sincronización, introducción a las ciencias no lineales
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8/16/2019 Sincronización, introducción a las ciencias no lineales
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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
CENTRO DE FÍSICA APLICADA Y TECNOLOGÍA AVANZADA
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN
LICENCIATURA EN TECNOLOGÍA
XIV COLOQUIO DE TECNOLOGÍA
FMA 08
Sincronización, un concepto universal en las ciencias
nolineales.
L. E. Beltran González*§
, R . Quintero Torres*
* Centro de Física Aplicada y Tecnología Avanzada, UNAM.
§E-mail: [email protected]
Resumen
En este trabajo se presenta una introducción al fenómeno de sincronia y simpatía entre sistemas
dinámicos, como ejemplo de sistemas nolineales autosostenidos, presentamos al péndulo paramétrico y oscilador de Van der Pol, analizando sus ciclos límite, se modeló un diodo tunel y
se implementó en el diseño de un oscilador autosostenido electrónico.
Abstract
This paper presents an introduction to the phenomenon of synchronicity and sympathy betweendynamic systems presented as an example of self -sustaining nonlinear systems, we present the
parametric pendulum and Van der Pol oscillator, analyzing their limit cycles. A diode tunnel wasmodeled and implemented in the design of an electronic self -sustained oscillator.
Palabras clave: simpatía, sincronización, osciladores, Van der Pol.
1 Introducción
La sincronización es un fenómeno que
encontramos en diferentes dispositivos: un
reloj de péndulo, instrumentos musicales,
generadores eléctricos, sistemas de energía
eléctrica y láseres. Se han encontrado diversas
aplicaciones relacionadas con este fenómeno
en la electrónica e ingeniería mecánica. [1]
En 1967 Christiaan Huygens (1629-1695),
observó que un par de péndulos, colgados de
un soporte común se sincronizaban, después
de un tiempo, “con una sincronía tal que no se
observaba el menor retraso de uno con
respecto al otro y el sonido de los péndulos
siempre se escuchaba simultáneamente. Aún
más, si esta concordancia se perturbaba por
alguna interferencia, sola se restablecía
después de un tiempo corto”. [2]
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La sincronización puede ocurrir incluso en
sistemas vivientes, en 1729 Jean-Jacques
Dortous de Mairan, demostró que los sistemas biológicos contienen un reloj interno que
provee al sistema con la información del
cambio entre el día y la noche. [1]
Edward Appleton y Balthasar van der Pol
Demostraron que la frecuencia de un
generador puede ser arrastrado, o
sincronizado, por una señal externa débil de
una frecuencia ligeramente diferente. Estos
estudios fueron de gran importancia prácticadebido a los generadores de triodo se
convirtieron en los elementos básicos de los
sistemas de comunicación por radio.[1]
2 Antecedentes
Definimos la sincronización como el ajuste de
ritmos de objetos oscilantes debido a su
interacción [1]. Éste fenómeno únicamente
puede presentarse en sistemas no linealesautosostenidos.
Dos factores importantes para la
sincronización son: la fuerza de aco plamiento
y la desafinación o simpatía. El primer factor
hace referencia a que tan fuerte o débil es la
interacción, es decir la rigidez en que se unen
los sistemas. Si unimos dos relojes por medio
de una viga (figura 1) demasiado rígida, éstaevitará que las vibraciones de un reloj afecten
al otro. El segundo factor es la desafinación o
diferencia de frecuencias, que se divide en
dos: frecuencias antes del acoplamiento ( f ) y
frecuencias después del acoplamiento (F).
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(2)
En donde !! y !! son las frecuencias de dos
sistemas aislados y, !! y !! son las
frecuencias de los sistemas acoplados entre sí.
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2.1 Osciladores autosostenidos
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Los osciladores autosostenidos tienen
almenos cuatro características fundamentales:
• Es un sistema activo que contiene
energía y la convierte en movimiento.
• Continúa generando el mismo
movimiento hasta que la energía seacaba.
• Es un sistema dinámico autónomo.
• Aunque éste sea perturbado regresa a
su ritmo original.
Como ejemplo de este tipo de sistemas
tenemos al oscilador de Van der Pol, péndulo
paramétrico.
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2.3
Sincronización no es resonancia
A menudo se suele confundir entre
sincronización y resonancia. La resonancia
unicamente es vista cuando la frecuencia
externa es cercana a la eigenfrecuencia delsistema, esto puede llegarse a presentar en
sistemas lineales.
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(3)
Se presenta resonancia en un oscilador
armónico cuando en la ecuación (3), ! ! !
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provocando que ! ! ! !.
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En cambio la sincronización únicamente
ocurre en sistemas nolineales autosostenidos y
la eigenfrecuencia es independiente de la
amplitud.
2.3 Espacio fase
Para un péndulo podemos utilizar dos
variables para conocer su estado, x(t) para su
posición y x’(t) para su velocidad angular, al
espacio conformado por estas dos variables lo
llamamos espacio fase, podemos graficar x(t)
contra x’(t) para obtener una representación en
el espacio fase.
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2.3.1 Ciclo límite
Un ciclo límite es una trayectoria cerrada
aislada es decir no hay otras trayectoriascerradas dentro de ésta, las trayectorias
cercanas al ciclo límite tienden a acercarse al
ciclo límite. Un ciclo límite únicamente se
presenta en sistemas no lineales, los sistemas
lineales aunque tienen trayectorias cerradas no
representan un ciclo límite sino corresponden
a la dinámica de un punto fijo.
El estado de dos péndulos lineales acoplados
por un soporte con una constante k deacoplamiento está descrito por las ecuaciones
(4 y 5), este arreglo dependiente de las
condiciones iniciales x(0 ) y x’ (0 ), por lo tanto
no es un sistema autónomo.
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2.4 Amortiguamiento negativo
Este tipo de amortiguamiento corresponde a
una fuerza que actúa en fase con la velocidad,
por ejemplo para el péndulo paramétrico
figura 3, su longitud cambia cada periodo de
oscilación probocando que la amplitud crezca
exponencialmente, finalmente la amplitud
será el resultado de la intersección de dos
curvas: la energía proveída por el sistema, y la
energía disi pada.
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Esta función la integramos a Simscape por
medio de un bloque, que creamos con las
ecuaciones (6, 7, 8 y 9). Y realizamos el
arreglo de la figura 9 en Matlab utilizando el
módulo de Simulink y Simscape.
5 Análisis
Realizando el análisis utilizando Leyes de
Kirchoff se obtiene la ecuación (10), la cual es
semejante a la ecuación para un oscilador de
Van der Pol [3].
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En donde
la frecuencia característica del
circuito es::
! !
!
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6 Conclusión
Con el arreglo de la figura 9, esperamos poder
obtener oscilaciones periódicas que al ser
perturbadas externamente siempre regresen a
su frecuencia original dada por el ciclo llímite
característico, teniendo esto controlado
acoplaremos dos osciladores de Van der Pol,
para analizar la frecuencia y la fase resultante
de su interacción.
Referencias
[1] Pikovsky, A., Rosenblum, M. and Kurths,
J. (2003). Synchronization. Cambridge:
Cambridge Univ. Press.
!"# Quintero-Torres, R., Ocampo, M.A.,
Millán, B., Aragón, J.L., & Naumis, G.G..
(2007). Oscilaciones, armonía y simpatía.
Revista mexicana de física E, 53(1), 67-81.
Recuperado en 23 de febrero de 2016, de
http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=s
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35422007000100009&lng=es&tlng=es.
[3] Jenkins, A. (2013). Self -oscillation.
Physics Reports, 525(2), p.179.
[4] Engineergirl.org. (2016). Tacoma Narrow
Bridge. [online] Available at:
http://www.engineergirl.org/File.aspx?id=42
61 [Accessed 17 May 2016].
[5] M. Ta, C. (2004). New analytic DC
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Bibliografía
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Synchronization of Mechanical Systems witha New Van der Pol Chaotic Oscillator. (1),
p.2.
Kriplani, N., Bowyer, S., Huckaby, J. andSteer, M. (2011). Modelling of an Esaki
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and Passive Electronic Components, 2011,
pp.1-8.
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Eliadou, M. and Kafetzis, I. (2015). AnIntroduction to Control Theory Applications
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Sakaguchi, H. (2002). Stochastic
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