tarea de analisis matematico
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Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números
enteros y tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural , llamado el módulo;
esto se expresa utilizando la notación
que se expresa diciendo que es congruente con módulo . Las siguientes expresiones
son equivalentes:
Es congruente con módulo
El resto de entre es el resto de entre
divide exactamente a la diferencia de y
se puede escribir como la suma de y un múltiplo de
El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente
diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo
de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para
cada primo y cada entero no divisible por tenemos la congruencia:
Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o
más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y
en caso afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la
congruencia , tiene solución, y todas sus
soluciones vienen dadas por
y , es decir puede ser cualquier entero de
lassucesiones y . Contrariamente la
congruencia , no tiene solución.
La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl
Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su
utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos
hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientesen
un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.
[editar]Propiedades
La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la
igualdad, por citar alguna:
La congruencia para un módulo fijo es una relación de
equivalencia ya que se verifican las propiedades:
1. reflexividad:
2. simetría: si entonces
también
3. transitividad: si y
entonces también .
Si es coprimo con y , entonces
también es coprimo con .
Si y es un entero entonces también se
cumple
Si además es coprimo con , entonces podemos encontrar un
entero , tal que
y entonces tiene perfecto sentido hablar de la división y también es
cierto que
donde por definición ponemos .
Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos
congruencias con igual módulo:
y
podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que
también se verifican las congruencias
y
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