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HiperestáticosMétodo de las Deformaciones
Ejercicio N° 6 de la Guía de Problemas Propuestos
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires
Para el pórtico de la figura hallar los valores de los momentos de
empotramiento:
Consideraciones Preliminares
El método propone fijar los nudos tanto angular como linealmente, analizando el efecto que tienen las cargas externas sobre la estructura; para luego imponer pequeños desplazamientos a las estructuras para cada una de las restricciones impuestas y calcular su efecto sobre los esfuerzos internos.
q
P
L1 L2
h
A B
C
Para el pórtico de la figura hallar los valores de los momentos de
empotramiento:
Finalmente, aplicando el principio de superposición, se determina el efecto conjunto. Por cada componente de desplazamiento desconocida se establece una ecuación de equilibrio.
Formando un sistema de ecuaciones que permite determinar dichas deformaciones y mediante las mismas obtener los esfuerzos en la estructura.
Consideraciones Preliminaresq
P
L1 L2
h
A B
C
Para el pórtico de la figura hallar los valores de los momentos de
empotramiento:
Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente empotradas y empotradas/articuladas
Consideraciones Preliminares
LPM
LPMbLPMa
PRbPRa
8
11
8
1;
8
1
2
1;
2
1
Barra doblemente empotrada cargada con una carga P en L/2
Para el pórtico de la figura hallar los valores de los momentos de
empotramiento:
Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente empotradas y empotradas/articuladas
Consideraciones Preliminares
Barra doblemente empotrada cargada con una carga uniforme
2
22
241
12;
12
2;
2
Lq
M
Lq
MbLq
Ma
Lq
RbLq
Ra
Para el pórtico de la figura hallar los valores de los momentos de
empotramiento:
Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente empotradas y empotradas/articuladas
Consideraciones Preliminares
Barra doblemente empotrada con un desplazamiento L0 en A
02
02
03
03
6
6
12
12
LL
JEMb
LL
JEMa
LL
JERb
LL
JERa
Para el pórtico de la figura hallar los valores de los momentos de
empotramiento:
Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente empotradas y empotradas/articuladas
Consideraciones Preliminares
Barra doblemente empotrada con un giro en A
L
JEMb
L
JEMa
L
JERb
L
JERa
2
4
6
6
2
2
Para el pórtico de la figura hallar los valores de los momentos de
empotramiento:
Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente empotradas y empotradas/articuladas
Consideraciones Preliminares
Barra articulada - empotrada con un desplazamiento L0 en A
02
03
03
3
3
3
LL
JEMb
LL
JERb
LL
JERa
Para el pórtico de la figura hallar los valores de los momentos de
empotramiento:
Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente empotradas y empotradas/articuladas
Consideraciones Preliminares
Barra articulada - empotrada con un giro en A
L
JEMb
L
JERb
L
JERa
3
3
3
2
2
Definimos el Sistema Fundamental:
Resolución
Procedemos a fijar angularmente el nudo 1 de forma tal que no pueda rotar. De esta forma la única restricción impuesta al sistema será 1 = 0. En consecuencia el sistema fundamental resultante será la que se muestra en la figura y estará conformado por una barra empotrada-articulada (barra horizontal A1), y dos barras empotrada-empotrada (barra vertical 1C y barra horizontal 1B).
q
P
L1 L2
h
A B
C
1
Definimos el Sistema Fundamental:
Resolución
Una vez hecho esto, analizaremos el efecto que tienen las cargas externas (q y P) sobre este sistema fundamental; para luego imponer pequeños desplazamientos a las estructuras para cada una de las restricciones impuestas (en este caso la rotación del nodo 1) y calcular su efecto sobre los esfuerzos internos. Aplicando el principio de superposición, se determina el efecto conjunto.
q
P
L1 L2
h
A B
C
1
Analizaremos el efecto que tienen las cargas
externas
Como puede observarse en la figura, las cargas exteriores deformarán a las barras 1B y 1C de acuerdo con el siguiente esquema…
…por lo tanto, de tablas, el momento en el vínculo B y en nodo 1 debido a la acción de las cargas exteriores serán: 12
20
),(1
0
),(1
LqMM PqBPqB
q
P
L1 L2
h
A B
C
1
con:2LL
M01B(q, P) M0
B1(q, P)
Analizaremos el efecto que tienen las cargas
externas
…mientras que, de tablas, el momento en el vínculo C y en nodo 1 debido a la acción de las cargas exteriores serán:
8
0
),(1
0
),(1
HPMM PqCPqC
q
P
L1 L2
h
A B
C
1
con: hH
M01B(q, P) M0
B1(q, P)
M01C(q, P)
M0C1(q, P)
0
),(1
0
),(1
0
),(1 PqCPqBPq MMM
812
2
20
),(1
hP
LqM Pq
Imponemos ahora pequeños desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo 1)
El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto será para la barra 1C (para un valor unitario de ):
L1 L2
h
A 1 B
1
C
L
JEC
41
1C
mC1
con: hL
L
JEmC
21
4EJL 6EJ
L2
6EJL22EJ
L
1
C
6EJL2
4EJL
1 B
6EJL2
2EJL
Imponemos ahora pequeños desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo 1)
… en tanto que para la barra 1B (para un valor unitario de ), será:
L1 L2
h
A 1 B
1
C
L
JEB
41
1C
mB1
mC1
1B
con:2LL L
JEmB
21
Imponemos ahora pequeños desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo 1)
… en tanto que para la barra A1 (para un valor unitario de ), será:L1 L2
h
A 1 B
1
C
L
JEA
31
1C
mB1
mC1
1B
1A
1A3EJ
L
3EJL2
3EJL2
CBAM 111
0
11
hLLJEM
443
21
0
11
con:1LL
Planteamos las ecuaciones de compatibilidad
Como el sistema se encuentra en equilibrio, los momentos generados por la combinación de las cargas exteriores y los giros del nodo 1 deberán ser nulos:
Y obtenemos el valor del giro del nodo 1:
00
11
0
1 MM P
hLLJE
hP
Lq
M
M P
443
812
21
2
2
0
11
0
1
Calculamos ahora los momentos de empotramiento
Aplicando el principio de superposición resulta:
L1 L2
h
A 1 B
C
1C
mC1
1B
1A
mB1q
P
L1 L2
h
A B
C
1M0
1B(q, P) M0B1(q, P)
M01C(q, P)
M0C1(q, P)
+
1
0
,1
0
1
0
,1
0
CPqCC
BPqBB
mMM
mMM
Hallemos ahora los efectos de un incremento de temperatura (de valor t)
Procedemos a fijar angularmente el nudo 1 de forma tal que no pueda rotar. De esta forma la única restricción impuesta al sistema será 1 = 0. En consecuencia el sistema fundamental resultante será la que se muestra en la figura:
coeficiente de dilatación libre de un prisma () que mide el alargamiento o acortamiento por unidad de longitud, cuando la temperatura varía 1 °C.
El efecto resultante será una variación de longitud (L)
11
11
121
LtL
HtL
LtL
A
C
B
C
1
1
L1 L2
h
A1 BA’
1’
ΔL1A + 1
Hallemos ahora los efectos de un incremento de temperatura (de valor t)
C
1
1
L1 L2
h
A1 BA’
1’
ΔL1A + 1
El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto será para la barra 1C (para un valor = 1):
L
JEmm CC
611
m’1C
m’C1
con:1 hL
12EJL3
12EJL3
6EJL2
6EJL2
Hallemos ahora los efectos de un incremento de temperatura (de valor t)
C
1
1
L1 L2
h
A1 BA’
1’
ΔL1A + 1
El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto será para la barra 1B (para un valor = 1):
L
JEmm BB
611
m’1C
m’C1
con:12 LL
m’1B
m’B1
12EJ
L3
12EJ
L3
6EJ
L2
6EJ
L2
Hallemos ahora los efectos de un incremento de temperatura (de valor t)
C
1
1
L1 L2
h
A1 BA’
1’
ΔL1A + 1
El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto será para la barra A1 (para un valor = 1):
21
3
L
JEm A
m’1C
m’C1
con:ALLL 11
m’1B
m’B1
1A 3EJL2
3EJL3
3EJL3
m’1A
BCAt mmmM 111
0
1
Imponemos ahora pequeños desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo 1)
El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto será para la barra 1C (para un valor unitario de ):
L1 L2
h
A 1 B
1
C
L
JEC
41
1C
mC1
con: hL
L
JEmC
21
4EJL 6EJ
L2
6EJL22EJ
L
1
C
6EJL2
4EJL
1 B
6EJL2
2EJL
Imponemos ahora pequeños desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo 1)
… en tanto que para la barra 1B (para un valor unitario de ), será:
L1 L2
h
A 1 B
1
C
L
JEB
41
1C
mB1
mC1
1B
con:2LL L
JEmB
21
Imponemos ahora pequeños desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo 1)
… en tanto que para la barra A1 (para un valor unitario de ), será:L1 L2
h
A 1 B
1
C
L
JEA
31
1C
mB1
mC1
1B
A1
1A3EJ
L
3EJL2
3EJL2
CBAM 111
0
11
hLLJEM
443
21
0
11
con:1LL
Planteamos las ecuaciones de compatibilidad
Como el sistema se encuentra en equilibrio, los momentos generados por la combinación de las cargas de origen térmico y los giros del nodo 1 deberán ser nulos:
Y obtenemos el valor del giro del nodo 1:
00
11
0
1 MM t
0
11
0
1
M
M t
Calculamos ahora los momentos de empotramiento
Aplicando el principio de superposición resulta:
L1 L2
h
A 1 B
C
1C
mC1
1B
A1
mB1
+
11
11
CCC
BBB
mmM
mmM
L1 L2
h
A 1 BA’
1’
ΔL1A + 1
m’1C
m’1B
m’B1
m’1A
C
1
1
m’C1
C
L1 L2
h
A 1 B
Hallemos ahora los efectos de un giro del empotramiento C (de valor )
Procedemos a fijar angularmente el nudo 1 de forma tal que no pueda rotar. De esta forma la única restricción impuesta al sistema será 1 = 0. En consecuencia el sistema fundamental resultante será la que se muestra en la figura:
El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto será para la barra 1C(para un valor de ):
L
JEm C
21
con: hL
L
JEmC
41
m’’1C
m’’C1
4EJL
6EJL2
6EJL2
2EJL 1
C
4EJL 6EJ
L2
6EJL22EJ
L
1
C
Imponemos ahora pequeños desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo 1)
El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto será para la barra 1C (para un valor unitario de ):
L1 L2
h
A 1 B
1
C
L
JEC
41
1C
mC1
con: hL
L
JEmC
21
6EJL2
4EJL
1 B
6EJL2
2EJL
Imponemos ahora pequeños desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo 1)
… en tanto que para la barra 1B (para un valor unitario de ), será:
L1 L2
h
A 1 B
1
C
L
JEB
41
1C
mB1
mC1
1B
con:2LL L
JEmB
21
Imponemos ahora pequeños desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo 1)
… en tanto que para la barra A1 (para un valor unitario de ), será:L1 L2
h
A 1 B
1
C
L
JEA
31
1C
mB1
mC1
1B
1A
1A3EJ
L
3EJL2
3EJL2
CBAM 111
0
11
hLLJEM
443
21
0
11
con:1LL
Planteamos las ecuaciones de compatibilidad
Como el sistema se encuentra en equilibrio, los momentos generados por la combinación de las cargas debidas a la rotación del vínculo y los girosdel nodo 1 deberán ser nulos:
…donde:
00
11
0
1 MM
CmM 1
0
1
y obtenemos el valor del giro del nodo 1:0
11
1
M
m C
Calculamos ahora los momentos de empotramiento
Aplicando el principio de superposición resulta:
L1 L2
h
A 1 B
C
1C
mC1
1B
1A
mB1
+
11
1
CCC
BB
mmM
mM
C
L1 L2
h
A 1 B
m’’1C
m’’C1
Finalmente hallemos los valores que se producen cuando sucede un asentamiento del
vínculo C (de valor )
Procedemos a fijar angularmente el nudo 1 de forma tal que no pueda rotar. De esta forma la única restricción impuesta al sistema será 1 = 0. En consecuencia el sistema fundamental resultante será la que se muestra en la figura:
C
L1 L2
h
A
1
B
1’
C’
1
1
C El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto será para la barra A1 (para un valor = 1):
21
3
L
JEm A
con:1LL
A
3EJL3
3EJL3
1
3EJL2
m’’’1A
Finalmente hallemos los valores que se producen cuando sucede un asentamiento del
vínculo C de valor
C
L1 L2
h
A
1
B
1’
C’
1
1
C
El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto será para la barra 1B (para un valor = 1):
211
6
L
JEmm BB
con:2LL
m’’’1A
12EJ
L3
12EJ
L3
6EJ
L2
6EJ
L2
B1
m’’’1B
m’’’B1
12EJL3
12EJL3
6EJL2
6EJL2
Finalmente hallemos los valores que se producen cuando sucede un asentamiento del
vínculo C de valor
C
L1 L2
h
A
1
B
1’
C’
1
1
C
El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto será para la barra 1C (para un valor = C):
211
6
L
JEmm CC
con: hL
m’’’1Am’’’1B
m’’’B1
m’’’1C
m’’’C1
BCA mmmM 111
0
1
Imponemos ahora pequeños desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo 1)
El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto será para la barra 1C (para un valor unitario de ):
L1 L2
h
A 1 B
1
C
L
JEC
41
1C
mC1
con: hL
L
JEmC
21
4EJL 6EJ
L2
6EJL22EJ
L
1
C
6EJL2
4EJL
1 B
6EJL2
2EJL
Imponemos ahora pequeños desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo 1)
… en tanto que para la barra 1B (para un valor unitario de ), será:
L1 L2
h
A 1 B
1
C
L
JEB
41
1C
mB1
mC1
1B
con:2LL L
JEmB
21
Imponemos ahora pequeños desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo 1)
… en tanto que para la barra A1 (para un valor unitario de ), será:L1 L2
h
A 1 B
1
C
L
JEA
31
1C
mB1
mC1
1B
1A
1A3EJ
L
3EJL2
3EJL2
CBAM 111
0
11
hLLJEM
443
21
0
11
con:1LL
Planteamos las ecuaciones de compatibilidad
Como el sistema se encuentra en equilibrio, los momentos generados por la combinación de las cargas debidas al desplazamiento del vínculo y los giros del nodo 1 deberán ser nulos:
…donde:
00
11
0
1 MM
y obtenemos el valor del giro del nodo 1:0
11
0
1
M
M
BCA mmmM 111
0
1
Calculamos ahora los momentos de empotramiento
Aplicando el principio de superposición resulta:
L1 L2
h
A 1 B
C
1C
mC1
1B
1A
mB1
+
11
11
CCC
BBB
mmM
mmM
C
L1 L2
h
A1
B
1’
C’
1
1
C
m’’’1Am’’’1B
m’’’B1
m’’’1C
m’’’C1
CCCCC
BBBBB
MMMMM
MMMMM
0
0… y para una combinación de exceso de vínculos, ΔT, y desplazamiento de vínculos será:
Bibliografía
Estabilidad II - E. FliessIntroducción a la estática y resistencia de materiales - C. RaffoMecánica de materiales - F. Beer y otrosResistencia de materiales - R. Abril / C. BenítezResistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana SantanaResistencia de materiales - V. FeodosievResistencia de materiales - A. Pytel / F. SingerResistencia de materiales - S. Timoshenko
Muchas Gracias
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