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SEMINARIO 1Aritmetica y

Algebra

Ana Marıa Beltran

Nociones yproblemas dearitmetica

Potenciacion

Radicacion

Logaritmacion

Topicos de algebra

Operaciones basicas

SEMINARIO 1

Aritmetica y Algebra

Ana Marıa Beltran

Pre - Unal

Enero 29 de 2012

Ana Marıa Beltran (Matematicas) SEMINARIO 1 Aritmetica y Algebra Enero 29 de 2012 1 / 19

Algebra

Ana Marıa Beltran

Potenciacion

Radicacion

Logaritmacion

Topicos de algebra

Operaciones basicas

1 Nociones y problemas de aritmeticaPotenciacionRadicacionLogaritmacion

2 Topicos de algebraOperaciones basicas

Algebra

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Potenciacion

Radicacion

Logaritmacion

Topicos de algebra

Operaciones basicas

Nociones y problemas de aritmetica

Conjuntos

Relaciones de pertenencia y contenencia

Ejercicio

Indique si la afirmacion o relacion es verdadera o falsa, dadoslos conjuntos:

A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}, B = {2, 3, 5, 7},

C = {1, 3, 5, 7, 9}, D = {11, 13, 15, 17, 19}, E = {2, 3, 19}

1 5 ∈ B

2 9 ∈ E

3 11 /∈ C

4 19 ∈ A y 19 ∈ E

5 2 ∈ A, B , C y E

6 E ⊆ D

7 D ⊆ C

8 C * B

9 B ⊆ A

10 C * D

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Radicacion

Logaritmacion

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Operaciones basicas

Logaritmacion, potenciacion y radicacion

ab = c ⇐⇒ b√c = a ⇐⇒ loga c = b

Potenciacion

Definicion

La potenciacion permite escribir un producto de factoresiguales de una forma simplificada de la siguiente manera

ab = c

donde a es la base; b es el exponente y c es la potencia.

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Propiedades

Multiplicacion de potencias con igual base

am × an = am+n

Division de potencias de igual base

an= am−n

Potencias con exponente cero

a0 = 1 para todo a 6= 0

Potencias con exponente uno

a1 = a para todo a

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Propiedades

am × an = am+n

an= am−n

a1 = a para todo a

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Propiedades

am × an = am+n

an= am−n

a1 = a para todo a

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Propiedades

am × an = am+n

an= am−n

a1 = a para todo a

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Operaciones basicas

Potencias de una potencia

(am)n = am×n

Multiplicaciones elevadas a un exponente

(a × b)n = an × bn

Divisiones elevadas a un exponente

Exponentes negativos

a−n =1

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Operaciones basicas

(am)n = am×n

(a × b)n = an × bn

a−n =1

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Operaciones basicas

(am)n = am×n

(a × b)n = an × bn

a−n =1

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Topicos de algebra

Operaciones basicas

(am)n = am×n

(a × b)n = an × bn

a−n =1

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Nociones y problemas de aritmetica Radicacion

Radicacion

Definicion

La radicacion es una operacion inversa a la potenciacion.

n√a = b

donde n es el ındice; a es el radicando y b es la raız.

En general:Si el radicando es positivo (a > 0) y,

Si n es par, n√a tiene dos valores, iguales en valor

absoluto pero de signo distinto.

Si n es impar, n√a tiene un unico valor positivo.

Si el radicando es negativo (a < 0) y,

Si n es par, n√a no existe.

Si n es impar, n√a tiene un unico valor, negativo.

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Definicion

n√a = b

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Definicion

n√a = b

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Definicion

n√a = b

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Radicacion

Definicion

n√a = b

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Propiedades

Equivalencia en exponentes

n√a = a

n√a × b = n

√a × n

m√a × b = n×m

n√an×p = ap

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Propiedades

n√a = a

n√a × b = n

√a × n

m√a × b = n×m

n√an×p = ap

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Propiedades

n√a = a

n√a × b = n

√a × n

m√a × b = n×m

n√an×p = ap

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Propiedades

n√a = a

n√a × b = n

√a × n

m√a × b = n×m

n√an×p = ap

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Propiedades

n√a = a

n√a × b = n

√a × n

m√a × b = n×m

n√an×p = ap

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Nociones y problemas de aritmetica Logaritmacion

Logaritmacion

Definicion

Se dice que b es el logaritmo en base a de c sı y solosı ab = c.

Propiedades

loga b × c = loga b + loga c

= loga b − loga c

loga (bn) = n loga b

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Definicion

Propiedades

= loga b − loga c

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Definicion

Propiedades

= loga b − loga c

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Propiedades

logan√b =

loga b

loga 1 = 0

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Propiedades

logan√b =

loga b

loga 1 = 0

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Definicion

Expresion algebraica A las expresiones compuestas pornumeros y letras y las diferentes operaciones se les denominaalgebraicas.

Ejercicio

Construyamos, para cada situacion, una expresion algebraica.

(a) El producto de dos numeros desconocidos.

(b) El incremento en 500 del precio de un artıculo.

(c) La tercera parte de un precio.

(d) El cuadrado de un numero incrementado en la quintaparte del numero.

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Definicion

Ejercicio

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Definicion

Ejercicio

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Definicion

Ejercicio

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Definicion

Ejercicio

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Definicion

Ejercicio

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Definicion

Ejercicio

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Topicos de algebra

Definicion

Terminos En la expresion algebraica 2x2 + 34 encontramosdos terminos: 2x2 y 34. El primero esta compuesto por uncoeficiente (parte numerica) y una parte literal (letras); elsegundo es un termino independiente, es decir, no tieneparte literal y, por tanto, no depende de esta.Los terminos en una expresion algebraica se separan por lossignos + o -.

Definicion

Polinomio Las expresiones algebraicas que tienen un solotermino con exponenetes enteros positivos en las variables sellaman monomios. Las expresiones que involucran la suma odiferencia de monomios se denominan polinomios.Dentro de los polinomios se encuentran los binomios (dosterminos) y los trinomios (tres terminos).

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Definicion

Terminos En la expresion algebraica 2x2 + 34 encontramosdos terminos: 2x2 y 34. El primero esta compuesto por uncoeficiente (parte numerica) y una parte literal (letras); elsegundo es un termino independiente, es decir, no tieneparte literal y, por tanto, no depende de esta.Los terminos en una expresion algebraica se separan por lossignos + o -.

Definicion

Polinomio Las expresiones algebraicas que tienen un solotermino con exponenetes enteros positivos en las variables sellaman monomios. Las expresiones que involucran la suma odiferencia de monomios se denominan polinomios.Dentro de los polinomios se encuentran los binomios (dosterminos) y los trinomios (tres terminos).

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Topicos de algebra

1 Expresiones como: −4x2, 13x

2,√2x2, 3x2 que son

monomios con la misma parte literal, reciben el nombrede terminos semejantes.

2 El grado de un monomio es la suma de los exponentesde la parte literal.

3 En un polinomio el termino de mayor grado indica elgrado de la expresion.

Ejercicio

¿Cual es el grado de los siguientes monomios?

−12x

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Operaciones basicas

Topicos de algebra Operaciones basicas

Suma de polinomios

La suma de dos o mas polinomios da como resultado unpolinomio formado por la suma de los terminos de cadapolinomio. Cuando hay terminos semejantes, hacemosreduccion de tales terminos.

Ejemplo

Sumemos los polinomios

p(x , y) = 3x2y + 2xy + 4xy2 y q(x , y) = 4x2y + 3x + 5

p(x) + q(x) = 3x2y + 2xy + 4xy2 + 4x2y + 3x + 5

= 7x2y + 2xy + 4xy2 + 3x + 5

pues se suman los dos terminos semejantes

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Suma de polinomios

Ejemplo

p(x) + q(x) = 3x2y + 2xy + 4xy2 + 4x2y + 3x + 5

= 7x2y + 2xy + 4xy2 + 3x + 5

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Suma de polinomios

Ejemplo

p(x) + q(x) = 3x2y + 2xy + 4xy2 + 4x2y + 3x + 5

= 7x2y + 2xy + 4xy2 + 3x + 5

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Sustraccion de polinomios

La diferencia de dos polinomios se obtiene adicionando alminuendo el opuesto del sustraendo.

El opuesto de un polinomio es el ponimonio que tiene losmismos terminos pero con signos opuestos.

Ejemplo

Calculemos la siguiente diferencia:

t(x) = (3x2 + 7x + 2)− (x2 + 2x + 1)

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Ejemplo

t(x) = (3x2 + 7x + 2)− (x2 + 2x + 1)

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Ejemplo

t(x) = (3x2 + 7x + 2)− (x2 + 2x + 1)

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Operaciones basicas

t(x) = 3x2 + 7x + 2 + (−x2 − 2x − 1)︸︷︷︸

opuesto del sustraendo

= 3x2 + 7x + 2− x2 − 2x − 1

= (3x2 − x2) + (7x − 2x) + (2− 1) = 2x2 + 5x + 1

Ejercicio

Calcular las siguientes diferencias:

(a) (3x2 − 8x − 5)− (3x2 − 12x − 2)

(b) (5x2 − 5)− (5x2 − 4x − 2)

(c) (−x + y − z)− (x + 3y − 6z)

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Operaciones basicas

t(x) = 3x2 + 7x + 2 + (−x2 − 2x − 1)︸︷︷︸

= 3x2 + 7x + 2− x2 − 2x − 1

= (3x2 − x2) + (7x − 2x) + (2− 1) = 2x2 + 5x + 1

Ejercicio

(a) (3x2 − 8x − 5)− (3x2 − 12x − 2)

(b) (5x2 − 5)− (5x2 − 4x − 2)

(c) (−x + y − z)− (x + 3y − 6z)

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t(x) = 3x2 + 7x + 2 + (−x2 − 2x − 1)︸︷︷︸

= 3x2 + 7x + 2− x2 − 2x − 1

= (3x2 − x2) + (7x − 2x) + (2− 1) = 2x2 + 5x + 1

Ejercicio

(a) (3x2 − 8x − 5)− (3x2 − 12x − 2)

(b) (5x2 − 5)− (5x2 − 4x − 2)

(c) (−x + y − z)− (x + 3y − 6z)

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t(x) = 3x2 + 7x + 2 + (−x2 − 2x − 1)︸︷︷︸

= 3x2 + 7x + 2− x2 − 2x − 1

= (3x2 − x2) + (7x − 2x) + (2− 1) = 2x2 + 5x + 1

Ejercicio

(a) (3x2 − 8x − 5)− (3x2 − 12x − 2)

(b) (5x2 − 5)− (5x2 − 4x − 2)

(c) (−x + y − z)− (x + 3y − 6z)

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Multiplicacion de expresiones algebraicas

El producto de dos o mas monomios se obtienemultiplicando los coeficientes entre sı. Luego semultiplican los literales aplicando la ley de losexponentes para potencias de igual base.

La multiplicacion de un monomio por un polinomio serealiza multiplicando el monomio por cada uno de losterminos del polinomio.

Para multiplicar dos polinomios multiplicamos cadatermino de un polinomio por cada termino del otro.Luego adicionamos los resultados.

Ejercicio

(a) (4x3y)(−3x2yz3)

(b) 2x(3x − 5x2y)

(c) (2x + y)(3y − 4)

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Multiplicacion de expresiones algebraicas

El producto de dos o mas monomios se obtienemultiplicando los coeficientes entre sı. Luego semultiplican los literales aplicando la ley de losexponentes para potencias de igual base.

La multiplicacion de un monomio por un polinomio serealiza multiplicando el monomio por cada uno de losterminos del polinomio.

Para multiplicar dos polinomios multiplicamos cadatermino de un polinomio por cada termino del otro.Luego adicionamos los resultados.

Ejercicio

(a) (4x3y)(−3x2yz3)

(b) 2x(3x − 5x2y)

(c) (2x + y)(3y − 4)

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Division de monomios

Al dividir un monomio entre otro monomio, se obtiene unaexpresion cuyo factor numerico es el cociente de loscoeficientes de los monomios y la parte literal es el cocientede las variables de los monomios, aplicando las leyes de lapotenciacion. Cuando en la expresion resultante todos losexponentes de las variables son positivos, se obtiene unmonomio.

Ejemplo

36x5y9

9x3y4= 4x5−3y9−4 = 4x2y5

Ejercicio

Realizar las siguientes divisiones

1 5a2b4c3

3ab2; 4x3y5z

8xyz ; −6m3n2

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Al dividir un monomio entre otro monomio, se obtiene unaexpresion cuyo factor numerico es el cociente de loscoeficientes de los monomios y la parte literal es el cocientede las variables de los monomios, aplicando las leyes de lapotenciacion. Cuando en la expresion resultante todos losexponentes de las variables son positivos, se obtiene unmonomio.

Ejemplo

36x5y9

9x3y4= 4x5−3y9−4 = 4x2y5

Ejercicio

Realizar las siguientes divisiones

1 5a2b4c3

3ab2; 4x3y5z

8xyz ; −6m3n2

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