solucionario matemáticas anaya 2 bachillerato
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8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
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8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
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Nmeros irracionales
Demuestra que es irracional. Para ello, supn que no lo es: = . Eleva
al cuadrado y llega a una contradiccin.
Supongamos que no es irracional. Entonces, se podra poner en forma de fraccin:
= 8 2 = 8 p 2 = 2q2
En p2, el factor 2 est un nmero par de veces (es decir, en la descomposicin defactores primos de p2, el exponente de 2 es par). Lo mismo ocurre con q2. Por tan-to, en 2q2 el exponente de 2 es un nmero impar. De ser as, no se podra cumplirla igualdad.
Suponiendo que = llegamos a una contradiccin:
p2 = 2q2, pero p2 no puede ser igual a 2q2.
Por tanto, no puede ponerse en forma de fraccin. No es racional.
Obtn el valor de F teniendo en cuenta que un rectngulo de dimensionesF : 1 es semejante al rectngulo que resulta de suprimirle un cuadrado.
= 8 F(F 1) = 1 8 F2 F 1 = 0
F = =
Como F ha de ser positivo, la nica solucin vlida es F = .5 + 1
2
1 + 5
21
5
(negativo)2
1 1 + 4
2
1
F 1
F
1
F1
F
1
2
p
q2
p2
q2p
q2
2
p
q
22
Unidad 1. Nmeros reales2
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8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
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Pgina 28
1. Sita los siguientes nmeros en el diagrama:
; 5; 2; 4,5; 7,
)
3; ; ; ;
2. Sita los nmeros del ejercicio anterior en los siguientes casilleros. Cada n-mero puede estar en ms de una casilla.
Aade un nmero ms (de tu cosecha) en cada casilla.
NATURALES,N 5;
64
ENTEROS, Z 5; 2;
64;3
27
RACIONALES, Q 5; 2; 4,5; 7,)
3;3
27;
64
REALES, 3; 5; 2; 4,5; 7,
)
3; 36;
64;3
27
NO REALES
8
NATURALES,N
ENTEROS, Z
RACIONALES, Q
REALES,
NO REALES
Q
Z N
4,5
25
7,)
3
3
8
64 = 8
3
6
3
27 = 3
Q
Z N
83
27643
63
Unidad 1. Nmeros reales 3
1UNIDAD
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8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
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Pgina 29
3. Representa los siguientes conjuntos:
a) (3, 1) b) [4, +@
) c) (3, 9] d) ( @
, 0)
4. Representa los siguientes conjuntos:
a) {x/ 2 x< 5} b) [2, 5) (5, 7]
c) (@
, 0)
(3, +@
) d) ( @
, 1)
(1, +@
)
Pgina 30
1. Halla los siguientes valores absolutos:a) |11| b) || c) | |
d) |0| e) |3 | f) |3 |
g) |1 | h) | | i) |7 |
a) 11 b) c)
d) 0 e) |3 | = 3
f) |3 | = 3 g) |1 | = 1
h) | | = i) |7 | = 7
2. Averigua para qu valores de x se cumplen las siguientes relaciones:
a) |x| = 5 b) |x| 5 c) |x 4| = 2
d) |x 4| 2 e) |x 4| > 2 f ) |x + 4| > 5
a) 5 y 5 b) 5 x 5; [5, 5]
c) 6 y 2 d) 2 x 6; [2, 6]
e) x < 2 o x > 6; (@, 2) (6, +@) f) x < 9 o x> 1; (@, 9) (1, +@)
50502332
2222
5
50322
2
5
a)
c)
b)
d)0 1
0 52 2 0 5 7
0 3
a)
c)
b)
d)
3
3
1 0
0 96
0
0
4
Unidad 1. Nmeros reales4
-
8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
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Pgina 31
1. Simplifica:
a) b) c)d) e) f)
a) = b) =
c) =y2 d) = =
e) = = = f ) = =
2. Cul es mayor, o ?
Reducimos a ndice comn:
= ; =
Por tanto, es mayor .
3. Reduce a ndice comn:
a) y b) y
a) = ; = b) = ;
4. Simplifica:
a) ( )8
b) c)
a)( )8
= k b) = c) = x
Pgina 32
5. Reduce:
a) b) c) d)
a) =
b) =
c) =
d) = = = 21225
12217
12(23)3 (22)4
1244
1283
827
82
822
824
635
63
634
1528
1523
1525
34
48
82
422
63
39
52
32
6x6
3x2
15x10
8k
3
(x)6
5
3
x10
k
9132650
9132651
351
36a14
18a7
36a15
12a5
9132650
351
18a7
12a5
431
1228561
313
1229791
431
313
431
3834
881
34
322
926
964
2623
68
5y10
3x2
12x8
4x3
12x9
881
964
68
5y
1012x
812x
9
Unidad 1. Nmeros reales 5
1UNIDAD
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8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
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6. Simplifica:
a) b) c) d)
a) = = b)6
=
c)6
=6
= d)4
=4
=4
7. Reduce:
a) b) c) d
a) = b)6
= =
c)10
= = d)4
= = 3
8. Suma y simplifica:
a) 5 + 3 + 2
b) +
c) +
d) + +
e)
a) 10
b) 3 + 5 = 7
c) + = + =
= 3 + 5 2 = 5
d) + + = 3 5 + 2 + 2 = 5 3
e) = 5 3 = 22a2a2a2 32 a2 52 a
2323232322 32 5233
22222
2322 522 328250182222
x
18a50a
8125027
825018
225 29 2
xxx
434
36
32108
1023
28
25
332
634
36
3263
34
33
4729
3
516
2
933
332
3
a
b c
1c
a
b c5a3 b5 c
a2 b6 c66a1
1a
a3
a4
6a b
a3 b3
a2 b2x2
1x2
x3
x5
4a3 b5 c
a b3 c3
6a33a2
a b3a b
5x3x
Unidad 1. Nmeros reales6
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Pgina 33
9. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
a) =
b) = =
c) = =
d) = =
e) = = =
f) = = = =
g) = =
h) = = = =
i) = = = =
j) = = = =3105
231010
232 52 5
2322 52
23100
362
3366
332 32 3
3322 32
3336
32510
352
101
235
2323 5
1340
235
5
2
352
2
325
223
426
4
32
4
2 324
18
3210
3
52
3
2 523
50
aa2
1
a a
1
a3
213
7
373
3322
3322
334
577
5
7
23100
3336
1340
2325
4
18
3
50
1
a37
3
334
5
7
Unidad 1. Nmeros reales 7
1UNIDAD
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8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
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10. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas:
a) b)
c) d)
e) f)
g) + + h) +
a) = = 1
b) = =
c) = = + 1
d) =
e) = =
f ) = = = 5 + 2
g) + + = + 2 =
h) =
Pgina 36
1. Halla:
a) log2 16 b) log2 0,25 c) log9 1 d) log10 0,1
e) log4 64 f) log7 49 g) ln e4 h) ln e1/4
i ) log5 0,04 j ) log6 )1216(
2x
xy
x+
y+
x
y
xy
53
22
22
2 1
1
2 + 1
1
22
630 + 12
6
6
18 + 12 + 12 6
6
(32 + 2
3 )
2
18 12
23 +
5
7
23 +
5
12 5
23 +
5
(23
5 ) (2
3 +
5 )
x+y+ 2
x y
xy
(x+
y) (
x+
y)
(x
y) (
x
y)
a(a 1) (
a + 1)
(a 1)
(a 1) (a + 1)
(a 1) (
a + 1)
xxx
y+y
xy
y
xy
(x+y) (x
y )
xy
(x+y) (x
y )
(x+
y) (
x
y)
2
2 1
2 1
2 1
(2 + 1) (
2 1)
1
x+
y
1
x
y
1
2 + 1
1
2 1
1
2
32 + 2
3
32 2
3
1
23
5
x+
y
x
y
a 1
a 1
x+y
x+
y
1
2 + 1
Unidad 1. Nmeros reales8
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8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
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a) log2 16 = log2 24 = 4 b) log2 0,25 = log2 2
2 = 2
c) log9 1 = 0 d) log10 0,1 = log10 101 = 1
e) log4
64 = log4
43 = 3 f) log7
49 = log7
72 = 2
g) ln e4 = 4 h) ln e1/4 =
i) log5 0,04 = log5 52 = 2 j) log6 = log6 6
3 = 3
2. Halla la parte entera de:
a) log2 60 b) log5 700 c) log10 43000
d) log10
0,084 e) log9
60 f) ln e
a) 25 = 32 ; 26 = 64 ; 32 < 60 < 64
5 < log2 60 < 6 8 log2 60 = 5,
b) 54 = 625 ; 55 = 3125 ; 625 < 700 < 3125
4 < log5 700 < 5 8 log5 700 = 4,
c) 104 = 10000 ; 105 = 100000 ; 10000 < 43000 < 100000
4 < log10 43000 < 5 8 log10 43000 = 4,
d) 102 = 0,01 ; 101 = 0,1 ; 0,01 < 0,084 < 0,1
2 < log10 0,084 < 1 8 log10 0,084 = 1,
e) 91 = 9 ; 92 = 81 ; 9 < 60 < 81
1 < log9 60 < 2 8 log960 = 1,
f) ln e= 1
3. Aplica la propiedad para obtener los siguientes logaritmos con la ayuda de lacalculadora:
a) log2 1 500 b) log5 200
c) log100 200 d) log100 40
En cada caso, comprueba el resultado utilizando la potenciacin.
a) = 10,55; 210,55 1500 b) = 3,29; 53,29 200
c) = 1,15; 1001,15 200 d) = 0,80; 1000,80 40log40log100
log200log100
log200log5
log1500log2
8
)1216(
14
Unidad 1. Nmeros reales 9
1UNIDAD
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8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
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4. Sabiendo que log5A = 1,8 y log5 B= 2,4, calcula:
a) log5 b) log5
a) log5
3
= [2 log5A log5 25 log5B] = [2 1,8 2 2,4] = 0,27
b) log5 = log5 5 + log5A 2 log5B= 1 + 1,8 2 2,4 = 1 + 2,7 4,8 = 1,1
5. Averigua la relacin que hay entre x e y, sabiendo que se verifica:
ln y= 2x ln5
ln y= 2x ln 5 8 ln y= ln e2x ln 5
ln y = ln 8 y=
Pgina 38
1. Di una cota del error absoluto y otra del error relativo en las siguientes medi-ciones:
a) La superficie de esta casa es de 96,4 m2.
b)Por la gripe se han perdido 37 millones de horas de trabajo.
c) Juana gana 19000 al ao.
a) |Error absoluto| < 0,05 m2
|Error relativo| < < 0,00052 = 0,052%
b) |Error absoluto| < 0,5 millones de horas = 500000 horas
|Error relativo| < < 0,014 = 1,4%
c) Si suponemos que los tres ceros finales se han utilizado para poder expresar lacantidad (es decir, que se trata de 19 mil , redondeando a los miles de eu-ros), entonces:
|E.A.| < 0,5 miles de = 500 |E.R.| < < 0,027 = 2,7%
Si suponemos que es 19000 exactamente:
|E.A.| < 0,5 |E.R.| < < 0,000027 = 0,0027%0,5
19000
0,5
19
0,5
37
0,05
96,4
e2x
5e2x
5
32
32
5A3
B2
0,83
13
13
A2
25B
5A3
B2
3 A2
25B
Unidad 1. Nmeros reales0
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8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
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Pgina 39
2. Calcula en notacin cientfica sin usar la calculadora:
a) (800 000 : 0,0002) 0,5 1012
b) 0,486 105 + 93 109 6 107
a) (800000 : 0,0002) 0,5 1012 = ((8 105) : (2 104)) 5 1011 =
= (4 109) 5 1011 = 20 1020 = 2 1021
b) 0,486 105 + 93 109 6 107 = 48,6 107 + 0,93 107 6 107 =
= 43,53 107 = 4,353 106
3. Opera con la calculadora:a) (3,87 1015 5,96 109) : (3,941 106)
b) 8,93 1010 + 7,64 1010 1,42 109
a) (3,87 1015 5,96 109) : (3,941 106) 5,85 1012
b) 8,93 1010 + 7,64 1010 1,42 109 = 2,37 1010
Pgina 41
LENGUAJE MATEMTICO
1. Da nombre al conjunto sombreado en cada caso:
2. Expresa simblicamente estas relaciones:
a) 13 es un nmero natural.
b) 4 es un nmero entero.
c) 0,43 es un nmero racional.
N
M'N M (M N) (M N)
M NM N M N
N N
NU
N
M M M
M
M
M
Unidad 1. Nmeros reales 11
1UNIDAD
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8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
12/617
d) es un nmero real.
e) Todos los enteros son racionales.
f ) El intervalo [3, 4] est formado por nmeros reales.
a) 13 N
b) 4 Z
c) 0,43 Q
d)
e) Z Q
f) [3, 4]
3. Designa simblicamente estos conjuntos:
a) Los nmeros enteros mayores que 5 y menores que 7 (utiliza Zy el inter-valo abierto (5, 7)).
b) Los nmeros irracionales (utilizay Q).
c) Los nmeros racionales mayores que 2 y menores o iguales que 3.
d) Los nmeros que son mltiplos de 2 o de 3 (el conjunto de los mltiplos de
p se designap).
a) {xZ /x (5, 7)}
b) Q
c) {xQ / 2 5}
c) {xN /1 < x 9}
d) {xZ /2 x< 7}
a) Nmeros enteros mayores o iguales que 4.
b) Nmeros naturales mayores que 5.
c) Nmeros naturales mayores que 1 y menores o iguales que 9.
d) Nmeros enteros mayores o iguales que 2 y menores que 7.
5. Cules son los nmeros que forman el conjunto ( Q) [0, 1]?
Todos los irracionales comprendidos en el intervalo (0, 1).
Unidad 1. Nmeros reales2
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8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
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Pgina 45
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Nmeros racionales e irracionales
1 Expresa como fraccin cada decimal y opera:
0,)
12 5,)
6 0,23)
+ 3,1
Recuerda que 5,6)
= ; 0,23)
= .
+ = = 2,6
)
78
2 Demuestra que el producto 4,0)
9 1,3)
9 es un decimal exacto.
Comprueba, pasando a fraccin, que los dos factores son decimales exactos.
4,0)
9 = = = 4,1 1,3)
9 = = = 1,4
4,0)
9 1,3)
9 = 4,1 1,4 = 5,74
3 Calcula: a) b)
a) = = 1,)
3 b) = = 0,)
6
4 Indica cul, de cada par de nmeros, es mayor:
a) y b) 0,52)
6 y 0,)
526
c) 4,)
89 y 2 d) 2,098 y 2,1
a) b) 0,52)
6 c) 4,)
89 d) 2,098
5 Observa cmo hemos representado algunos nmeros irracionales:
0 1 D
B
H
GECA
F 2 3
1
2
2
6
214099
23
4
943
16
9
1,)
3
31,)7
12690
139 1390
36990
409 4090
442
165
31
10
21
90
51
9
12
99
23 2
90
56 5
9
PARA PRACTICAR
Unidad 1. Nmeros reales 13
1UNIDAD
-
8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
14/617
En el tringulo OAB, = 1, = 1 y = = . Por tanto, el
punto D representa a . Qu nmeros representan los puntos Fy H?
Justifica tu respuesta.
F representa , pues = = = =
H representa , pues = = =
6 Cules son los nmeros racionales a, b, c, d representados en este grfico?
a = b= c = d=
Potencias
7 Halla sin calculadora: ( )2
( )1
+ 4
( )2
( )1
+ 4 = ( )2
( ) + 4 = 4 + 4 = 0
8 Simplifica, utilizando las propiedades de las potencias:
a) b)
c) d)
Mira el problema resuelto nmero 2 c).
a) = b) = =
c) = = d) =a2 c8
b6c7 a5 c
a3 b4 b21
7681
28 3
32 52 23
23 33 22 52
8027
24 5
3334 24 32
51 3552
36 25 52
36 26 5
a3 b4 c7
a5 b2 c1152 81
63 102
34 16 91
51 3536 25 52
93 43 5
94
43
49
34
79
13
34
32
17
57
47
27
m es un segmentocualquiera
m
m
m
m
m
m
m
m
a b c
d
1
0
6(5 )2 + 12OGOH6
3(2 )2 + 12OD2 + DC2OCOF3
2
212 + 12OAABOB
Unidad 1. Nmeros reales4
1
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8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
15/617
9 Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccio-nario y simplifica:
a) b) c)
a) a2/5 a1/2 = a9/10 =
b) =x1/6 =
c) a3/4 =
10 Resuelve, sin utilizar la calculadora:
a) b) c)d) e) f)
a) = 2 b) = 7 c) = 5
d) = = 0,5 e) = 24 = 16 f ) = 0,1
11 Expresa como una potencia de base 2:
a) b) (32)1/5 c) ( )4
a) 21/2 b) (25)1/5 = 2 c) 24/8 = 21/2
12 Calcula utilizando potencias de base 2, 3 y 5:
a) 4 ( )3
b) ( )4
( )1
c) d)
a) 22 = =
b) = =
c) = = =
d) = =3400
3
52 2432 52
2 3 5 23 53
18125
2 32
5353 29 34
32 52 28 54(5)3 (23)3 (32)2
32 52 (22 5)4
9256
32
281
2332
21
24
92
32
2
(3)3
2313
(30)1 152
103(5)3 (8)3 (9)2
152 204
18
29
12
32
13
82
1
2
30,13
3212
12
14
454
373
525
30,001
3840,25
4
625
3
343
5
32
4a3
6x
x2/3
x1/2
10a9
14
a3
3
x2
x
a5a2
Unidad 1. Nmeros reales 15
1UNIDAD
-
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16/617
13 Expresa en forma de potencia, efecta las operaciones y simplifica:
a)
b) 161/4
a) = a7/4 =
b) (24)1/4 (22)1/3 (22)1/6 = 2 22/3 21/3 = 20 = 1
14 Justifica las igualdades que son verdaderas. Escribe el resultado correcto en
las falsas:
a) = 1 b) (32)3 ( )
2= 1
c) = d) ( )2
(3)2 =
a) Falsa. =
b) Verdadera. (32
)3
( )2
= 36
( )2
= 36
= = 1
c) Verdadera. = = =
= + =
d) Verdadera. ( )2
(3)2 = 32 = 32 = 9 = =
15 Demuestra, utilizando potencias, que:
a) (0,125)1/3 = 21
b) (0,25)1/2 = 2
a) (0,125)1/3 = ( )1/3
= ( )1/3
= ( )1/3
= = 21
b) (0,25)1/2 = ( )1/2
= ( )1/2
= ( )1/2
= (22)1/2 = 21
2214
25100
12
1
2318
1251000
809
81 19
19
1
321
(3)213
815
15
13
(1/3 1/5) (1/3 + 1/5)(1/3 1/5)
(1/32) (1/52)1/3 1/5
32 52
31 51
36
361
361
33127
a4
b4a2 b2
a2 b2
809
13
815
32 52
31 51
127
a2 b2
a2 b2
14a7
a3/4 a1
a a1/2
164
3 1
4
4
a3 a1
aa
Unidad 1. Nmeros reales6
-
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17/617
Pgina 46
Radicales
16 Introduce los factores dentro de cada raz:
a) 2 b) 4 c)
d) e) 2 f)
a) = b)3
= = =
c) = d)
3
=
3
e) = = = f )3
=3
=3
17 Saca de la raz el factor que puedas:
a) b) 4 c)
d) e) f)
g) h) i)
a) = 2 b) 4 = 4 2 = 8 c) = 10
d) = 2a e) = f ) =
g) h) = 2 i) =
18 Simplifica:
a) b) c)
a)6
=6
=6
= ( )3/6
= ( )1/2
=
b)8
=8
=8
= ( )4/8
= ( )1/2
=
c)4
=4
= ( )2/4
= ( )1/2
= =52
5
4
54
54
52
422516
15
15
15 (
2 )4
1024
10416
10000
310
310
310 (
3 )3
1033
10327
1000
4 9
1 +1680,0016
60,027
5a12
25a16 9
a2 + 14 (a2 + 1)1a
4a
1316
1336
5
b
5a4
53 a2
24 b
3a2
323 a5
1023 53222332
324
a a
+9 164
a2 + 416
a3
1 1
+ 4 9125a2
16b38a5
10008316
325
352
3 553
823426
424 22
3
5
33 52
53 32
3
2x
22 3x
x2 23
316
324
342
43
4
324
33 23
3151
5
44
3 25
935
3x
82x3 1
433
Unidad 1. Nmeros reales 17
1UNIDAD
-
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18/617
19 Simplifica los siguientes radicales:
a) b) c)
d) e) f) :
a) = 2 b) = 33/6 = 31/2 = c) = 3
d) = = =
e)4
= = =
f ) : = : = 1
20 Reduce a ndice comn y ordena de menor a mayor:
a) , , b) ,
c) , d) , ,
a) , , ; = 1,19 109
32 Efecta:
7,268 1012
33 Expresa en notacin cientfica y calcula:
= 150(6 104)3 (2 105)4
104 7,2 107 (2 104)5
600003 0,000024
1002 72 000000 0,00025
2 107 3 105
4 106 + 105
5 103
2,65 106
5 102
1,58 105
0,5
141
5,431 103 6,51 104 + 385 102
8,2 103 2 104
(12,5 107 8 109) (3,5 105 + 185)9,2 106
(3,12 105 + 7,03 104) 8,3 108
4,32 103
Unidad 1. Nmeros reales2
-
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23/617
34 Considera los nmeros:
A = 3,2 107 ; B= 5,28 104 y C= 2,01 105
Calcula . Expresa el resultado con tres cifras significativas y da una
cota del error absoluto y otra del error relativo cometidos.
= 7,93 103
|E.A.| < 0,005 103 = 5 106
|E.R.| < 6,31 104
35 Si A = 3,24 106; B= 5,1 105; C= 3,8 1011 y D= 6,2 106, calcula
( + C) D. Expresa el resultado con tres cifras significativas y da una cotadel error absoluto y otra del error relativo cometidos.
( + C) D = 2,75 106
|E.A.| 0,005 106 = 5 103
|E.R.| < 1,82 103
Intervalos y valor absoluto
36 Expresa como desigualdad y como intervalo, y represntalos:
a) x es menor que 5.
b) 3 es menor o igual que x.
c) x est comprendido entre 5 y 1.
d) x est entre 2 y 0, ambos incluidos.
a)x< 5; (@, 5)
b) 3 x; [3, +@)
c) 5
-
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37 Representa grficamente y expresa como intervalos estas desigualdades:
a) 3 x 2 b) 5 < x c) x2
d) 2 x< 3/2 e) 4 < x< 4,1 f) 3 x
a) [3, 2] b) (5, +@)
c) [2, +@) d) [2, )e) (4; 4,1) f ) [3, +@)
38 Escribe la desigualdad que verifica todo nmero x que pertenece a estos in-tervalos:
a) [2, 7] b) [13, +@) c) ( @, 0)
d) (3, 0] e) [3/2, 6) f) (0, +@)
a) 2 x 7 b)x 13 c)x< 0
d) 3 1 d) x< 3 y x2
Represntalos grficamente, y si son dos intervalos separados, como en a), es-
cribe: (@, 3)[5, +@)
a) (@, 3) [5, +@) b) (0, 4)
c) (@, 1] (1, +@) d) [2, 3)
41 Expresa, en forma de intervalo, los nmeros que cumplen cada una de es-tas expresiones:
a) |x| < 7 b) |x| 5 c) |2x| < 8
d) |x 1| 6 e) |x+ 2| > 9 f ) |x 5| 1
a) (7, 7) b) [ @, 5] [5, +@] c) (4, 4)
d) [5, 7] e) (11, 7) f) ( @, 4] [6, +@)
32
32
Unidad 1. Nmeros reales4
3 20
0
4 4,1 5
2
3
5
2 0
0
3/2
-
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25/617
42 Averigua qu valores de x cumplen:
a) |x 2| = 5 b)|x 4| 7 c) |x+ 3| 6
a) 7 y 3
b) 3 x 11; [3, 11]
c)x9 y x 3; (@, 9] [3, +@)
43 Escribe, mediante intervalos, los valores que puede tener x para que sepueda calcular la raz en cada caso:
a) b) c)
d) e) f)
a)x 4 0 x 4; [4, +@)
b) 2x+ 1 0 2x1 x ; [ , +@)c) x 0 x 0; (@, 0]
d) 3 2x 0 3 2x x ; (@, ]e) x 1 0 1 x; (@, 1]
f ) 1 + 0 2 +x 0 x2; [2, +@)
44 Halla la distancia entre los siguientes pares de nmeros:
a) 7 y 3 b)5 y 11 c) 3 y 9 d)3 y 4
a) |7 3| = 4
b) |11 5| = 6
c) |9 (3)| = |9 +3| = | 6| = 6
d) |4 (3)| = 7
45 Expresa como un nico intervalo:
a) (1, 6] [2, 5) b) [1, 3) (0, 3]
c) (1, 6] [2, 7) d) [1, 3) (0, 4)
a) (1, 6] [2, 5) = (1, 6]
b) [1, 3) (0, 3] = [1, 3]
c) (1, 6] [2, 7) = [2, 6]
d) [1, 3) (0, 4) = (0, 3)
x
2
32
32
12
12
x
1 + 2x 13 2xx2x+ 1x 4
Unidad 1. Nmeros reales 25
1UNIDAD
-
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26/617
Pgina 48
46 Escribe en forma de intervalo los siguientes entornos:
a) Centro 1 y radio 2b) Centro 2,5 y radio 2,01
c) Centro 2 y radio 1/3
a) (1 2, 1 + 2) = (3, 1)
b) (2,5 2,01; 2,5 + 2,01) = (0,49; 4,51)
c) (2 , 2 + ) = ( , )
47 Describe como entornos los siguientes intervalos:
a) (1, 2) b) (1,3; 2,9) c) (2,2; 0,2) d) ( 4; 2,8)
a) C= = ;R= 2 =
Entorno de centro y radio .
b) C= = 2,1 ;R= 2,9 2,1 = 0,8
Entorno de centro 2,1 y radio 0,8
c) C= = 1 ;R= 0,2 (1) = 1,2
Entorno de centro 1 y radio 1,2.
d) C= = 3,4 ;R= 2,8 (3,4) = 0,6
Entorno de centro 3,4 y radio 0,6.
48 Comprueba si es verdadera o falsa cada una de las siguientes expresiones:
a) |a| < b equivale a b < a< b
b) |a| = |a|
c) |a+ b| = |a| + |b|
d) |a b| = |a| |b|
a) Verdadera (siempre que b> 0).
b) Falsa; pues |a| 0 y |a| 0. (Solo sera cierta para a = 0).
c) Falsa. Solo es cierta cuando a y b tienen el mismo signo.
En general, |a + b| |a| + |b|.
d) Verdadera.
4 + (2,8)2
2,2 + 0,2
2
1,3 + 2,92
32
12
32
12
12
1 + 22
73
53
13
13
Unidad 1. Nmeros reales6
-
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27/617
Logaritmos
49 Calcula:
a) log2 1 024 b) log0,001 c) log2 d) log 3
e) log3 f ) log2 g) log1/2 h) log 1
a) log2 210 = 10 b) log103 = 3 c) log2 2
6 = 6
d) log
3( )2 = 2 e) log3 31/2 = f) log2 23/2 =
g) log1/2( )
1/2
= h) 0
50 Calcula, utilizando la definicin de logaritmo:
a) log2 64 + log2 log3 9 log2
b) log2 + log3 log2 1
a) 6 2 2 =
b) 5 3 0 = 8
51 Calcula la base de estos logaritmos:
a) logx125 = 3 b) logx = 2
a)x3 = 125; x= 5 b)x2 = ; x= 3
52 Calcula el valor de x en estas igualdades:
a) log3x= 2 b) log x2 = 2 c) 7x= 115 d) 5x= 3
a)x= = 4,19 b) 2 log x= 2; x=
c)x= = 2,438 d)x= = 0,683log 3
log5
log 115
log7
110
2log3
19
19
32
12
127
132
214
1
2
1
2
32
12
3
2
283
3
164
Unidad 1. Nmeros reales 27
1UNIDAD
-
8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
28/617
53 Halla con la calculadora y comprueba el resultado con la potenciacin.
a) log b) ln(2,3 1011) c) ln(7,2 105)
d) log3
42,9 e) log5
1,95 f ) log2
0,034
a) 1,085
b) ln (2,3 1011) 26,16 8 e26,161 2,3 1011
c) ln (7,2 105) 9,54 8 e9,54 7,2 105
d) 3,42 8 33,42 42,9
e) 0,41 8 50,41 1,95
f) 4,88 8 24,88 0,034
54 Calcula la base de cada caso:
a) logx1/4 = 2 b) logx2 = 1/2 c) logx0,04 = 2 d) logx4 = 1/2
Aplica la definicin de logaritmo y las propiedades de las potencias para des-
pejar x.
En c) , x2= 0,04 = .
a)x2 = 8 x= b)x1/2 = 2 8 x= 4
c)x2 = 0,04 8 x= 5 d)x1/2 = 4 8 x=
55 Halla el valor de x en estas expresiones aplicando las propiedades de loslogaritmos:
a) ln x= ln17 + ln13 b) log x= log36 log9
c) ln x= 3 ln5 d) log x= log12 + log25 2 log6
e) ln x= 4 ln2 ln25
a) Por logaritmo de un producto: ln x = ln (17 13)
a) ln x= ln (17 13) x= 17 13 = 221
b) log x= log x= = 4
c) ln x= ln 53 x= 53 = 125
d) log x= log x=
e) ln x= ln 24 ln
ln x= ln 16 ln 5
ln x= ln x=165
165
25
253
12 25
62
369
369
12
116
12
14
4
100
1
x2
148
Unidad 1. Nmeros reales8
-
8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
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56 Sabiendo que log 3 = 0,477, calcula el logaritmo decimal de 30; 300; 3 000;0,3; 0,03; 0,003.
log30 = log(3 10) = log3 + log10 = 0,477 + 1 = 1,477
log300 = log(3 102) = log3 + 2 log10 = 2,477
log3000 = 0,477 + 3 = 3,477
log0,3 = log(3 101) = 0,477 1 = 0,523
log0,03 = log(3 102) = 0,477 2 = 1,523
log0,003 = 0,477 3 = 2,523
57 Sabiendo que log k= 14,4, calcula el valor de las siguientes expresiones:
a) log b) log0,1 k2 c) log d) (log k)1/2
a) log k log100 = 14,4 2 = 12,4
b) log0,1 + 2 log k= 1 + 2 14,4 = 27,8
c) (log1 log k) = 14,4 = 4,8
d) (14,4)1/2 = = 3,79
58 Sabiendo que ln k= 0,45, calcula el valor de:
a) ln b) ln c) ln
a) ln = ln k ln e= 0,45 1 = 0,55
b) ln = ln k= 0,45 = 0,15
c) ln = 2 ln e ln k= 2 0,45 = 1,55
59 Calcula x para que se cumpla:
a) x2,7
= 19 b) log7 3x= 0,5 c) 32 + x
= 172
a) log x2,7 = log19 2,7 log x= log19 log x= = 0,47
x= 100,47 = 2,98
b) 70,5 = 3x x= = 0,88
c) log32 +x= log172 (2 +x) log3 = log172 2 +x=
x= 2 = 2,685log 172
log3
log 172
log3
70,5
3
log 19
2,7
e2
k
13
13
3k
k
e
e2
k
3kk
e
14,4
13
13
3 1
kk100
Unidad 1. Nmeros reales 29
1UNIDAD
-
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30/617
60 Si log k= x, escribe en funcin de x:
a) log k2 b) log c) log
a) 2 log k= 2x b) log k log100 =x 2 c) log10k= (1 +x)
61 Comprueba que = (siendo a? 1).
= =
Ha de ser a? 1 para que log a? 0 y podamos simplificar.
Pgina 49
62 Explica si estas frases son verdaderas o falsas:
a) Todo nmero entero es racional.
b)Hay nmeros irracionales que son enteros.c) Todo nmero irracional es real.
d)Todos los nmeros decimales son racionales.
e) Entre dos nmeros racionales hay infinitos nmeros irracionales.
f) Los nmeros racionales llenan la recta.
a) V b) F c) V
d) F e) V f ) F
63 Qu relacin existe entre ay b en los siguientes casos?:
a) log a= 1 + log b
b) log a+ log = 0
a) log a log b= 1 8 log = 1 8 = 10 8 a = 10b
b) log a = 0 8 = 100 8 = 1 8 a = ba
b
a
b)1
b(
a
b
a
b
1b
CUESTIONES TERICAS
1
6
1/2 log a
3 log a
log a + 1/2 log a
3 log a
1
6
1log + log
a
a
log a3
12
12
10kk
100
Unidad 1. Nmeros reales0
-
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31/617
64 Cules de estas igualdades son verdaderas? Explica por qu:
a) log m + log n= log (m + n)
b) log m log n=
c) log m log n= log
d) log x2 = log x+ log x
e) log (a2 b2) = log (a + b) + log (a b)
a) Falso. log m + log n = log(m n) log(m + n)
b) Falso. log m log n = log
( )?
c) Verdadero. Por una propiedad de los logaritmos.
d) Verdadero. log x2 = log(xx) = log x+ log x
e) Verdadero. log(a2 b2) = log [(a + b) (a b)] = log(a + b) + log(a b)
65 Si n 0 es natural, determina para qu valores de n estos nmeros perte-necen a Z:
a) b) c) n 5 d)n+ e)
a) n par.
b) n = 1 o n = 3.
c) n cualquier natural.
d) Ninguno.
e) n cuadrado perfecto.
66 Di cul es la parte entera de los siguientes logaritmos sin utilizar la calcula-dora:
a) log348 b) log2 58 c) log0,03
a) 100 < 348 < 1 000 8 2 < log348 < 3 8 log348 = 2,
b) 25 < 58 < 26 8 5 < log2 58 < 6 8 log2 58 = 5,
c) 0,01 < 0,03 < 0,1 8 2 < log0,03 < 1 8 log0,03 = 1,
n12
3n
n2
PARA PROFUNDIZAR
log m
log n
m
n
m
n
log m
log n
Unidad 1. Nmeros reales 31
1UNIDAD
-
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32/617
67 Sean my n dos nmeros racionales. Qu puedes decir del signo de myn en cada uno de estos casos?
a) m n> 0 y m+ n< 0
b)m n< 0 y m n> 0
c) m n< 0 y m n< 0
a) m < 0, n < 0 b) m > 0, n < 0 c) m < 0, n > 0
68 Si xN y x> 1, ordena estos nmeros:
; x ; ; ;
< < < 1 y si 0 < a< 1.
Si a > 1 8 < < a < a2
Si 0 < a < 1 8 a2 < a < 1; lm Sn = +@.
f) f1 = 10; f2 = 12; f3 = 14,4; f4 = 17,28; f5 = 20,736; f6 = 24,8832; f7 = 29,85984;
f8 = 35,831808.
S1 = 10; S2 = 2; S3 = 12,4; S4 = 4,88; S5 = 15,856; S6 = 9,0272; S7 = 20,83264;
S8 = 14,999168.
Sn no tiene lmite.
6257
12521 + 5
b11 r
25
625
3
125
21 5
a1
1 r
2
5
Unidad 2. Sucesiones 9
2UNIDAD
-
8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Criterio para formar sucesiones
1 Describe el criterio con el que se forman estas sucesiones y aade tres tr-minos a cada una:
a) 1, , , , , b) 1, , , 2, ,
c) 2, 5, 10, 17, 26, d) 0, 3, 8, 15, 24,
e) 1, 3, 6, 10, 15, a) Cada trmino lo obtenemos dividiendo 1 entre el lugar que ocupa el trmino:
a6 = , a7 = , a8 =
b) Cada trmino es la raz cuadrada del lugar que ocupa: a6 = , a7 = , a8 =
c) Cada trmino es el cuadrado del lugar que ocupa ms 1 unidad: a6 = 37,a7 = 50, a8 = 65
d) Cada trmino es el cuadrado del lugar que ocupa menos 1 unidad: a6 = 35,a7 = 48, a8 = 63
e) Cada trmino, a partir del segundo, se obtiene sumndole al lugar que ocupa eltrmino anterior: a6 = 21, a7 = 28, a8 = 36
2 Escribe los cinco primeros trminos de las sucesiones cuyos trminos ge-nerales son estos:
a) an= 3 + b) bn=
c) cn= d) dn= 2n
e) en= 1 2 3 n f )fn=
a)a1 = 3,2; a2 = 3,02; a3 = 3,002; a4 = 3,0002; a5 = 3,00002
b)b1 = 0; b2 = ; b3 = ; b4 = ; b5 =
c)c1 = 1; c2 = ; c3 = 2; c4 = ; c5 =
d)d1 = ; d2 = ; d3 = ; d4 = ; d5 =132
116
18
14
12
73
115
53
245
154
83
32
(1)n
n n2
3n 1n+ 1
n2 1n
2
10n
876
18
17
16
53215
14
13
12
PARA PRACTICAR
Unidad 2. Sucesiones0
-
8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
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e)e1 = 1; e2 = 2; e3 = 6; e4 = 24; e5 = 120
f) f1 = 1; f2 = 0; f3 = 3; f4 = 0; f5 = 5
3 Escribe el trmino general de estas sucesiones:
a) , , , , b) 1, , , ,
c) 0, , , , , d) 5,1; 5,01; 5,001; 5,0001;
a)an = b) bn = ( )n 1
c) cn = d) dn = 5 +
4 Construye dos sucesiones cuyas leyes de recurrencias sean las siguientes:
a) a1 = 0 a2 = 2 an=
b) a1 = 1 a2 = 2 an=
a) 0, 2, 1, , , , , , b) 1, 2, 1, 1, , , , ,
5 Busca una ley de recurrencia para definir las siguientes sucesiones:
a) 4, 7, 3, 4, 7, b) 2, 3, , , ,
a)a1 = 4, a2 = 7, an = an 1 an 2 para n > 2
b)b1 = 2, b2 = 3, bn = para n > 2
Progresiones aritmticas
6 De las siguientes sucesiones, di cules son progresiones aritmticas y escribe su
trmino general:
a) 1,2; 2,4; 3,6; 4,8; 6; b) 5; 4,6; 4,2; 3,8; 3,4;
c) 1, 2, 4, 7, 11, d) 14, 13, 11, 8, 4,
a) Es una progresin aritmtica con a1 = 1,2 y d= 1,2.
an = 1,2 + (n 1) 1,2 = 1,2n.
b) Es una progresin aritmtica con b1 = 5 y d= 0,4.
bn = 5 + (n 1) (0,4) = 0,4n + 5,4.
c) y d) no son progresiones aritmticas.
bn 1bn 2
13
12
32
1128
116
14
12
4332
2116
118
54
32
an1 an22
an1 + an22
110n
n2 1n2 + 1
13
n
n 1
2426
1517
810
35
127
19
13
45
34
23
12
Unidad 2. Sucesiones 11
2UNIDAD
-
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7 De las sucesiones siguientes, indica cules son progresiones aritmticas:
a) an= 3n b) bn= 5n 4
c) cn
= d) dn
=
e) en= 5 + f)fn= n2 1
a)an an 1 = 3n 3(n 1) = 3n 3n + 3 = 3
Es una progresin aritmtica con d= 3.
b)bn bn 1 = 5n 4 [5(n 1) 4)] = 5n 4 5n + 5 + 4 = 5
Es una progresin aritmtica con d= 5.
c)c1 = 1, c2 = , c3 = , c4 = ,
c2 c1 = ?c3 c2 = . No es una progresin aritmtica.
d)dn dn 1 = = =
Es una progresin aritmtica con d= .
e)en en 1 = 5 +
(5 +
)= 5 + 5 + = .
Es una progresin aritmtica con d= .
f) f1 = 0,f2 = 3,f3 = 8,f4 = 15,
f2f1 = 3 ?f3f2 = 5. No es una progresin aritmtica.
8 Calcula los trminos a10 y a100 de las siguientes progresiones aritmticas:
a) 4, 2, 0, 2, 4,
b) 2, 3, 8, 13, 18,
c) , 1, , , ,
a)a10 = a1 + 9d= 4 + 9 2 = 4 + 18 = 14
a100 = a1 + 99d= 4 + 99 2 = 4 + 198 = 194
b)a10 = a1 + 9d= 2 9 5 = 2 45 = 43
a100 = a1 + 99d= 2 99 5 = 2 495 = 493
74
32
54
34
12
1
2
1
2
n
2
n
2
n 1
2
n
2
34
34
8 3n 8 + 3n 34
8 3(n 1)4
8 3n4
16
12
14
13
12
n
2
8 3n
4
1
n
Unidad 2. Sucesiones2
-
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c)a10 = a1 + 9d= + 9 = = 3
a100 = a1 + 99d= + 99 = =
9 Calcula la suma de los 25 primeros trminos de las siguientes progresionesaritmticas:
a) 3, 6, 9, 12, 15, b) 5; 4,9; 4,8; 4,7; 4,6;
c) cn= 4n 2 d) dn=
a)a1 = 3; a25 = a1 + 24d= 3 + 24 3 = 75
S25 = = = 975
b)b1 = 5; b25 = b1 + 24d= 5 24 0,1 = 2,6
S25 = = = 95
c)c1 = 2; c25 = 98
S25 = = = 1 250
d)d1 = ; d25 =
S25 = = = = 312,5
Progresiones geomtricas
10 De las siguientes sucesiones, cules son progresiones geomtricas? Escribetres trminos ms en cada una y tambin su trmino general.
a) 32, 16, 8, 4, 2, b) 1; 0,1; 0,01; 0,001;
c) 1, 4, 9, 16, 25, d) , 2, 2 , 4, 4 ,
a) Es una progresin geomtrica con a1 = 32 y r= .
a6 = 1, a7 = , a8 = ; an = 32 ( )n 1
= = 26 n
b) No es una progresin geomtrica; b6 = 36, b7 = 49, b8 = 64, bn = n2.
25
2n 112
14
12
12
222
6252
1 49( ) 252 22
(d1 + d25) 25
2
49
2
1
2
(2 + 98) 252
(c1 + c25) 25
2
(5 + 2,6) 252
(b1 + b25) 25
2
(3 + 75) 252
(a1 + a25) 25
2
1 2n2
51
2
102
4
1
4
3
4
124
14
34
Unidad 2. Sucesiones 13
2UNIDAD
-
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c) Es una progresin geomtrica con c1 = 1 y r= 0,1.
c6 = 0,00001; c7 = 0,000001; c8 = 0,0000001; cn = 1 0,1n 1 = 0,1n 1
d) Es una progresin geomtrica con d1 = y r= .d6 = 8; d7 = 8 ; d8 = 16; dn = ( )
n 1= ( )
n.
11 Calcula la suma de los 25 primeros trminos de las siguientes progresionesgeomtricas y halla la suma de los infinitos trminos en los casos que seaposible:
a) a1 = 32, r= b) a1 = 10, r=
c) a1 = 210, r= 2 d) a1 = 5, r=
S25 = = , S@ =
a)S25 = = 63,99999809 64 S@ = = = = 64
b)S25 = 11,1 S@ = = = = 11,1
c)S25 = = 32767,99902 32768
No se puede calcular S@ porque |r| no es mayor que 1.
d)S25 = 4 S@ = = = 4
Pgina 65
Suma de potencias
12 a) Demuestra que:
22 + 42 + 62 + 82 + 102 = 4(12 + 22 + 32 + 42 + 52)
b)Calcula la suma de los cuadrados de los 50 primeros nmeros pares.
c) Calcula la suma de los cuadrados de todos los nmeros impares menoresque 100.
55
4
511 ()4
1(5) ()25
(5)4
1 1
4
210 225 210
2 1
1009
101
1 10
a11 r
1009
110 ()25
10101 110
321
2
3211 2
a11 r
132 ()25
322
1 12
a11 r
a1 r25 a1
r 1
a25 r a1r 1
14
110
12
2222
2
2
Unidad 2. Sucesiones4
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a) 22 + 42 + 62 + 82 + 102 = (2 1)2 + (2 2)2 + (2 3)2 + (2 4)2 + (2 5)2 =
= 22(12 + 22 + 32 + 42 + 52)
b) 22 + 42 + 62 + + 982 + 1002 = 22(12 + 22 + 32 + + 492 + 502) =
= 22 = 171700
c) 12 + 32 + 52 + + 992 =
= (12 + 22 + 32 + 42 + + 992 + 1002) (22 + 42 + 62 + + 982 + 1002) =
= 171700 = 338350 171700 = 166650
13Halla la suma siguiente:
213 + 223 + 233 + + 373 + 383 + 393 + 403
213 + + 403 = (13 + 23 + + 203 + 213 + + 403) (13 + + 203) =
= = 672400 44100 = 628300
Lmite de una sucesin
14 Calcula los trminos a10, a100 y a1000, en cada sucesin e indica cul essu lmite:
a) an= b) an=
c) an= 1 d) an= 3 7n
a)a10 = 0,)
1; a100 = 0,)
01; a1000 = 0,)
001
lm an = 0
b)a10 = 2,5; a100 = 2,05; a1000 = 2,005
lm an = 2
c)a10 = 0,5; a100 = 0,95; a1000 = 0,995
lm an = 1
d)a10 = 6,7; a100 = 697; a1000 = 6 997
lm an = @
5n
2n+ 5n
1n 1
202 212
4402 412
4
100 101 2016
50 51 101
6
Unidad 2. Sucesiones 15
2UNIDAD
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15 Halla algunos trminos muy avanzados de las siguientes sucesiones e indi-ca cul es su lmite:
a) an= 5n 10 b) bn= 100 n
c) cn= d) dn=
a)a10 = 40; a100 = 490; a1000 = 4990
lm an = +@
b)b10 = 90; b100 = 0; b1000 = 900
lm bn = @
c)c10 = 0,63; c100 0,9603; c1000 0,996
lm cn = 1
d)d10 0,476; d100 0,498; d1000 0,4998
lm dn = 0,5 =
16 Estudia el comportamiento de las siguientes sucesiones para trminos muyavanzados e indica cul es el lmite de cada una de ellas:
a) an= 3n2 10 b)bn= 3n n
2
c) cn= 10 5n+ n2 d)dn= (1 2n)
2
e) en= (4 n)3 f )fn= 1 (n+ 2)
2
a)a10 = 290; a100 = 29990; a1000 = 2999990
lm an = +@
b)b10 = 70; b100 = 9700; b1000 = 997000
lm bn = @
c)c10 = 60; c100 = 9510; c1000 = 995010
lm cn
= +@
d)d10 = 361; d100 = 39601; d1000 = 3996001
lm dn = +@
e)e10 = 216; e100 = 884736; e1000 = 988047936
lm en = @
f) f10 = 143;f100 = 10403;f1000 = 1004003
lm fn = @
12
n2n+ 1
n 3n+ 1
Unidad 2. Sucesiones6
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17 Estudia el comportamiento de las siguientes sucesiones para trminos muyavanzados e indica cul es el lmite de cada una de ellas:
a) an= b) bn=
c) cn= d) dn=
e) en= f)fn=
g)gn= (1)n h) hn=
a)a10 = 0,0)
3; a100 = 0,00)
3; a1000 = 0,000)
3
lm an = 0
b)b10 = 0,15625; b100 = 0,01656; b1000 = 0,00167
lm bn = 0
c)c10 = 0,)
27; c100 = 0,)
0297; c1000 = 0,)002997
lm cn = 0
d)d10 = 0,297; d100 = 0,029997; d1000 = 0,002999997
lm dn = 0
e)e10 = 0,01; e100 = 0,0001; e1000 = 0,000001
lm en = 0
f) f10 = 1; f100 = 0,01; f1000 = 0,0001
lm fn = 0
g)g10 = 1; g101 = 1; g1000 = 1; g10001 = 1
La sucesin no tiene lmite.
h)h10 = 0,0909; h100 = 0,0099; h1000 = 0,000999; h1001 = 0,000999
lm hn = 0
18 Calcula el 15. trmino en la siguiente progresin:
3; 2,7; 2,4; 2,1;
Es una progresin aritmtica con a1 = 3 y d= 0,3.
Por tanto, a15 = a1 + 14d= 3 0,3 14 = 3 4,2 = 1,2.
PARA RESOLVER
(1)n
n+ 1
100
n21
n2
3n
n2 + 1
3
n+ 1
53n+ 2
13n
Unidad 2. Sucesiones 17
2UNIDAD
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19 Halla el cuarto trmino de una progresin aritmtica en la que d= 3 ya20 = 100.
a20 = a4 + 16d 8 a4 = a20 16d= 100 16 3 = 52
20 Calcula la suma de todos los nmeros impares de tres cifras.
Es la suma de los trminos de una progresin aritmtica en la que el primer trmi-no es 101, el ltimo es 999, y hay 450 sumandos:
S= = 247500
21 Cunto vale la suma de los 100 primeros mltiplos de 7?
Queremos calcular la suma de los 100 primeros trminos de una progresin arit-mtica en la que a1 = 7 y d= 7.
S100 = = = 35350
22 En una progresin aritmtica sabemos que d= 3, an= 34 y Sn= 133. Calculany a1.
34 = a1 + 3n 3 8 a1 = 37 3n
133 = 8 266 = (71 3n)n
266 = 71n 3n2 8 3n2 71n + 266 = 0
n = = = =
a1 = 37 3 19 = 37 57 = 20 8 a1 = 20
23 Los lados de un hexgono estn en progresin aritmtica. Calclalos sa-biendo que el mayor mide 13 cm y que el permetro vale 48 cm.
Llamamos a los lados a1, a2, a3, a4, a5 y a6.Sabemos que a6 = 13 cm y que S6 = 48. Por tanto:
48 = 78 15d 8 15d= 30 8 d= = 2 8 d= 2
a1 = 13 5 2 = 13 10 = 3 8 a1 = 3
Los lados del hexgono miden 3 cm, 5 cm, 7 cm, 9 cm, 11 cm y 13 cm.
3015
a6 = a1 + 5d 8 13 = a1 + 5d 8 a1 = 13 5d(a1 + a6) 6S6 = 8 48 = (13 5d+ 13) 3 8 48 = (26 5d) 32
n = 14/3 (no vale)
n = 1971 43
671 1849
671 5041 3192
6
(37 3n + 34) n2
an = a1 + (n 1) d 8 34 = a1 + (n 1) 3(a1 + an) n (a1 + 34) nSn = 8 133 =2 2
(7 + 700) 1002
(a1 + a100) 100
2
(101 + 999) 4502
Unidad 2. Sucesiones8
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24 En un cine, la segunda fila de butacas est a 10 m de la pantalla y la sptimafila est a 16 m. En qu fila debe sentarse una persona que le guste ver lapantalla a una distancia de 28 m?
a7
= 16 8 a7
= a2
+ 5d= 10 + 5d= 16 8 d= 1,2
(La distancia entre las dos filas consecutivas es de 1,2 metros).
Buscamos n para que an = 28 m:
an = a1 + (n 1) d= 8,8 + (n 1) 1,2 = 28 8 8,8 + 1,2n 1,2 = 28
1,2n = 20,4 8 n = 17
La fila 17 est a 28 metros.
25 Escribe los trminos intermedios de una progresin aritmtica sabiendo que
a1 = 3 y a10 = 18.
a10 = a1 + 9d= 3 + 9d= 18 8 d= =
Los trminos son: a1 = 3, a2 = , a3 = , a4 = 4, a5 = , a6 = , a7 = 11,
a8 = , a9 = , a10 = 18.
26 Halla los dos trminos centrales de una progresin aritmtica de 8 trminos
sabiendo que S8 = 100 y que a1 + 2a8 = 48.
Tenemos que calcular a4 y a5. Sabemos que:
Restando a la 2.a ecuacin la 1.a, queda:
a8 = 23 8 a1 = 25 a8 = 25 23 = 2 8 a1 = 2
a8 = a1 + 7d= 2 + 7d= 23 8 d= 3
Por tanto:
27 En una progresin geomtrica, a1 = 8 y a3 = 0,5. Calcula a5 y la expresinde an.
a3 = a1 r2 = 8r2 = 0,5 8 r2 = 0,0625 8 r= 0,25 = 1
4
a4 = 11
a5 = 14
a4 = a1 + 3d= 2 + 9 = 11
a5 = a4 + d= 11 + 3 = 14
(a1 + a8) 8S8 == (a1 + a8) 4 = 100 8 a1 + a8 = 252a1 + 2a8 = 48
473
403
263
193
53
23
73
219
Unidad 2. Sucesiones 19
2UNIDAD
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8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
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1.ercaso: r= 0,25 =
a5 = a1 r4 = 8
( )
4= = 0,03125
an = a1 rn 1 = 8 ( )
n 1= =
2. caso: r= 0,25 =
a5 = a1 r4 = = 0,03125
an = 8 ( )n 1
28 En una progresin geomtrica de razn r= 3 conocemos S6 = 1 456. Cal-cula a1 y a4.
S6 = = = = =
= 364a1 = 1456 8 a1 = 4
a4 = a1 r3 = 4 27 = 108
29 La maquinaria de una fbrica pierde cada ao un 20% de su valor. Si cost4 millones de euros, en cunto se valorar despus de 10 aos de funcio-namiento?
Al cabo de 1 ao valdr 8 (4 106) 0,8
Al cabo de 2 aos valdr 8 (4 106) 0,82
Al cabo de 10 aos valdr 8 (4 106) 0,810 429496,73
30 El 1 de enero depositamos 5000 en una cuenta bancaria a un inters anualdel 6% con pago mensual de intereses. Cul ser el valor de nuestro dine-ro un ao despus?
Un 6% anual corresponde a = 0,5% mensual. Cada mes el dinero se multipli-
ca por 1,005.
Al cabo de 1 mes tendremos 8 5000 1,005
Al cabo de 2 meses tendremos 8 5000 1,0052
Al cabo de 12 meses tendremos 8 5000 1,00512 5308,39
6
12
728a12
a1 729 a12
a1 r6 a1
r 1
a6 r a1r 1
14
132
14
122n 5
23
22n 214
1
32
1
4
14
Unidad 2. Sucesiones0
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8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
55/617
Pgina 66
31 La suma de los infinitos trminos de una progresin geomtrica es igual a 4y a2 = 1. Calcula a1 y la razn.
4r2 4r+ 1 = 0 8 r= = = 8 r= 8 a1 = 2
32 Comprueba, dando a nvalores grandes, que las siguientes sucesiones tien-
den a un nmero y di cul es ese nmero:
a) an= b) bn=
c) cn= 1 + d) dn=
a)a10 = 2,238; a100 = 2,473; a1000 = 2,497
lm an = 2,5 =
b)b10 = 1,970; b100 = 1,9997; b1000 = 1,999997
lm bn = 2
c)c10 = 1,000977; c20 = 1,000000954
lm cn = 1
d)d10 = 0,195; d100 = 0,019995; d1000 = 0,001999995
lm dn = 0
33 Calcula el lmite de las siguientes sucesiones:
a) an= b) bn=
c) cn= d) dn=
e) en= f)fn=
a)a10 = 0,7864; a100 = 0,9798; a1000 = 0,9980
lm an = 1
n
1 + n
(1 + n)3
(n 2)2
4n 3
n+ 23n+ 1
n
n2 + 12n(n 1)2n2 + 3
52
2n2 5
n31
2n
1 2n2
n2 + 15n 32n+ 1
12
12
48
4 16 168
1a2 = a1 r= 1 8 a1 = r
a1 1/r 1S
==== 4 8 1 = 4r 4r21 r 1 r r r2
Unidad 2. Sucesiones 21
2UNIDAD
-
8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
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b)b10 = 0,5025; b100 = 0,500025; b1000 = 0,50000025
lm bn = 0,5 =
c)c10 = 9,80; c100 = 30,1; c1000 = 94,90lm cn = +
d)d10 = 1,756; d100 = 1,973; d1000 = 1,997
lm dn = 2
e)e10 = 20,797; e100 = 107,278; e1000 = 1007,027
lm en = +
f) f10 = 0,760;f100 = 0,909;f1000 = 0,969
lm fn = 1
34 Comprueba si tienen lmite las siguientes sucesiones:
a) an= (1)n
b) bn= 1 + (1)n
c) cn=
d) dn=
a)a100 = 2,01; a101 = 2,0099; a1000 = 2,001; a1001 = 2,000999
Los trminos pares tienden a 2 y los impares a 2.
an no tiene lmite.
b)b1 = 0; b2 = 2; b3 = 0; b4 = 2,
Los trminos impares son 0 y los pares son 2.
bn no tiene lmite.
c)c1 = 0; c2 = 1; c3 = 0; c4 = 0,5; ; c100 = 0,02
Los trminos impares son cero y los pares tienden a cero.
lm cn = 0.
d)d1 = 0; d2 = 1,5; d3 = 0,67; d4 = 1,25; ; d100 = 1,01; d101 = 0,99
lm dn = 1.
n+ (1)n
n
1 + (1)n
n
2n+ 1n
12
Unidad 2. Sucesiones2
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8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
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35 Dadas las sucesiones an= n2 y bn= , estudia el lmite de:
a) an+ bn b) an bn c)
a)An = an + bn = n2 +
A10 = 100,0099;A100 = 10000,0001
lm (an + bn) = +@
b)Bn = an bn = n2 =
B10 = 0,9901;B100 = 0,9999
lm (an bn) = 1
c)Cn = = = n2 (n2 + 1) = n4 + n2
C10 = 10100; C100 = 100010000
lm ( ) = +@
36 Durante 5 aos depositamos en un banco 2000 al 4% con pago anual de in-
tereses.
a) En cunto se convierte cada depsito al final del quinto ao?
b) Qu cantidad de dinero hemos acumulado durante esos 5 aos?
a) Al final del 5 ao:
Los primeros 2000 se convierten en 2 000 1,045 2433,31
Los segundos 2000 se convierten en 2 000 1,044 2339,72
Los terceros 2000 se convierten en 2 000 1,043 2249,73
Los cuartos 2000 se convierten en 2 000 1,042 = 2 163,2
Los quintos 2000 se convierten en 2 000 1,04 = 2080
b) Sumamos las cantidades anteriores:
2 000 1,045 + 2000 1,044 + 2000 1,043 + 2000 1,042 + 2000 1,04 =
= 2000(1,045 + 1,044 + 1,043 + 1,042 + 1,04) =(*)
= 2 000 = 11265,95
(*) Suma de una progresin geomtrica con a1 = 1,04 y r= 1,04.
1,046 1,041,04 1
anbn
n2
1(n2 + 1)
anbn
n2
n2 + 11
n2 + 1
1n2 + 1
an
bn
1
n2 + 1
Unidad 2. Sucesiones 23
2UNIDAD
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8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
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37 Recibimos un prstamo de 2 000 al 10% de inters anual y hemos de de-volverlo en 4 aos, pagando cada ao los intereses de la parte adeudada msla cuarta parte del capital prestado. Calcula lo que tenemos que pagar cadaao.
a1 = 500 + 2000 0,1 = 700
a2 = 500 + 1500 0,1 = 650
a3 = 500 + 1000 0,1 = 600
a4 = 500 + 500 0,1 = 550
38 Halla el trmino general de la sucesin: 2, , , , , y estudia su l-mite.
an
= = 21/n
a1 = 2; a2 = 1,4142; a3 = 1,2599; a4 = 1,1892; ; a10 1,0718
a100 1,00696; lm an = 1
39 Dadas las sucesiones an= n+ 3 y bn= 2 n, calcula los siguientes lmites:
a) lm(an+ bn)
b) lm(an bn)
c) lm(an bn)
d) lm
a)An = an + bn = n + 3 + 2 n = 5
lm (an + bn) = 5
b)Bn = an bn = n + 3 (2 n) = n + 3 2 + n = 2n + 1
B10 = 21;B100 = 201;B1000 = 2001
lm (an bn) = +@
c)Cn = an bn = (n + 3) (2 n) = 2n n2 + 6 3n = n2 n + 6
C10 = 104; C100 = 10094; C1000 = 1000994
lm (an bn) = @
d)Dn = =
D10 = 1,625;D100 = 1,051;D1000 = 1,005
lm = 1anbn
n + 32 n
anbn
anbn
42
322
n2
52
42
322
Unidad 2. Sucesiones4
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8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
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40 La sucesin x2 x+ 1; x2 + 1; x2 + x+ 1, es una progresin aritmtica?
Si lo fuese, calcula el quinto trmino y la suma de los cinco primeros tr-minos.
Llamamos a1 =x2x+ 1; a2 =x2 + 1; a3 =x2 +x+ 1.Veamos si la diferencia entre cada dos trminos consecutivos es la misma:
a2 a1 =x2 + 1 (x2x+ 1) =x2 + 1 x2 +x 1 =x
a3 a2 =x2 +x+ 1 (x2 + 1) =x2 +x+ 1 x2 1 =x
Por tanto, s es una progresin aritmtica con a1 =x2x+ 1 y diferencia d=x.
As, tenemos que:
a5 = a1 + 4 d =x2x+ 1 + 4x=x2 + 3x+ 1
S5 = = =
= (x2 +x+ 1) 5 = 5x2 + 5x+ 5
41 Halla la siguiente suma:
113 + 133 + 153 + 173 + + 333
Llmamos S= 113 + 133 + + 313 + 333
13 + 23 + 33 + + 103 + 113 + 123 + + 323 + 333 = = 314721
23 + 43 + 63 + + 323 = 23(13 + 23 + + 163) = 8 = 147968
Por tanto:
13 + 33 + + 93 + 113 + 133 + + 313 + 333 = 314721 147968 = 166753
S= 166753 (13 + 33 + + 93) = 166753 1225 = 165528
42 Sea anuna progresin aritmtica con d> 0. Cul es su lmite?
Si d> 0, la sucesin se va haciendo cada vez mayor. Por tanto, lm an = +@.
43 Si an es una progresin geomtrica con r= , cul es su lmite?
Al ir multiplicando por sucesivamente, los trminos se van aproximando a cero.
Es decir, lm an = 0.
13
13
CUESTIONES TERICAS
162 172
4
332 342
4
(2x2 + 2x+ 2) 52
(x2x+ 1 +x2 + 3x+ 1) 52
(a1 + a5) 5
2
Unidad 2. Sucesiones 25
2UNIDAD
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8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
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44 La sucesin 3, 3, 3, 3, puede considerarse una progresin aritmtica ytambin geomtrica. Cul es la diferencia en el primer caso? Y la razn enel segundo?
Es una progresin aritmtica con d= 0.
Tambin es una progresin geomtrica con r= 1.
45 En una progresin geomtrica cualquiera, a, ar, ar2, ar3, , compruebaque:
a1 a6 = a2 a5 = a3 a4
Se verifica tambin a3 a7 = a4 a6? Enuncia una propiedad que expreselos resultados anteriores.
Son iguales
Son iguales
Propiedad: Si an es una progresin geomtrica, se verifica que ap aq= am ansiempre que p + q= m + n.
46 El nmero 3,9)
podemos considerarlo como la suma de los infinitos trmi-nos de la sucesin:
3, , , ,
Calcula la suma y halla su lmite. Te parece razonable el resultado obteni-do?
3 + + + + = 3 + 0,9 + 0,99 + 0,999 + = 3,)
9
Si consideramos la progresin geomtrica , , , y sumamos todossus trminos, queda:
S
= = = = 1
Por tanto: 3 + ( + + + ) = 3 + 1 = 4910009
100910
9
109
10
9
101
1 10
a11 r
91000
9100
910
91000
9100
910
91000
9100
910
a3 a7 = (a r2) (a r6) = a2 r8
a4 a6 = (a r3) (a r5) = a2 r8
a1 a6 = a (a r5) = a2 r5
a2 a5 = (a r) (a r4) = a2 r5
a3 a4 = (a r2) (a r3)= a2 r5
Unidad 2. Sucesiones6
-
8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
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47 Inventa dos sucesiones cuyo lmite sea infinito y que, al dividirlas, la suce-sin que resulte tienda a 2.
Por ejemplo: an = 2n; bn = n + 1
lm an = +@; lm bn = +@
lm = lm = 2
Pgina 67
48 Dibuja un cuadrado de lado cm y sobre cada lado un tringulo rectngu-lo issceles; despus dos, luego cuatro, como indican las figuras:
a) Forma la sucesin de los permetros de las figuras obtenidas. Cul es sulmite?
b) Forma tambin la sucesin de las reas. Cul es su lmite?
1.erpaso: 2. paso: 3.erpaso:
Permetro = 8 cm Permetro = 8 cm Permetro = 8 cm
rea = 2 + 2 = 4 cm2 rea = 2 + 1 = 3 cm2 rea = 2 + = cm2
Paso n-simo:Permetro = 8 cm
1rea = 2 + 2 ()
n 1cm2
2
52
12
11
1 1
1/2 1/2 1/41/41/2
1/2
11
1 1
2
2
2
PARA PROFUNDIZAR
2nn + 1
anbn
Unidad 2. Sucesiones 27
2UNIDAD
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8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
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a) 8, 8, 8, 8, ;Pn = 8; lm Pn = 8
b) 4, 3, , ;An = 2 + 2 ( )n 1
; lm An = 2
(que es el rea del cuadrado de lado ).
49 Los trminos de la sucesin 1, 3, 6, 10, 15 se llaman nmeros triangularesporque se pueden representar as:
Calcula a10 y an.
a1 = 1; a2 = 1 + 2 = 3; a3 = 1 + 2 + 3 = 6; a4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10;a10 = 1 + 2 + 3 + + 10 = = = 55
an = 1 + 2 + 3 + + n =
50 Los trminos de la sucesin 1, 5, 12, 22, 35 se llaman nmeros pentagona-les porque se pueden representar as:
Calcula a6, a10 y an.
Esos nmeros se pueden escribir as:
1; 1 + 4; 1 + 4 + 7; 1 + 4 + 7 + 10; 1 + 4 + 7 + 10 + 13
a1 = 1; a2 = 1 + 4 = 5; a3 = 1 + 4 + 7 = 12; a4 = 1 + 4 + 7 + 10 = 22
Observamos que vamos obteniendo las sumas de los trminos de una progresinaritmtica con a1 = 1 y d= 3. En el paso n-simo tendremos:
an = 1 + 4 + 7 + + (1 + (n 1) 3) = 1 + 4 + 7 + + (3n 2) =
= = =
Por tanto:
a6 = = 17 3 = 51; a10 = = 14529 10
217 6
2
(3n 1) n2
(1 + 3n 2) n2
(1 + (3n 2)) n2
221251
(1 + n) n2
11 102
(1 + 10) 102
2
12
52
Unidad 2. Sucesiones8
-
8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
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51 Utiliza las propiedades de las progresiones para simplificar la expresin deltrmino general y calcular el lmite de las siguientes sucesiones:
a) an= + + + +
b) bn= 2n + + + +
a)an = (1 + 2 + 3 + +n) = ( ) = ( ) =
Hallamos el lmite: a10 = 0,55; a100 = 0,505; a1000 = 0,5005; lm an = 0,5 =
b)bn = (1 + 2 + 3 + +n) =
( )=
( )= =
= = = n + 1
b10 = 11; b100 = 101; b1000 = 1001; lm bn = +@
AUTOEVALUACIN
1. Halla el trmino a47 de la sucesin cuyo trmino general es:
an=
a47 = = = 30
2. Halla el trmino octavo de la sucesin definida as:
a1 = 4, a2 = 7, an+ 2 = 2an an+ 1
a8 = 2a6 a7
a1 = 4 a2 = 7
a3 = 2a1 a2 = 1 a4 = 2a2 a3 = 13
a5 = 2a3 a4 = 11 a6 = 2a4 a5 = 37
a7 = 2a5 a6 = 59 a8 = 2a6 a7 = 133
2 209 709
50
472 709
47 + 3
n2 709
n+ 3
2n2(n + 1)2n2
2n3 + 2n2
2n2
2n2 + 2n3
2n3
n + n2
2
2n
n3
(1 + n) n
2
2n
n3
2n
n3
12
n2 + n2n2
n + n2
21n2
(1 + n) n2
1n2
1n2
)nn3
3
n32
n31
n3(
n
n2
3
n2
2
n2
1
n2
Unidad 2. Sucesiones 29
2UNIDAD
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8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
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3. Halla el trmino general de las sucesiones:
a) 3, 7, 11, 15, 19, 23,
b)1, 2, 5, 10, 17, 26,
a) Es una progresin aritmtica de diferencia d= 4 y primer trmino a1 = 3.
an = a1 + (n 1)d= 3 + (n 1) 4 = 4n 1
b) El trmino general de la sucesin 0, 1, 4, 9, 16, 25, es an = (n 1)2.
Por tanto, 1, 2, 5, 10, 17, 26, tiene por trmino general an = (n 1)2 + 1
= n2 2n + 2.
4. Halla la ley de recurrencia por la que se forman las siguientes sucesiones:
a) 7, 8, 15, 23, 38, 61,
b)1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31,
c) 0, 1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, ...
a) Cada trmino, a partir del tercero, es la suma de los dos anteriores. Por tanto:
a1 = 7 a2 = 8 an = an 1 + an 2
b) Cada trmino, a partir del cuarto, es la suma de los tres anteriores. Por tanto:
a1 = 1 a2 = 1 a3 = 1 an = an 1 + an 2 + an 3
c) Cada trmino, a partir del cuarto, es la suma de los tres anteriores. Por tanto:
a1 = 0 a2 = 1 a3 = 2 an = an 1 + an 2 + an 3
5. Halla las siguientes sumas:
a) 3 + 7 + 11 + + 43
b)1 000 + 1 000 1,1 + 1000 1,12 + + 1000 1,115
c) 80 + 40 + 20 + 10 + 5 +
d)1012 + 1022 + 1032 + + 1402
e) 33 + 43 + 53 + + 153
a) Es la suma de los once primeros trminos de una progresin aritmtica de primer
trmino a1 = 3 y diferencia d= 4.
an = 4n 1 a1 = 3 a11 = 43
S11 = 11 = 11 = 253
b) Es la suma de los quince primeros trminos de una progresin geomtrica de pri-mer trmino a1 = 1 000 y razn r= 1,1.
Sn = 8 S15 = = 31772,481 000 1,115 1 000
1,1 1
a1rn a1
r 1
3 + 43
2
a1 + a112
Unidad 2. Sucesiones0
-
8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
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c) Es la suma de los infinitos trminos de una progresin geomtrica de primer tr-mino a1 = 80 y razn r= 1/2.
S@ = = = 160
d) 12 + 22 + 32 + + n2 =
1012 + 1022 + 1032 + + 1402 = (12 + 22 + 32 + + 1402) (12 + 22 + 32 + + 1002) =
= = = 586140
e) 13 + 23 + 33 + + n3 =
33 + 43 + 53 + + 153 = (13 + 23 + 33 + + 153) (13 + 23) = 9 = 14391
6. En una progresin aritmtica conocemos a15 = 43 y a86 = 85,6.
a) Calcula a1 + a100.
b)Obtn el valor de a220.
8 85d 14d= 42,6 8 d= 0,6
a1 = 43 14 0,6 = 34,6
a)a1 + a100 = a15 + a86 = 43 + 85,6 = 128,6 pues 1 + 100 = 15 + 86
(a15 y a86 equidistan de a1 y a100).
b)a220 = a1 + 219 d = 34,6 + 219 0,6 = 166
7. Halla los lmites de las siguientes sucesiones:
an= bn= cn=
a)a10 = 0,5 a100 = 0,05 a1000 = 0,005 8 lm = 0
b)b10 = 3,18 b100 = 3,02 b1000 = 3,002 8 lm = 3
c)c10 = 2,02 c100 = 20,002 c1000 = 200,0002 8 lm = +@n2 + 1
5n
5 + 3nn + 1
5n
n
2
+ 15n5 + 3nn+ 15n
a15 = a1 + 14d= 43
a86 = a1 + 85d= 85,6
152 1624
n2(n + 1)2
4
5546940 20301006
100 101 2016
140 141 2816
n (n + 1)(2n + 1)
6
80
1 1/2
a1
1 r
Unidad 2. Sucesiones 31
2UNIDAD
-
8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato
66/617
Unidad 3. lgebra 1
Pgina 69
REFLEXIONA Y RESUELVE
Puado de almendras
Tres amigos, Antonio, Juan y Pablo, fueron con sus tres hijos, Julio, Jos y Luis, a
un almacn de frutos secos.
Ante un saco de almendras, el dueo les dijo:
Coged las que queris.
Cada uno de los seis meti la mano en el saco un nmero n de veces y, cada vez,
se llev n almendras (es decir, si uno de ellos meti la mano en el saco 9 veces,
cada vez cogi 9 almendras, y, por tanto, se llev 81 almendras). Adems, cada
padre cogi, en total, 45 almendras ms que su hijo.
Antonio meti la mano 7 veces ms que Luis, y Julio, 15 ms que Pablo.
Cmo se llama el hijo de Antonio?
Y el de Juan?
Cuntas almendras se llevaron entre todos?
2. caso: 15 3
(x+y) (xy) = 45
Esto significa que otro de los padres cogi 9 puados de 9 almendras (81 almendras) ysu hijo, 6 puados de 6 almendras (36 almendras).
3.er caso: 45 1
(x+y) (xy) = 45
Uno de los padres se llev 23 puados de 23 almendras (529 almendras) y su hijo, 22puados de 22 almendras (484 almendras).
Como Antonio meti la mano 7 veces ms que Luis, Antonio cogi 9 puados y Luis 2puados.
Como Julio meti la mano 15 veces ms que Pablo, Julio cogi 22 puados y Pablo, 7puados.
Sumando: 2x= 46 8 x= 23Restando: 2y= 44 8 y= 22
x+y= 45
xy= 1
Sumando: 2x= 18 8 x= 9
Restando: 2y= 12 8 y= 6
x+y= 15
xy= 3
LGEBRA3
-
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Por tanto:
Antonio se lleva 9 puados y Jos 6.
Juan coge 23 puados y Julio 22.
Pablo se lleva 7 puados y Luis 2. El hijo de Antonio es Jos, el de Juan es Julio y el de Pablo es Luis.
Por ltimo, el nmero total de almendras que se llevaron entre todos ser:
81 + 36 + 529 + 484 + 49 + 4 = 1183 almendras
Sin necesidad del lgebra
Un galgo persigue a una liebre.
La liebre lleva 30 de sus saltos de ventaja al galgo. Mientras el galgo da dos sal-
tos, la liebre da tres. Tres saltos del galgo equivalen a cinco de la liebre.
Cuntos saltos dar cada uno hasta el momento de la captura?
Cada 2 saltos de galgo y 3 de liebre se acerca 1 u el galgo.
Cada 2 2 saltos de galgo y 3 2 de liebre se acerca 2 u el galgo.
Cada 2 3 saltos de galgo y 3 3 de liebre se acerca 3 u el galgo.
Cada 2 90 saltos de galgo y 3 90 de liebre se acerca 90 u el galgo.
Como la liebre lleva 30 de sus saltos al galgo (90 u de ventaja), sern:
2 90 = 180 saltos el galgo
3 90 = 270 saltos la liebre
De esta forma el galgo recorre 180 5u = 900u; y la liebre 270 3u = 810u.
Como tena 90 de ventaja: 810 + 90 = 900 u
Por tanto, hasta el momento de la captura el galgo da 180 saltos y la liebre 270.
Pgina 71
1. Descompn factorialmente los siguientes polinomios:
a) x6 9x5 + 24x4 20x3
b) x6 3x5 3x4 5x3 + 2x2 + 8x
c) x6 + 6x5 + 9x4 x2 6x 9
Unidad 3. lgebra2
-
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a)x6 9x5 + 24x4 20x3 =x3 (x3 9x2 + 24x 20)
x6 9x5 + 24x4 20x3 =x3(x 2)2 (x 5)
b)x6 3x5 3x4 5x3 + 2x2 + 8x=x(x5 3x4 3x3 5x2 + 2x+ 8)
x2 +x+ 2 = 0 8 x=
no tiene solucin
x6 3x5 3x4 5x3 + 2x2 + 8x=x(x 1) (x+ 1) (x 4) (x2 +x+ 2)
c)x6 + 6x5 + 9x4x2 6x 9
x2 + 1 = 0 8 x2 = 1 8 no tiene solucin
As, x6 + 6x5 + 9x4x2 6x 9 = (x+ 3)2 (x+ 1) (x 1) (x2 + 1)
2. a) Intenta factorizar x4 + 4x3 + 8x2 + 7x+ 4.
b) Hazlo ahora sabiendo que es divisible por x2 + x+ 1.
a) El polinomio dado no tiene races enteras (de hecho, no tiene races reales).
b) Hacemos la divisin:
x4 + 4x3 + 8x2 +7x+ 4 x2 +x+ 1
x4 x3 x2 x2 + 3x+ 4
3x3 + 7x2 + 7x+ 4
3x3 3x2 3x
4x2 + 4x+ 4
4x2 4x 4
0
1 6 9 0 1 6 91 1 5 4 4 3 9
1 5 4 4 3 9 03 3 6 6 6 9
1 2 2 2 3 03 3 3 3 3
1 1 1 1 01 1 0 1
1 0 1 0
1 1 82
1 3 3 5 2 81 1 2 5 10 8
1 2 5 10 8 01 1 3 2 8
1 3 2 8 04 4 4 8
1 1 2 0
1 9 24 202 2 14 20
1 7 10 02 2 10
1 5 0
Unidad 3. lgebra 3
3UNIDAD
-
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2. Efecta: +
+ = + =
= + =
= =
= =
Pgina 74
3. Efecta estas operaciones:
a) b) :
a) = =
= =
b) : = = =
= =
4. Calcula:
a) : b)
a) :
(
)= : = =
= = =
=
b) = = = =
= = =x2 1(x2 + 1) (x2 1)
x2 + 1x4 1x2 + 1
x4(x4 1)x4(x2 + 1)
x8x4
x6 +x4(x4x2) (x4 +x2)
(x2 + 1)x4x4 +x2
x4x4x2
x2 + 1
6x2 + 15x+ 6x3x2
3(2x2 + 4x+x+ 2)x3x2
3(2x+ 1) (x+ 2)x2(x 1)
3(2x+ 1)
(x 1)x
x+ 2
x
(x 1)x
3(2x+ 1)
x+ 2
x
x
2x+ 1
x 1
3
x+ 2
x
x4 + x2
x4x4 x2
x2 + 1)x
2x+ 1x 1
3(x+ 2
x
x3 + 3x2 7x+ 152x2x 6
x3 2x2 + 3x+ 5x2 10x+ 152x2 + 3x 4x 6
(x2 2x+ 3) (x+ 5)(x 2) (2x+ 3)
x+ 52x+ 3
x2 2x+ 3x 2
2x+ 3x+ 5
x2 2x+ 3x 2
2x3x2 + 9x2 + 3x 10
2x3 + 3x2 4x2 6x+ 6x+ 9x2 + 5x 2x 10
(x2 2x+ 3) (2x+3)(x 2) (x+ 5)
2x+ 3x+ 5
x2 2x+ 3x 2
2x+ 3x+ 5
x2 2x+ 3x 2
2x+ 3x+ 5
x2 2x+ 3x 2
x2 3x+ 1x2 1
1 + 2x2 2xx2xx2 1
1 + 2x(x1) x(x+ 1)(x 1) (x+ 1)
x(x+ 1)(x 1) (x+ 1)
2x(x1)(x 1) (x+ 1)
1(x 1) (x+ 1)
x
x 1
2x
x+ 1
1
(x 1) (x+ 1)
x
x 1
2x
x+ 1
1
x2 1
x
x 12x
x+ 11
x2 1
Unidad 3. lgebra 5
3UNIDAD
-
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Pgina 75
1. Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) x4
x2
12 = 0 b) x4
8x2
9 = 0
a)x2 = = 2 y 2
b)x2 = = 3 y 3
2. Resuelve:
a) x4 + 10x2 + 9 = 0 b) x4 x2 2 = 0
a)x2 = =
No tiene solucin.
b)x4x2 2 = 0
x2 = = =
Hay dos soluciones: x1 = ; x2 =
Pgina 76
3. Resuelve:
a) + 1 = x b) = 4 c) 2 + = x
d) 2 = x e) 1 =
a) 1 x=
1 +x2 2x= 2x 3; x2 4x+ 4 = 0; x= 2 (no vale)
No tiene solucin.
b) 2x 3 = 16 +x+ 7 + 8
x 26 = 8
x2 + 676 52x= 64 (x+ 7)
x2 + 676 52x= 64x+ 448
x2 116x+ 228 = 0; x=
x= 114
114
2 8 (no vale)
116 1122
x+ 7
x+ 7
2x 3
8 2x3x+ 3x
xx+ 72x 32x 3
22
x2 = 1 8 No vale
x2 = 2 8 x= 21 3
21 9
21 1 + 8
2
1 8 (no vale)
9 8 (no vale)10 8
210 100 36
2
9 8 x= 31 8 (no vale)
8 102
8 64 + 362
4 8 x= 23 8 (no vale)
1 72
1 1 + 482
Unidad 3. lgebra6
-
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c) =x 2; x=x2 + 4 4x; 0 =x2 5x+ 4
x= =
x= 4
d) 2 x= ; 4 +x2 4x=x; x2 5x+ 4 = 0
x=
x= 1
e) 1 =
3x+ 3 = 1 + 8 2x+ 2
5x 6 = 225x2 + 36 60x= 4(8 2x)
25x2 52x+ 4 = 0
x=
As, x= 2.
4. Para ir de A hasta C hemos navegado a 4 km/h
en lnea recta hasta P, y hemos caminadoa 5 km/h de P a C. Hemos tardado, en total,99 minutos (99/60 horas).
Cul es la distancia, x, de B a P?
AP2 =x2 + 9 = t
PC= 6 x = ( t)
t=
t= +
+ =9960
6 x5
x2 + 94
9960
6 x5
x2 + 94
9960
6 x5
x2 + 94
3 km
6 km
x
A
P
BARENA
MAR
C
x= 2
x= 0,08 8 no vale52 48
50
8 2x
8 2x
8 2x3x+ 3
4 8 (no vale)
1
x
4
1 8 (no vale)5 3
25 25 16
2
x
Unidad 3. lgebra 7
3UNIDAD
= + 9960
6 x5
x2 + 94
-
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15 + 12 (6 x) = 99
15 + 72 12x= 99
15 = 12x+ 27225(x2 + 9) = 144x2 + 729 + 648x
225x2 + 2 025 = 144x2 + 729 + 648x
81x2 648x+ 1 296 = 0
x2 8x+ 16 = 0
x= = 4
As, la distancia de B a P es de 4 km.
Pgina 77
5. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) + = b) + = 4 c) + =
a) 10(x+ 3) + 10x= 3x(x+ 3)
10x+ 30 + 10x= 3x2 + 9x
0 = 3x2 11x 30
x= =
x1 = 5,489; x2 = 1,822
b)12(x 2) + 2x(x+ 1) = 12x(x 2)
12x 24 + 2x2 + 2x= 12x2 24x
0 = 10x2 38x+ 24
0 = 5x2 19x+ 12; x= =
x1 = 3; x2 =
c) 4x+ 4 = 3x2; 0 = 3x2 4x 4
x= =
x1 = 2; x2 =23
2
2/3
4 86
45
3
4/5
19 1110
5,489
1,822
11 21,936
34
1
x21x
2(x+ 1)3(x 2)
4x
310
1x + 3
1x
82
x2
+ 9
x2 + 9
x2 + 9
Unidad 3. lgebra8
-
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6. Resuelve:
a) + = 3 b) + = c) =
a)x(x+ 1) + 2x(x 1) = 3 (x2 1)
x2 +x+ 2x2 2x= 3x2 3
x= 3
b)10(x+ 3) + 2x(x+ 2) = 3 (x2 + 5x+ 6)
10x+ 30 + 2x2 + 4x= 3x2 + 15x+ 18
0 =x2 +x 12
x= = =
x1 = 3; x2 = 4
c) 35(x+ 3) (x+ 1) 35(x2 + 1) = 26 (x2 1)
35 (x2 + 4x+ 3) 35(x2 + 1) = 26 (x2 1)
35x2 + 140x+ 105 35x2 35 = 26x2 26
26x2 140x 96 = 0
x= = =
x1 = 6; x2 =
Pgina 79
7. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 23x= 0,53x+ 2 b) 34 x2=
c) = 186 d) 7x+ 2 = 5 764 801
a) 23x= 23x 2; 3x= 3x 2; 6x= 2; x=
b) 34 x2= 32; 4 x2 = 2; x2 = 6; x=
x1 = ; x2 = 66
6
13
4x 1
2x+ 2
1
9
813
6
8/13
70 8626
70 702 4 13 (48)26
3
4
1 7
2
1 1 + 48
2
2635
x2 + 1
x2 1
x+ 3x 1
32
x
x + 35
x + 22x
x + 1x
x 1
Unidad 3. lgebra 9
3UNIDAD
-
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c) = 186; 22x 2 x 2 = 186; 2x 4 = 186
log2x 4 = log186; (x 4) log2 = log186
x= 4 + = 11,54
d) 7x+ 2 = 78; x= 6
8. Resuelve:
a) 3x+ 3x+ 2 = 30 b) 5x+ 1 + 5x+ 5x 1 =
c) 2 log x log(x+ 6) = 3log 2 d) 4 log2 (x2 + 1) = log2 625
a) 3x+ 3x 9 = 30
3x(10) = 30; 3x= 3; x= 1
b) 5 5x+ 5x+ =
5x = ; x= 0
c)log = log8
x2 = 8x+ 48; x2 8x 48 = 0; x= =
x= 12
d)log2 (x2 + 1)4 = log2 5
4; x2 + 1 = 5; x2 = 4; x= 2
x1 = 2; x2 = 2
Pgina 81
1. Resuelve estos sistemas de ecuaciones:
a) b) c)
a)
x2 9 = 2x 1; x2 2x 8 = 0
y= 2x 1
y=x2 9
x= 2y + 1
x+y
xy= 2
1 1 1+ = 1 x y xy
xy= 6
2xy 1 = 0
x2 7 =y + 2
12
4 (no vale)
8 162
x2
x+ 6
315
315
315
5x
5
31
5
log186log2
22x 2
2x+ 2
Unidad 3. lgebra0
-
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x= = =
x1 = 4; y1 = 7
x2 = 2; y2 = 5
b)
y= 5 x
x(5 x) = 6; 5xx2 = 6; x2 5x+ 6 = 0
x1 = 2; y1 = 3
x2 = 3; y2 = 2
c)x= 2y+ 1 = 2; = 2 +
3y+ 1 = 4 + y+ 1 + 4 ; 2y 4 = 4 ; y 2 = 2
y2 + 4 4y= 4y+ 4; y2 8y= 0
y= 8 8 x= 17
y= 0 (no vale)
x= 17; y= 8
2. Resuelve:
a) b) c)
a)y= 1 x; x2 +x(1 x) + (1 x)2 = 21
x2 +xx2 + 1 +x2 2x= 21; x2x 20 = 0
x= = =
x1
= 4; y1
= 5
x2 = 5; y2 = 4
b)x= 27 +y
log = 1
10y= 27 +y; 9y= 27; y= 3
= 10; x= 10y; x= 30
x= 30; y= 3
x
y
x
y
5 8 y= 4
4 8 y= 51 9
21 1 + 80
2
log (x2 +y) log (x 2y) = 1
5x+ 1 = 25y+ 1
xy = 27
log x 1 = log y
x2 + x y +y2 = 21
x+y= 1
y+ 1y+ 1y+ 1
y+ 13y+ 1y+ 13y+ 1
x= 2
x= 3
y+x=xy 1
xy= 6
4
22 6
22 4 + 32
2
Unidad 3. lgebra 11
3UNIDAD
-
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c)log = 1
5x+ 1 = 52y+ 2
x= 2y+ 1
4y2 + 1 + 4y+y= 20y+ 10 20y
4y2 + 5y 9 = 0
y= = =
x1 = 3; y1 = 1
x2 = ; y2 =
Pgina 82
1. Reconoce como escalonados y resuelve:
a) b)
c) d)
x= 1
y= 4
z= 4
x= 1
y= 4
z= 2x+y+ 2 = 2 + 4 + 2 = 4
3x = 3
5y = 20
2x+ yz= 2
c)
x= 4
y= 3
z= 0
6y= = 32
4yx== 4
3z= 5x+y 17 = 20 3 17 = 0
3x + 4y = 0
2y = 6
5x+ yz= 17
b)
x= 7
y= 2
z= 11
x= 7
y=2x 8
= 23
z= 3x+y 12 = 21 + 2 12 = 11
x = 7
2x 3y = 8
3x+ yz= 12
a)
y = 4x z= 11
y z= 7
3x = 35y = 20
2x+ y z= 2
3x+ 4y = 02y = 6
5x+ y z= 17
x = 72x 3y = 83x+ y z= 12
9
4
7
2
9/4 8 x= 7/2
1 8 x= 35 13
85 25 + 144
8
x2 +y= 10x 20yx+ 1 = 2y+ 2
x2 +yx 2y
Unidad 3. lgebra2
-
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2. Resuelve los siguientes sistemas escalonados:
a)
b)
c)
d)
x= 3
y= 4
z= 9
x= 9 = 33
y=8
= 42
z= 4x+y 7 = 9
4x + yz= 7
2y = 8
3x = 9
d)
x= 15y= 2
z= 1
z= 1y=
5 + z= 2
3x= 8 + 5y 3z= 8 + 10 3 = 15
x 5y+ 3z= 83y z= 5
4z= 4
c)
x= 1
y= 2
z= 2
y=10 = 25
x=5 y
= 13
z=x+ 2y+ 3 = 2
x + 2yz= 3
3x+ y = 5
5y = 10
b)
x= 1
y= 5
z= 4
y= 5
z= 4
x= 1
y = 5
2z= 8
3x = 3
a)
4x+ y z= 72y = 8
3x = 9
x 5y+ 3z= 83y z= 5
4z= 4
x+ 2y z= 33x+ y = 5
5y = 10
y = 52z= 8
3x = 3
x= 8
y= 4
z= 3
y= 4
z=y 7 = 4 7 = 3
x= 11 + z= 11 3 = 8
y = 4
x z= 11
yz= 7
d)
Unidad 3. lgebra 13
3UNIDAD
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3. Resuelve por el mtodo de Gauss:
a) b)
4. Resuelve:
a)
b)
x= 1
y= 1
z= 0
x= 1
z=1 +x
= 05
y= 1 2x+ 2z= 1
24x = 242x+ y 2z= 1x + 5z= 1
2 1.a + 3.a
2.a
3.a : 2
13x 5z= 132x + y 2z= 1
2x + 10z= 2
1.a + 4 2.a
2.a
3.a 3 2.a
5x 4y+ 3z= 92x+ y 2z= 14x+ 3y+ 4z= 1
a)
2x 5y+ 4z= 14x 5y+ 4z= 35x 3z= 13
5x 4y+ 3z= 92x+ y 2z= 14x+ 3y+ 4z= 1
x= 4
y= 2
z= 3
x= 20 = 45
y=14 2x
= 23
z= 3 x+ 2y= 3 4 + 4 = 3
2x+ 3y = 14x 2y+z= 35x = 20
1.a
2.a
3.a + 1.a
2x+ 3y = 14x 2y+z= 33x 3y = 6
1.a
2.a
3.a + 2.a
2x+ 3y = 14x 2y+z= 32x yz= 9
b)
x= 1
y= 2
z= 3
x= 1z= 4 x= 3
y= 2 x z= 2 1 3 = 2
x + y+ z= 2x + z= 4x = 1
x + y+ z= 22x + 2z= 82x = 2
1.a
2.a + 1.a
3.a + 1.a
x + y+z= 2x y+z= 6x yz= 0
a)
2x+ 3y = 14x 2y+ z= 3
2x yz= 9
x+y+ z= 2xy+ z= 6xy z= 0
Unidad 3. lgebra4
-
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5. Intenta resolver por el mtodo de Gauss:
a) b)
c) d)
Las ecuaciones 2.ay 3.a dicen cosas contradictorias (si 2xy es igual a 1, no pue-de ser igual a 2). Por tanto, el sistema es incompatible.
Solo quedan dos ecuaciones. Resolvemos el sistema obteniendo y, z en funcinde x:
(2.a) 8 y= 2x 1
(1.a) 8 z= 2 yx= 2 (2x 1) x= 2 2x+ 1 x= 3x 1
Soluciones:
Para cada valor de x, se obtiene una solucin del sistema. Por ejemplo:
Para x= 0 8 Para x= 2 8x= 2y= 5z= 5
x= 0y= 1z= 1
y= 2x 1
z= 3x 1
x+y+ z= 22xy = 10 = 0
1.a
2.a
3.a 2.a
x+y+ z= 22xy = 12xy = 1
1.a
2.a + 1.a
3.a
x+ y+ z= 2x 2y z= 32x y z= 1
b)
x+y+ z= 22xy = 1
2xy = 0
1.a
2.a + 1.a
3.a
x+ y+ z= 2x 2y z= 3
2x y z= 0
a)
xy+ 4z= 32xy+ 4z= 8x+y4z= 1
xy+ 4z= 32xy+ 4z= 8x+ y z= 2
x+ y+ z= 2x 2y z= 3
2x y z= 1
x+ y+ z= 2x 2y z= 3
2x y z= 0
x= 2
y=15
z= 1
x= 25x 13
z== 13
2x+ 4z+ 1 1y= =
5 5
2x 5y + 4z= 12x = 45x 3z= 13
1.a
2.a 1.a
3.a
2x 5y+ 4z= 14x 5y+ 4z= 35x 3z= 13
b)
Unidad 3. lgebra 15
3UNIDAD
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Resolvemos el sistema resultante dando los valores de x e y en funcin de z:
Soluciones:
Para cada valor que le demos a z, se obtiene una solucin del sistema. Por ejem-plo:
Para z= 0 8 x= 3, y= 2
Para z= 4 8 x= 1, y= 6
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1. Resuelve estas inecuaciones:
a) 3x 2 10 b) x 2 > 1
c) 2x+ 5 6 d) 3x+ 1 15
a) 3x 2 10 8 3x 12 8 x 4 b)x 2 > 1 8 x> 3
Soluciones: {x/x 4} = (@, 4] Soluciones: {x/x> 3} = (3, +@)
c) 2x+ 5 6 8 2x 1 8 x d) 3x+ 1 15 8 3x 14 8 x
Soluciones: x/x = , +@ Soluciones: x/x = @, ]143(
143
)
12[
12
14
3
1
2
x= 3 z
y= 2 + 2z
x+ z= 3 8 x= 3 z
x+y z= 1 8 y= 1 x+ z= 1 (3 z) +z= 2 + 2z
La segunda ecuacin no dice nada. Noes una ecuacin. Por tanto, solo quedandos ecuaciones, la 1.ay la 3.a.
x+ 4z= 30x+ 0z= 0x+y4z= 1
1.a
2.a 3 1.a
3.a
x+ 4z= 33x+ 3z= 9x+y4z= 1
1.a
2.a + 3.a
3.a
xy+ 4z= 32xy+ 4z= 8x+y4z= 1
d)
La segunda ecuacin es absurda. Nopuede ser 0 = 1.Por tanto, el sistema no tiene solucin.
xy+ 4z= 30x + 0z= 1x+y z= 2
1.a
2.a 3 1.a
3.a
xy+ 4z= 33x + 3z= 10x+y z= 2
1.a
2.a + 3.a
3.a
xy+ 4z= 32xy+ 4z= 8x+y z= 2
c)
Unidad 3. lgebra6
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2. Resuelve estos sistemas de inecuaciones:
a) b)
Obserevamos que las inecuaciones que forman ambos sistemas se han resuelto en elejercicio anterior.
a) Soluciones: {x/ 3 3
2x+ 5 63x+ 1 15
3x 2 10x 2 > 1
Unidad 3. lgebra 17
3UNIDAD
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4. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
a)
b)
a) 2x 7 > 5 8 2x> 12 8 x> 6 8 (6, +@)
x2 3x 4 0 8 (@, 1] [4, +@)
Solucin: (6, +@)
Las soluciones de la primera inecuacin son lon puntos del intervalo [2, 2]. (Verapartado d) del ejercicio anterior).
Las soluciones de la segunda inecuacin son:
x 4 > 1 8 x > 5 8 (5, +@)
Las soluciones del sistema sern los puntos en comn de los dos intervalos. Portanto, el sistema no tiene solucin.
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LENGUAJE MATEMTICO
1. De las siguientes igualdades, cules son identidades?
a) (x 3)(x 2)x= x3 5x2 + 6x
b) (x 3)(x 2)x= x3
c) am an= am+ n
d) = x2 + 2x+ 1
Comprueba, en ellas, que la igualdad es cierta para cualesquiera valores de lasvariables (haz la comprobacin para varios nmeros).
Son identidades a), c) y d).
3x 2
x3 3x 5x 2
x2 4 0
x 4 > 1
b)
y =x2 3x 4
2
4
2 42
2
Y
X
x2 4 0
x 4 > 1
x2 3x 4 0
2x 7 > 5
Unidad 3. lgebra8
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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Factorizacin
1 Descompn en factores estos polinomios y di cules son sus races:
a) x3 2x2 x+ 2 b)x4 5x2 + 4
c) 2x3 3x2 9x+ 10 d)x5 7x4 + 10x3 x2 + 7x 10
e) 6x4 5x3 23x2 + 20x 4 f ) x5 16x
g) 4x2
25 h)4x2
+ 4x+ 1
a) (x+ 1) (x 1) (x 2) 8 Races: 1, 1, 2
b) (x 1) (x+ 1) (x 2) (x+ 2) 8 Races: 1, 1, 2, 2
c) (x 1) (x+ 2) (4x 10) 8 Races: 1, 2,
d) (x 1) (x 2) (x 5) (x2 +x+ 1) 8 Races: 1, 2, 5
e) (x+ 2) (x 2) (2x 1) (3x 1) 8 Races: 2, 2, ,
f)x(x 2) (x+ 2) (x2 + 4) 8 Races: 0, 2, 2
g) (2x+ 5) (2x5) 8 Races: ,
h) (2x+ 1)2 8 Raz:
2 Halla, en cada uno de los siguientes casos, el mx.c.d. [A(x), B(x)] y elmn.c.m. [A(x), B(x)]:
a)A(x) = x2 + x 12; B(x) = x3 9x
b)A(x) = x3 + x2 x 1; B(x) = x3 x
c)A(x) = x6 x2; B(x) = x3 x2 + x 1
a)A (x) = (x 3) (x+ 4); B(x) =x(x 3) (x+ 3)
mx.c.d. = (x 3)
mn.c.m. =x(x 3) (x+ 3) (x+ 4)
b)A(x) = (x 1) (x+ 1)2; B(x) =x(x 1) (x+ 1)
mx.c.d. = (x 1) (x+ 1)
mn.c.m. =x(x 1) (x+ 1)2
12
52
52
13
12
104
PARA PRACTICAR
Unidad 3. lgebra0
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d) x1 = 1; x2 = 2; x3 =
e)x(x4 16) = 0; x(x2 4) (x2 + 4) = 0
x1 = 0; x2 = 2; x3 = 2
f)x(x2 3x+ 2) = 0; x(x 1) (x 2) = 0
x1 = 0; x2 = 1; x3 = 2
g) x= 1
Fracciones algebraicas
4 Simplifica las fracciones:
a) b)
a) =
b) =
5 Opera y simplifica el resultado:
a) : b)
c) d) : 1 +
e) 1 :1
x+ 2)x+ 3x+ 2
x + 1x+ 2(
)xx+ 2()x
x+ 2x + 1
x(x
x2 3x+ 2x
x 1x
x 2
(x 2)2
x2 1
x2 + 2x 3
(x 2)3(a+ 1)2
a2 1
3a+ 312a 12
3x2 + 4x+ 1x2 + 2x
(x 2) (x+ 1) (3x+ 1)x(x 2) (x+ 2)
(3 +x)x
(3 x) (3 +x)x(x 3)
3x3 2x2 7x 2
x3 4x
9 x2
x2 3x
13
Unidad 3. lgebra2
3 10 9 2
1 3 7 2
3 7 2 0
2 6 2
3 1 0
1 1 4 41 1 0 4
1 0 4 0
3 2 7 2
2 6 8 2
3 4 1 0
1 3 1
3 1 0
-
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a) =
b) =
c) = = 0
d) : = =
= =
e) (x+ 2) =
6 Demuestra las siguientes identidades:
a) + 1) =b) : = 1
c) : = 2x 5
a) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) =
b) : = = 1
c) ( ) : ( ) =
= : =
= : = = 2x 5
Ecuaciones de primer y segundo grado
7 Entre estas ecuaciones de primer grado, hay dos que no tienen solucin,dos que tienen infinitas soluciones y dos que tienen solucin nica. Identi-fica cada caso y resuelve las que sean posible:
(2x 5) (x 3) (x 2)(x 3) (x 2)
1(x 3) (x 2)
(2x 5)(x 3) (x 2)
x 2 x+ 3(x 3) (x 2)
(x 2 +x 3) (x 2 x+ 3)(x 3) (x 2)
(x 2) (x 3)(x 3) (x 2)
(x 2)2 (x 3)2
(x 3) (x 2)
(a + 1) (a 2)(a 2) (a + 1)
(a + 1)2
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