tema 2: sistemas - uc3m 2/slides/tema2.pdf · tema 2: sistemas sistemas y circuitos 3 © francisco...
Post on 10-May-2020
12 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Tema 2: Sistemas
Sistemas y Circuitos 1
© Francisco J. González, UC3M 2009 1
Tema 2: Sistemas
© Francisco J. González, UC3M 2009 2
2.1 Introducción
Un sistema responde con unas determinadas señales a la acción de otras.
• Ejemplo − Tiempo continuo: sistema mecánico
Sistema general (orden 2)
( )y t
sistema
{ }•T{ })()( txTty =)(tx
)()()(2)( 20
202
2
txtydt
tdydt
tyd ωωα =++
2
2
( ) ( ) ( ) ( )d y t dy tM b ky t F tdt dt
+ + =
( )dy tbdt
Tema 2: Sistemas
Sistemas y Circuitos 2
© Francisco J. González, UC3M 2009 3
2.1 IntroducciónUn sistema responde con unas determinadas señales a la acción de otras.
• Ejemplo − Tiempo discreto: Acumulador
sistema
{ }•T{ })()( txTty =)(tx
Acumulador
∑−∞=
n
k
kx ][][nx [ ] [ ]n
ky n x k
=−∞
= ∑
1
[ ] [ ] [ ] [ 1] [ ]n
k
y n x k x n y n x n−
=−∞
= + = − +∑
][nx
Memoria
][ny
]1[ −nyRetardo
© Francisco J. González, UC3M 2009 4
2.2 Interconexión de sistemasSerie
Paralelo
Sistema #1
{ }•1T)(tx Sistema #2
{ }•2TSistema #N
{ }•NT)(ty
{ }{ }{ }{ })()( 121 txTTTTty NN −=
Sistema #1
{ }•1T
)(txSistema #2
{ }•2T
Sistema #N
{ }•NT
{ } { } { })()()()( 21 txTtxTtxTty N+++=
Tema 2: Sistemas
Sistemas y Circuitos 3
© Francisco J. González, UC3M 2009 5
2.2 Interconexión de sistemas
Serie/Paralelo
Sistemas realimentados
• Ejemplo
Sistema #1{ }•1T
)(txSistema #3
{ }•3T
Sistema #N{ }•NT
)(ty
Sistema #2{ }•2T
Sistema #1{ }•1T
)(tx Sistema #2{ }•2T
Sistema #3
)(ty
{ }•3T{ })(3 tyT
© Francisco J. González, UC3M 2009 6
2.3 Propiedades de los sistemasSistemas sin/con memoria• Sin memoria: la salida, para cada instante de tiempo (valor de
la variable independiente) depende ÚNICAMENTE de la entrada en ese mismo instante de tiempo− Ejemplos:
• Con memoria:
[ ]nnx][][ nnxny =][nx
)(tx)()( txty =)(tx
Acumulador
∑−∞=
n
k
kx ][][ny][nx ][nx
Memoria
][ny
]1[ −nyRetardo
Tema 2: Sistemas
Sistemas y Circuitos 4
© Francisco J. González, UC3M 2009 7
2.3 Propiedades de los sistemas
Invertibilidad• Diversas definiciones
− “Un sistema es invertible si al observar la salida se puede determinar entrada”
− “... cuando distintas entradas conducen a distintas salidas”• Si un sistema es invertible, existe un sistema –que
denominaremos inverso- tal que conectado en serie produce el sistema identidad.
Sistema #1
{ }T •)(tx Sistema
inverso{ }INVT •
( )z t( )y t
{ }{ }( ) ( ) ( )INVz t T T x t x t= ≡
© Francisco J. González, UC3M 2009 8
2.3 Propiedades de los sistemas
Invertibilidad• Ejemplos
−
−
Sistema
{ }T •)(tx Sistema
inverso{ }INVT •
( )z t( )y t
{ }{ }( ) ( ) ( )INVz t T T x t x t= ≡( )[ ] cos [ ]y n x n=
[ ] y [ ] 2 producen la misma salidax n x n π+
[ ] [ ]n
k
y n x k=−∞
= ∑
][nx
Memoria
[ ] [ 1] [ ]y n y n x n= − +
]1[ −nyRetardo
[ ] [ ] [ 1]x n y n y n= − −
MemoriaRetardo
][nx
]1[ −ny
[ ]y n
Tema 2: Sistemas
Sistemas y Circuitos 5
© Francisco J. González, UC3M 2009 9
2.3 Propiedades de los sistemas
Causalidad• Un sistema es causal –también denominado “físicamente
realizable”- cuando la salida en un instante de tiempo t0depende ÚNICAMENTE de valores de la entrada en t ≤ t0
• Ejemplos
Sistemacausal
)(tx 0 0( ) ( ( )), 0y t f x t t t= − ≥
[ ]x n ( )[ ] [ ], [ 1], [ 2],y n f x n x n x n= − − …
)(tx ( 2)x t + ( )y t
t0
1)(tx
t0
( )y t
2−
(0) (2)y x=
Sistema NO causal
)(tx ( ) ( 2)x t x t− − ( )y t
t0
1)(tx
t0
( )y t
2
Sistema causal
© Francisco J. González, UC3M 2009 10
2.3 Propiedades de los sistemas
Estabilidad• Distintas definiciones
− Intuitiva: Sistema que responde con señales acotadas ante entradas acotadas (Bounded Input Bounded Output).
Sistemaestable
)(tx ( )y t
[ ]x n [ ]y n
)(tx [ ]exp ( )x t ( )y t
t0
1
)(tx
t0
( )y te
Sistema estable
Sistema estable ( ), ( )
( )
x
y
x t x t K
y t K
⇒∀ ≤ <∞
⇓
≤ < ∞
][nx
Memoria
[ ] [ 1] [ ]y n y n x n= − +
]1[ −nyRetardo
Sistema NO estable
Tema 2: Sistemas
Sistemas y Circuitos 6
© Francisco J. González, UC3M 2009 11
Estabilidad
• Punto de partida
− ¿Se puede encontrar una cota superior (menor que ∞) a la salida?
2.3 Propiedades de los sistemas
][nx
Memoria
[ ] [ 1] [ ]y n y n x n= − +
]1[ −nyRetardo
Sistema NO estable
)(tx [ ]exp ( )x t ( )y t
t0
1
)(tx
t0
( )y te
Sistema estable
desigualdad de Schwartz
[ ] [ ] [ ]n n n
xk k k
y n x k x k K=−∞ =−∞ =−∞
= ≤ ≤ = ∞∑ ∑ ∑
[ ] xx n K≤ < ∞
( )( )( ) xx t Kx tyy t e e e K= ≤ ≤ = < ∞
( ) xx t K≤ <∞
© Francisco J. González, UC3M 2009 12
2.3 Propiedades de los sistemas
Invarianza temporal• Un sistema es invariante con el tiempo si responde ante una
entrada desplazada con una salida igualmente desplazada.
• Interpretación: la respuesta del sistema ante una señal de entrada es independiente del instante en el que ésta se aplica.
Sistemainvariante
)(tx ( )y t
t0
1
t0
0( )x t t−
t0t
1
0
0( )y t t−
t0 0t
Tema 2: Sistemas
Sistemas y Circuitos 7
© Francisco J. González, UC3M 2009 13
2.3 Propiedades de los sistemas
Invarianza temporal• ¿Cómo reconocer si un sistema es invariante?
1. Definir x1(t) . Obtener la salida y1(t)2. Definir x2(t)=x1(t-t0) . Obtener la salida y2(t)3. Comprobar si y1(t-t0) es igual a y2(t)
SI: InvarianteNO: Variante con el tiempo
Sistema
1( )x t
t0
1 1( )y t
t0
2 1 0( ) ( )x t x t t= −
t0t
1
0
2( )y t
t0 0t
2 1 0¿ ( ) ( )?y t y t t= −
© Francisco J. González, UC3M 2009 14
2.3 Propiedades de los sistemas
Invarianza temporal1. Definir x1(t) . Obtener la salida y1(t)2. Definir x2(t)=x1(t-t0) . Obtener la salida y2(t)3. Comprobar si y1(t-t0) es igual a y2(t)
Ejemplo: [ ] [2 ]y n x n=
Tema 2: Sistemas
Sistemas y Circuitos 8
© Francisco J. González, UC3M 2009 15
2.3 Propiedades de los sistemasInvarianza temporal
1. Definir x1(t) . Obtener la salida y1(t)2. Definir x2(t)=x1(t-t0) . Obtener la salida y2(t)3. Comprobar si y1(t-t0) es igual a y2(t)
Ejemplo:
[ ] [ ]n
ky n x k
=−∞
= ∑
© Francisco J. González, UC3M 2009 16
2.3 Propiedades de los sistemasInvarianza temporal
1. Definir x1(t) . Obtener la salida y1(t)2. Definir x2(t)=x1(t-t0) . Obtener la salida y2(t)3. Comprobar si y1(t-t0) es igual a y2(t)
Ejemplo: 0
[ ] [ ]n
ky n x k
=
= ∑
Tema 2: Sistemas
Sistemas y Circuitos 9
© Francisco J. González, UC3M 2009 17
2.3 Propiedades de los sistemasInvarianza temporal
1. Definir x1(t) . Obtener la salida y1(t)2. Definir x2(t)=x1(t-t0) . Obtener la salida y2(t)3. Comprobar si y1(t-t0) es igual a y2(t)
Ejemplo: [ ] [ ]y n nx n=
© Francisco J. González, UC3M 2009 18
2.3 Propiedades de los sistemasInvarianza temporal
1. Definir x1(t) . Obtener la salida y1(t)2. Definir x2(t)=x1(t-t0) . Obtener la salida y2(t)3. Comprobar si y1(t-t0) es igual a y2(t)
Ejemplo: [ ] [ ] [ ]y n x n u n=
Tema 2: Sistemas
Sistemas y Circuitos 10
© Francisco J. González, UC3M 2009 20
2.3 Propiedades de los sistemas
Linealidad• Cualidad que define a sistemas que poseen la propiedad de
superposición
− Principio de superposición
Aditividad
Escalado
• Consecuencia intuitiva de la propiedad de escalado− La respuesta de un sistema lineal ante una entrada idénticamente nula
es una salida idénticamente nula.
Sistema1( )x t { }1 1( ) ( )y t T x t=
2 ( )x t { }•T { }2 2( ) ( )y t T x t=
{ } { } { }1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )T x t x t T x t T x t+ = +
{ } { }1 1( ) ( )T x t T x tα α=
{ } { } { }1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )T x t x t T x t T x tα β α β+ = +
© Francisco J. González, UC3M 2009 21
2.4 Sistemas LIT
SLIT: Sistemas Lineales e Invariantes con el TiempoLinealidad• Supongamos que la señal x(t) se puede expresar como una
combinación lineal de señales más simples ( xi(t) ) y que, ante estas entradas, es fácilmente calculable la salida de un sistema (yi(t) ).
− Entonces, la salida y(t) es:
• Aplicación: − Si conocemos la respuesta de un sistema lineal ante señales básicas
(impulsos, escalones, exponenciales complejas), también conoceremos su respuesta ante combinaciones lineales de esas señales
Ejemplo: señales periódicas.
Sistemalineal
1 1( ) ( ) ( )N Nx t a x t a x t= + +
{ }•T
1 1( ) ( ) ( )N Ny t a y t a y t= + +
Tema 2: Sistemas
Sistemas y Circuitos 11
© Francisco J. González, UC3M 2009 22
2.4 Sistemas LIT
Tiempo discreto• Propiedad: Cualquier señal definida sobre tiempo discreto
puede representarse como una suma de impulsos escalados y desplazados
0]3[]3[ −nx δn21-1 3
0]2[]2[ −nx δ
n2
1-1 3
0]1[]1[ −nx δ
n21-1 3
0][]0[ nx δ
n21-1 3
=0
][nx
n2
1-1 3
][][][ knkxnxk
−=∑∞
−∞=
δ
© Francisco J. González, UC3M 2009 23
2.4 Sistemas LIT
Tiempo continuo• Cualquier señal definida sobre tiempo continuo puede
representarse como una integral (suma) de impulsos escalados y desplazados
t0
( )x t
kε
( ) ( )x k t kεε δ ε ε−
( 1)k ε+
( ) ( ) ( )k
x t x k t kεε δ ε ε∞
=−∞
= −∑
)()()( txdtx =−∫∞
∞−
ττδτ
Variable integración
Variable independiente
Tema 2: Sistemas
Sistemas y Circuitos 12
© Francisco J. González, UC3M 2009 24
2.4 Sistemas LIT
Linealidad
• Si conocemos la respuesta de un Sistema lineal ante δ(t-τ) (óδ[n-k]) podremos conocer la respuesta ante cualquier entrada x(t) (ó x[n])
=0
][nx
n2
1-1 3
][][][ knkxnxk
−=∑∞
−∞=
δ
[ 1] [ 1] [0] [ ] [1] [ 1]x n x n x nδ δ δ+ − + + + − +
t0
)(τx
( ) ( ) ( )x t x t dτ δ τ τ∞
−∞= −∫
Combinación lineal de δ
τ
)( τδ −t
Señal (depende de t)
coeficiente (no depende de t)
© Francisco J. González, UC3M 2009 25
2.4 Sistemas LIT
Linealidad
• Si conocemos la respuesta de un Sistema lineal ante δ(t-τ) (óδ[n-k]) podremos conocer la respuesta ante cualquier entrada x(t) (ó x[n])
][][][ knkxnxk
−=∑∞
−∞=
δ
( ) ( ) ( )x t x t dτ δ τ τ∞
−∞= −∫
Sistemalineal
[ ]n kδ −
{ }•T
{ }[ ] [ ]kh n T n kδ= −
( )tδ τ− { }( ) ( )h t T tτ δ τ= −
[ ] [ ] [ ]kk
y n x k h n∞
=−∞
= ∑
( ) ( ) ( )y t x h t dττ τ∞
−∞= ∫
Tema 2: Sistemas
Sistemas y Circuitos 13
© Francisco J. González, UC3M 2009 26
Respuesta al impulso de un canal multitrayecto
( )
1( ; ) ( ; ) ( ( ))
N t
i ii
h t r t t tτ τ δ τ=
= −∑
Dispersión temporal Varianza Temporal
|hτ(t
)|2
t
τ
© Francisco J. González, UC3M 2009 27
2.4 Sistemas LIT
Invarianza Temporal
• Conclusión: Si el sistema es lineal e invariante con el tiemponos basta conocer la respuesta al impulso unitario para calcular la respuesta a cualquier entrada arbitraria.
SistemaLineal
Invarianteen el Tiempo
Sistemainvariante
( )tδ ( )h t
0( )t tδ − 0( )h t t−t0
1
t0
t0t
1
0 t0 0t
( )tδ ( )h t
Tema 2: Sistemas
Sistemas y Circuitos 14
© Francisco J. González, UC3M 2009 28
2.4 Sistemas LIT
Linealidad e Invarianza Temporal• Tiempo continuo
( )tδ ( )h t
t0
1
t0SistemaLineal
Invarianteen el Tiempo
( ) ( ) ( )x t x t dτ δ τ τ∞
−∞= −∫
( ) ( ) ( )y t x h t dτ τ τ∞
−∞= −∫
0( )t tδ − 0( )h t t−
t0t
1
0 t0 0t
( ) ( )* ( )y t x t h t=Convolución:t0
)(τx
τ
)( τδ −t
( )h t
© Francisco J. González, UC3M 2009 29
2.4 Sistemas LIT
Linealidad e Invarianza Temporal• Tiempo discreto
[ ]nδ
n0
1
SistemaLineal
Invarianteen el Tiempo
[ ]n kδ −
nk
1
0
Convolución:
0
][nx
n2
1-1 3
][][][ knkxnxk
−=∑∞
−∞=
δ
0 1 2 n-1-2
1
αα2
αα2
[ ]h n
0 k n-1-2
1α
α2α
α2
[ ]h n k−
[ ] [ ] [ ]k
y n x k h n k∞
=−∞
= −∑
[ ] [ ]* [ ]y n x n h n=
[ ]h n
Tema 2: Sistemas
Sistemas y Circuitos 15
© Francisco J. González, UC3M 2009 30
2.5 Convolución
Propiedades de la convolución• Conmutativa:
[ ]* [ ] [ ] [ ]k
x n y n x k y n k∞
=−∞
= −∑
( )* ( ) ( ) ( )x t y t x y t dτ τ τ∞
−∞= −∫
( )* ( ) ( )* ( )x t y t y t x t=
( )( )* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ( )
td d
x t y t x y t d x t y d y t x t
τ στ σ
τ τ τ σ σ στ στ σ
∞ −∞
−∞ ∞
− ==−
= − = = − − ==−∞→ =∞=∞→ =−∞
∫ ∫
[ ]* [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]* [ ]k l
n k lx n y n x k y n k k l x n k y l y n x n
k l
∞ −∞
=−∞ =∞
− == − = =−∞→ =∞ = − =
=∞→ =−∞∑ ∑
© Francisco J. González, UC3M 2009 31
Propiedades de la convolución• Asociativa:
− Consecuencia: Interconexión de Sistemas LIT en serie
− Si ahora tenemos en cuenta la conmutatividad
2.5 Convolución
( ) ( )[ ]* [ ]* [ ] [ ]* [ ] * [ ]x n y n z n x n y n z n=
1[ ]h n[ ]x n
2[ ]h n [ ]y n[ ]w n
( ) ( )1 2 1 2[ ] [ ]* [ ] * [ ] [ ]* [ ]* [ ] [ ]* [ ]eqy n x n h n h n x n h n h n x n h n= = =
1 2[ ]* [ ]h n h n[ ]x n [ ]y n
1 2 2 1[ ]* [ ] [ ]* [ ]h n h n h n h n=
( ) ( )1 2 2 1[ ] [ ]* [ ]* [ ] [ ]* [ ] * [ ]y n x n h n h n x n h n h n= =
2[ ]h n[ ]x n
1[ ]h n [ ]y n[ ]z n
Equ
i val
enci
a
Tema 2: Sistemas
Sistemas y Circuitos 16
© Francisco J. González, UC3M 2009 32
Propiedades de la convolución• Distributiva respecto a la suma:
− Consecuencia: Interconexión de Sistemas LIT en paralelo
2.5 Convolución
( ) ( ) ( )[ ]* [ ] [ ] [ ]* [ ] [ ]* [ ]x n y n z n x n y n x n z n+ = +
Sistema #1
1 ( )h t
)(txSistema #2
2 ( )h t
Sistema #N( )Nh t
( )y t Sistema Equiv.
1( ) ( )Nh t h t+)(tx ( )y t
© Francisco J. González, UC3M 2009 33
Propiedades de la convolución• Elemento neutro:
− Es una señal y(t) que al convolucionarla con x(t) produce como resultado la misma señal x(t).
− Como ...
− El elemento neutro de la convolución es la función δ(t)
2.5 Convolución
( )* ( ) ( ) ( ) ( )x t y t x y t d x tτ τ τ∞
−∞= − =∫
( ) ( ) ( )x t x t dτ δ τ τ∞
−∞= −∫
t0
)(τx
τ
)( τδ −t
( )* ( ) ( ); [ ]* [ ] [ ]x t t x t x n n x nδ δ= =
Tema 2: Sistemas
Sistemas y Circuitos 17
© Francisco J. González, UC3M 2009 34
Propiedades de la convolución• Elemento neutro:
2.5 Convolución
0 0
0 0
( )* ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x t t t x t t d
x t t d x t t
δ τ δ τ τ
σ δ σ σ
∞
−∞
∞
−∞
− = − −
= − − = −
∫∫
t00t
0( )t tδ −( )x t
t0
0( )x t t−
t0 0t
© Francisco J. González, UC3M 2009 35
Hemos representado los SLIT en términos de su respuesta impulsional.
• Por tanto, se pueden conocer las propiedades de un sistema (memoria, causalidad, ...) analizando su respuesta impulsional.
2.6 Propiedades de los SLIT
SistemaLineal
Invarianteen el Tiempo
[ ]h n
SistemaLineal
Invarianteen el Tiempo
( )h t
[ ] [ ] [ ]k
y n x k h n k∞
=−∞
= −∑[ ]x n
( )x t ( ) ( ) ( )y t x h t dτ τ τ∞
−∞= −∫
Tema 2: Sistemas
Sistemas y Circuitos 18
© Francisco J. González, UC3M 2009 36
2.6 Propiedades de los SLITSistemas LIT sin/con memoria• Sin memoria: la salida, para cada instante de tiempo (valor de
la variable independiente) depende ÚNICAMENTE de la entrada en ese mismo instante de tiempo.− Sistema Lineal Invariante en el Tiempo:
− Sistema SIN memoria
− Sistema LIT sin Memoria:
[ ]h n][nx [ ] [ ] [ ]
[ 1] [ 1] [0] [ ] [1] [ 1]k
y n h k x n k
h x n h x n h x n
∞
=−∞
= −
= + − + + + − +
∑
[ ]h n][nx ( )[ ] [ ] [ 1] [1] [ 2] 0y n f x n h h h= ⇒ − = = − = =
1[ ] [ ]h n C nδ=
n0
1C 2( ) ( )h t C tδ=
t0
2C
© Francisco J. González, UC3M 2009 37
2.6 Propiedades de los SLIT
Sistemas LIT causales• Un sistema es causal cuando la salida en un instante de tiempo t0
depende ÚNICAMENTE de valores de la entrada en t ≤ t0− Sistema causal
− Sistema Lineal Invariante en el Tiempo:
− Sistema LIT causal: h(t)=0, t<0 (h[n]=0, n<0)
[ ]h n][nx ( )[ ] [ ], [ 1], [ 2],y n f x n x n x n= − − …
0 1 2 n-1
1
αα2
[ ]h n ( )h t
t0
[ ]h n][nx [ ] [ ] [ ]
[ 1] [ 1] [0] [ ] [1] [ 1]
ky n h k x n k
h x n h x n h x n
∞
=−∞
= −
= + − + + + − +
∑
Tema 2: Sistemas
Sistemas y Circuitos 19
© Francisco J. González, UC3M 2009 38
2.6 Propiedades de los SLITSistemas LIT causales
][nx0
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]n
k k
y n h k x n k x k h n k∞
= =−∞
= − = −∑ ∑0 1 2 n-1
1
αα2
[ ]h n
( )h t
t0
Utilizamos valores de la señal de entrada previos al instante en el que
se calcula la salida (n)
( )x t ( ) 0, 0( ) ( ) ( )
( ) 0,
( ) ( )t
h t ty t x h t d
h t t
x h t d
τ τ ττ τ
τ τ τ
∞
−∞
−∞
= <= − =
− = >
= −
∫
∫Utilizamos valores de la señal de entrada previos al instante
en el que se calcula la salida (t)
© Francisco J. González, UC3M 2009 39
2.6 Propiedades de los SLITCausalidad
][nx[ ]y n
0 1 2 n-1
1
αα2
[ ]h n
( )h t
t0
( )x t ( )y t
Causal
Anticausal
0
[ ]h n
n2
1-1 3
][nx[ ]y n No causal
Tema 2: Sistemas
Sistemas y Circuitos 20
© Francisco J. González, UC3M 2009 40
2.6 Propiedades de los SLITEstabilidad• Tiempo discreto
−
− Estabilidad en SLIT
− Los SLIT estables tienen una respuesta impulsional sumable en valor absoluto.
][nx [ ] [ ]* [ ]y n x n h n=[ ]h n
Sistema estable [ ], [ ] [ ]X Yx n x n K y n K⇒∀ ≤ <∞⇒ ≤ <∞
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k k
y n h k x n k y n h k x n k∞ ∞
=−∞ =−∞
= − ⇒ = −∑ ∑
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]Xk k k
h k x n k h k x n k K h k∞ ∞ ∞
=−∞ =−∞ =−∞
− ≤ − ≤∑ ∑ ∑
Si [ ] [ ] [ ]Y Xk k
h k y n K K h k∞ ∞
=−∞ =−∞
< ∞⇒ ≤ =∑ ∑
© Francisco J. González, UC3M 2009 41
2.6 Propiedades de los SLITEstabilidad• Tiempo continuo
−
− Estabilidad en SLIT
− Los SLIT estables tienen una respuesta impulsional integrable en valor absoluto.
( )x t ( ) ( )* ( )y t x t h t=( )h t
Sistema estable ( ), ( ) ( )X Yx t x t K y t K⇒∀ ≤ <∞⇒ ≤ <∞
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x t h d y t x t h dτ τ τ τ τ τ∞ ∞
−∞ −∞= − ⇒ = −∫ ∫
Si ( ) ( ) ( )Y Xh d y t K K h dτ τ τ τ∞ ∞
−∞ −∞≤ ∞⇒ ≤ =∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x t h d x t h dτ τ τ τ τ τ∞ ∞
−∞ −∞= − ≤ −∫ ∫
Tema 2: Sistemas
Sistemas y Circuitos 21
© Francisco J. González, UC3M 2009 42
2.6 Propiedades de los SLITInvertibilidad• Consideremos un sistema LIT y su inverso:
• El sistema inverso ...− ¿es lineal?− ¿es invariante?
( )x t ( )y t( )h t ( )x t( )y t Sistemainverso
( )x t( )y t
( )h t ( )x tINV ( )h t
( ) ( )INV INV
Elemento neutro
( )* ( ) * ( ) ( )* ( )* ( ) ( )x t h t h t x t h t h t x t= =
INV( )* ( ) ( )h t h t tδ=
© Francisco J. González, UC3M 2009 43
2.6 Propiedades de los SLITInvertibilidad• Ejemplo:
− Como
[ ]x n [ ]y n[ ]u n [ ]x n[ ]y n Sistemainverso
[ ] [ ] [ 1]n u n u nδ = − − ⇒
0 1 2 n-1-2
1][nu
]1[ −− nu-1
INV[ ]* [ ] [ ]u n h n nδ=
INV[ ] [ ] [ 1]h n n nδ δ= − −
[ ]u nn0 1 2-1-2
1
-1
INV[ ] [ ] [ 1]h n n nδ δ= − −
Tema 2: Sistemas
Sistemas y Circuitos 22
© Francisco J. González, UC3M 2009 44
2.7 Respuesta al escalónPara calcular la salida y las propiedades de un SLIT necesitamos conocer su respuesta impulsional• Tiempo discreto: no hay problema
• Tiempo continuo: ¿cómo generar δ(t)?− Solución: utilizar la respuesta al escalón (fácilmente generable)
− Relaciones entre respuesta impulsional y respuesta al escalón
[ ]nδ [ ]h nSistemaLIT
( )tδ ( )h tSistemaLIT( )u t ( ) ( )* ( ) ( )
ts t u t h t h dτ τ
−∞= = ∫
( ) ( )t
s t h dτ τ−∞
= ∫( )( ) ( ) ds th t s t
dt′= =
top related