sistema de particulas

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MARCO IMERCIAL

SISTEMAS DE PARTICULASSISTEMAS DE PARTICULAS

Definición:

Un sistema de partículas esta formado por N partículas

Un marco imercial es donde se

cumple la ley de newton

A1 A2

A3

Ai

ANO

ri

NOTACION:

OAi = ri vector de posición de Ai

Si derivamos el vector posición ri Obtenemos:

Vi = Velocidad de Ai Ai

Derivando la Vi Obtenemos:

ai = aceleración de Ai Ai • Cada partícula tiene masa;

mi = masa de partícula de Ai

Fuerzas que actúan en el sistema:

Son fuerzas de tipo interacción gravitacional

m1 m2

F1,2 F2,1

Es una fuerza dirigida

a lo largo de la línea de acción

que ejerce m2 sobre m1 y viceversa.

Por principio de acción y reacción la fuerza

que ejerce m1 sobre m2 es igual y contraria.

Fuerzas internas y externas de un sistema:

A B

C

EXT.

EXT.

INT. Fi = Resultante de todas las fuerzas exteriores sobre Ai

E

Ai Fi = Resultante de todas las fuerzas interiores sobre Ai

I

De manera que;Sobre la partícula i actúan resultantes de

FiE Fi

Iy

Fi = Fi + FiE I

1.1. Cantidad lineal de movimiento:Cantidad lineal de movimiento:

Conceptos fundamentales de desarrollo:Conceptos fundamentales de desarrollo:

Cantidad lineal de movimiento y cantidad angular de movimiento

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MARCO IMERCIAL

Ai

O

ri Utilizaremos la 2da ley de newton para cada partícula del sistema F = m.a

Para: A1 = F1 = m1 a1 =

A2 = F2 = m2 a1 =

A1

A2

... Ai = Fi = mi a1 = Ai

... AN= FN= mN a1 = AN

La fuerza que actúa sobre la partícula F1 la podemos dividir:

F1 + F1E I

F2 + F2E I

Fi + FiE I

FN + FNE I

= a1Ai = + E I

+

(a)

Demostraremos que = 0 I

= F1,2 + F1,3 +. . . . . F1,i +. . . . . .F1,N = (n-1)

I= F1 + F2 + F3. . . . . . . . . . . . . . .FN = 0

I I I I

= F2,1 + F2,3 +. . . . . F2,i +. . . . . .F2,N

= F3,1 + F3,2 +. . . . . . . . . . .F3,N

= Fi,1 + Fi,2 +. . . . . . . . . .Fi,N = (n-1)

= FN,1 + FN,2 +. . . . . . . .FN,i

IF1

IF2

IF3

IFi

IFN

...

...

Por principio de acción y reacción

la fuerza que ejerce una partícula sobre otra es

igual y contraria.

0

a1Ai =

E E+

Retomamos la ecuación anterior (a):

Para calcular este termino pasamos a ciertas definiciones.

Momento lineal de una partícula (q):Es el producto del (r) vector posición con la masa (m) de la partícula Ai.

1

Ai

O

ri

q0 =Momento linealDe un sistema = ri = OAi

1

Ai

O

ri

P

Ri

El momento lineal se definirá respecto de un punto cualquiera p.

Ri = PAi

Ri es el vector posición de PAi.

• Hacemos una relación entre q0 y qP

q0 =

De la misma manera ri y Ri tal que ri = OP + Ri

= +

q0 = qp + OP (b)

Ahora definiremos:

Centro de masa de un sistema material:El punto c es el centro de masa del sistema sí el momento lineal del sistema respecto al punto c es cero (0).

C

Utilizaremos la ecuación (b) para hallar la expresión que nos permita determinar el centro de masa del sistema:

q0 = = qp + OP

Si hacemos P = C ; qC = 0

= qC + OC

0

OC =

Cantidad lineal de movimiento de una partícula:Cantidad lineal de movimiento de una partícula:Es el producto de la masa (m) por la velocidad (v) de la partícula del sistema.

AiVi

=Ai

C.L.M del sistema

Ahora trabajaremos con la formula del centro de masa para encontrar la expresión final:

OC = Derivando:

dOC

dt1

M =

ddt

( )1

C

dt= = M V1 = dri

1

Ai

dt= = M V1 = dri

1

Ai

Finalmente Derivamos la expresión:

Obteniendo la expresión final:

que nos permite calcular las fuerzas externas

E= M a1 =

C

dtd

1

A partir de este principio podemos llegar a un principio fundamental de la mecánica que es el principio de la conservación de la cantidad lineal de movimiento

si sobre un sistema no actúan fuerzas exteriores, la cantidad lineal de movimiento (C.L.M ) no cambia

E= 0 =

dtd

1

= Cte.