Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números

enteros   y   tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural  , llamado el módulo;

esto se expresa utilizando la notación

que se expresa diciendo que   es congruente con   módulo  . Las siguientes expresiones

son equivalentes:

 Es congruente con   módulo 

El resto de   entre   es el resto de   entre 

 divide exactamente a la diferencia de   y 

 se puede escribir como la suma de   y un múltiplo de 

El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente

diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo

de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para

cada primo   y cada entero   no divisible por  tenemos la congruencia:

Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o

más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y

en caso afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la

congruencia  , tiene solución, y todas sus

soluciones vienen dadas por   

y  , es decir   puede ser cualquier entero de

lassucesiones   y  . Contrariamente la

congruencia  , no tiene solución.

La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl

Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su

utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos

hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientesen

un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.

[editar]Propiedades

La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la

igualdad, por citar alguna:

La congruencia para un módulo fijo   es una relación de

equivalencia ya que se verifican las propiedades:

1. reflexividad: 

2. simetría: si   entonces

también 

3. transitividad: si   y   

entonces también  .

Si   es coprimo con   y  , entonces   

también es coprimo con  .

Si   y   es un entero entonces también se

cumple

Si además   es coprimo con  , entonces podemos encontrar un

entero  , tal que

y entonces tiene perfecto sentido hablar de la división y también es

cierto que

donde por definición ponemos  .

Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos

congruencias con igual módulo:

 y 

podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que

también se verifican las congruencias

 y