sesion-2-2015-0-movimiento-relativo (1)
Post on 24-Sep-2015
69 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
-
Dinmica 2015-0
Sesin 2
Tema:
Cinemtica de la Partcula en
Movimiento Relativo 1
-
DERIVADA DE UN VECTOR RELATIVO RESPECTO DE UN SISTEMA INERCIAL DE REFERENCIA
Sea A un vector relativo dentro de un sistema mvil de referencia:
x y zA A i A j A k
Sea la velocidad angular absoluta del sistema mvil con respecto al sistema inercial de referencia:
XYZ xyz
A A A
Se cumple:
-
x y zA A i A j A k
x y zxyz
A A i A j A k
x y z x y zXYZ
A A i A j A k A i A j A k
i i
j j
k k
( ) ( ) ( )x y z x y zXYZ
A A i A j A k A i A j A k
( )x y zXYZ xyz
A A A i A j A k XYZ xyz
A A A
-
/B A B Ar r r
-
/A B A BR R R
-
/B A B Ar r r Al derivar respecto al tiempo el nico vector relativo es: /B A
r
/B A B Ar r r XYZ xyzA A A recordando:
/ / /B A B A B AXYZ xyz
r r r
Bv
/relB Av
Av
/ / /B A relB A B AXYZ
r v r
/ /B A relB A B Av v v r
/ /B A B A relB Av v r v
-
/ /A B A B relA Bv v R v
-
/ / / / /B A B A relB A B A relB A relB Axyz xyza a r v r v v
/ /B A B A relB Av v r v
/ / / / /B A B A relB A B A relB A relB Axyz
a a r v r v v
/ / /B A relB A B AXYZ
r v r
/ / / /A2B A B A B A relB A relBa a r r v a
Aa
Ba
/ / /relB A relB A relB AXYZ xyz
v v v
Se observa que hay dos vectores relativos:
-
A/B / / /2A B A B relA B relA Ba a R R v a
-
En la figura, los pasadores en A y B estn obligados a moverse en los carriles verticales y horizontales como se muestra. La partcula A se mueve hacia abajo con una rapidez de 20 m/s y aceleracin de 10 m/s2. Si d = 3 m, y = 4 m, h = 8 m. Para dichas condiciones determine: a.- La velocidad angular de la barra doblada.(rad/s) b.- La magnitud de la velocidad de B.(m/s) c.- La magnitud de la aceleracin angular de la barra doblada.(rad/s2) d.- La magnitud de la aceleracin de B.(m/s2) e.- La magnitud de la aceleracin relativa de B respecto de la barra doblada.(rad/s2)
-
PROBLEMA 1 La barra AB mostrada tiene una velocidad angular antihoraria de 10 rad/s y una aceleracin angular horaria de 20 rad/s2. Determine: La velocidad lineal del punto C.(m/s) La velocidad angular de la barra BC.(rad/s) la aceleracin angular de la barra BC.(rad/s2) La aceleracin lineal del punto C.(m/s2) Si la velocidad angular cambiara en 5 rad/s en el mismo sentido, cual seria la velocidad lineal del punto C.(m/s)
-
8 m
8 m 4 m 6 m
12 m
PROBLEMA 2
-
En e l mecanismo, el bloque A tiene una rapidez de 0,4 m/s hacia la izquierda y una aceleracin de 1,4 m/s2 hacia la derecha, determine: a.- La velocidad angular de la gua ranurada.(rad/s) b.- La magnitud de la velocidad relativa de E respecto de la gua ranurada.(cm&) c.- La magnitud de la velocidad angular de CD.(rad/s) d.- La aceleracin angular de la gua ranurada.(rad/s2) e.- La magnitud de la aceleracin relativa de E respecto de la gua ranurada.(cm/s2) f.- La magnitud de la aceleracin angular de la barra CD.(rad/s2)
-
BLOQUE B (5 puntos)
El sistema motriz O2B tiene 2= 5 rad/s, cte. Calcule:
a.- La velocidad del bloque C.(m/s)
b.- La velocidad relativa de B respecto de la barra 4.(m/s)
c.- La aceleracin del bloque A.(m/s2)
d.-. La aceleracin del bloque C.(m/s2)
e.- La aceleracin relativa de B respecto de la barra 4.(m/s2)
-
ab
c
200 110( 30 30 ) 170j Cos i Sen j c i
200 110(0,866 0,5 ) 170j i j c i
74,74 255c i j
74,74 255 0,2812 0,9596265,7274
C
i ji j
Del Polgono OO2BA:
O
Del Polgono O2PCB:
P
250 110( 30 30 )j a b Cos i Sen j
95,26 195a b i j
0,866 0,5 0,2812 0,9596 95,26 195ai aj bi bj i j
( 30 30 ) 95,26 195Ca Cos i Sen j b i j
0,866 0,2812 95,26a b
0,5 0,9596 195a b
52,9791
175,6048
a cm
b cm
C
/ 1,2412 4,2351 ( )A CR i j m /
0,4938 1,6851 ( )B CR i j m
-
22 / 5 (0,9526 0,55 )B B Ov R k i j
Anlisis de velocidades: 2,75 4,798Bv i j
4 /A C A Cv v R
Soldando el sistema mvil en C CA:
4 (0,866 0,5 ) ( ) (1,2412 4,2351 )A Cv i v i j k i j
4 4 0,866 0,5 4,2351 1,2412 .......(1)A C Cv i v i v j i j
Utilizando el concepto de movimiento relativo
entre B y C, donde C CA:
4 / /B C B C relB Cv v R v
4 2,75 4,798 0,866 0,5 ( ) (0,4938 1,6851 ) (0,2812 0,9596 )C C reli j v i v j k i j v i j
40,866 4,2351A Cv v De las ecuaciones vectoriales (1) y (2) obtenemos 4 ecuaciones lineales:
40 0,5 1,2412Cv
4 4 2,75 4,798 (0,866 1,6851 0,2812 ) (0,5 0,4938 0,9596 ) .....(2)C rel C reli j v v i v v j
42,75 0,866 1,6851 0,2812C relv v
44,798 0,5 0,4938 0,9596C relv v
41 0,866 4,2351 0 0A C relv v v
40 0,5 1,2412 0 0A C relv v v
40 0,866 1,6851 0,2812 2,75A C relv v v
40 0,5 0,4938 0,9596 4,798A C relv v v
2,3732 /Av m s 0,9227 /Cv m s 4 0,3717 /rad s 4,7104 /relv m s
40,3717k / 1,3245 4,52relB Cv i j
Av
Cv
4
BvY
X
-
22 2
2 / ( ) (5) .(0,9526 0,55 )B B Oa R i j
Anlisis de aceleraciones:
4 / 4 4 / 4 / /( ) 2A C A C A C relA C relA Ca a R R v a
Soldando el sistema mvil en C CA:
2
4 (0,866 0,5 ) ( ) (1,2412 4,2351 ) (0,3717) (1,2412 4,2351 )A Ca i a i j k i j i j
Utilizando el concepto de movimiento relativo entre B y C, donde C CA:
2
4
/
23,815 13,75 0,866 0,5 (0,4938 1,6851 ) (0,3717) (0, 4938 1,6851 )
2(0,3717 ) ( 1,3245 4,5202 ) (0,2812 0,9596 )
C C
relB C
i j a i a j k i j i j
k i j a i j
23,815 13,75Ba i j
2
4 / 4 / 4 / /( ) 2A C A C A C relA C relA Ca a R R v a
/ 0relA Cv / 0relA Ca
4 4 (0,866 4,2351 0,1714) (0,5 1,2412 0,5851) .....(3)A C Ca i a i a j
4 / 4 4 / 4 / /( ) 2B C B C B C relB C relB Ca a R R v a
2
4 / 4 / 4 / /( ) 2B C B C B C relB C relB Ca a R R v a
-
24
/
23,815 13,75 0,866 0,5 (0,4938 1,6851 ) (0,3717) (0, 4938 1,6851 )
(0,7434 ) ( 1,3246 4,5202 ) (0,2812 0,9596 )
C C
relB C
i j a i a j k i j i j
k i j a i j
4 4
/ /
23,815 13,75 0,866 0,5 0,4938 1,6851 3,2921 1,2175
0,2812 0,9596
C C
relB C relB C
i j a i a j j i i j
a i a j
4 /
4 /
27,1071 14,9675 (0,866 1,6851 0,2812 )
(0,5 0,4938 0,9596 ) ........(4)
C relB C
C relB C
i j a a i
a a j
De las ecuaciones vectoriales (3) y (4) obtenemos 4 ecuaciones lineales:
40,866 4,235 0,1714A Ca a
40 0,5 1,241 0,5851Ca
4 /27,1071 0,866 1,6851 0,2812C relB Ca a
4 /14,9675 0,5 0,4938 0,9596C relB Ca a
-
4 /1 0,866 4,2351 0 0,1714A C relB Ca a a
4 /0 0,5 1,2412 0 0,5851A C relB Ca a a
4 /0 0,866 1,6851 0,2812 27,1071A C relB Ca a a
4 /0 0,5 0,4938 0,9596 14,9675A C relB Ca a a
256,2559 /Aa m s 221,0271 /Ca m s
2
4 8,9426 /rad s 2
/ 21,953 /relB Ca m s
RESULTADOS BLOQUE B
Rpta VARIABLE VALOR NUMERICO UNIDADES EVALUACION
a VC 0,9227 m/s
b VrelB/4 4,7104 m/s
c aA 56,2559 m/s2
d aC 21,01271 m/s2
e arelB/4 21,953 m/s2
-
BLOQUE C (4 puntos)
La gua ranurada se mueve con 2k (rad/s) y 6k (rad/s2). El pasador P es parte de la varilla OB, si 60 , BO = 1,2 PO = 18 cm, siendo el radio de curvatura de la
gua ranurada es de 12,5 cm. Si la lnea definida por es tangente a la gua ranurada, determine: a.- La magnitud de la velocidad relativa de P respecto de la gua ranurada.(cm/s) b.- La magnitud de la aceleracin angular de la varilla OB.(rad/s2) c.- La magnitud de la aceleracin relativa de P respecto de la gua ranurada.(m/s2) d.- La magnitud de la aceleracin absoluta del extremo B.(m/s2)
-
60
60
relv
X
Y
12,5cm
/ ( 7,5 12,99 ) 12,99 7,5 ......(1)P OB P O OB OB OBv R k i j i j
Utilizando el concepto de movimiento circular de una particula:
60
12,5i
7,5 12,99i j /P CR
Calculo de velocidades:
OC
P
/ 5 12,99P CR i j
-
/C ( 0,5 0,866 )P C sm P relv v R v i j
( 2 ) (5 12,99 ) ( 0,5 0,866 )P relv k i j v i j
( 0,5 25,98) (0,866 10) .........(2)P rel relv v i v j
Utilizando el concepto de movimiento relativo de una particula en el plano:
( 0,5 25,98) (0,866 10) 12,99 7,5P rel rel OB OBv v i v j i j
0,5 12,99 25,98rel OBv
0,866 7,5 10rel OBv
43,3038 /relv cm s
3,6668 /OB rad s
Igualando las ecuaciones (1) y (2):
43,3038( 0,5 0,866 )
21,6519 37,5019rel
relv i j
v i j
22 21875,219 /rel cmv s
-
60
60
t
rela
X
Y
12,5cm
2 2
/ / ( ) . ( 7,5 12,99 ) (3,6668) .( 7,5 12,99 )P OB P O OB P O OBa R R k i j i j
Calculo de aceleraciones:
n
rela
a (12,99 100,8406) ( 7,5 174,656) .............(3)P OB OBi j
Utilizando el concepto de movimiento circular de una particula:
-
Utilizando el concepto de movimiento relativo de una particula: 2
2
/C /C
( ) ( ) . 2 (0,5 0,866 ) (0,866 0,5 )t relP C sm P sm P sm rel relv
a a R R v a i j i j
2
2
( 6 ) (5 12,99 ) (2) .(5 12,99 )
( 4 ) ( 21,6519 i 37,501 j) (0,5 0,866 )
(43,3038) (0,866 0,5 )12,5
P
t
rel
a k i j i j
k a i j
i j
181,9791 183,5763 (0,5 0,866 )tP rela i j a i j
Igualando las ecuaciones (3) y (4):
(0,5 181,9791) ( 0,866 183,5763) ..(4)t tP rel rela a i a j
(12,99 100,8406) ( 7,5 174,656) (0,5 181,9791) ( 0,8666 183,5763)t tOB OB rel reli j a i a j
12,99 100,8406 0,5 181,9791tOB rela
7,5 174,656 0,8666 183,5763tOB rela
12,99 0,5 81,1385tOB rela
7,5 0,866 8,9203tOB rela
29,9643 /OB rad s
296,5969 /trela cm s
-
Luego determinaremos la aceleracin total relativa:
96,5969(0,5 0,866 ) 150,0175(0,866 0,5 ) 178,2136 8,6441t nrel rel rela a a i j i j i j
2 (9,9643 ) ( 9 15,588 ) (3,6668) .( 9 15,588 )t nB B Ba a a k i j i j
2 (9,9643 ) ( 9 15,588 ) (3,6668) .( 9 15,588 )t nB B Ba a a k i j i j
276,3257 119,8971Ba i j 2301,2162 /Ba cm s
RESULTADOS BLOQUE C
Rpta VARIABLE VALOR NUMERICO UNIDADES EVALUACION
a VrelP/C 0,433 m/s
b OB 9,9643 rad/s2
c arelP/C 1,7842 m/s2
d aB 3,0121 m/s2
2178,4231 /rela cm s
-
BLOQUE B (4 puntos) En el mecanismo, si 2 = 210, O2A = 10 cm y 2 = 10K rad/s constante. Determine: a.- La magnitud de la velocidad relativa de A respecto de la barra 4.(m/s) b.- La magnitud de la velocidad del bloque B.(m/s) c.- La magnitud de la aceleracin relativa de B respecto de la barra 4.(m/s2) d.- La magnitud de la aceleracin del bloque B.(m/s2)
RESULTADOS BLOQUE B
Rpta VARIABLE VALOR NUMERICO UNIDADES EVALUACION
a VrelA/4 m/s
b VB m/s
d arelB/4 m/s2
e aB m/s2
top related