sistemas de control en bucle abierto y cerrado

SISTEMAS DE CONTROL EN BUCLE ABIERTO Y CERRADO

Tema 3

Indice

Función de Transferencia de Pulsos en Bucle AbiertoFunción de Transferencia de Pulsos en Bucle CerradoTransformada en Z ModificadaSistemas de Control Discreto con Retardo

Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Abierto

La función de transferencia de Pulsos permite analizar los sistemas de control muestreados con la transformada en Z, y se define como la relación entre la transformada en Z de la salida en los instantes de muestreo, y la transformada en Z de la entrada muestreada

e t( ) e t* ( )

T1 − −e

s

Ts c t( )G sp ( )

T

c t* ( )E s( ) E s* ( )

C s* ( )

G s( )

1 244444 344444

G ses

G s eG s

s

Ts

pTs p( ) ( ) ( )

( )=

−⋅ = − ⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−−1

1

La función de trasnferencia en bucle abierto sera

Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Abierto

La transformada de Laplace de la salida es

y muestreando idealmente

y aplicando la periodicidad de la transformada estrellada

C s G s E s( ) ( ) ( )= ⋅ ∗

C s G s E sT

C s j ksk

∗ ∗ ∗

=−∞

∞

= ⋅ = ⋅ +∑( ) [ ( ) ( )] ( )1

ω

C sT

G s j k E s j ks sk

∗ ∗

=−∞

∞

= ⋅ + ⋅ +∑( ) ( ) ( )1

ω ω

C s E sT

G s j k E s G ssk

∗ ∗ ∗ ∗

=−∞

∞

= ⋅ ⋅ + = ⋅∑( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

ω

Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Abierto

Aplicando la equivalencia s-z

que es la función de transferencia de pulsos, relación entre C(z) y E(z) en los instantes de muestreo.

Para calcular G(z), suponiendo la descomposición de G(s) en

C s E s G ss

Tz s

Tz s

Tz

∗=

∗=

∗=

= ⋅( ) ( ) ( )ln ln ln

1 1 1

C z E z G z G zC zE z

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

= ⋅ ⇒ =

G s H s F s( ) ( ) ( )= ⋅ ∗

Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Abierto

con H(s) función de s y F*(s) función de de la forma

entonces muestreando

eTs

F s f f e f eTs Ts∗ − −= + ⋅ + ⋅ +( ) 0 1 22 K

G s H s F s G z H z F z∗ ∗ ∗= ⋅ ⇒ = ⋅( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

{ }H z Z H s( ) ( )=

F z F se zTs( ) ( )= ∗

=

Para obtener se pueden aplicar varios métodos:{ }Z H s( )

Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Abierto

1. Expandir H(s) en fracciones simples y aplicar la equivalencia entre tablas s y tablas z para obtener fracciones simples de H(z).

2. Hallar , y evaluar:

Función de Transferencia de Pulsos en Cascada

Se pueden considerar otras configuraciones donde aparecen más de una planta G1(s) y G2(s), que incluyen las funciones de transferencia de los HOLD0.

h t L H s( ) ( ( ))= −1

H z h kT z k

k( ) ( )= ⋅ −

=

∞

∑0

Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Abierto

La presencia o ausencia de un muestreador de entrada es esencial para determinar la función de transferencia de pulsos

Configuración 1:

G s1 ( )T

E s( ) E s* ( )G s2 ( )

C s( )

T

A s( ) A s* ( )

C z G z G z E z( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅2 1

Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Abierto

Configuración 2:

G s1 ( )T

E s( ) E s* ( )G s2 ( )

C s( )

C s G s G s E s C z G G z E z( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅∗1 2 1 2

{ }G G z Z G s G s G z G z1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ ≠ ⋅

Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Abierto

Configuración 3:

No existe por tanto una función de transferencia de pulsos

G s1 ( )E s( )

G s2 ( )C s( )

T

A s( ) A s* ( )

C s G s A s G z G E z( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ = ⋅ ⋅∗2 2 1

Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Abierto

Sistema en Lazo Abierto con Controlador Digital

El esquema incluye un computador que realiza un procesamiento

Se tratará de hallar la función de transferencia de pulsos del sistema, en bucle abierto

con

c t( )G sp ( )

e t( ) e kT( )

TE s( ) E s* ( ) C s( )

1− −es

Ts u t( )

U s( )

m kT( )

M s* ( )

ControladorD z( )

)()()(

zEzCzGBA =

M z D z E z( ) ( ) ( )= ⋅

Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Abierto

C s G s U s G ses

M sp p

Ts

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ = ⋅−

⋅−

∗1

C s G ses

D s E sp

Ts

( ) ( ) ( ) ( )= ⋅−

⋅ ⋅−

∗ ∗1

Aplicando la transformada estrellada

C sG s

se D s E sp Ts∗ −

∗

∗ ∗= ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ ⋅( )

( )( ) ( ) ( )1

( ) )()(1)( zEzD

G(z)

es(s)G

ZzC Tsp ⋅⋅⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

444 3444 21

Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Abierto

La función de transferencia de pulsos será

lo cual no modifica el procedimiento de obtención de la función de transferencia de pulsos de G(z)

C zE z

G z D z( )( )

( ) ( )= ⋅

D z( )T

E s( ) E z( )G z( )

C z( )M z( )

Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Cerrado

En un sistema muestreado en lazo cerrado, la presencia o ausencia de un muestreador de salida dentro del bucle determina la diferencia de comportamiento del sistema.

Se tratará de hallar la función de transferencia de pulsos del sistema, en bucle cerrado

G s( ) T

E s( ) E z( )

H s( )

C z( )R s( ) +

- T

)()()(

zRzCzGBC =

Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Cerrado

Tomando el error

por tanto

E s R s H s G s E s( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − ⋅ ⋅ ∗

E s R s GH s E s∗ ∗ ∗ ∗= − ⋅( ) ( ) ( ) ( )

E sR sGH s

∗∗

∗=+

( )( )

( )1

C s G s E sG s R s

GH s∗ ∗ ∗

∗ ∗

∗= ⋅ =⋅

+( ) ( ) ( )

( ) ( )( )1

C zR z

G zGH z

( )( )

( )( )

=+1

Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Cerrado

Configuración 1:

G s( )T

E s( ) E z( )

H s( )

C z( )R s( ) +

- T

C zR z

G zG z H z

( )( )

( )( ) ( )

=+ ⋅1

Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Cerrado

Configuración 2:

T

E s( ) E z( )

H s( )

R s( ) +

-

C z( )G s1 ( )

TG s2 ( )

T

C zR z

G z G zG z G H z

( )( )

( ) ( )( ) ( )

=⋅

+ ⋅1 2

1 21

Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Cerrado

Hay otras configuraciones en las cuales no es posible separar de la dinámica del sistema, y no es posible definir GBC(z)

E s( )

H s( )

R s( ) +

-G s1 ( ) T

G s2 ( )C z( )

T

G s( )

T

E s( )

H s( )

C z( )R s( ) +

- T

Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Cerrado

Se tratará de hallar la función de transferencia de pulsos del sistema, en bucle cerrado cuando se incluye un controlador

c t( )G sp( )

e t( ) e kT( )

TE s( ) E s*( ) C s( )1− −e

s

Ts u t( )

U s( )

m kT( )

M s*( )

ControladorD z( )

r t( )

R s( )

+

-

G s( )

1 244444 344444

C s G s D s E s( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅∗ ∗

Función de Transferencia de Pulsos en Bucle Cerrado

Aplicando la transformada estrellada a C(s)

)()()()( sEsDsGsC ∗∗∗∗ ⋅⋅=

))()(()()()()()()( ******** sCsRsDsGsCsCsRsE −⋅⋅=⇒−=

)()(1)()(

)()(

**

**

*

*

sGsDsGsD

sRsC

⋅+⋅

=

)()(1)()(

)()(

zGzDzGzD

zRzC

⋅+⋅

=

Transformada en Z Modificada

El análisis de sistemas en lazo abierto desarrollado no es válido cuando el sistema presenta retardos. Es necesario definir la Z de una función con retardo, que va a llamarse Z modificada.

Sea una señal retardada con )()( TtuTte e ∆−⋅∆−

{ } { } ),()()()()(1

∆=⋅∆−=⋅=∆−⋅∆− −∞

=

∆− ∑ zEzTnTeesEZTtuTteZ n

n

Tse

,10 ≤∆≤

t

e t( )

0

1

t

e t T( )− ∆

0

1

∆T T 2T

Transformada en Z Modificada

La transformada en Z modificada se define a partir de E(z,∆), cambiando , y viene dada por

La Z modificada cumple dos propiedades:

1.

2.

∆ → − ≤ ≤1 0 1m m,

E z m E z e mT z e m T z e m T zm( , ) ( , ) ( ) (( ) ) (( ) )= = ⋅ + + ⋅ + + ⋅ += −

− − −∆∆ 1

1 2 31 2 K

{ }E z m Z E s e Z E sTsm

( , ) ( ) [ ( )]mod= ⋅ =−

= −

∆

∆ 1

E z E z e( , ) ( ) ( )1 0= −

E z z E z( , ) ( )0 1= ⋅−

Transformada en Z Modificada

Sistemas de Control Discreto con Retardo

La transformada modificada se utiliza para determinar la función de transferencia de pulsos de sistemas muestreados con retraso

Haciendo

T

1− −es

Ts)(sG

E s( ) E s* ( ) C s( )stoe−

C s G s e E st s( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅− ∗0

{ }C z Z G s e E zt s( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅− 0

t lT T l0 0 1= + < < ∈∆ ∆ Ζ, ,

Sistemas de Control Discreto con Retardo

{ }C z Z G s e e E zlTs Ts( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅ ⋅− −∆

{ }C z z Z G s e E zl Ts( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅ ⋅− −∆

La respuesta se obtiene según

C z z G z m E z ml( ) ( , ) ( ),= ⋅ ⋅ = −− 1 ∆