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Tema 4: Ecuaciones e inecuaciones 3
ESQUEMA DE LA UNIDAD
1.- Ecuaciones de primer grado.
2.- Ecuaciones de segundo grado completas.
3.- Ecuaciones de segundo grado incompletas.
3.1.- Caso 0b .
3.2.- Caso 0c .
4.- Propiedades de las ecuaciones de segundo grado.
5.- Ecuaciones bicuadradas.
6.- Ecuaciones de grado mayor que dos.
7.- Ecuaciones con fracciones algebraicas.
8.- Ecuaciones irracionales.
9.- Ecuaciones exponenciales.
10.- Inecuaciones de primer grado con una incógnita.
11.- Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
12.- Inecuaciones de segundo grado con una incógnita.
1.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Para resolver las ecuaciones de primer grado se recomienda seguir los siguientes pasos:
1. Quitar los paréntesis.
2. Si hay fracciones ponerle a todas el mismo denominador.
3. Quitar los denominadores teniendo mucho cuidado con los signos.
4. Pasar todos los términos que contengan la incógnita a la izquierda de la ecuación y todos
los términos que no la tengan a la derecha.
5. Agrupar en ambos lados de la ecuación.
6. Despejar la incógnita pasando el número que tiene delante al otro lado de la ecuación
DIVIDIENDO.
Ejemplos: resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.
a)
2
3
8
7
4
32
2
13
xxx
2
3
8
7
4
32
2
13 xxx
2
3
8
7
4
62
2
33 xxx
8
12
8
7
8
124
8
1212
xxx
1271241212 xxx 1212127412 xxx 36x
Tema 4: Ecuaciones e inecuaciones 4
b)
5
33
15
124
3
12
5
2
xxxx
5
93
15
48
3
22
5
2 xxxx
15
279
15
48
15
1010
15
63 xxxx
27948101063 xxxx 10627498103 xxxx
3514x 14
35x
2.- ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS
Recordatorio:
Son ecuaciones de la forma 02 cbxax , donde cba ,, son números distintos de cero.
Estas ecuaciones se resuelven aplicando la siguiente fórmula: a
cabbx
2
42
Observaciones:
Antes de aplicar la fórmula para resolver la ecuación, hay que asegurarse de que todos los
términos de la ecuación están a la izquierda, quedando un cero a la derecha.
Al aplicar la fórmula no olvidar quiénes son cba ,, , ya que podemos tener desordenada la
ecuación y confundirnos.
El radicando de la raíz que aparece en la fórmula ( cab 42 ) se le llama discriminante y
se representa con el símbolo . Según sea el discriminante de la ecuación podemos saber, sin
resolverla cuántas soluciones tiene la ecuación de segundo grado:
Si 0 , entonces la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.
Si 0 , entonces la ecuación solo tiene una solución real (doble).
Si 0 , entonces la ecuación no tiene ninguna solución real.
Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas.
a) 0762 xx
2
14
2
867
2
86
2
646
2
28366
12
714662
x
2
2
2
861
Tema 4: Ecuaciones e inecuaciones 5
b) 01032 xx
2
4
2
732
2
73
2
493
2
4093
12
101433 2
x
2
10
2
735
3.- ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS
Son ecuaciones de la forma 02 cbxax donde """" cob vale cero. Aunque se pueden
resolver con la misma fórmula que las ecuaciones de segundo grado completas, hay una forma más
rápida de resolverlas.
3.1.- Caso b = 0
En este caso el término que le falta a la ecuación es la “x”. Se podría resolver siguiendo los
siguientes pasos:
1. Se resuelve la ecuación como si fuera de primer grado; es decir, como si la “x” no estuviera
elevada al cuadrado.
2. Cuando esté despejada la “ 2x ”, el cuadrado se pasa al otro lado en forma de raíz cuadrada,
sin olvidar que cuando se saca la raíz cuadrada de un número hay dos soluciones, una positiva y
otra negativa.
Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas.
a) 0273 2 x
0273 2x 273 2x 3
272x 92x xx 9 3
b) 0255 2 x
0255 2x 255 2x 5
252x xx 52 5
c) 06416 2 x
06416 2x 6416 2x 16
642x 42x xx 4 2
d) 0182 2 x
0182 2x 182 2x 2
182x 92x xx 9 3
Tema 4: Ecuaciones e inecuaciones 6
3.2.- Caso c = 0
En este caso el término que le falta a la ecuación es el término independiente. Se podría resolver
siguiendo los siguientes pasos:
1. Se saca factor común.
2. Se plantean dos ecuaciones, una en la que se iguala a cero lo que ha quedado fuera del
paréntesis después de haber sacado factor común, y otra igualando a cero lo que ha quedado dentro
del paréntesis.
3. Las soluciones de esas dos ecuaciones serán las soluciones de la ecuación de segundo grado
que estamos buscando.
Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas.
a) 0255 2 xx
xx 05 0
0550255 2 xxxx
xx 05 5
b) 027 2 xx
xx 0 0
027027 2 xxxx
xxx 270277
2
c) 0126 2 xx
xx 06 0
0260126 2 xxxx
xx 02 2
d) 0248 2 xx
xx 08 0
0380248 2 xxxx
xx 03 3
4.- PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Si llamamos x1 y x2 a las soluciones de una ecuación de segundo grado de la forma
02 cbxax , se cumple lo siguiente:
La suma de las soluciones vale a
b; es decir:
a
bxxS
21
El producto de las soluciones vale a
c; es decir,
a
cxxP 21
Tema 4: Ecuaciones e inecuaciones 7
Si la ecuación 02 cbxax se divide término a término entre “a” se obtiene lo
siguiente:
00
0 22
2
a
cx
a
bx
aa
c
a
xb
a
axcbxax
Pero como a
bS
y
a
cP , la ecuación de segundo grado se puede terminar escribiendo
también de esta manera: 02 PSxx
5.- ECUACIONES BICUADRADAS
Son ecuaciones de la forma 024 cbxax , donde a, b, c son números reales y "a" no puede
valer cero.
Cuando "b" y "c" tampoco valen cero, a la ecuación bicuadrada se le llama completa, y en el
caso de que o "b" o "c" sean cero, se le llama incompleta, al igual que sucede con las ecuaciones de
segundo grado.
Las ecuaciones bicuadradas hay que transformarlas mediante lo que se conoce como un cambio
de variable en una ecuación de segundo grado. Los pasos que hay que seguir para resolverlas, de
una manera más detallada, son los siguientes:
1. Hacer el cambio de variable yx 2 , quedando así una ecuación de segundo grado. Vamos
a verlo: cambio de variable yx 2
00 22224 cbxxacbxax 02 cbyay
2. Resolver la ecuación de segundo grado, obteniendo así el valor de "y", que no es la
incógnita de la ecuación que tenemos que resolver.
3. Deshacer el cambio de variable que se hizo en el paso 1 para obtener el valor de "x", que es
el que nos interesa:
yx2 yx
Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas.
a) 045 24 xx
12
41455045045045
2
222224 yyyxxxx
2
8
2
354 442 xx 2x
2
35
2
95
2
16255
2
2
2
351 112 xx 1x
Tema 4: Ecuaciones e inecuaciones 8
b) 0214 24 xx
12
211444021402140214
2
222224 yyyxxxx
2
12
2
846 62x 6x
2
84
2
644
2
48164
2
4
2
842 22x 2x No es real
c) 032 24 xx
22
32411032032032
2
222224 yyyxxxx
4
6
4
51
2
3
2
32x2
3x
4
51
4
251
4
2411
4
4
4
511 12x 1x No es real
6.- ECUACIONES DE GRADO MAYOR QUE DOS
Son ecuaciones en las que la incógnita aparece elevada a un número mayor que dos. Para
resolverlas se aconseja seguir los siguientes pasos:
1. Descomponer o factorizar la ecuación.
2. Igualar a cero cada uno de los factores de la factorización, quedando así tantas ecuaciones
como factores tenga la ecuación, pero serán de grados menores que la inicial.
3. Resolver las ecuaciones planteadas en el paso anterior.
Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de grado mayor que dos
a) 0671344 234 xxxx
Factorización de la ecuación:
4 4 -13 -7 6
1x -1 -4 0 13 -6
4 0 -13 6 0
2x -2 -8 16 -6
4 -8 3 0
384 2 xx
Tema 4: Ecuaciones e inecuaciones 9
Así, la ecuación factorizada queda de esta manera: 038421 2 xxxx
Igualar a cero cada uno de los factores y resolver:
038421 2 xxxx
01x 1x
02x 2x
42
344880384
2
2 xxx
8
48
8
168
8
48648
8
12
8
48
2
3
8
4
8
48
2
1
b) 0652 23 xxx
Factorización de la ecuación:
1 2 -5 -6
1x -1 -1 -1 6
1 1 -6 0
2x 2 2 6
1 3 0
3x
Así, la ecuación factorizada queda de esta manera: 0321 xxx
Igualar a cero cada uno de los factores y resolver:
0321 xxx
01x 1x
02x 2x
03x 3x
Tema 4: Ecuaciones e inecuaciones 10
7.- ECUACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
Son ecuaciones en las aparecen fracciones algebraicas. Para resolverlas se aconseja seguir los
siguientes pasos:
1. Si no lo tienen, ponerle a todas las fracciones el mismo denominador (que será el m.c.m. de
todos ellos).
2. Realizar las operaciones que quedan en los numeradores.
3. Quitar los denominadores teniendo cuidado con los signos. Recordar que si hay un signo
"-" delante de una fracción, al quitar el denominador hay que cambiarle el signo a todos los
términos del numerador.
4. Resolver la ecuación resultante, así se obtendrán POSIBLES soluciones de la ecuación
inicial.
5. Comprobar si las posibles soluciones obtenidas en el paso anterior son realmente
soluciones de nuestra ecuación.
Observación: la comprobación es necesaria por aparecer la incógnita en los denominadores de
las fracciones, ya que sabemos que no se puede dividir entre cero y cabe la posibilidad de que al
sustituir las posibles soluciones en los denominadores nos dé ese número, en cuyo caso el número
sustituido no podríamos considerar que es solución de la ecuación.
Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones
a) 024
22
2
x
x
x
x
22
220
22
2
22
120
24
2 2
2
2
xx
xx
xx
xx
xx
x
x
x
x
x
22
0
22
2
22
2 22
xxxx
xx
xx
x 022 22 xxx
2
222 xx 1x Posible solución
Comprobación: para ver si 1x es solución de nuestra ecuación tenemos que comprobar si
anula algún denominador.
024
22
2
x
x
x
x
1x 1x
412 21
03 01
Tema 4: Ecuaciones e inecuaciones 11
Como al sustituir la "x" de los denominadores por "1", no se ha anulado ninguno de ellos,
podemos afirmar que 1x SÍ es solución de nuestra ecuación.
b) 196
3
3
22
xxx
x
2
2
2223
31
3
13
3
321
96
3
3
2
x
x
xx
xx
xxx
x
xxxxx
x
xx
xx
xxx693623
3
69
3
3
3
623 22
2
2
22
2
0369623 22 xxxxxx 0x Posible solución
Comprobación: para ver si 0x es solución de nuestra ecuación tenemos que comprobar si
anula algún denominador.
196
3
3
22
xxx
x
0x 0x
30 90602
03 09
Como al sustituir la "x" de los denominadores por "0", no se ha anulado ninguno de ellos,
podemos afirmar que 0x SÍ es solución de nuestra ecuación.
c) 01
112
xxx
1
10
1
1
1
110
1
112 xx
xx
xx
x
xxxxx
1011
0
11
1xx
xxxx
x
xx 1x Posible solución
Comprobación: para ver si 1x es solución de nuestra ecuación tenemos que comprobar si
anula algún denominador.
01
112
xxx
1x
112
0
Tema 4: Ecuaciones e inecuaciones 12
Como al sustituir la "x" de los denominadores por "1", se ha anulado uno de ellos, podemos
afirmar que 1x NO es solución de nuestra ecuación, y como no hay otras posibles soluciones,
nuestra ecuación no tiene solución.
8.- ECUACIONES IRRACIONALES
Una ecuación irracional es una ecuación en la que la incógnita aparece dentro de una raíz (en
nuestro caso siempre serán raíces cuadradas).
Para resolver una ecuación irracional se aconseja seguir los siguientes pasos:
1. Asilar la raíz del resto de la ecuación; es decir, dejar la raíz a un lado del signo "=" y el
resto de términos de la ecuación al otro lado. Conviene siempre dejar la raíz en el lado donde
quede con un signo positivo delante.
2. En el lado en el que no está la raíz, agrupar todo lo que se pueda de manera que queden,
como mucho, dos términos.
3. Encerrar todo lo que hay a la izquierda del signo "=" en un solo paréntesis, y todo lo que
hay a la derecha del signo "=" en otro.
4. Elevar al cuadrado cada uno de los paréntesis, así se irá la raíz y quedará una ecuación sin
raíces.
5. Resolver la ecuación resultante en el paso anterior, obteniendo así POSIBLES soluciones
de la ecuación irracional.
6. Comprobar si las posibles soluciones obtenidas en el paso anterior son o no soluciones de la
ecuación de partida.
Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones irracionales
a) 31452 xxx
44513453145 222 xxxxxxxxx
xxxxxxxxxx 81645445445 2222
22
3
121230123081645 22 xxxxxxx 4x Posible
solución
Comprobación: comprobamos si 4x es solución de la ecuación irracional.
31452 xxx
4x 4x
34144542
Tema 4: Ecuaciones e inecuaciones 13
1142016
110
11 soluciónesSíx 4
b) 552 xx
xxxxxxxxx 10255555555 2222
222
10
2020105251022 xxxxx 2x Posible solución
Comprobación: comprobamos si 2x es solución de la ecuación irracional.
552 xx
2x 2x
52522
354
39
33 soluciónesNox 2
9.- ECUACIONES EXPONENCIALES
Son ecuaciones en las que la incógnita aparece en el exponente de una potencia. Las hay de dos
tipos:
Ec. Monómicas son aquellas en las que se pueden expresar los dos términos de la
ecuación como una potencia de la misma base. Estas ecuaciones tienen dos términos.
Ejemplos:
a) 273 52 x
273 52 x
Se factorizan las bases (en este caso solo se factoriza el 27): 352 33 x
Cuando a ambos lados del "=" queden potencias con la misma base, se "tachan" las bases
de manera que quedan igualados los exponentes: 352 x
Tema 4: Ecuaciones e inecuaciones 14
Por último se resuelve la ecuación que queda planteada en el paso anterior (ecuación en la
que ya no hay potencias). En este ejemplo queda una ecuación de primer grado:
2
222532352 xxxx 1x
b) 125
15 42
xx
Factorización de las bases (en este caso solo se factoriza el número 125): 3
4
5
15
2
xx
Se pasa la potencia 35 al numerador de la fracción (recordar que para pasar una potencia
del numerador al denominador o viceversa basta con cambiar de signo al EXPONENTE de
la potencia: 34 552 xx
Tachamos las bases y resolvemos la ecuación que queda:
2
12164
12
3144403434
2
22 xxxxx
2
6
2
243
2
24
2
44
2
2
2
241
Ec. Trinómicas son aquellas en las que es necesario hacer un cambio de variable para
resolverlas, transformándose la ecuación inicial en otra ecuación no exponencial. Estas ecuaciones
tienen más de dos términos.
Ejemplos:
a) 9033 2 xx
Aplicamos en la segunda potencia la propiedad de la suma de potencias de la misma base:
9039390333 2 xxxx
Hacemos el siguiente cambio de variable: yx 3 , con el que la ecuación queda de la
siguiente manera: 909 yy
Resolvemos la ecuación cuya incógnita es la "y":
10
909010909 yyyy 9y
Tema 4: Ecuaciones e inecuaciones 15
Por último deshacemos el cambio de variable (quedando una ecuación exponencial del tipo
anterior):
233933 xxx y 2x
b) 655 1 xx
Aplicamos en la primera potencia la propiedad de división de potencias de la misma base:
655
5 x
x
Hacemos el siguiente cambio de variable: yx 5 , con el que la ecuación queda de la
siguiente manera: 65
yy
Resolvemos la ecuación cuya incógnita es la "y":
3055
30
5
5
56
5yy
yyy
y5
6
30306 yyy
Por último deshacemos el cambio de variable (quedando una ecuación exponencial del tipo
anterior):
155555 xxx y 1x
10.- INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Una inecuación es una expresión algebraica (al igual que una ecuación) en la que en vez de
haber una igualdad (=) hay una desigualdad.
Recordatorio: hay cuatro tipos de desigualdades
> Mayor que < Menor que
Mayor o igual que Menor o igual que
Las inecuaciones de primer grado con una incógnita se resuelven como las ecuaciones teniendo
en cuenta que para despejar la incógnita esta debe tener un número positivo delante. Si el número
que hay delante de la incógnita justo antes de despejarla es negativo, hay que cambiarle el signo a
toda la inecuación incluyendo la desigualdad.
Ejemplo: resuelve las siguientes inecuaciones
a) 332 xx
3
993632362332 xxxxxxxx
3x
Tema 4: Ecuaciones e inecuaciones 16
Una vez resuelta una inecuación, hay tres formas diferentes de expresar su solución:
- De forma analítica: 3: xx
- Gráficamente:
- En forma de intervalo: 3,
b) 7432 xx
2
4424237427432 xxxxxxx
2x
Formas de expresar la solución:
- De forma analítica: 2: xx
- Gráficamente:
- En forma de intervalo: ,2
11.- INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS
Una inecuación de primer grado con una incógnita es una expresión de la forma 0 cbyax .
Donde a, b y c son números reales y en la que puede aparecer cualquiera de las desigualdades <, >,
, .
Ejemplo: resuelve las siguientes inecuaciones
a) 32 yx
Se escribe la ecuación asociada a la inecuación: 32 yx
Se representa gráficamente la ecuación anterior (saldrá una recta):
Se despeja la “y”:
32 yx xy 23
Se hace la tabla de valores:
x 1 2
y 1 -1
Tema 4: Ecuaciones e inecuaciones 17
Se representa la recta:
Se elige un punto del plano que NO esté en la recta y se comprueba si cumple la
inecuación. En caso afirmativo, la solución es el semiplano que contiene al punto
elegido, y si por el contrario dicho punto no cumple la inecuación, entonces la solución
es el semiplano que no contiene al punto elegido.
Elegimos por ejemplo el punto 3x , 2y y comprobamos si cumple la inecuación:
326323232 yx 38 lo cual no es cierto, por lo tanto la
solución es el semiplano que no contiene al punto 3x , 2y .
b) yxx 32154
Se escribe la ecuación asociada a la inecuación: yxx 32154
Se representa gráficamente la ecuación anterior (saldrá una recta):
Se despeja la “y”:
3
422135421332154
xyxyxxyyxx
Se hace la tabla de valores:
x -2 1
y 0 -2
Tema 4: Ecuaciones e inecuaciones 18
Se representa la recta:
Se elige un punto del plano que NO esté en la recta y se comprueba si cumple la
inecuación. En caso afirmativo, la solución es el semiplano que contiene al punto
elegido, y si por el contrario dicho punto no cumple la inecuación, entonces la solución
es el semiplano que no contiene al punto elegido.
Elegimos por ejemplo el punto 0x , 0y y comprobamos si cumple la inecuación:
001500302150432154 yxx 15 lo cual es
cierto, por lo tanto la solución es el semiplano que contiene al punto 0x , 0y .
12.- INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA
Para resolver inecuaciones de segundo grado se recomienda seguir los siguientes pasos:
1. Escribir y resolver la ecuación de segundo grado asociada a la inecuación.
2. Colocar en la recta real las soluciones obtenidas en el paso anterior, de manera que la recta
quedará dividida en varios intervalos.
3. Sustituir un número de cada intervalo en la inecuación para ver si el resultado que sale al
operar es positivo o negativo.
4. La solución de la inecuación será el intervalo o intervalos en el que el signo coincida con la
desigualdad de la inecuación.
5. Los extremos de los intervalos que son solución de este tipo de inecuaciones, entran dentro
de la solución si en la desigualdad de la inecuación entra el “ = ”; es decir, si es “ ” ó “ ”, y no
entra en la solución si en la desigualdad no aparece el “ = “; es decir, si es “ > ” ó “ < ”.
Tema 4: Ecuaciones e inecuaciones 19
Ejemplo: resuelve las siguientes inecuaciones
a) 0342 xx
Ecuación asociada: 0342 xx
Resolución de la ecuación:
2
24
2
44
2
12164
12
31444034
2
2 xxx
2
6
2
243
2
2
2
241
Colocamos las soluciones de la ecuación en la recta real, señalamos los intervalos en los que
queda dividida y elegimos un número de cada intervalo:
0 2 4
1 3
Sustituimos los números elegidos en la inecuación (en 342 xx ) y operamos para ver si nos
sale un número positivo o negativo y lo indicamos en la recta real:
30030400 2x 3 Positivo
38432422 2x 1 Negativo
3161634444 2x 3 Positivo
+ - +
1 3
Como en la inecuación que tenemos que resolver la desigualdad que aparece es “MAYOR QUE
CERO”, la solución de la misma es aquel intervalo o intervalos en los que nos haya salido signo
POSITIVO. En cuanto a los extremos del intervalo, como en la desigualdad de la inecuación no
aparece el “IGUAL”, no entran en la solución.
Solución: ,31,
b) 0322 xx
Ecuación asociada: 0322 xx
Tema 4: Ecuaciones e inecuaciones 20
Resolución de la ecuación:
2
42
2
162
2
1242
12
31422032
2
2 xxx
2
2
2
421
2
6
2
423
Colocamos las soluciones de la ecuación en la recta real, señalamos los intervalos en los que
queda dividida y elegimos un número de cada intervalo:
-2 0 4
-1 3
Sustituimos los números elegidos en la inecuación (en 322 xx ) y operamos para ver si nos
sale un número positivo o negativo y lo indicamos en la recta real:
344322222
x 5 Negativo
30030200 2x 3 Positivo
381634244 2x 5 Negativo
- + -
-1 3
Como en la inecuación que tenemos que resolver la desigualdad que aparece es “MAYOR QUE
CERO”, la solución de la misma es aquel intervalo o intervalos en los que nos haya salido signo
POSITIVO. En cuanto a los extremos del intervalo, como en la desigualdad de la inecuación sí
aparece el “IGUAL”, sí entran en la solución.
Solución: 3,1
FIN DEL TEMA
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