solucionario ensayo mt - 034 2015
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SOLUCIONARIO
ENSAYO MT- 034
SE
NS
CE
SM
T03
4-A
15V
1
1. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Números racionales
Habilidad Comprensión
Al interpretar numéricamente “la cuarta parte del cuarto de 4
1” resulta
64
1
4
1
4
1
4
1
.
2. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Números racionales
Habilidad ASE
Si en el curso hay 36 alumnos y la mitad de ellos son hombres, entonces hay 18 hombres
y 18 mujeres. Luego:
I) Verdadera, ya que la tercera parte de los hombres son bajos. Es decir, 3
18 = 6
hombres son bajos, por lo cual (18 – 6) = 12 hombres NO son bajos.
II) Verdadera, ya que la sexta parte de las mujeres son altas. Es decir, 6
18 = 3 mujeres
son altas.
III) Falsa, ya que la sexta parte de las mujeres son altas. Es decir, 6
18 = 3 mujeres son
altas, por lo cual (18 – 3) = 15 mujeres NO son altas.
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.
Por lo tanto, el quinto término de la secuencia es 181
29
2
1
9
2
31
2
.
3. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Números racionales
Habilidad ASE
Sabemos que en el club deportivo hay 39 hombres y 62 mujeres. En total son 101
personas.
Como se desea formar 7 equipos, con igual número de integrantes, de manera que en cada
uno de los equipos la cantidad de mujeres sea el doble de la cantidad de hombres,
dividimos tanto el número de hombres como el número de mujeres por 7.
hombres 39:7 = 5 mujeres 62:7 = 8
4 6
Como en cada uno de los equipos la cantidad de mujeres debe ser el doble de la cantidad
de hombres, siendo equipos lo más numerosos posibles, en cada equipo debe haber 4
hombres y 8 mujeres. Luego:
Cantidad de hombres en equipos = 4·7 = 28
Cantidad de mujeres en equipos = 8·7 = 56
Total de personas en equipos = 84
Por lo tanto, el número de personas que no forman parte de los equipos es 101 – 84 = 17
4. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Números racionales
Habilidad ASE
Si a y b son dos números enteros tales que a > 0 y b = – a, entonces b es un número
negativo y a = – b. Luego:
I) Verdadera, ya que al reemplazar a = – b resulta
b
aa =
b
bb = (b – 1),
que es el antecesor de b, que siempre es menor que b.
II) Falsa, ya que si b = – a, entonces (a + b) = 0 y el cero siempre es mayor que
cualquier número negativo.
III) Falsa, ya que al reemplazar a = – b resulta
b2
2
a =
2
b5b2
2
b
. Como b
es un número negativo, entonces 2
b5 es un número positivo, que siempre es
mayor que cualquier número negativo.
Por lo tanto, solo la afirmación I es siempre menor que b.
5. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Potenciación
Habilidad Aplicación
25
42
25
2
25
40
25
2
5
8
)5(
2
5
)2(2
3
6. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Potenciación
Habilidad ASE
20³ = (20 · 20 · 20) = 8.000 (20³ + 20³ + 20³ + 20³) = (4 · 8.000) = 32.000. Luego:
I) Es equivalente, ya que (4 · 20³) = (4 · 8.000) = 32.000
II) No es equivalente, ya que 80³ = (80 · 80 · 80) = 512.000
III) No es equivalente, ya que
2012
= (2 · 10)12
= (212
· 1012
) = (4096 · 1012
) = 4.096.000.000.000.000
Por lo tanto, solo I es equivalente a la expresión.
7. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Potenciación
Habilidad Aplicación
Al transformar p = 0,0005 a potencia de 10, se tiene 5 · 10– 4
.
Entonces, al reemplazar m = 4 · 10³ y p = 5 · 10– 4
en la expresión (m · p²) resulta
(4 · 10³ · (5 · 10– 4
)²) = (4 · 10³ · 25 · 10– 8
) = (100 · 10– 5
) = (10² · 10– 5
) = (10– 3
) = 0,001
8. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Potenciación
Habilidad ASE
I) No es un número irracional, ya que 636123
II) No es un número irracional, ya que 1052525
III) No es un número irracional, ya que 9
1
81
1
162
2
162
2
Por lo tanto, en ninguna de las operaciones el resultado es un número irracional.
9. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Potenciación
Habilidad ASE
I) Falsa, ya que x2xx
II) Falsa, ya que yxyxyx 244
III) Verdadera, ya que y24y3
12y3:12y
Por lo tanto, solo la afirmación III es siempre verdadera.
10. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Potenciación
Habilidad ASE
6
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
3
1p
2
2p
2
2
p2
p2
p2
p2
2p
2p
11. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Potenciación
Habilidad Aplicación
Dado que 4
1alog1a4·log
Como se quiere saber el valor de alog se aplica la propiedad del exponente del
argumento, donde alog · 2
1alogalog 2
1
Finalmente, reemplazando alog por 4
1 resulta
8
1
4
1 ·
2
1alog ·
2
1
12. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Potenciación
Habilidad Aplicación
3log · 25log · 32xlog (Aplicando la propiedad del exponente)
23 3log5log2xlog (Desarrollando las potencias)
23 3log5log100logxlog (Aplicando propiedades de logaritmo)
3
2
5
100·3logxlog
125
100·9logxlog (Simplificando)
5
4·9logxlog
log x = log 7,2 (Igualando argumentos)
x = 7,2
13. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Números irracionales
Habilidad ASE
7log9log 44 (Aplicando cambio de base)
7log4log
9log4
2
2
7log2
3log4
2
2 (Logaritmo de una potencia)
7log2
3log24
2 (Simplificando)
7log3log 42
qm
Por otro lado, qp 7log4log12log 443
Luego, qp . Por lo tanto, mqp
14. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Números irracionales
Habilidad ASE
15. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Números complejos
Habilidad Aplicación
Por lo tanto la parte real es
16. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Números complejos
Habilidad Aplicación
Amplificando z por el conjugado del denominador, resulta:
17. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Transformación algebraica
Habilidad Aplicación
(3xq – 3yq + y – x) (Agrupando y reordenando)
(y – x) + (3xq – 3yq) (Factorizando el segundo término por – 3q)
(y – x) – 3q(y – x) (Factorizando por (y – x))
(y – x)(1 – 3q)
18. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Transformación algebraica
Habilidad Aplicación
El sucesor de Q es (Q + 1) y el antecesor de P es (P – 1). Luego, el cuociente entre el
sucesor de Q y el antecesor de P es 11
11
1
12
2
a
a
P
Q.
Desarrollando esta expresión se obtiene:
11
112
2
a
a
1122
2
aa
a
aa
a
22
2
)2(
2
aa
a
2
a
a
19. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Ecuaciones y sistemas de primer grado
Habilidad Aplicación
20. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Transformación algebraica
Habilidad Aplicación
Como p = (x6 – y
6), q = (x³ + y³) y z = (x – y), entonces
qz
p =
)yx)(yx(
)yx(33
66
Al factorizar el numerador como suma por su diferencia y simplificar la fracción resulta
)yx(
)yx(
)yx)(yx(
)yx)(yx( 33
33
3333
.
Luego, al factorizar el numerador como diferencia de cubos y simplificar la fracción
resulta )yx(
)yxyx)(yx(
)yx(
)yx( 2233
= (x² + xy + y²).
21. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Transformación algebraica
Habilidad Aplicación
Al sumar la expresión
yx
1
yx
1 mediante la multiplicación cruzada resulta
)yx(
x2
)yx)(yx(
)yx()yx(22
.
Luego, 22 yx
y2:
yx
1
yx
1
=
y2
yx.
yx
x2 22
22, que al simplificar queda
y
x.
22. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Ecuaciones y sistemas de primer grado
Habilidad Aplicación
Si llamamos x al número mayor e y al número menor, al plantear las ecuaciones del
enunciado, se tiene:
(1) x + y = 48
(2) 3y
x
Despejando x en (2) resulta 3y
x x = 3y
Reemplazando x en (1) y despejando resulta:
x + y = 48
3y + y = 48
4y = 48
y = 12
Reemplazando el valor de y en (1), se tiene x = 48 – 12 = 36
Por lo tanto, el número mayor es 36.
23. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Habilidad Aplicación
Reordenado la ecuación 2x2 + 6x = 56 se tiene:
2x2 + 6x – 56 = 0 (Dividiendo toda la ecuación por 2)
x2 + 3x – 28 = 0 (Factorizando)
(x +7)·(x – 4) = 0
Entonces: x + 7 = 0 x = – 7
x – 4 = 0 x = 4
Por lo tanto, las soluciones son – 7 y 4.
24. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia
Habilidad Aplicación
Si el número indicado es x, entonces planteando la inecuación resulta:
3x – 4 ≤ 14 (Ordenando)
3x ≤ 14 + 4
3x ≤ 18 (Despejando x)
3
18x
x ≤ 6
Por lo tanto, el máximo valor que puede tomar el número es 6.
25. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia
Habilidad Aplicación
La solución de un sistema de inecuaciones corresponde a la intersección de los intervalos
solución de cada inecuación. Entonces, resolviendo cada inecuación:
(1) x < 2(1 – x) (Distribuyendo)
x < 2 – 2x (Ordenando)
2x + x < 2 (Despejando)
3x < 2
x < 3
2
(2) 4 ≤ x + 5 (Ordenando)
4 – 5 ≤ x
– 1 ≤ x
Luego, la solución del sistema es la intersección de ambas soluciones:
Por lo tanto, el intervalo solución es
3
2,1 , representada en la alternativa D.
26. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Función afín y función lineal
Habilidad Aplicación
De acuerdo al gráfico, se sabe que los puntos (– 3, 3) y (0, 0) pertenecen a la función.
Luego, la pendiente entre los dos puntos es m = 13
3
03
03
.
Como la recta pasa por el origen, entonces el coeficiente de posición (n) es 0.
Por lo tanto, la función representada en la gráfica es n(x) = – x
3
2
– 1
27. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Función afín y función lineal
Habilidad ASE
Expresando la ecuación principal de la recta se tiene y – x – 1 = 0 y = x + 1, donde la
pendiente es positiva y el coeficiente de posición es 1.
La alternativa A queda descartada, ya que su pendiente es cero y la alternativa B
representa una pendiente indefinida. Por otro lado, las alternativas D y E representan
rectas con pendientes negativas debido a su orientación en la gráfica. Por lo tanto, la
alternativa correcta es la C, ya que su gráfico tiene pendiente positiva y su coeficiente de
posición es 1.
28. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Teoría de funciones
Habilidad Aplicación
3
5
5
3
1
5
21
1
5
2
2
5
1
2
31
1
2
31
1
2
3
gggggg
29. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada
Habilidad ASE
Para obtener el dominio de h(x) = 15x3 , se debe restringir la cantidad subradical.
Luego, 3x – 15 ≥ 0 3x ≥ 15 x ≥ 5
Por lo tanto, el dominio de h(x) es [5, + ∞[.
30. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada
Habilidad Aplicación
0168 · 4 4x31x2 (Igualando las bases)
0)2()2( ·2 4 341 232 xx (Despejando)
4 341 232 )2()2( ·2 xx (Aplicando propiedades de potencias)
16 12)3 6( 2 22 xx (Igualando bases)
2 + 6x – 3 = 12x – 16 (Despejando x)
– 1 + 16 = 12x – 6x
15 = 6x
x6
15
31. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada
Habilidad Comprensión
La función exponencial representada en el gráfico muestra una curva decreciente, por lo
tanto la base de esta es positiva y menor que 1. Con esta conclusión se descartan las
alternativas B y C, cuyas bases son mayores que 1.
Evaluando las alternativas que quedan en x = 0 se tiene:
A) f(x) =
0
3
2
– 2 = 1 – 2 = – 1
D) p(x) =
0
4
3
= 1
E) m(x) =
0
5
2
– 1 = 1 – 1 = 0
Luego, según el gráfico, la curva intersecta al eje y en su parte negativa. La única
alternativa que cumple con esto es la A.
32. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada
Habilidad ASE
Evaluando la función en x = 50 resulta g(50) = log(50a) = 5
Aplicando definición de logaritmo, se tiene que log(50a) = 5 105 = 50a
Despejando a resulta 100000 = 50a 2.000 = a. Es decir, g(x) = log (2.000x)
Luego, g
200
1= log
200
1000.2 = log 10 = 1
33. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Habilidad Comprensión
De acuerdo a la parábola de la figura esta pasa por el origen, por lo cual c = 0, y las
únicas alternativas que cumplen con esta condición son la A y la E.
Luego sus puntos de intersección con el eje x son:
A) f(x) = x2 + x = x (x + 1). Intersecta al eje x en 0 y – 1.
E) p(x) = x2 – x = x (x – 1). Intersecta al eje x en 0 y 1.
Por lo tanto, la alternativa correcta es A, ya que intersecta al eje x en una coordenada
negativa y en 0.
34. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia
Habilidad Comprensión
La función potencia p(x) = (x – 1)5 tiene exponente impar, por lo tanto tendrá la forma de
las figuras representadas en las alternativas A, B o D. Para obtener el valor en que la
gráfica intersecta al eje y se evalúa en x = 0:
p(x) = (x – 1)5 (Evaluando en x = 0)
p(0) = (0 – 1)5
p(0) = (– 1)5
p(0) = – 1
Luego, la alternativa correcta es C, ya que es su intersección en el eje y es un valor
negativo.
35. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Transformaciones isométricas
Habilidad Comprensión
Si T(x, y) es el vector de traslación, entonces A(– 4, 3) + T(x, y) = B(2, – 2).
Descomponiendo los pares ordenados para encontrar el vector de traslación ocurre que:
2 = – 4 + x 6 = x
– 2 = 3 + y – 5 = y
Por lo tanto, T(x, y) = T(6, – 5)
36. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Transformaciones isométricas
Habilidad Aplicación
Si a un punto se le aplica una rotación negativa de 270º, es equivalente a una rotación de
90º en sentido positivo.
Al rotar un punto (x, y) en 90º en sentido positivo se obtiene (– y, x), por lo tanto el punto
(2, – 3) rotado en 90º es (3, 2).
37. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Transformaciones isométricas
Habilidad Aplicación
Al realizarle al triángulo PQR una simetría axial con respecto al lado RQ se imita el
reflejo de un espejo.
Luego, al triángulo resultante RQS se le aplica una simetría central con respecto a P, lo
cual equivale a una rotación de 180º.
38. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Transformaciones isométricas
Habilidad ASE
Sea la recta L: y = mx + n, con m y n distintos de cero, tal que (x1, y1) y (x2, y2) sean
puntos distintos que pertenecen a la recta. La pendiente será 12
12
xx
yym
y el coeficiente
de posición será n. Luego:
I) Verdadera, ya que la traslación solo moverá a la recta en el plano cartesiano sin
alterar su inclinación. De hecho, al trasladar la recta según el vector (0, 2), los
nuevos puntos serán (x1, y1 + 2) y (x2, y2 + 2). Entonces, la pendiente será
12
12
12
12
xx
yy
xx
2y2ym
y el coeficiente de posición será (0, n + 2). Como la
pendiente es igual y el coeficiente de posición es distinto, las rectas son paralelas.
II) Verdadera, ya que al rotar los puntos en 180º con respecto al origen, los nuevos
puntos serán (– x1, – y1) y (– x2, – y2). Entonces, la pendiente será
12
12
12
12
12
12
xx
yy
xx
yy
xx
yym
y el coeficiente de posición será (0, – n). Como
la pendiente es igual y el coeficiente de posición es distinto, las rectas son
paralelas.
III) Falsa, ya que al realizar una simetría con respecto al eje X, los nuevos puntos
serán (x1, – y1) y (x2, – y2). Entonces, la pendiente será
12
12
12
12
12
12
xx
yy
xx
yy
xx
yym
. Como las pendientes son distintas, las rectas no
son paralelas.
Por lo tanto, solo en las afirmaciones I y II se obtiene siempre una recta paralela a L.
39. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Transformaciones isométricas
Habilidad Aplicación
El punto medio del trazo AB es 2,12
4,
2
2
2
62,
2
75
40. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Geometría de proporción
Habilidad Comprensión
En el triángulo ABC se sabe que DBAD y BC//DE , por lo cual, es posible
determinar que DE es mediana del triángulo, y con ello el triángulo ADE es semejante
con el triángulo ABC.
La razón de semejanza es 2
1k y la razón entre las áreas es el cuadrado de esta, es decir
Razón entre las áreas: 4
1
2
1k
2
2
.
41. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Geometría de proporción
Habilidad Aplicación
Como CD//AB , y considerando que los triángulos de la figura tienen un ángulo recto en
E, se deduce que el triángulo ABE es semejante con el triángulo DCE.
Por otro lado, se puede obtener la medida del segmento CD aplicando el trío pitagórico
3k, 4k y 5k, con k = 4. Luego, el segmento CD es 20.
Aplicando el teorema de Thales: ED
CD
AE
AB
12
20
AE
10 AE =
20
1210 = 6
Por lo tanto, el valor del trazo AE es 6.
42. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Geometría de proporción
Habilidad Aplicación
Se sabe que AB mide 36 cm y la medida de BP = x, entonces AP = 36 + x. Planteando la
proporción, queda 3
7
x
x36
BP
AP
. Multiplicando cruzado resulta:
3·(36 + x) = 7x (Despejando)
108 + 3x = 7x
108 = 7x – 3x
108 = 4x
x4
108
27 = x
Luego, BP = 27 y AP = 36 + 27 = 63
Por lo tanto, las medidas de AP y BP son 63 cm y 27 cm, respectivamente.
43. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Geometría de proporción
Habilidad Aplicación
Para obtener la medida del lado CB aplicamos el teorema de Pitágoras:
82 + CB
2 = 17
2
64 + CB2 = 289 (Despejando)
CB2 = 289 – 64
CB2 = 225 (Aplicando raíz cuadrada)
CB = 15
Luego, para obtener el perímetro del triángulo ACB se suman sus tres lados
8 + 17 + 15 = 40 cm.
44. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Geometría de proporción
Habilidad ASE
Los tres triángulos rectángulos que aparecen en la figura tienen su altura trazada desde el
ángulo recto, por lo cual es posible utilizar el teorema de Euclides. Luego:
I) Se cumple, ya que un cateto es m, su proyección sobre la hipotenusa es r y la
hipotenusa es n. Entonces m2 = n · r.
II) Se cumple, ya que la altura bajada sobre la hipotenusa es m y las proyecciones de
los catetos sobre la hipotenusa son n y r. Entonces, m2 = n · r.
III) No se cumple, ya que por el teorema de Pitágoras la relación correcta entre los
segmentos es r2 + n
2 = m
2.
Por lo tanto, la igualad solo se cumple en las afirmaciones I y II.
45. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Circunferencia
Habilidad ASE
I) Verdadera, ya que al ser OC y OB radios, el triángulo OCB es isósceles de base
BC , por lo cual OBC = BCO = 20°. Luego, por suma de ángulos interiores
se tiene que COB = 180º – (20º + 20º) = 180º – 40º = 140º.
II) Verdadera, ya que el arco CB mide 140° (igual al ángulo de centro COB) y el arco
EB mide 240° (el doble del ángulo inscrito EAB).
Entonces, arco EC = arco EB – arco CB = 240º – 140º = 100º
III) Falsa, ya que arco BE = 360° – arco EB = 360° – 240° = 120°
Por lo tanto, solo la afirmación III es falsa.
46. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Geometría de proporción
Habilidad Aplicación
Como PC es 5 cm mayor que AP , entonces si AP = x, entonces PC = x + 5. Luego,
aplicando el teorema de las cuerdas:
PDBPPCAP (Reemplazando)
x·(x+5) = 7 ∙ 18 (Multiplicando)
x2 + 5x = 126 (Despejando)
x2 + 5x – 126 = 0 (Factorizando)
(x – 9)·(x + 14) = 0
Luego, las soluciones para x son 9 y – 14, pero como se trata de medida la solución
válida es 9. Entonces, AP = 9 cm y PC = 14 cm.
Por lo tanto, AC = AP + PC = 9 + 14 = 23 cm.
47. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad ASE
Expresando la ecuación principal de la recta se tiene x – y + 2 = 0 y = x + 2. Luego:
I) Falsa, ya que la pendiente corresponde al valor que acompaña a x. En este caso es
1, un valor positivo.
II) Falsa, ya que el punto de intersección con el eje X se obtiene evaluando y = 0 en
la ecuación de la recta 0 = x + 2 – 2 = x. Entonces, la recta corta al eje X
en el punto (– 2, 0).
III) Verdadera, ya que el punto de intersección con el eje Y está dado por el
coeficiente de posición (2). Entonces, la recta corta al eje Y en el punto (0, 2).
Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera.
48. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad Aplicación
La solución del sistema se puede determinar por el método de reducción:
x + y = 1 (1)
x – y = 3 (2) (Sumando las ecuaciones)
2x = 4 x = 2
Reemplazando x en (1) resulta 2 + y = 1 y = 1 – 2 = – 1
Luego, el punto de intersección de las rectas corresponde al par (2, – 1), que es un punto
ubicado en el cuarto cuadrante. Entonces solo pueden ser posibles las alternativas A o B.
Analizando las ecuaciones principales de las rectas, resulta y = – x + 1 (que corresponde
a una recta decreciente) e y = x – 3 (que corresponde a una recta creciente). De las dos
opciones que quedan, solo la alternativa A ofrece esta posibilidad, ya que en la alternativa
B ambas rectas son crecientes.
Por lo tanto, es la alternativa A la que mejor representa la solución gráfica del sistema.
49. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad Aplicación
Como la homotecia de centro O transforma a un cuadrado de lado 3 cm en otro de lado 5
cm, entonces la razón de homotecia es 3
5, por lo tanto:
3
5
OP
OQ (Sustituyendo)
3
540
OP (Despejando)
5
340 OP (Calculando)
24OP cm
Luego, si OQ = 40 cm y OP = 24 cm, entonces PQ = 40 cm – 24 cm = 16 cm.
50. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad Comprensión
En un rombo, las diagonales se dimidian, lo que significa que se intersectan en el punto
medio de cada una. Es decir, el punto medio de PR es igual al punto medio de SQ .
Como cada coordenada del punto medio de un segmento es igual al promedio de las
coordenadas respectivas de los extremos, considerando R(a, b, c), se puede plantear:
Punto medio de PR = Punto medio de SQ (Reemplazando)
2
c0,
2
b0,
2
a1 =
2
01,
2
10,
2
00
2
c,
2
b,
2
a1 =
2
1,
2
10,
Igualando componentes, resulta:
2
a1 = 0 1 + a = 0 a = – 1
2
1
2
b b = 1
2
1
2
c c = 1
Por lo tanto, las coordenadas del vértice R son (– 1, 1, 1).
51. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Geometría analítica
Habilidad ASE
Si un punto (x, y, z) pertenece a la recta v(t) = (– 1, 3, 2) + t · (1, – 2, – 3), entonces existe
un valor real para t tal que (x, y, z) = (– 1, 3, 2) + t · (1, – 2, – 3). Es decir, se debe
cumplir que (x, y, z) = (– 1 + t, 3 – 2t , 2 – 3t)
A) No pertenece, ya que si (– 2, 1, 5) = (– 1 + t, 3 – 2t , 2 – 3t), entonces:
– 2 = – 1 + t , 1 = 3 – 2t y 5 = 2 – 3t
Luego, al despejar t en cada ecuación notamos que su valor es distinto en cada
ecuación.
B) No pertenece, ya que si (2, – 3, 7) = (– 1 + t, 3 – 2t , 2 – 3t), entonces:
2 = – 1 + t , – 3 = 3 – 2t y 7 = 2 – 3t
Luego, al despejar t en cada ecuación notamos que su valor es distinto en cada
ecuación.
C) No pertenece, ya que si (1, – 2, – 4) = (– 1 + t, 3 – 2t , 2 – 3t), entonces:
1 = – 1 + t , – 2 = 3 – 2t y – 4 = 2 – 3t
Luego, al despejar t en cada ecuación notamos que su valor es distinto en cada
ecuación.
D) Si pertenece, ya que si (– 3, 7, 8) = (– 1 + t, 3 – 2t , 2 – 3t), entonces:
– 3 = – 1 + t , 7 = 3 – 2t y 8 = 2 – 3t
Luego, al despejar t en cada ecuación notamos que su valor es – 2 en cada
ecuación, es decir, si t es – 2, entonces verificamos que el punto (– 3, 7, 8)
pertenece a la recta.
E) No pertenece, ya que si (0, 1, – 2) = (– 1 + t, 3 – 2t , 2 – 3t), entonces:
0 = – 1 + t , 1 = 3 – 2t y – 2 = 2 – 3t
Luego, al despejar t en cada ecuación notamos que su valor es distinto en cada
ecuación.
52. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Cuerpos geométricos
Habilidad Aplicación
Según el enunciado, como la hipotenusa mide AB = 9 y uno de los catetos mide BC = 6,
se puede calcular el cateto AC mediante el teorema de Pitágoras:
222
ABBCAC (Reemplazando)
AC2 + 6
2 = 9
2 (Desarrollando)
AC2 + 36 = 81 (Despejando)
AC2 = 81 – 36
AC2 = 45 (Aplicando raíz cuadrada)
AC = 53
Luego, al rotar el triángulo rectángulo en torno a AC se genera un cono, donde AC es
altura (h), BC es radio (r) y ABes generatriz (g).
Por lo tanto, el volumen del cono es
5363
53 ·6 ·
3
h ·r · V
22
cono .
53. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Cuerpos geométricos
Habilidad Aplicación
El volumen de un prisma se calcula como el área de la base por la altura.
En este caso, el área de la base interior corresponde a un cuadrado de lado 6 cm, ya que al
tamaño de la base exterior (10 cm) se le quita 2 cm por lado de espesor. Luego, el área de
la base interna es 36 cm².
Por otra parte, la altura interior corresponde a la altura exterior (10 cm) menos 2 cm de
espesor de la base. O sea, la altura interna es 8 cm.
Entonces, el volumen interior es (368) = 288 cm³.
Por lo tanto, la capacidad interior máxima del recipiente es 288 cm³.
54. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Datos
Habilidad Aplicación
I) Verdadera, ya que la moda es el dato con mayor frecuencia. Luego, la moda es 3.
II) Falsa, ya que la mediana es 4. Para obtener la mediana de una muestra estadística
tabulada, es conveniente determinar la frecuencia acumulada de los datos. Así la mediana
será el primer dato cuya frecuencia acumulada sea mayor o igual a la(s) posición(es) de la
mediana. Luego:
Como la muestra tiene 20 datos, entonces la posición central corresponde al décimo y
decimoprimer dato, siendo la frecuencia acumulada de la segunda fila (14) la primera que
es mayor o igual que las posiciones de la mediana (10 y 11).
III) Verdadera, ya que el promedio de los datos de la muestra es
420
80
20
12202424
2468
6·25·44·63·8x
Dato Frecuencia Frecuencia acumulada
3 8 8
4 6 14
5 4 18
6 2 20
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.
55. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Datos
Habilidad ASE
I) Falsa, ya que la moda es el dato y no la frecuencia de él, por ello la moda es 30.
II) Verdadera, ya que la media de los puntajes se calcula de la siguiente manera:
5,2740
1100
40
40045020050
40
40 · 1030 · 1520 · 1010 · 5x
III) Verdadera, ya que la cantidad de alumnos que obtuvo 40 puntos es 10 y esto
corresponde al 25% de 40, que es el total de alumnos.
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.
56. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Datos
Habilidad ASE
I) Verdadera, ya que al sumar la cantidad de datos se tiene 20 + 25 + 15 + 20 = 80
II) Verdadera, ya que para obtener la media aritmética se debe sumar todos los datos
y dividirse por la cantidad de datos. Entonces,
4,87580
390
80
1609010040
80
20 · 815 · 625 · 420 · 2x
≈ 5
III) Falsa, ya que la moda es el dato y no la frecuencia del dato, por ello la moda es 4.
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.
57. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Datos
Habilidad Aplicación
El decil 7 es equivalente al percentil 70, es decir,
el dato bajo el cual se encuentra el 70% de la
muestra. Para conocer este dato, es conveniente
realizar una tabla de frecuencia acumulada.
Como la muestra tiene 80 datos, entonces el dato
número 80 es aquel bajo el cual se encuentra el
100% de la muestra. Por lo tanto:
56100
7080
70
10080
x
x
Es decir, bajo el dato número 56 se encuentra el
70% de la muestra. Luego, observando la
frecuencia acumulada, notamos que este dato se
encuentra en el intervalo 41 – 50.
58. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Datos
Habilidad ASE
Si n, n + 1, n + 2, n + 3 y n + 4 son los cinco números enteros positivos consecutivos,
entonces:
I) Si se mantiene, ya que el rango de una muestra es la diferencia entre el dato de
mayor valor y el de menor valor. Al eliminar el término del medio, los extremos se
mantienen, por lo que el rango no se altera.
II) Si se mantiene, ya que el promedio de la muestra inicial es
25
105
5
)4()3()2()1(
n
nnnnnn
Como el promedio es igual al término central, entonces si se elimina este dato, el
promedio no varía.
III) No se mantiene, ya que la desviación estándar de la muestra inicial es
25
10
5
41014
5
210)1()2( 22222
Y al eliminar el término central, la desviación estándar sería
2
5
4
10
4
4114
4
21)1()2( 2222
Puntaje Frecuencia F. Acumulada
1 – 10 4 4
11 – 20 10 14
21 – 30 14 28
31 – 40 16 44
41 – 50 13 57
51 – 60 2 59
61 – 70 3 62
71 – 80 7 69
81 – 90 5 74
91 – 100 6 80
Por lo tanto, solo I y II se mantienen.
59. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Datos
Habilidad ASE
I) Si tiene igual varianza, ya que el rango y la diferencia entre los términos son iguales
respecto al conjunto {2, 4, 7}.
II) No tiene igual varianza, ya que el rango y la diferencia entre los términos son el
doble respecto al conjunto {2, 4, 7}, por lo que su varianza es el cuádruple en relación al
conjunto inicial.
III) Si tiene igual varianza, ya que el rango y la diferencia entre los términos son iguales
respecto al conjunto {2, 4, 7}.
Por lo tanto, solo I y III tienen igual varianza que el conjunto {2, 4, 7}.
60. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Datos
Habilidad ASE
Para determinar P (μ – 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ), se escribe el intervalo en función de z:
μ – 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ (Restando μ en cada término)
– 3σ ≤ X – μ ≤ 3σ (Dividiendo por σ)
σ
3σ
σ
μX
σ
3σ
(Reemplazando
σ
μXz
)
– 3 ≤ z ≤ 3
Luego, se cumple que P (μ – 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) = P (–3 ≤ z ≤ 3) = P (z ≤ 3) – P (z ≤ – 3)
Como en la distribución normal P (z ≤ – 3) = 1 – P (z ≤ 3), entonces
P (z ≤ 3) – P (z ≤ – 3) = P (z ≤ 3) – (1 – P (z ≤ 3))
P (z ≤ 3) – P (z ≤ – 3) = P (z ≤ 3) – 1 + P (z ≤ 3)
P (z ≤ 3) – P (z ≤ – 3) = 2 · [P (z ≤ 3)] – 1
Por lo tanto, P (μ – 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) = 2 · [P (z ≤ 3)] – 1
61. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Azar
Habilidad Comprensión
Los elementos que serán ordenados en la repisa superior son 7, por lo tanto en la primera
posición puede ir cualquiera de los 7 peluches, sin embargo, luego de escoger uno para
que sea el primero, para ocupar la segunda posición solo se tienen 6 opciones y para la
tercera posición 5 opciones y así sucesivamente. Luego, se tienen 7·6·5·4·3·2·1 = 7!
opciones.
Según lo anterior, la repisa inferior tiene 5 opciones, por lo tanto habrá 5! opciones.
Por lo tanto, habrá 7! · 5! formas distintas de ordenar a los osos y a los conejos.
62. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Azar
Habilidad Aplicación
Se debe calcular la probabilidad de obtener un divisor de 4 los cuales son (1, 2, 4). Por lo
tanto, los casos favorables serán sacar 2 (6 tarjetas) o un 4 (8 tarjetas) de un total de 16
tarjetas.
Por lo tanto, P(sacar 2 o 4) = posibles casos
favorables casos =
8
7
16
14 .
63. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Azar
Habilidad Aplicación
Si en total hay (n + 2) bolitas y (n – 3) de ellas son rojas, entonces las bolitas azules son
(n + 2) – (n – 3) = n + 2 – n + 3 = 5.
Luego, la probabilidad de obtener una bolita azul es P(azul) = posibles casos
favorables casos =
2n
5
.
64. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Azar
Habilidad Aplicación
I) Verdadera, ya que la probabilidad de obtener una bolita que NO sea roja, significa
que sea verde o azul, las cuales suman 12. Luego, P(no roja) =5
4
15
12 .
II) Falsa, ya que la probabilidad de obtener una bolita verde o roja es
P(verde o roja) = 15
8
15
53
.
III) Falsa, ya que la probabilidad de obtener una bolita azul es P(azul) = 15
7
Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera.
65. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Azar
Habilidad Aplicación
Según la tabla, el total de ampolletas es (75 + 55 + 80 + 40) = 250, de las cuales 75 son
de bajo consumo y de luz blanca.
Entonces P(bajo consumo y luz blanca) = posibles casos
favorables casos =
10
3
250
75 .
66. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Azar
Habilidad Aplicación
La variable X toma el valor obtenido en el dado. Entonces, puede tomar cualquier valor
del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. La variable Y toma el valor 1 si en la moneda sale cara y 2
si en la moneda sale sello. Entonces, puede tomar cualquier valor del conjunto {1, 2}.
Luego:
A) Que X e Y tengan el mismo valor es un suceso posible, ya que por ejemplo, tanto X
como Y pueden valer 1.
B) Que (Y – X) sea un número natural es un suceso posible, ya que si X = 1 e Y = 2,
entonces (Y – X) = (2 – 1) = 1, que es un número natural.
C) Que (X·Y) sea un número primo es un suceso posible, ya que por ejemplo, si X = 1 e
Y = 2, entonces (X·Y) = (1 · 2) = 2, que es un número primo.
D) Que (X + Y) sea un cuadrado perfecto es un suceso posible, ya que por ejemplo, si
X = 2 e Y = 2, entonces (X + Y) = (2 + 2) = 4, que es un cuadrado perfecto.
E) Que Y
Xsea un número irracional es un suceso imposible, ya que tanto X como Y solo
pueden tomar valores enteros, por lo cual la fracción que se obtiene siempre corresponde
a un número racional.
67. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Azar
Habilidad Comprensión
La Ley de los grandes números indica que si realizamos un experimento aleatorio una
gran cantidad de veces, la frecuencia relativa de un suceso se acercará al valor de su
probabilidad teórica de ocurrencia.
Por lo tanto, para que los valores f (frecuencia relativa) y p (probabilidad teórica) sean lo
más cercanos posible, la principal medida que se debe adoptar es hacer el valor de N
(número de veces que se realiza el experimento) lo más grande posible.
68. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Azar
Habilidad ASE
I) Verdadera, ya que los múltiplos de 7 del 1 al 20 son {7, 14}.
Entonces, P(múltiplo 7) = 10
1
20
2
II) Falsa, ya que los números primos del 1 al 20 son {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}.
Entonces, P(primo) = 5
2
20
8 .
III) Falsa, ya que los múltiplos de 3 del 1 al 20 son {3, 6, 9, 12, 15, 18}, y los
múltiplos de 5 del 1 al 20 son {5, 10, 15, 20}. Como 15 es múltiplo de 3 y de 5, se
debe restar de la probabilidad.
Entonces, P(múltiplo de 3 o de 5) = 20
9
20
1
20
4
20
6
Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera.
69. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Azar
Habilidad ASE
Al extraer dos fichas sin reposición es importante considerar que después de la primera
extracción disminuye en una unidad el total de fichas de ese color y esa figura, y también
disminuye en una unidad el total de fichas de la bolsa. Luego:
I) Verdadera, ya que la probabilidad de que ambas fichas sean negras numeradas se
obtiene P (1º ficha negra numerada) · P (2º ficha negra numerada) = 19
4
20
5
II) Falsa, ya que la probabilidad de que salga una ficha blanca y luego una ficha
negra se obtiene P (1º ficha blanca) · P (2º ficha negra) = 19
10
20
10
III) Falsa, ya que la probabilidad de que sea una ficha negra con una R y una ficha
blanca con una T se obtiene
P (1º ficha negra con R) · P (2º ficha blanca con T) = 19
1
20
1
Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera.
70. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Azar
Habilidad Aplicación
Si se sacan dos tarjetas al azar, sin reposición, entonces la probabilidad de que solo una
de ellas sea verde es igual a la probabilidad de que la primera sea verde y la segunda azul,
o la primera sea azul y la segunda verde. Es decir,
Caso 1: Probabilidad de primera bolita verde y segunda azul = 30
7
9
7
10
3
Caso 2: Probabilidad de primera bolita azul y segunda verde = 30
7
9
3
10
7
Por lo tanto, la probabilidad de que la primera bolita sea verde y la segunda azul, o que la
primera bolita sea azul y segunda verde es igual a 15
7
30
14
30
7
30
7
71. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Azar
Habilidad ASE
Como lanzan cuatro veces una moneda, entonces la única forma de empatar es cuando se
obtiene 2 caras y 2 sellos.
Utilizando el triángulo de Pascal:
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Luego, en 6 casos de un total de 16 se obtienen 2 caras y 2 sellos. Es decir, la
probabilidad de que empaten es 8
3
16
6 .
2
caras
y 2
sello
s
3
caras
y 1
sello
4
caras 1
cara
y 3
sello
s
4
sello
s
72. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Azar
Habilidad Aplicación
Dados los valores de F(x) podemos obtener los valores de f(x).
x F(x)
x < 0 0
0 ≤ x < 1 0,2
1 ≤ x < 2 0,5
2 ≤ x < 3 0,6
Como F es el resultado acumulado de los valores de f, entonces f(xi) = F(xi) – F(xi-1).
Por lo tanto, f(2) = F(2) – F(1) = 0,6 – 0,5 = 0,1
73. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Azar
Habilidad Aplicación
Definiremos los eventos:
A: Comprar en la tienda A
B: Comprar en la tienda B
PD: Pantalón defectuoso
Deseamos calcular la probabilidad de que Macarena haya comprado en la tienda B siendo
que el pantalón venía defectuoso. Es decir, el evento B está condicionado por el evento
PD.
)()(
)(
)(
)(
PDBPPDAP
PDBP
PDP
PDBP = )B / PB(P
Sabemos que la probabilidad de comprar en A es de un 40%, y de comprar en B es un
60%. Por otra parte, la probabilidad de que el pantalón salga defectuoso en la tienda A es
de un 8%, mientras que la probabilidad de que salga defectuoso de B es de un 3%. Por lo
tanto:
)()(
)(
)(
)(
PDBPPDAP
PDBP
PDP
PDBP = )B / PD(P
)()()()(
)()(
PDPBPPDPAP
PDPBP = )B / PD(P
03,06,008,04,0
03,06,0
= )B / PD(P
018,0032,0
018,0
= )B / PD(P
05,0
018,0 = )B / PD(P
50
18 = )B / PD(P
100
36 = )B / PD(P
Luego, la probabilidad de que Macarena haya comprado en la tienda B siendo que el
pantalón venía defectuoso es igual a 100
36, es decir, 36%.
74. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Números racionales
Habilidad ASE
(1) m es un número primo. Con esta información y la del enunciado no es posible
determinar el valor numérico de m, ya que ente 10 y 30 sin incluirlos, existe más de
un número primo.
(2) Cada dígito de m es un número primo. Con esta información y la del enunciado no
es posible determinar el valor numérico de m, ya que entre 10 y 30, sin incluirlos,
existe más de un número que cumple con esa característica, por ejemplo: 22, 23, 25
y 27.
Con ambas informaciones, es posible determinar el valor numérico de m ya que solo el
23 cumple con ambas condiciones.
Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas, (1) y (2).
75. La alternativa correcta es A.
Unidad temática Transformación algebraica
Habilidad ASE
(1) x + y = 8. Con esta información es posible determinar el valor numérico de la
expresión, ya que y)(x
y)(xy)(x
yx
yx 22
= (x + y) = 8.
(2) x – y = 2. Con esta información no es posible determinar el valor numérico de la
expresión, ya que y)(x
y)(xy)(x
yx
yx 22
= (x + y), del cual se desconoce el
valor.
Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.
76. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática
Habilidad ASE
(1) Intersecta al eje X en los puntos (1, 0) y (4, 0). Con esta información no es posible
determinar la concavidad de la parábola, ya que por propiedades solo se sabe que
a
b = (1 + 4) = 5 y
a
c = (1 · 4) = 4, lo que no permite determinar el signo de a.
(2) Intersecta al eje Y en el punto (0, 4). Con esta información no es posible determinar
la concavidad de la parábola, ya que ya que por propiedades solo se sabe que c = 4,
lo que no permite determinar el signo de a.
Con ambas informaciones, es posible determinar la concavidad de la parábola, ya que por
propiedades se sabe que a
c = (1 · 4) = 4 y c = 4, lo que significa que a = 1. Como a es
positivo, entonces la concavidad es hacia arriba.
Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas (1) y (2).
77. La alternativa correcta es C.
Unidad temática Geometría de proporción
Habilidad ASE
(1) El área del triángulo DEC es 38 cm2. Con esta información no es posible
determinar el área del triángulo ABC, ya que se desconoce la relación entre el
triángulo menor y el triángulo mayor.
(2) Los puntos medios de los lados AC y BC son D y E, respectivamente. Con esta
información no es posible determinar el área del triángulo ABC, ya que no se
entrega ningún valor.
Con ambas informaciones, es posible determinar el área del triángulo ABC, ya que se
tiene el valor del área del triángulo DEC y se sabe que DE es mediana. Entonces, el área
del triángulo ABC corresponde a cuatro veces el área del triángulo DEC.
Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas, (1) y (2).
78. La alternativa correcta es D.
Unidad temática Geometría de proporción
Habilidad ASE
Como los ángulos SRQ y SPQ son ángulos inscritos que subtienden el mismo arco,
entonces son ángulos congruentes. O sea, los ángulos TRQ y SPT son congruentes. Como
los ángulos PTS y QTR son ángulos opuestos por el vértice, entonces son ángulos
congruentes. Como los ángulos RSP y RQP son ángulos inscritos que subtienden el
mismo arco, entonces son ángulos congruentes. O sea, los ángulos TSP y RQT son
congruentes. Luego:
(1) PSRQ . Con esta información es posible determinar la congruencia, ya que
como TRQ SPT y RQT TSP. Por criterio ALA, ΔPTSΔRTQ .
(2) TSTQ . Con esta información es posible determinar la congruencia, ya que
como RQT TSP y QTR PTS. Por criterio ALA, ΔPTSΔRTQ .
Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola, (1) ó (2).
79. La alternativa correcta es E.
Unidad temática Azar
Habilidad ASE
(1) En la bolsa hay 10 bolitas. Con esta información no es posible determinar la
probabilidad de sacar una bolita blanca de la bolsa, ya que no se conoce el número
de bolitas blancas de la bolsa.
(2) La probabilidad de sacar una bolita negra es 0,2. Con esta información no es
posible determinar la probabilidad de sacar una bolita blanca de la bolsa, ya que
no sabemos si sólo hay bolitas blancas y negras en la bolsa.
Con ambas informaciones no es posible determinar la probabilidad de sacar una bolita
blanca de la bolsa, ya que no se conoce el número de bolitas blancas de la bolsa ni
sabemos si solo hay bolitas blancas y negras en la bolsa.
Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional.
80. La alternativa correcta es B.
Unidad temática Datos
Habilidad ASE
El total de notas del curso es (1 + 2 + 3 + 2 + x + 4 + 1) = (13 + x). Entonces, la
probabilidad de obtener un 4 es P(4) = posibles casos
favorables casos =
x13
2
. Luego:
(1) La moda de las notas del curso es un 5. Con esta información no es posible
determinar la probabilidad de que la nota sea un 4, ya que no se conoce el valor de
x, que es mayor o igual que 5.
(2) El promedio (o media aritmética) de las notas del curso es un 4,4. Con esta
información es posible determinar la probabilidad de que la nota sea un 4, ya que el
promedio se puede plantear
4,4x13
5x53
x13
1 · 74 · 6 x· 52 · 43 · 32 · 21 · 1x
. Al despejar x resulta
53 + 5x = 57,2 + 4,4x (5 – 4,4)·x = 57,2 – 53 0,6·x = 4,2 x = 6,0
2,4 = 7
Entonces, P(4) = posibles casos
favorables casos =
10
1
20
2
713
2
x13
2
.
Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.
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