1.introducción 2.casos simples de reducción del orden 3.ecuaciones lineales homogéneas con...
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1. Introducción
2. Casos simples de reducción del orden
3. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
4. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes
5. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes variables
6. El método de las series de potencias
2
2
0
Resolver la ecuación
2 0
alrededor de 0
d y dyx y
dx dxx
2
02 2 0 alrededor de 0d y dy
x y xdx dx
Como los coeficientes y 2
son analíticos en todo el plano complejo,
es claro, que todos los puntos del plano
complejo son puntos ordinarios de esta
ecuación.
P x x Q x
C
0
1
0
22
20
2 1
2 1 0
1
1 2 0
nn
n
nn
n
nn
n
n n nn n n
n n n
y x a x
dyna x
dx
d yn n a x
dx
n n a x x na x a x
2
02 2 0 alrededor de 0d y dy
x y xdx dx
2
2 1 0
20 0
20
1 2 0
2 1 2 0
2 1 0
n n nn n n
n n n
n nn n
n n
nn n
n
n n a x na x a x
n n a x n a x
n n a a x
2 1
2 1 0
1 2 0n n nn n n
n n n
n n a x x na x a x
2
02
20
2 0 alrededor de 0
2 1 0nn n
n
d y dyx y x
dx dx
n n a a x
2 1n
n
aa
n
2 20
2 1 01
n nn n n
n
an n a a x a
n
13
3 15
5 17
7 19
2
4 4 2
6 6 4 2
8 8 6 4 2
aa
a aa
a aa
a aa
02
024
046
6 08
1
3 3 1
5 5 3 1
7 7 5 3 1
aa
aaa
aaa
a aa
We emphasize that it is not particularly important if we are unable to determine the general coefficient an in terms of a0 and a1. What is essential is that we can determine as many coefficients as we want. Thus we can find as many terms in the two series solutions as we want, even if we cannot determine the general term. While the task of calculating several coefficients in a power series solution is not difficult, it can be tedious. A symbolic manipulation package can be very helpful here; some are able to find a specified number of terms in a power series solution in response to a single command.Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. Ninth edition.William E. Boyce &Richard C. DiPrima
2 20
2 1 01
n nn n n
n
an n a a x a
n
13
3 15
5 17
12 1
2
4 4 2
6 6 4 2
12 !!
1,2,3,...
n
n
aa
a aa
a aa
aa
n
n
02
024
046
02
1
3 3 1
5 5 3 1
12 1 !!
1,2,3,... ;
n
n
aa
aaa
aaa
aa
n
n
2
02
0 12 2 1
2 0 alrededor de 0
1 ; 1,2,3,... 1 ; 1,2,32 1 !! 2 !!
n n
n n
d y dyx y x
dx dxa a
a n a nn n
21
1
2 12
1
11
2 1 !!
1
2 !!
n
n
n
n
n
n
y x xn
y x x xn
2
02 2 0 alrededor de 0d y dy
x y xdx dx
21
1
2 12
1
11
2 1 !!
1
2 !!
n
n
n
n
n
n
y x xn
y x x xn
1
1 0 10 0
0
0
Si 0, y si, para un valor fijo de ,
lim lim ,
entonces la serie de potencias converge
absolutamente para aquellos valores de tales
que 1 y diverge si
n
n
n nnn n
nn
a x
a x x ax x x x L
aa x x
x
x x L x x
0
0
1.
Si 1, la prueba no nos da ninguna
conclusión.
L
x x L
21
1
11
2 1 !!
n
n
n
y x xn
1
2 22
2
2
1
2 1 !! 2 1 !! lim lim lim 0
(2 1)!! 1 21
2 1 !!
el radio de convergencia es infinito.
n
n
nn n nn
xxn n
xn n
xn
2 12
1
1
2 !!
n
n
n
y x x xn
1
2 32
2
2 1
1
2 2 !! 2 !!lim lim lim 0
(2 2)!! 2 11
2 !!
el radio de convergencia es infinito.
n
n
nn n nn
xn n x
xn n
xn
2
02 2 0 alrededor de 0d y dy
x y xdx dx
2 1 2 1 22
1 0 0
2 22
20 0 0
2
1 1 1
2 !! 2 !! 2 !!
pero
2 !! 2 !
así que
1 1 1
2 !! ! 2 ! 2
exp2
n n n
n n n
n n n
n
nn n nnn
nn n n
y x x x x x xn n n
n n
x xy x x x x x
n n n
xx
2
02 2 0 alrededor de 0d y dy
x y xdx dx
21
1
22 1
21
11
2 1 !!
1exp
2 !! 2
n
n
n
n
n
n
y x xn
xy x x x x
n
21
1
11
2 1 !!
n
n
n
y x xn
6 4 2 2 4 6
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1 .0
2 12
1
1
2 !!
n
n
n
y x x xn
6 4 2 2 4 6
0 .6
0 .4
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
6 4 2 2 4 6
0 .6
0 .4
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
2
2 exp2
xy x x
6 4 2 2 4 6
0 .6
0 .4
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
2 12
1
1
2 !!
n
n
n
y x x xn
2
2 exp2
xy x x
2
12 0 dada la solución d y dy
b x c x y y xdxdx
0 0
1 21
1 expx
x
y x y x b d dy
2 22 2
0 0 0
22
0
22 22 2 2
12
22
1exp exp2
x xx x
x x
xx
x
e ey x xe d d xe d
exe d
0 0
2
1 21
2
02
22
1 exp
2 0 alrededor de 0
x
x
x
y x y x b d dy
d y dyx y xdxdx
y x xe
22
2 22 2
22
1122
2
1 11 12 22 2
1122
1
1
e dd e dd
e d ee d e dd
e e d
22
0
2 22
22 2
2 2
12
21 2
1 112 22
2
11 12
2 2 2 21
0
1
xx
x
x xx x
ey x xe d
e ed e d
ey x xe e d xe e dx
0 0
2
1 21
2
02
22
1 exp
2 0 alrededor de 0
x
x
x
y x y x b d dy
d y dyx y xdxdx
y x xe
2
02 2 0 alrededor de 0d y dy
x y xdx dx
221
2 2 21
1 0
22 1
21
11 1
2 1 !!
1exp
2 !! 2
n xxn
n
n
n
n
y x x xe e dn
xy x x x x
n
22
22
2 2
212
0 0
22
2
0
1 2 2 22 2
2
1 2 1 2 Dawson2
xx
xx
d d d d d
e d e d
xy x xe e d x
0 0
2 22
1 21
2
02
12 2 2
1 2
0
1 exp
2 0 alrededor de 0
1 ;
x
x
xx x
y x y x b d dy
d y dyx y xdxdx
y x xe e d y x xe
2
21 2 22 Dawson
2
x xy x c xe c c x
2
2
02
21 2
2 0 alrededor de 0
1 2 Dawson ; 2
x
d y dyx y xdxdx
xy x x y x xe
2 2
0( ) exp exp
xF x x y dy
6 4 2 2 4 6
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1 .0
1 2 Dawson2
xx
6 4 2 2 4 6
0 .2
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1 .0
1 2 Dawson2
xx
2
1
11
2 1 !!
n
n
n
xn
23 2
2
0
Resolver la ecuación
0
alrededor de 0
d y dyx x ydx dx
x
23 2
02Resolver la ecuación 0 alrededor de 0
d y dyx x y xdx dx
0
2Dado que =1 y que
, el punto 0 es un
punto sin
1, que
no es analític
gular irregular y el
a en 0
método no sirve.
x Q xxP
xx
x
x
2
2 3
1 1 0d y dy
ydx x dx x
23 2
02Resolver la ecuación 0 alrededor de 0
d y dyx x y xdx dx
22 2
2
Viendo la solución de Mathematica se le "ocurre"
a uno hacer el cambio de variable
2
que en efecto transforma la ecuación en
0
que es la ecuación de Bessel modificada de orden 0.
zx
d y dyz z z ydz dz
2
2
0
Resuelve
0
alrededor de 1
d y dyx xydx dx
x
2
02
10 alrededor de 1
d y dyy x
dx x dx
Es claro, que el punto 0
NO es un punto ordinario de la
ecuación. Sin embargo, todos
los demás puntos si son puntos
ordinarios, en particular, 1 es
un punto ordinario de esta ecuación.
x
x
0
1
1
22
22
2 1
2 1 0
1
1
1 1
1 1 1 1 0
n
nn
n
nn
n
nn
n n n
n n nn n n
y x a x
dyna x
dx
d yn n a x
dx
x n n a x na x x a x
2
02 0 alrededor de 1d y dyx xy xdx dx
2 1
2 1 0
2 2 1
2 2 1
0 0
2 1 1
2 2 1
0
1 1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1
1 1 1 0
1 1 1 1 1
1
n n n
n n nn n n
n n n
n n nn n n
n n
n nn n
n n n
n n nn n n
n
nn
x n n a x na x x a x
n n a x x n n a x na x
a x x a x
n n a x n n a x na x
a x
1
0
1 0n
nn
a x
2 1
2 1 0
1 1 1 1 0n n n
n n nn n n
x n n a x na x x a x
2 10 1
1 10 0 1
2 2 1 11 1
1 0 11 1 1
2 1 1 1 1
1 1 1 1 0
2 2 1 1 1 1
1 1 1 1 0
n n
n nn n
n n n
n n nn n n
n n
n nn n
n n n
n n nn n n
n n a x n n a x
n a x a x a x
a n n a x n na x a
n a x a a x a x
2 1
2 2
1 1
1 0 0
1 1 1 1
1 1 1 0
n n
n nn n
n n n
n n nn n n
n n a x n n a x
na x a x a x
0 1 2
2 1 1 11
2
2 1 1 1 1 0n
n n n n nn
a a a
n n a n na n a a a x
2 2 1 11 1
1 0 11 1 1
2 2 1 1 1 1
1 1 1 1 0
n n
n nn n
n n n
n n nn n n
a n n a x n na x a
n a x a a x a x
0 12
2 1 1 1
2
2 1 1
12 1
2
2 1 1 1 0
2 1 1 0
1
2 1 2
n n n n n
n n n n
n nn n
a aa
n n a n na n a a a
n n a n a a a
n a aa a
n n n
0 1 2
2 1 1 11
2
2 1 1 1 1 0n
n n n n nn
a a a
n n a n na n a a a x
1 0 2 2 0 13 2 2
2 1 0 14 3
0 15
0 16
0 17
2 2
3 6 3 3 3 63
4 12 12 69
12 6013
180 813 271
210 2520
a a a a a aa a a
a a a aa a
a aa
a aa
a aa
0 1 1
2 2 1
1
2 2 1 2n n
n n
a a n a aa a a
n n n
0 12
0 13
0 14
0 15
0 16
0 17
2 2
6 6
12 69
12 6013
180 813 271
210 2520
a aa
a aa
a aa
a aa
a aa
a aa
0 1 1
2 2 1
1
2 2 1 2n n
n n
a a n a aa a a
n n n
2 3 4 5 6 5
1
2 3 4 5 6 5
2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 13( 1) 13( 1)1
2 6 12 12 180 210
( 1) ( 1) ( 1) 9( 1) ( 1) 271( 1)1
2 6 6 60 8 2520
x x x x x xy x
x x x x x xy x x
2
02
0 1 12 2 1
0 alrededor de 1
1;
2 2 1 2n n
n n
d y dyx xy xdx dxa a n a a
a a an n n
2 3 4 51
8 96 7
10 11 12
13
1 1 1 11 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
2 6 12 12
13 13 137( 1 ) 4397( 1 )( 1 ) ( 1 )
180 210 2520 90720
39649( 1 ) 15881( 1 ) 1092899( 1 )
907200 399168 29937600
8749711( 1 ) 26264
259459200
y x x x x x
x xx x
x x x
x
14 15
16
237( 1 ) 5465437( 1 )
838252800 186810624
35879956703( 1 )
1307674368000
x x
x
2
020 alrededor de 1
d y dyx xy xdx dx
2 3 4 52
7 8 96
10 11 12
13
1 1 1 31 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
2 6 6 20
1 271( 1 ) 953( 1 ) 3823( 1 )( 1 )
8 2520 10080 45360
13789( 1 ) 76709( 1 ) 60331( 1 )
181440 1108800 950400
45644243( 1 ) 530104
778377600
y x x x x x x
x x xx
x x x
x
14
15 16
1( 1 )
97297200
4157899567( 1 ) 6239114491( 1 )
81729648000 130767436800
x
x x
2
020 alrededor de 1
d y dyx xy xdx dx
We emphasize that it is not particularly important if we are unable to determine the general coefficient an in terms of a0 and a1. What is essential is that we can determine as many coefficients as we want. Thus we can find as many terms in the two series solutions as we want, even if we cannot determine the general term. While the task of calculating several coefficients in a power series solution is not difficult, it can be tedious. A symbolic manipulation package can be very helpful here; some are able to find a specified number of terms in a power series solution in response to a single command.Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. Ninth edition.William E. Boyce &Richard C. DiPrima
0
1
1 1 1
' 1 1 1
y x a
y x a
2 3
0 1 2 3
2
1
2
02
2 3
0 alrededor de
1 1 1
' 2 1 3
1
1
y x a a
d y dyx xy xdx dx
x a x a x
y x a a x a x
2
2
22 2
2
1 0 2 0
0
0
que es la ecuación de Bessel de orden 0
(es decir, =0), cuya solución general es
d y dyx x xy
dx dx
d y dyx x x ydx dx
y x c J x c Y x
2
20
d y dyx xydx dx
0 1 0 0 1 0
1 0 2 0
(1) (1) ( ) (1) (1) ( )2
y x J J Y x Y Y
y x c J x c Y x
J x
2
2
22 2
2
0 , 1 1 , ' 1 1
0 , 1 1 , ' 1 1
d y dyx xy y x y xdx dx
d y dyx x x y y x y xdx dx
0 .8 1 .0 1 .2 1 .4
0 .4
0 .6
0 .8
1 .0
1 .2
2 3 4 5 6 5 2 3 4 5 6 5
1 2
1 2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 13( 1) 13( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 9( 1) ( 1) 271( 1)1 ; 1
2 6 12 12 180 210 2 6 6 60 8 2520
x x x x x x x x x x x xy x y x x
y x y x
0 1 0 0 1 0(1) (1) ( ) (1) (1) ( )2
y x J J Y x Y Y J x
0 .5 1 .0 1 .5 2 .0
2 .5
2 .0
1 .5
1 .0
0 .5
0 .5
1 .0
2 3 4 5 6 5 2 3 4 5 6 5
1 2
1 2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 13( 1) 13( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 9( 1) ( 1) 271( 1)1 ; 1
2 6 12 12 180 210 2 6 6 60 8 2520
x x x x x x x x x x x xy x y x x
y x y x
0 1 0 0 1 0(1) (1) ( ) (1) (1) ( )2
y x J J Y x Y Y J x
0 .5 0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 2 .5 3 .0
1 0
8
6
4
2
0 1 0 0 1 0(1) (1) ( ) (1) (1) ( )2
y x J J Y x Y Y J x
2 3 4 5 6 5 2 3 4 5 6 5
1 2
1 2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 13( 1) 13( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 9( 1) ( 1) 271( 1)1 ; 1
2 6 12 12 180 210 2 6 6 60 8 2520
x x x x x x x x x x x xy x y x x
y x y x
2
2
2
2
1 1
1 1 0
10
1
z x x z
d f dfz z f
dz dz
d f dff
dz z dz
2
20
d y dyx xydx dx
0
2 1
2 1 0
1 2 1 1
2 2 1 0 0
1 2 1 11 0 0 1 0
1 1 1 0
1 1 0
1 2 1 1 0
nn
n
n n nn n n
n n n
n n n n nn n n n n
n n n n n
n n n n nn n n n n
n n n n n
f z a z
z n n a z na z z a z
n n a z n n a z na z a z a z
n na z n n a z n a z a z a z
n
1 2 2 1 11 1 1
1 01 0
1 2 2 1 1
0
n n nn n n
n n n
n nn n
n n
na z a n n a z a n a z
a z a a z
2
21 1 0d f df
z z fdz dz
0 1 2 1 2 1 11
2
0 1 2 2 1 11
2
2 1 1
2 1 2 1 1 0
2 2 1 1 0
2 1 1 0
nn n n n n
n
nn n n n
n
n n n n
a a a n na n n a n a a a z
a a a n n a n a a a z
n n a n a a a
2
20
1 2 2 1 1 1 01 1 1 1 0
1 1 0 ;
1 2 2 1 1 0
nn
n
n n n n nn n n n n
n n n n n
d f dfz z f f z a z
dz dz
n na z a n n a z a n a z a z a a z
0 1 1
2 2 1
1 ;
2 2 2 1n n
n n
a a a ana a a
n n n
0 12
2 1 1 1
2
2 1 1
12 1
2
2 1 1 1 0
2 1 1 0
1
2 1 2
n n n n n
n n n n
n nn n
a aa
n n a n na n a a a
n n a n a a a
n a aa a
n n n
0 1 2
2 1 1 11
2
2 1 1 1 1 0n
n n n n nn
a a a
n n a n na n a a a x
2
22
Resuelve
1 1 2 0d y dy
x x x xydx dx
2
2
Alrededor de 0, tenemos
1 1 que no es analítica en 0
1 1
2 2 que sí es analítica en 0
1 1
x
x xx x
x x x x
xx x
x x x
2 2
22 2 2
1 21 1 2 0 0
1 1
d y dy d y x dyx x x xy y
dx dx dx x x dx x x
singular irregul
Por lo tanto, el punto 0 es un punto
y el método NO puede
ser utiliz
ar
ado.
x
2 2
2
Alrededor de 1, tenemos
1 11 que sí es analítica en 1
1
2 121 que sí es analítica en 1
1
x
x xx x
x x x
xx x
x x x
singular regul
Por lo tanto, el punto 1 es un punto
y el método SÍ puede
ser utiliz
ar
ado.
x
2 2
22 2 2
1 21 1 2 0 0
1 1
d y dy d y x dyx x x xy y
dx dx dx x x dx x x
2
22
2
22
Hacemos 1 1
1 12 21 0
11
2 20
11
donde
1
z x x z
d y z dy zzy z
dz dz z zz z
df zd f zf z
dz dz z zz z
f z y z
2 2
22 2 2
1 21 1 2 0 0
1 1
d y dy d y x dyx x x xy y
dx dx dx x x dx x x
2
22
2 20
11
df zd f zf z
dz dz z zz z
2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7
2 2
2
2 3 4 5 6 7 82 2
1 1
2 2
1
[ ]
2 21
2 2 2 2 ( )
z zz
z z z
zzz z
z z z z z z O z
z z z z z z zz
O
0y P x y Q x y
2
0 0
1 2
0 0
Si 0 es un punto singular regular, entonces
y
para .
Por lo tanto,
y
para y 0.
n nn n
n n
n nn n
n n
x
xP x P x x Q x Q x
x r
P x P x Q x Q x
x r x
0 0
La ecuación indicial
1 0P Q
0
0 ; nn
n
y P x y Q x y y x a x
2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7
2
22
2 2
2
0 0
2 20
11
2 2
1 1
2 2
1 1
La ecuación indicial es
2 3 4 5 6 7 8 [ ]
2 2 2 2 2 2 ( )
1 0
z z z z z z O
df zd f zf z
dz dz z zz z
z zz
z z z z z
zz z z
zz O
z
P
zzz z
Q
2
La ecuación indicial 1 2 0
3 0
1 23 0
22
2
3
0
2
0
21
20
1 2 2 1 0
3
3 2
nn
n
nn
n
nn
n
df zd fz z z z f z
dz dz
f z a z
df zn a z
dz
d fn n a z
dz
2 1 2 3
0 0 0
4 3 2
0 0 0
3 2 4 3
0 0 0 0
4 4
0 0
1 3 2 2 3 2 1 0
3 2 2 3 2 3 2
3 2 3 2 2 0
3 2 2
n n nn n n
n n n
n n nn n n
n n n
n n n nn n n n
n n n n
n nn n
n n
z z n n a z z n a z z a z
n n a z n n a z n n a z
n a z n a z a z a z
n n a z a z
3 3
0 0
3 2 2
0 0 0
2 3 2 3
2 3 2 2 3 0
n nn n
n n
n n nn n n
n n n
n n a z n a z
a z n n a z n a z
4 4 3 3
0 0 0 0
3 2 2
0 0 0
4 3
0 0
2
0
2
3 2 2 2 3 2 3
2 3 2 2 3 0
3 2 2 2 3 2 3 2
3 2 2 3 0
5
n n n nn n n n
n n n n
n n nn n n
n n n
n nn n
n n
nn
n
n n a z a z n n a z n a z
a z n n a z n a z
n n a z n n n a z
n n n a z
n n
4 2 3 2
0 0 0
2 2 2 2 22 1
2 1 0
8 2 9 11 3 0
2 2 5 4 3 0
n n nn n n
n n n
n n nn n n
n n n
a z n n a z n n a z
n n a z n n a z n n a z
2 2 2 2 22 1
2 1 0
2 2 3 2 2 32 0 1 1
2 2
2
2
3 30 1
2 2 22 1
2
2 2 5 4 3 0
2 11 2 5 4 4
3 0
11 4
2 2 5 4 3 0
n n nn n n
n n n
n nn n
n n
nn
n
nn n n
n
n n a z n n a z n n a z
n n a z a z n n a z a z
n n a z
a z a z
n n a n n a n n a z
3 30 1
2 2 22 1
2
0 1 1 0
2
2 22 1
21 2(
11 4
2 2 5 4 3 0
1111 4 0
4
2 2 5 4 3
2 5 4) ( 2)
( 3)
0
nn n n
n
n n n
n nn
a z a z
n n a n n a n n a z
a a a a
n n a n n a n n a
n n a n n aa
n n
2
0
21
1211
; (2 5 4) ( 2)
( 3
4 ) n n
nan n a n n
aa
an n
02
03 2
4 2 3
5 3 4
6 4 5
7 5 6
21
4771
3718 2
122 56
281
32 79401
44 106541
58 13770
aa
aa a
a a a
a a a
a a a
a a a
2
0
21
1211
; (2 5 4) ( 2)
( 3
4 ) n n
nan n a n n
aa
an n
02
03
04
05
06
07
21
4623
72949
721223
64416347
1555239802577
1088640
aa
aa
aa
aa
aa
aa
2 3 4
6 75
8 9
10
11 21 623 9491 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
4 4 72 72
1223 416347( 1 ) 39802577( 1 )( 1 )
64 15552 1088640
195390241( 1 ) 11914544947( 1 )
3991680 184757760
1006695703597( 1 )
12009254400
y x x x x x
x xx
x x
x
0 .8 1 .0 1 .2 1 .4
1
2
3
4
5
6
7
