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UNIDAD POLITÉCNICA DE INTEGRACIÓN SOCIAL
CURSO DE INGRESO A NIVEL SUPERIOR
MATERIA: MATEMÁTICAS PROFESORES: JLML/AGM
SESION # 11
“Calculo Integral parte I”
INTRODUCCIÓNEl cálculo integral se basa en el concepto de la integral, que es obtenida a partir de la
diferencial de una función 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥, la función 𝑓 𝑥 se obtiene a partir de la integral del
diferencial de la función, mediante:
න𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝐶
En general el signo se conoce como la integral de la función, la diferencial 𝑑𝑥
indica que 𝑥 es la variable de integración. La constante arbitraria 𝐶 se llama constante de
integración.
La expresión 𝑓 𝑥 + 𝐶 se llama la integral indefinida.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Teorema fundamental del cálculo (parte 1):
Dada una función integrable 𝑓 sobre el intervalo 𝑎, 𝑏 , definimos 𝐹 sobre 𝑎, 𝑏
por: 𝐹 𝑥 = 𝑎𝑥𝑓 𝑡 𝑑𝑡. Si 𝑓 es continua en 𝑐 en el intervalo 𝑎, 𝑏 entonces 𝐹 es derivable
en 𝑐 y se tiene que:𝐹′(𝑐) = 𝑓 𝑐
Teorema fundamental del cálculo (parte 1I): (Regla de Barrow)
Dada una función 𝑓(𝑥) integrable en el intervalo [𝑎, 𝑏] y sea 𝐹(𝑥) cualquier
función primitiva de 𝑓, es decir 𝐹′(𝑥) = 𝑓 𝑥 entonces:
න𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎
FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN (I)
Fórmulas Fórmulas
𝑑𝑥(1 = 𝑥 + 𝐶𝑎𝑢𝑑𝑢 (6 =
𝑎𝑢
𝑙𝑛 𝑎+ 𝐶
𝑘𝑑𝑥 (2 = 𝑘𝑥 + 𝐶 (7 𝑒𝑢𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝐶
(3 𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 + 𝑑𝑤 = 𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 𝑑𝑤− (8 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = −𝑐𝑜𝑠 𝑢 + 𝐶
𝑢𝑛𝑑𝑢 (4 =1
𝑛+1𝑢𝑛+1 + 𝐶 (9 cos 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶
(5𝑑𝑢
𝑢= 𝑙𝑛 𝑢 + 𝐶 (10 𝑡𝑎𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = −𝑙𝑛 cos 𝑢 + 𝐶
EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:
“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 74-82
1. Calcular la integral indefinida:
න 3𝑥2 + 6𝑥 − 2 𝑑𝑥
Aplicando las fórmulas (1-4)
න 3𝑥2 + 6𝑥 − 2 𝑑𝑥 =3න𝑥2𝑑𝑥 + 6න𝑥𝑑𝑥 − 2න𝑑𝑥 + 𝐶
3න𝑥2𝑑𝑥 + 6න𝑥𝑑𝑥 − 2න𝑑𝑥 = 3𝑥2+1
2 + 1+ 6
𝑥1+1
1 + 1− 2𝑥 + 𝐶
න 3𝑥2 + 6𝑥 − 2 𝑑𝑥 = 3𝑥3
3+ 6
𝑥2
2− 2𝑥 + 𝐶
න 3𝑥2 + 6𝑥 − 2 𝑑𝑥 = 𝑥3 + 3𝑥2 − 2𝑥 + 𝐶
2. Calcular la integral indefinida: න23 𝑥
+1
𝑥2𝑑𝑥
Aplicando las fórmulas (1-4) y las leyes de los exponentes:
න23 𝑥
+1
𝑥2𝑑𝑥 = න 2𝑥−
13𝑑𝑥 + 𝑥−2 𝑑𝑥
න 2𝑥−13 + 𝑥−2 𝑑𝑥 = 2
𝑥−13+1
−13+ 1
+𝑥−3+1
−2 + 1+ 𝐶
න23 𝑥
+1
𝑥2𝑑𝑥 = 3
3𝑥2 −
1
𝑥+ 𝐶
න 2𝑥−13 + 𝑥−2 𝑑𝑥 = 2
𝑥23
23
+𝑥−1
−1+ 𝐶 + 𝐶
EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:
“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 74-82
3. Calcular la integral indefinida:
න𝑥
3𝑥2 + 5𝑑𝑥
Aplicando cambio de variable:
𝑢 = 3𝑥2 + 5 𝑑𝑢 = 6𝑥𝑑𝑥Tenemos que completar el diferencial:
න𝑥
3𝑥2 + 5𝑑𝑥 =
1
6න
6𝑥𝑑𝑥
3𝑥2 + 5
1
6න
6𝑥𝑑𝑥
3𝑥2 + 5=1
6න𝑑𝑢
𝑢
1
6න𝑑𝑢
𝑢=1
6𝑙𝑛 𝑢 + 𝐶 =
1
6𝑙𝑛 3𝑥2 + 5 + 𝐶
න𝑥
3𝑥2 + 5𝑑𝑥 =
1
6𝑙𝑛 3𝑥2 + 5 + 𝐶
4. Resolver la siguiente integral indefinida:
න2𝑥 − 7
𝑥2 − 7𝑥 + 3𝑑𝑥
Aplicando cambio de variable:
𝑢 = 𝑥2 − 7𝑥 + 3 𝑑𝑢 = (2𝑥 − 7)𝑑𝑥
න2𝑥 − 7
𝑥2 − 7𝑥 + 3𝑑𝑥 = න
𝑑𝑢
𝑢
න𝑑𝑢
𝑢= 𝑙𝑛 𝑢 + 𝐶
Regresando a la variable en x:
න2𝑥 − 7
𝑥2 − 7𝑥 + 3𝑑𝑥 = ln 𝑥2 − 7𝑥 + 3 + 𝐶
5. Resolver la siguiente integral
indefinida:
න 2𝑥 + 1 3𝑑𝑥
Aplicando cambio de variable:
𝑢 = 2𝑥 + 1 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥
1
2න2𝑢3𝑑𝑥 =
𝑢3+1
2(3 + 1)+ 𝐶 =
𝑢4
8+ 𝐶
න 2𝑥 + 1 3𝑑𝑥 =2𝑥 + 1 4
8+ 𝐶
EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:
“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 74-828. Resolver la integral indefinida:
න6
6 − 𝑥 3𝑑𝑥
Aplicando cambio de variable:𝑢 = 6 − 𝑥 𝑑𝑢 = −𝑑𝑥
−න6 −1 𝑑𝑥
6 − 𝑥 3= −න
6𝑑𝑢
𝑢3= −න6𝑢−3𝑑𝑢
Tenemos que completar el diferencial:
−න6𝑢−3𝑑𝑢 = −6𝑢−3+1
−3 + 1+ 𝐶 = −
6𝑢−2
−2+ 𝐶
න6
6 − 𝑥 3𝑑𝑥 =
3
𝑢2+ 𝐶 =
3
6 − 𝑥 2+ 𝐶
න6
6 − 𝑥 3𝑑𝑥 =
3
6 − 𝑥 2+ 𝐶
6. Resolver la integral indefinida:
න𝑒4𝑥
𝑒2𝑥𝑑𝑥
Aplicando leyes de exponentes:
න𝑒4𝑥
𝑒2𝑥𝑑𝑥 = න𝑒4𝑥−2𝑥𝑑𝑥 = න𝑒2𝑥𝑑𝑥
න𝑒2𝑥𝑑𝑥 =1
2න𝑒2𝑥2𝑑𝑥
Tenemos que completar el diferencial:
Aplicando cambio de variable:𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥
1
2න𝑒𝑢𝑑𝑢 =
1
2𝑒𝑢 + 𝐶
න𝑒4𝑥
𝑒2𝑥𝑑𝑥 =
1
2𝑒2𝑥 + 𝐶
9. Determinar el valor de la siguiente
integral indefinida:
න𝑒3𝑥2𝑥𝑑𝑥
Aplicando cambio de variable:
𝑢 = 3𝑥2 𝑑𝑢 = 6𝑥𝑑𝑥Tenemos que completar el diferencial:
න𝑒3𝑥2𝑥𝑑𝑥 =
1
6න𝑒3𝑥
26 𝑥𝑑𝑥
1
6න𝑒𝑢𝑑𝑢 =
1
6𝑒𝑢 + 𝐶
1
6න𝑒𝑢𝑑𝑢 =
1
6𝑒3𝑥
2+ 𝐶
න𝑒3𝑥2𝑥𝑑𝑥 =
1
6𝑒3𝑥
2+ 𝐶
EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:
“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 74-82
7. El valor de 𝑥3 + 3𝑒𝑥 𝑑𝑥 es:
න 𝑥3 + 3𝑒𝑥 𝑑𝑥 = න𝑥3𝑑𝑥 + 3න𝑒𝑥𝑑𝑥
Aplicando las fórmulas (4 y 7)
න𝑥3𝑑𝑥 + 3න𝑒𝑥𝑑𝑥 =𝑥3+1
3 + 1+ 3𝑒𝑥 + 𝐶
න 𝑥3 + 3𝑒𝑥 𝑑𝑥 =𝑥4
4+ 3𝑒𝑥 + 𝐶
10. Determinar el valor de la siguiente
integral:
න2
4
𝑥 + 8 𝑑𝑥
Aplicando formula (2) y (4)
න2
4
𝑥 + 8 𝑑𝑥 =𝑥2
2+ 8𝑥
Evaluando del valor inicial (2) al final (4)
න2
4
𝑥 + 8 𝑑𝑥 =4 2
2+ 8(4) −
2 2
2+ 8 2
න2
4
𝑥 + 8 𝑑𝑥 = 40 − 18 = 22
11. Determinar el valor de la siguiente
integral:න1
4
𝑥2 − 2𝑥 𝑑𝑥
Aplicando formula (2) y (4)
න1
4
𝑥2 − 2𝑥 𝑑𝑥 =𝑥3
3− 𝑥2
2
41
4
Evaluando del valor inicial (1) al final (4)
න1
4
𝑥2 − 2𝑥 𝑑𝑥 =43
3− 42 −
13
3− 12
න1
4
𝑥2 − 2𝑥 𝑑𝑥 =64
3−48
3−
1
3−3
3
64
3−48
3−
1
3−3
3=16
3+2
3=18
3= 6
න1
4
𝑥2 − 2𝑥 𝑑𝑥 = 6
EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:
“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 74-8212. Determinar el valor de la siguiente
integral:
න14
34 𝑥
2+ 1 𝑑𝑥
Aplicando formula (2) y (4)
න14
34 𝑥
2+ 1 𝑑𝑥 =
𝑥2
4+ 𝑥 1
4
3
4
න14
34 𝑥
2+ 1 𝑑𝑥 =
34
2
4+3
4−
14
2
4+1
4
Evaluando la integral
9164
+3
4−
1164
+1
4=
9
64+3
4−
1
64+1
4
57
64−
17
64=40
64=5
8 න14
34 𝑥
2+ 1 𝑑𝑥 =
5
8
13. Determinar el valor de la siguiente
integral:14. Determinar el valor de la siguiente
integral:න−1
2
𝑒𝑥𝑑𝑥 න1
4
1 𝑒𝑑𝑥
Aplicando formula (7) y evaluando
න−1
2
𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒2 − 𝑒−1
𝑒2 − 𝑒−1 = 𝑒2 −1
𝑒=𝑒3 − 1
𝑒
න−1
2
𝑒𝑥𝑑𝑥 =𝑒3 − 1
𝑒
Aplicando formula (1) y evaluando
1 𝑒 = 1
න1
4
1 𝑒𝑑𝑥 = න1
4
𝑑𝑥 = 𝑥4
1
න1
4
1 𝑒𝑑𝑥 = 4 − 1 = 3
න1
4
1 𝑒𝑑𝑥 = 3
EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:
“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 74-8215. En el cálculo del valor de la siguiente
integral definida existe un error, ¿En cual
paso esta el error?
න−3
3
𝑒𝑥3𝑑𝑥
1.න−3
3
𝑒𝑥3𝑑𝑥
2. 3න−3
3 1
3𝑒13𝑥𝑑𝑥
3. 3𝑒13𝑥
4. 3𝑒 + 3𝑒−1
5. 3 𝑒 +1
𝑒
Debido a que debe ser la
diferencia del valor final
del inicial
16. Calcular la integral definida:
න0
1 𝑥
𝑥 + 1𝑑𝑥
𝑥
𝑥 + 1= 1 −
1
𝑥 + 1
Realizando la división:
න0
1 𝑥
𝑥 + 1𝑑𝑥 = න
0
1
𝑑𝑥 − න0
1 1
𝑥 + 1𝑑𝑥
La integral se puede escribir como:
න0
1 𝑥
𝑥 + 1𝑑𝑥 = 𝑥 − ln 𝑥 + 1
1
0
1 − ln(2) − 0 − 𝑙𝑛 10
න0
1 𝑥
𝑥 + 1𝑑𝑥 = 1 − ln(2)
17. La solución de la integral
0𝜋𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 es:
Aplicando (9)
න0
𝜋
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝜋 − 𝑠𝑒𝑛 0 = 0
18. Hallar la integral definida:
න0
𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠 𝜋 + 𝑐𝑜𝑠 0
න0
𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = − −1 + 1 = 2
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN PRIMERA PARTEMétodo de integración por partes:
La integración por partes es el proceso que se encuentra la integral de un producto de funciones en
términos de la integral de sus derivadas y antiderivadas, para resolver integrales de esta manera, se ocupa la
siguiente formula:
න𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −න𝑣𝑑𝑢
Para la elección de "u" en la formula, se ocupara la regla "ILATE", la cual representa un orden de
importancia de mayor a menor de acuerdo a la función que se tenga. De acuerdo a los datos de la integral, se
escogerá el termino de mayor importancia como "u" y todo lo demás será "dv"
Inversa
Logarítmica
Algebraica
Trigonométrica
Exponencial
EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:
“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 74-8219. Calcular el valor de:
න1
4
2𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥
Solución:
න1
4
2𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = 2න1
4
𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥
𝑢 = 𝑥𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑒𝑥𝑑𝑥𝑣 = 𝑒𝑥
2න1
4
𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = 2 𝑥𝑒𝑥 −න𝑒𝑥𝑑𝑥
1
4
2න1
4
𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = 2 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥1
4
න1
4
2𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = 2 4𝑒4 − 𝑒4 − 1𝑒1 − 𝑒1
න1
4
2𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = 2 3𝑒4 = 6𝑒4
0
20. Usando el método de integración
por partes, la solución de la 𝑙𝑛 𝑠 𝑑𝑠.
Solución:𝑢 = ln(𝑠) 𝑑𝑣 = 𝑑𝑠
𝑑𝑢 =1
𝑠𝑑𝑠 𝑣 = 𝑠
න𝑙𝑛 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑠𝑙𝑛 𝑠 − න𝑠1
𝑠𝑑𝑠
න 𝑙𝑛 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑠𝑙𝑛 𝑠 − න𝑑𝑠
න𝑙𝑛 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑠𝑙𝑛 𝑠 − 𝑠 + 𝐶
න𝑙𝑛 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑠 𝑙𝑛 𝑠 − 1 + 𝐶
21. Resolver 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥. Por el método
de integración por partes.
Solución:𝑢 = 𝑥𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = sen 𝑥
න𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 − න𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
න𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 − −cos 𝑥 + 𝐶
න𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶
EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:
“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 74-82
22. Resolver la integral definida:
න0
1
𝑥𝑒𝑥
Solución
න0
1
𝑥𝑒𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 −න𝑒𝑥𝑑𝑥
𝑢 = 𝑥
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑣 = 𝑒𝑥
𝑑𝑣 = 𝑒𝑥𝑑𝑥
0
1
න0
1
𝑥𝑒𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 = 𝑒𝑥 𝑥 − 10
1
න0
1
𝑥𝑒𝑥 = 𝑒1 1 − 1 − 𝑒0 0 − 1
0 1
න0
1
𝑥𝑒𝑥 = 1
23. Resolver la integral indefinida:
න𝑥2𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥
Solución𝑢 = ln(𝑥)
d𝑢 =1
𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑥2𝑑𝑥
𝑣 =𝑥3
3
න𝑥2𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 =𝑥3
3𝑙𝑛 𝑥 − න
1
𝑥
𝑥3
3𝑑𝑥
𝑥2
න𝑥2𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 =𝑥3
3𝑙𝑛 𝑥 −
1
3න𝑥2𝑑𝑥
න𝑥2𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 =𝑥3
3𝑙𝑛 𝑥 −
1
3
𝑥3
3+ 𝐶
න𝑥2𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 =𝑥3
3𝑙𝑛 𝑥 −
𝑥3
9+ 𝐶
28. El valor de la integral definida:
න4
6 1
2𝑥 − 8𝑑𝑥
Solución haciendo el cambio de variable
න4
6 1
2𝑥 − 8𝑑𝑥 =
1
2න4
6 2𝑑𝑥
2𝑥 − 8=1
2න4
6 𝑑𝑢
𝑢
𝑢 = 2𝑥 − 8
𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥
1
2න4
6 𝑑𝑢
𝑢=1
2න4
6
𝑢−12𝑑𝑥 =
1
2
𝑢12
12
= 2𝑥 − 84
6
න4
6 1
2𝑥 − 8𝑑𝑥 = 2 6 − 8 − 2 4 − 8
0
න4
6 1
2𝑥 − 8𝑑𝑥 = 4 = 2
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA
LA RESOLUCIÓN DE INTEGRALES
Identidad Identidad
1) 𝑐𝑠𝑐 𝑥 =1
𝑠𝑒𝑛 𝑥6) 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 =
1
2+ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥
2) 𝑠𝑒𝑐 𝑥 =1
𝑐𝑜𝑠 𝑥
7) 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥
3) 𝑐𝑜𝑡 𝑥 =1
𝑡𝑎𝑛 𝑥
8) cos 2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
4) 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1 9) 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥
5) 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 =1
2− 𝑐𝑜𝑠 2𝑥
10) 1 + 𝑐𝑜𝑡2 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐2 𝑥
FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN (II)
Fórmulas Fórmulas
(1 𝑐𝑠𝑐 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛 𝑐𝑠𝑐 𝑢 − 𝑐𝑜𝑡 𝑢 + 𝐶 (6 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑡𝑎𝑛 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 𝑢 + 𝐶
(2 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑐 𝑢 + 𝑡𝑎𝑛 𝑢 + 𝐶 (7 𝑐𝑠𝑐 𝑢 𝑐𝑜𝑡 𝑢 = −𝑐𝑠𝑐 𝑢 + 𝐶
(3 𝑐𝑜𝑡 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 (8 𝑠𝑒𝑛2 𝑢 𝑑𝑢 =1
2𝑢 −
1
4𝑠𝑒𝑛 2𝑢 + 𝐶
(4 𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑡𝑎𝑛2 𝑢 + 𝐶 (9 𝑐𝑜𝑠2 𝑢 𝑑𝑢 =1
2𝑢 +
1
4𝑠𝑒𝑛 2𝑢 + 𝐶
(5 𝑐𝑠𝑐2𝑑𝑢 = −𝑐𝑜𝑡 𝑢 + 𝐶 (10 𝑡𝑎𝑛2 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑡𝑎𝑛 𝑢 − 𝑢 + 𝐶
EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:
“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 74-82
24. Calcular la siguiente integral indefinida:
න𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠2 5𝑥Solución:
න𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠2 5𝑥= න𝑠𝑒𝑐2 5𝑥 𝑑𝑥
1
5න5𝑠𝑒𝑐2 5𝑥 𝑑𝑥 =
1
5𝑡𝑎𝑛2 5𝑥 + 𝐶
𝑢 = 5𝑥 𝑑𝑢 = 5𝑑𝑥
Completando el diferencia y aplicando
la formula (4) :
න𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠2 5𝑥=1
5𝑡𝑎𝑛2 5𝑥 + 𝐶
25. Calcular la siguiente integral definida:
න0
𝜋42𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥
Solución:
න0
𝜋42𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 = 2න
0
𝜋4𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑑𝑥
Aplicando identidad trigonométrica (6):
2න0
𝜋4𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑑𝑥 = 2න
0
𝜋4 1
2+1
2𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥
2න0
𝜋4 1
2+1
2𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 = න
0
𝜋4𝑑𝑥 + න
0
𝜋4𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥
න0
𝜋4𝑑𝑥 +
1
2න0
𝜋42𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 +
1
2𝑠𝑒𝑛 2𝑥
0
𝜋
4
Evaluando:
=𝜋
4+1
2𝑠𝑒𝑛
𝜋
2− 0 +
1
2𝑠𝑒𝑛 0
Por lo que:
න0
𝜋42𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 =
𝜋
4+1
2
0
Simplificando:
𝜋
4+1
2=𝜋
4+2
4=𝜋 + 2
4
න0
𝜋42𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 =
𝜋 + 2
4
EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:
“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 74-82
26. Resolver la siguiente integral
indefinida:
න𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑑𝜃
Aplicando identidad trigonométrica (5):
න𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑑𝜃 = න1
2−1
2𝑐𝑜𝑠 2𝜃 𝑑𝜃
න1
2−1
2𝑐𝑜𝑠 2𝜃 𝑑𝜃 =
1
2න𝑑𝜃 −
1
2න𝑐𝑜𝑠 2𝜃 𝑑𝜃
1
2න𝑑𝜃 −
1
2
1
2න2𝑐𝑜𝑠 2𝜃 𝑑𝜃 =
1
2𝜃 −
1
4𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + 𝐶
𝑢 = 2𝜃 𝑑𝑢 = 2𝑑𝜃
න𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑑𝜃 =1
2𝜃 −
1
4𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + 𝐶
27. La solución de la integral
න𝑡𝑎𝑛𝑥
7𝑑𝑥
Completando el diferencial:
𝑢 =𝑥
7𝑑𝑢 =
1
7𝑑𝑥
7න1
7𝑡𝑎𝑛
𝑥
7𝑑𝑥 = 7න 𝑡𝑎𝑛 𝑢 𝑑𝑢
7න 𝑡𝑎𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − 7ln 𝑐𝑜𝑠𝑥
7+ 𝐶
න 𝑡𝑎𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = −𝑙𝑛 cos 𝑢 + 𝐶
Aplicando
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