sincronización, introducción a las ciencias no lineales

8/16/2019 Sincronización, introducción a las ciencias no lineales

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  UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO 

CENTRO DE FÍSICA APLICADA Y TECNOLOGÍA AVANZADA 

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN 

LICENCIATURA EN TECNOLOGÍA 

XIV COLOQUIO DE TECNOLOGÍA 

FMA 08 

Sincronización, un concepto universal en las ciencias

nolineales. 

L. E. Beltran González*§

, R . Quintero Torres* 

* Centro de Física Aplicada y Tecnología Avanzada, UNAM. 

§E-mail: luisebgonzalez@gmail.com 

Resumen 

En este trabajo se presenta una introducción al fenómeno de sincronia y simpatía entre sistemas

dinámicos, como ejemplo de sistemas nolineales autosostenidos, presentamos al péndulo paramétrico y oscilador de Van der Pol, analizando sus ciclos límite, se modeló un diodo tunel y

se implementó en el diseño de un oscilador autosostenido electrónico. 

Abstract 

This paper presents an introduction to the phenomenon of synchronicity and sympathy betweendynamic systems  presented as an example of self -sustaining nonlinear systems, we present the

 parametric pendulum and Van der Pol oscillator, analyzing their limit cycles. A diode tunnel wasmodeled and implemented in the design of an electronic self -sustained oscillator. 

Palabras clave: simpatía, sincronización, osciladores, Van der Pol. 

1  Introducción 

La sincronización es un fenómeno que

encontramos en diferentes dispositivos: un

reloj de péndulo, instrumentos musicales,

generadores eléctricos, sistemas de energía

eléctrica y láseres. Se han encontrado diversas

aplicaciones relacionadas con este fenómeno

en la electrónica e ingeniería mecánica. [1] 

En 1967 Christiaan Huygens (1629-1695),

observó que un par de péndulos, colgados de

un soporte común se sincronizaban, después

de un tiempo, “con una sincronía tal que no se

observaba el menor retraso de uno con

respecto al otro y el sonido de los péndulos

 siempre se escuchaba simultáneamente. Aún

más, si esta concordancia se perturbaba por

alguna interferencia, sola se restablecía

después de un tiempo corto”. [2] 

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Memorias de Estancias de Investigación 2016-1 

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La sincronización puede ocurrir incluso en

sistemas vivientes, en 1729 Jean-Jacques

Dortous de Mairan, demostró que los sistemas biológicos contienen un reloj interno que

 provee al sistema con la información del

cambio entre el día y la noche. [1] 

Edward Appleton y Balthasar van der Pol

Demostraron que la frecuencia de un

generador puede ser arrastrado, o

sincronizado, por una señal externa débil de

una frecuencia ligeramente diferente. Estos

estudios fueron de gran importancia prácticadebido a los generadores de triodo se

convirtieron en los elementos básicos de los

sistemas de comunicación por radio.[1] 

2  Antecedentes 

Definimos la sincronización como el ajuste de

ritmos de objetos oscilantes debido a su

interacción  [1]. Éste fenómeno únicamente

 puede presentarse en sistemas no linealesautosostenidos. 

Dos factores importantes  para la

sincronización son: la fuerza de aco plamiento

y la desafinación o simpatía. El primer factor

hace referencia a que tan fuerte o débil es la

interacción, es decir la rigidez en que se unen

los sistemas. Si unimos dos relojes por medio

de una viga (figura 1) demasiado rígida, éstaevitará que las vibraciones de un reloj afecten

al otro. El segundo factor es la desafinación o

diferencia de frecuencias, que se divide en

dos: frecuencias antes del acoplamiento ( f  ) y

frecuencias después del acoplamiento (F). 

! !   !  !! ! !!  (1) 

!!   ! !!!!!

(2) 

En donde  !! y  !!  son las frecuencias de dos

sistemas aislados y, !!  y !!  son las

frecuencias de los sistemas acoplados entre sí. 

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2.1 Osciladores autosostenidos 

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Memorias de Estancias de Investigación 2016-1 

Los osciladores autosostenidos tienen

almenos cuatro características fundamentales: 

•  Es un sistema activo que contiene

energía y la convierte en movimiento. 

•  Continúa generando el mismo

movimiento hasta que la energía seacaba. 

•  Es un sistema dinámico autónomo. 

•  Aunque éste sea perturbado regresa a

su ritmo original. 

Como ejemplo de este tipo de sistemas

tenemos al oscilador de Van der Pol, péndulo

 paramétrico. 

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2.3 

Sincronización no es resonancia 

A menudo se suele confundir entre

sincronización y resonancia. La resonancia

unicamente es vista cuando la frecuencia

externa es cercana a la eigenfrecuencia delsistema, esto  puede llegarse a presentar en

sistemas lineales.

!   !   !!

!!!!!!"#!!!!

  (3) 

Se presenta resonancia en un oscilador

armónico cuando en la ecuación (3), ! !  !

!

 provocando que !   !   !  !. 

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 !"#$%#& !()*)+,$-) ." +)/,!.) 0123 

En cambio la sincronización únicamente

ocurre en sistemas nolineales autosostenidos y

la eigenfrecuencia es independiente de la

amplitud. 

2.3 Espacio fase 

Para un péndulo podemos utilizar dos

variables para conocer su estado,  x(t)  para su

 posición y  x’(t)  para su velocidad angular, al

espacio conformado por estas dos variables lo

llamamos espacio fase, podemos graficar  x(t) 

contra x’(t)  para obtener una representación en

el espacio fase. 

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Memorias de Estancias de Investigación 2016-1 

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2.3.1 Ciclo límite 

Un ciclo límite es una trayectoria cerrada

aislada es decir no hay otras trayectoriascerradas dentro de ésta, las trayectorias

cercanas al ciclo límite tienden a acercarse al

ciclo límite. Un ciclo límite únicamente se

 presenta en sistemas no lineales, los sistemas

lineales aunque tienen trayectorias cerradas no

representan un ciclo límite sino corresponden

a la dinámica de un punto fijo. 

El estado de dos  péndulos lineales acoplados

 por un soporte con una constante k deacoplamiento está descrito por  las ecuaciones 

(4 y 5), este arreglo dependiente de las

condiciones iniciales  x(0 ) y  x’ (0 ), por lo tanto

no es un sistema autónomo. 

!!!!!! !!!!! ! !   !!!! !!!!!   ! !  (4) 

!!!!!! !!!!! ! !   !!!! !!!!!   ! !  (5) 

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2.4 Amortiguamiento negativo 

Este tipo de amortiguamiento corresponde a

una fuerza que actúa en fase con la velocidad,

 por ejemplo para el  péndulo paramétrico

figura 3, su longitud cambia cada periodo de

oscilación probocando que la amplitud crezca

exponencialmente, finalmente la amplitud

será el resultado de la intersección de dos

curvas: la energía proveída por el sistema, y la

energía disi pada. 

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Memorias de Estancias de Investigación 2016-1 

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Esta función la integramos a Simscape por

medio de un bloque, que creamos con las

ecuaciones (6, 7, 8 y 9). Y realizamos el

arreglo de la figura 9 en Matlab utilizando el

módulo de Simulink y Simscape. 

5 Análisis 

Realizando el análisis  utilizando Leyes de

Kirchoff se obtiene la ecuación (10), la cual es

semejante a la ecuación para un oscilador de

Van der Pol [3]. 

!!!"# !!!"#

!! !!   ! !  !"#$ 

En donde 

la frecuencia característica del

circuito es:: 

!  !

!

!" 

6 Conclusión 

Con el arreglo de la figura 9, esperamos poder

obtener oscilaciones periódicas que al ser

 perturbadas externamente siempre regresen a

su frecuencia original dada por el ciclo llímite

característico, teniendo esto controlado

acoplaremos dos osciladores de Van der Pol,

 para analizar la frecuencia y la fase resultante

de su interacción. 

Referencias 

[1] Pikovsky, A., Rosenblum, M. and Kurths,

J. (2003). Synchronization. Cambridge:

Cambridge Univ. Press. 

!"#  Quintero-Torres, R., Ocampo, M.A.,

Millán, B., Aragón, J.L., &  Naumis, G.G..

(2007). Oscilaciones, armonía y simpatía.

Revista mexicana de física E, 53(1), 67-81.

Recuperado en 23 de febrero de 2016, de

http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=s

ci_arttext&pid=S1870-

35422007000100009&lng=es&tlng=es. 

[3] Jenkins, A. (2013). Self -oscillation.

 Physics Reports, 525(2), p.179. 

[4] Engineergirl.org. (2016). Tacoma Narrow

 Bridge. [online] Available at:

http://www.engineergirl.org/File.aspx?id=42

61 [Accessed 17 May 2016]. 

[5] M. Ta, C. (2004). New analytic DC

models for tunnel diode and resonanttunneling diode. 

Bibliografía 

Benıtez, S., Aguilar, L. and Acho, L. (2005).

Synchronization of Mechanical Systems witha New Van der Pol Chaotic Oscillator. (1),

 p.2. 

Kriplani, N., Bowyer, S., Huckaby, J. andSteer, M. (2011). Modelling of an Esaki

Tunnel Diode in a Circuit Simulator. Active

and Passive Electronic Components, 2011,

 pp.1-8. 

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Moysis, L., Tsiaousis, M., Charalampidis, N.,

Eliadou, M. and Kafetzis, I. (2015). AnIntroduction to Control Theory Applications

with Matlab. [online] (1), p.117.

Sakaguchi, H. (2002). Stochastic

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