargando, por lo tanto, la respuesta del auto a un acelerón en el instante t no depende solamente de cuanto tiempo ha transcurrido desde que se empezó a mover (t-t0), sino también de cómo estaba el tanque en t0. En un sistema invariante en el tiempo, la salida del sistema sólo depende del tiempo transcurrido entre el instante inicial t0 y el instante actual t, es decir, y =y(t-t0).



La invariancia en el tiempo está directamente relacionada con que en el sistema no cambien o se “degraden” los valores de sus parámetros, por ello, los modelos de sistemas invariantes resultan ser ecuaciones diferenciales con coeficientes (parámetros) constantes. Por el contrario, en los modelos de sistemas variantes en el tiempo aparece explícitamente el tiempo. Linealidad.- Para definir de manera precisa la linealidad, denotemos como y=S(u) la salida que produce un sistema en respuesta a la entrada u. Un sistema se dice Homogéneo si S(au)=aS(u) para toda constante a, y toda entrada u. Además, un sistema se dice Aditivo si S(u1,u2)=S(u1)+S(u2) para cualquier par de entradas u1,u2. Un Sistema Lineal es simplemente un sistema que es Homogéneo y Aditivo. Es decir, uns sistema lineal cumple con el Principio de Superposición:

S(au1,bu2) = aS(u1) + bS(u2) para todo a, b, u1,u2. Todo sistema dinámico lineal se puede representar por ecuaciones diferenciales (o de diferencias) lineales. Los sistemas no lineales son difíciles de analizar en parte porque no hay una forma estándar (como una ecuación diferencial lineal) que los pueda representar y éstos se pueden presenta en una infinita variedad de formas y modelos, por lo cuaol no se puede desarrollar una teoría general para su estudio. 1.2.- Modelado de sistemas físicos El enfoque del modelado en la teoría de sistemas es el entendimiento de los sistemas físicos, pero descritos de una manera unificada, es decir, de manera que sin importar su naturaleza física (de tipo eléctrico, químico, térmico, mecánico, biológico, etc.) se les pueda aplicar una sola teoría para analizarlos, describirlos o controlarlos. Cantidades físicas. Para lograr un tratamiento tan general se buscan la propiedades que son comunes entre diversos sistemas físicos sin importar demasiado su origen, estas propiedades se pueden expresar en términos de las cantidades físicas que ayudan a describir los sistemas: Constantes.- Son las constantes numéricas que especifican dimensiones, rangos y atributos fijos de los sistemas (normalmente masas, inductacias, resitencias, coeficientes caloríficos, etc ). Estas constantes pueden ser conocidas, desconocidas o pobremente conocidas. Variables.- El comportamiento dinámico de un sistema puede describirse a través de las variables del sistema, las cuales suelen ser las variables independientes o entradas del sistema, las cuales suelen ser conocidas a priori. Y las variables dependientes o salidas del sistema, las cuales pueden ser determinadas una vez que las entradas han sido especificadas.



Variables tipo flujo.- Son cantidades que se “fluyen” o se transmiten a través de un medio. (corriente eléctrica, caudal de un líquido, fuerza mecánica, carga eléctrica.). Para ser medidas requieren interrumpir el medio a través del cual fluyen. Variables tipo potencial o esfuerzo.- Son cantidades que se miden tomando en consideración dos puntos y su valor es la diferencia relativa entre esos dos puntos (voltaje, presión, temperatura, desplazamiento, velocidad aceleración). Leyes Físicas La primera base para establecer las relaciones entre las variables y las constantes de un sistema son las leyes físicas que lo gobiernan. Estas leyes son de dos tipos: Leyes de Conservación de la “masa”:

∑∑

=

nodoeseenredla

deeequivalentflujonodounenentran

queflujoslostodos

Ejemplos de este tipo de leyes son: La ley de corrientes de Kirchoff 0ki =∑ La segunda ley de Newton: ext equivalenteF ma=∑ ; Leyes de Conservación de circuito:

0circuitoundealrededor

potencialdecambios=

∑

Ejemplos de este tipo de leyes son: La ley de voltajes de Kirchoff: 0vk =∑ Desplazamientos r en una trayectoria cerrada: 0rk =∑ Relaciones o leyes constitutivas Además de entradas y salidas, los sistemas poseen componentes, los cuales supondremos en este análisis que están concentrados, es decir no distribuidos en el espacio, sino ubicados idealmente sólo en un punto. Cada componente de un sistema introduce una relación constitutiva entre la variable de flujo a través de él y la variable de esfuerzo entre sus extremos, por ejemplo:



Componentes Eléctricos:

Resistencia: ( )

( )( )

V iRV voltaje Volts

i corriente Amp

R resistencia

=

→

→

→ Ω

Capacitor: ( )( )

( )capacitancia ,

cc

c

c

dVi Cdt

V voltaje Volts

i corriente Amp

C Faradio F

=

→

→

→

Inductor: ( )( )

( )inductancia ,

LL

L

L

diV Ldt

V voltaje Volts

i corriente Amp

L Henrys H

=

→

→

→

Componentes mecánicos:

Masa: ( )( ) ( )

2

2

m masa Kg

N ; x desplazamiento m

d xF mdt

F fuerza

=

→

→ →

iR

vR R+ -

iC

vC C+ -

FM

xM M+

-

iL

vL L+ -

Relaciones dinámicas:

)seg/coulombs(eléctricacorrienteidtdq

)coulombs(eléctricaaargcq

==

=



Resorte: ( )( )

de elasticidad;

x desplazamiento m

F xkk CTE

F fuerza N

=→

→

=

Amortiguador: ( )

( )

de amortiguamiento; x desplazamiento m

dxF Bdt

B CTE

F fuerza N

=

→

→

=

Componentes mecánicos:

Masa: ( )( ) ( )

2

2

m masa Kg

N ; x desplazamiento m

d xF mdt

F fuerza

=

→

→ →

Resorte: ( )( )

de elasticidad;

x desplazamiento m

F xkk CTE

F fuerza N

=→

→

=


2

mm; velocidad s

m; aceleración s

x desplazamientodx vdtdv adt

→

=

=

* xK y xB son desplazamientos de un extremo respecto al otro, mientras que xM es el desplazamiento de toda la masa respecto a alguna referencia

FK

xK K+ -

FB

xB B+ -

FM

xM M+

-

FK

xK K+ -



Amortiguador: ( )

( )

de amortiguamiento; x desplazamiento m

dxF Bdt

B CTE

F fuerza N

=

→

→

=

Ejemplo 1: Obtención de las ecuaciones diferenciales que describen el sistema mecánico masa-resorte-amortiguador de la figura siguiente

Para derivar las ecuaciones de movimiento, hacemos un diagrama de cuerpo libre colocando las fuerzas que actúan sobre los bloques de masas m1 y m2. En la siguiente figura se muestran los diagramas de cuerpo libre para la masa m1 y para la masa m2. En estos diagrmas se desprecian las fuerzas verticales, ya que no intervienen en la dinámica del sistema, pues se desprecia la fricción con el piso.

FB m1

B

x1

m2

K

x2


2

mm; velocidad s

m; aceleración s

x desplazamientodx vdtdv adt

→

=

=

* xK y xB son desplazamientos de un extremo respecto al otro, mientras que xM es el desplazamiento de toda la masa respecto a alguna referencia

FB

xB B+ -



Aplicando la 2ª ley de Newton ma F= ∑ en el primer diagrama de cuerpo libre; tenemos

( ) ( )1 1 1 2 1 2m x F K x x B x x•• • •= − − − −

En forma similar para la masa m2 tenemos que

( ) ( )2 2 1 2 1 2m x K x x B x x•• • •= − − −

Reacomodando las ecuaciones de la siguiente manera

( ) ( )( ) ( )

1 1 1 2 1 2

2 2 1 2 1 2 0

m x K x x B x x F

m x K x x B x x

•• • •

•• • •

+ − + − =

+ − + − =

Estas últimas son las ecuaciones lineales de movimiento del sistema de masa-resorte-amortiguador.

Ejemplo 2.- Obtención de las ecuaciones diferenciales para un circuito eléctrico.

Para el circuito eléctrico mostrado en la figura anterior, encuentre las ecuaciones diferenciales en términos del voltaje en el capacitor y la corriente del inductor. Haciendo una suma de corrientes en el nodo 1,

iL

VL L+

-

+ -

R2

R1

C

Vc

+ -

v

1

Vx

VR



1

0c cL

V dVC iR dt

− − + =

Esta expresión nos relaciona una de las variables. Para encontrar una segunda expresión, vemos que la suma de voltajes a través de la malla principal debe ser cero:

2L

L cdiL R i V vdt

+ + =

Ordenando las ecuaciones, en términos del voltaje en el capacitor y la corriente del inductor:

2

1

0

LL c

c cL

diL R i V vdtdV VC idt R

+ + =

+ − =

Con lo cual tenemos un sistema de dos ecuaciones diferenciales en términos de las variables pedidas. Ecuaciones de estado. Una ecuación diferencial de orden n, puede transformarse en un sistema de n ecuaciones diferenciales de 1er orden. Las ecuaciones de estado son simplemente conjuntos de ecuaciones diferenciales de primer orden. Las variables de estado son las variables dependientes del tiempo y son elegidas para plantear ese conjunto de ecuaciones diferenciales en términos de ellas. Dichas variables de estado no son únicas; éstas se escogen de manera que tengan algún significado físico o bien, de manera que convenga ya sea a la interpretación de las ecuaciones o a su escritura.. Al valor que toma el conjunto de variables de estado en un tiempo determinado se le denomina el estado del sistema. Así, para una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes de orden n de la forma:

11 1 0 0...n n

ny a y a y a y b u− •−+ + + + =

Si denotamos a las variables de estado como x1, x2, ...,xn, una posible elección de las variables de estado denominada “variables de fase” consiste en elegir como variables de estado la salida y sus derivadas sucesivas como se describe a continuación:



( )1

2 1

3 2

1 2

11

...

n n

nn n

x y t

x x

x x

x x

x x y

•

•

•− −

• −−

=

=

=

=

= =

Con esta elección de variables, la ecuación diferencial se puede escribir como

1 1 2 0 1 0

1 2

2 3

1

1 2

...;

....

....

n n n

n n

n n n n

x a x a x a x b ufinalmentex x

x x

x x

x a x a

•−

•

•

•−

•− −

+ + + + =

=

=

=

= − −

O bien, en forma matricial

11

22

0 1 1 0

0 1 0 0 00 0 1 0 0. . . . . ..

. n nn

xxxx

u

a a a x bx

•

•

•−

= + − −

Si además definimos la salida del sistema como y=x1(t); entonces tenemos la ecuación de salida:

[ ]

=

n

2

1

x...xx

0...100y

De hecho, en general podemos obtener una forma matricial como la siguiente

)t(du)t(Cx)t(y)t(bu)t(Ax)t(x

+=+=

•

Para sistemas lineales invariantes en el tiempo, las matrices A, B, C, D son constantes. Ejemplo: Para el sistema mecánico anterior se pueden obtener las ecuaciones de estado usando la siguiente elección de variables de estado:



24231211 x,x,x,x =ξ=ξ=ξ=ξ•

Obtenemos las ecuaciones de estado siguientes

)t(F

00m/10

m/Bm/Km/Bm/K1000m/Bm/Km/Bm/K

0010

1

4

3

2

1

2222

1111

4

3

2

1

+

ξξξξ

−−

−−=

ξ

ξ

ξ

ξ

•

•

•

•

Si la salida y(t) es la diferencia de la posición x2, respecto de x1,entonces:

[ ]

ξ

ξξ

−=

n

2

1

...0101)t(y

Ejemplo: Para el circuito RLC, si elegimos las variables de estado como sigue •

=ξ=ξ )t(i),t(v 2C1 Obtenemos las ecuaciones de estado siguientes

)t(vL10

LR

L1

C1

CR1

2

1

2

1

2

1

+

ξξ

−−

−

=

ξ

ξ•

•

Si la salida y(t) es el voltaje en la inductancia, es decir, vL = v - vC – i R2; entonces:

[ ] )t(vR1)t(y2

12 +

ξξ

−−=

Caso General. La elección de las variables de estado como se ejemplificó anteriormente (variables de fase) no siempre conduce a la forma descrita de las ecuaciones de estado, esto ocurre cuando la ecuación diferencial del sistema contiene tanto derivadas de la salida como de la entrada. El caso general de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes es como sigue

)t(ub)t(ub...)t(ub)t(ub)t(xa)t(xa...)t(xa)t(x 01

)1n(

1n

)n(

n01

)1n(

1n

)n(++++=++++

•−

−

•−

−



En este caso las variables de fase nos llevan a un conjunto de ecuaciones de estado que contienen derivadas de u(t). En lugar de las variables de fase, elegimos la primera variable de estado ξ de manera que satisfaga la siguiente ecuación auxiliar

)t(u)t(a)t(a...)t(a)t( 01

)1n(

1n

)n(=ξ+ξ++ξ+ξ

•−

− y elegimos el resto de los estados como sigue

)1n(

1nn2321 ...,,,−

−

•••••

ξ=ξ=ξξ=ξ=ξξ=ξξ=ξ De esta manera podemos rescribir la ecuación auxiliar en términos de las variables de estado como sigue

)t(ua...aa n1n2110

)n(+ξ−−ξ−ξ−=ξ −

Si definimos la salida del sistema como

)t(b)t(b...)t(b)t(b)t(y 01

)1n(

1n

)n(

n ξ+ξ++ξ+ξ=•−

− , se puede demostrar que y(t) satisface la misma ecuación diferencial que x (por lo tanto y=x). Por lo tanto las ecuaciones de estado quedan en la siguiente forma conocida como forma canónica controlable.

)t(u

10...00

...

a1...00

...aaa

...

...0...

0...

0...

...100

...010

...

n

1n

2

1

1n210

n

1n

2

1

+

ξξ

ξξ

−−−−

=

ξ

ξ

ξ

ξ

−

−•−

•

•

•

Para la ecuación de salida despejamos )n(

ξ de la ecuación auxiliar y la sustituimos en y(t) para obtener:

[ ] )t(ub...

bab...babbaby n

n

2

1

n1n1nn11n00 +

ξ

ξξ

−−−= −−

El procedimiento anterior se puede visualizar de una manera más clara en el dominio de Laplace. La Función Transferencia correspondiente a la ecuación diferencial dada es



)S(A)S(B

aSa...SaSbSb...SbSb

)S(U)S(Y

011n

1nn

011n

1nn

n =++++

++++= −

−

−−

En diagrama de bloques

El sistema puede factorizarse como sigue Del diagrama resulta más claro que

U(S)=A(S)ξ(S) (Ecuación auxiliar) Y(S)=B(S)ξ(S) (Ecuación de salida)

Diagramas de simulación. Las ecuaciones de estado nos permiten la representación del sistema en términos de bloques integradores, los cuales nos permiten construir un simulador analógico del sistema. Así, para las ecuaciones de estado obtenidas en el caso general anterior, podemos plantear la siguiente “realización” del sistema mediante integradores:

Y(S))S(A)S(B

U(S)

Y(S) )S(A

1

U(S)

)S(B ξ(S)

y(t)u(t) ∫

+ + ∫ ∫ b0

b1

bn-1

bn

...

-an-1

-an-2

-a0

...

n

)n(

•

ξ

ξ

n

)1n(

ξξ−

1n

)2n(

−

−

ξξ

2ξξ•

1ξξ



A cada manera de elegir las variables de estado le corresponde una realización con integradores diferente. A continuación se ilustra por ejemplo una manera diferente para la ecuación diferencial de segundo orden:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 1 0x t a x t a x t b u t b u t b u t•• • •• •+ + = + + Despejando ( )x t•• , e integrando dos veces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 1 1 0 0

2 1 1 0

2 1 1 0 0

t s t s

t t s

x t b u t b u t a x t b u t a x t

x t x d ds b u b u a x b u d ds

x t b u t b u s a x s ds b u a x d ds

σ σ σ σ σ σ σ

σ σ σ

•• •• • •

•• •• • •

−∞ −∞ −∞ −∞

−∞ −∞ −∞

= + − + −

= = + − +

= + − + −

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

El diagrama de simulación correspondiente a la ecuación anterior, el cual considera como variables de estado las salidas de cada integrador, es el siguiente

b1

bo + + +

b2

u(t)

-a1

-a0

y=x(t)x2' x2 x1' x1

Del diagrama se pueden obtener las expresiones para las derivadas de los estados. En forma matricial se obtiene

( )1 1 1 211

0 0 0 222

10

a b a bxxu t

a b a bxx

•

•

− − = + − −

En forma similar se obtiene la ecuación para la salida y = x1 + b2u(t), es decir

[ ] )t(ubxx

01)t(y 22

1 +

=

A esta forma se le conoce como la forma canónica observable y en el caso general de n variables de estado tiene la forma



)t(u

babbab

...babbab

xx...xx

01...00

...00a

...

...0...

0...

a...

...10a

...01a

xx

...xx

n00

n11

n2n2n

n1n1n

n

1n

2

1

0

1

2n

1n

n

1n

2

1

−−

−−

+

−−

−−

=

−−

−−

−

−

−

•−

•

•

•

[ ] )t(ub

x...xx

0...01y n

n

2

1

+

=

Cambio de variables de estado En generar existe una infinidad de maneras distintas de elegir las variables de estado. La elección adecuada depende del objetivo para el cual se quiera el modelo y para que sirva el sistema mismo. Por ejemplo, para el sistema mecánico descrito anteriormente pudiera ser de interés utilizarlo como un sismógrafo o como un acelerómetro, para lo cual serían de mayor interés las variables de estado siguientes:

)t(x)t()t(x)t(x)t(

12

211

=ξ−=ξ

con lo cual las ecuaciones diferenciales que describen la dinámica del sistema toman la forma

0KB)(m

FKBm

11212

1121

=ξ−ξ−ξ−ξ

=ξ+ξ+ξ•••••

•••

Despejando 2

••

ξ de la primera ecuación y sustituyendo en la segunda, se obtiene

Fmm

mm

1Kmm

1Bm

0KBmK

mB

mFm

1

21

1

21

1

212

1111

111

12

=ξ

+−ξ

++ξ

=ξ+ξ+

ξ+ξ−−ξ

•••

••••

Y si definimos las siguientes variables de estado:

24231211 q,q,q,q••

ξ=ξ=ξ=ξ=



Las ecuaciones de estado quedan como sigue

F

m10

m10

qqqq

00m

Bm

K1000

00m1

m1B

m1

m1K

0010

q

q

q

q

1

1

4

3

2

1

11

2121

4

3

2

1

+

−−

+−

+−

=

•

•

•

•

[ ]

−=

4

3

2

1

qqqq

0...01y

En forma similar, para el caso del circuito eléctrico podemos elegir como variables de interés: el voltaje en la resistencia vR en la Resistencia R2 y el voltaje vx, cuya relación con las variables de estado originales es como sigue

iRvviRv

2Cx

2R

+==

Las relaciones anteriores se pueden expresar en forma matricial como sigue

=

i

vR1R0

vv C

2

2

x

R

O bien, en forma compacta

xMx 1−∧

= , de donde, la relación inversa

∧= xMx es

−=

x

R

R1

C

vv

011

iv

2

El procedimiento anterior para el circuito RLC puede ser usado en general para realizar el cambio de variables de estado: Se eligen una nuevas variables que dependan de las variables de estado originales y se expresa la relación entre las variables originales (x) y las variables nuevas (

∧x )

∧= xMx

xMx 1−∧

= Se sustituyen en las ecuaciones de estado originales, para obtener un nuevo conjunto de ecuaciones de estado en términos de las variables de estado nuevas



)t(ud)t(xc)t(y

)t(ub)t(xA)t(x∧∧∧

∧∧∧•∧

+=

+=

y las relaciones entre las matrices (A,B,c,d) originales y las nuevas (

∧∧∧∧d,c,b,A ) son

dd

cMc

bMb

AMMA

1

1

=

=

=

=

∧

∧

−∧

−∧

Por ejemplo, para el circuito RLC

1dd

]10[cMc

bMb

0AMMA

LR

R1

LR

CR1

CR1

CR1

LR

1

2

L

2

2

121

2

==

−==

==

−+==

∧

∧

−∧

−

−−

∧

Relación Espacio de Estado - Función de Transferencia Suponiendo condiciones iniciales cero en el tiempo inicial t0, es decir, suponiendo x(t0)=0, para el sistema

x Ax buy cx du

• = += +

Transformando al dominio de Laplace, obtenemos

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

sX s AX s bU s

Y s cX s dU s

= +

= +

Solucionando el sistema de dos ecuaciones, despejamos de la primera a ( )X s



( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1

sX s AX s sI A X s bU s

X s sI A bU s−

− = − =

= −

Sustituimos en la ecuación de salida Y(s);

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1

1

1

X s sI A bU s

Y s c sI A bU s dU s

Y s c sI A b d U s

−

−

−

= −

= − +

= − +

La función de transferencia en el caso de un sistema de una entrada y una salida (S.I.S.O.), donde Y y U son escalares podemos despejar la relación entrada- salida como sigue

G(S) = ( )( ) ( ) 1Y s

c sI A b dU s

− = − +

A la expresión G(s) anterior se le conoce como Función Transferencia del sistema y tiene la forma de una división de polinomios en potencias de S. Es fácil demostrar que independientemente de la elección de las variables de estado, la Función Transferencia del sistema es la misma. Es decir, para cada Función Transferencia existe una infinidad de representaciones en el espacio de estado y estas representaciones están relacionadas entre sí por una matriz de transformación M como ya se explicó anteriormente. Esto se esquematiza en la siguiente figura

modelo del sistema(ecuaciones diferenciales)

espacio de estados x espacio de estados x1

A,B,C,D A1,B1,C1,D1

funcion de transferencia G(s)(dominio de la frecuencia )

condiciones iniciales x(t0)=0

M



Sistemas No Lineales y Linealización La gran mayoría de los sistemas reales son no lineales, de hecho, los modelos lineales normalmente suelen ser una simplificación o idealización de versiones más exactas aunque más complicadas del modelo del sistema. Las ecuaciones de estado de un sistema no lineal (invariante en el tiempo) suelen tomar la forma siguiente

)x(fx =•

donde

=

=

=

•

•

•

•

)x,...,x,x(f...

)x,...,x,x(f)x,...,x,x(f

)x(f,

nx

...x

x

x,

x...xx

x

n21n

n212

n211

2

1

n

2

1

A veces es posible obtener una “linealización” de las ecuaciones anteriores si suponemos que los estados x no se alejarán demasiado de un “punto de operación” x0. Una interpretación gráfica de este procedimiento se muestra en el caso de una sola dimensión en la siguiente figura

Para obtener una linealización podemos usar la Serie de Taylor para expresar f(x) en las cercanías del punto de operación x0.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

22

0 0 0 02

1 12! !

nn

nx x x x

df x d f x d f xf x f x x x x x x x

dx dx n dx= == + − + − + + −

Con la suposición de que el sistema no se aleja mucho de x0, las potencias (x-x0) pueden depreciarse a partir de la segunda potencia para conservar solamente el termino lineal:

)xx(xf)x(f)x(f 0

xx0

0

−∂∂

+≈=

x

f(x)

x0

f(x0)

Región lineal de operación



donde

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

n

n

2

n

1

n

n

2

2

2

1

2

n

1

2

1

1

1

xf

...xf

xf

.........xf

...xf

xf

xf

...xf

xf

xf

a esta matriz se le llama Jacobiano de la Función f(x) Sustituyendo esta aproximación en el modelo no lineal, se obtiene

∂∂

−+∂∂

≈==

•)x

xf)x(fx

xfx 0

xx0

xx 00

Este último modelo tiene la forma de un sistema lineal más un término constante (entre corchetes), por lo cual se le llama sistema afín. Elección del punto de operación. En la obtención de la linealización de un sistema no lineal es conveniente elegir el punto de equilibrio x0 como un punto de equilibrio xe del sistema, es decir, un punto en el cual todas las derivadas del vector de estado sean cero (el sistema está en reposo), por lo cual la condición para

encontrar xe es 0)x(f)x(x ee ==•

Si además introducimos el cambio de variable ∆x = x-xe, las ecuaciones de estado linezlizadas quedan como sigue

xxfx

exx∆

∂∂

≈∆=

•

El cual deja de ser un sistema afín y se convierte en un sistema lineal. Sistemas con entrada Si el sistema no lineal tiene una entrada u(t) , su modelo de estado es

)u,x(fx =•



En este caso elegimos el punto de operación (xe,ue) tales que f(xe,ue)=0, en este caso la linealización produce el sistema

uufx

xfx

eeee u,xxu,xx∆

∂∂

+∆∂∂

≈∆==

•

El cual tiene la forma lineal de un sistema con entrada

ubxAx ∆+∆≈∆•

, donde

eeee u,xxu,xx ufb,

xfA

== ∂∂

=∂∂

=

Una vez resuelto el sistema para ∆x con ∆u se puede actualizar la solución para x usando x=xe+∆x, en forma similar, conociendo la entrada u se puede calcular ∆u usando ∆u=u-ue.

capitulo 1 sistemas lineales

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