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ContenidoIntroduccion

Representacion NumericaAritmetica Computacional

Aritmetica de punto FlotanteCodigos

Representacion de la informacion

Prof. Rodrigo Araya [email protected]

Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de Informatica

Valparaıso, 1er Semestre 2006

RAE Representacion de la informacion




1 Introduccion

2 Representacion Numerica

3 Aritmetica Computacional

4 Aritmetica de punto Flotante

5 Codigos





Introduccion

En el mundo que vivimos estamos rodeados de informacion, sedice la llamada “Sociedad de la informacion”.

Pero, ¿Que es la informacion?





Definicion de Informacion

Datos: Representacion simbolica de un atributo ocaracterıstica.

Un dato por si solo no dice nada.

Informacion: Conjunto de datos procesados que nos permitenrealizar operaciones o tomar decisiones.





Informacion

Existen distintos espacios en los cuales se puede representar lainformacion.

Espacio mental.

Espacio del lenguaje.

Espacio tipografico.

Espacio del Computador.





Informacion Analogica e Informacion Digital

Comunmente la informacion es procesada de 2 maneras:analogica y digitalmente.

¿Cual es la diferencia entre informacion digital e informacionanalogica?

La representacion de la informacion esta dada por senales.

por lo que existen senales analogicas y senales digitales.






Una senal se puede considerar como una funcion en el tiempog(t).

Una funcion g(t) continua en el tiempo se dice que es unasenal analogica.

Por su parte, una senal digital es una funcion discreta(niveles).





Senal Analogica





Senal Digital






Senales Analogicas:

Audio.Instrumentos con agujas.

Senales Digitales:

TTL.instrumentos con indicadores numericos.






En la naturaleza todo es analogico, ya que fısicamente todo escontinuo.

los computadores realizan sus operaciones sobre informaciondigital.

Es posible convertir la informacion analogica en informaciondigital y vice versa (ADC y DAC).






¿Es mejor la informacion digital?

Se evitan errores debidos a cambios fısicos, como latemperatura, humedad, etc.

Se evitan los errores acumulativos.





Representacion Numerica

Existen diversas representaciones numericas.

Sin duda, las mas faciles y comodas de utilizar para finesmatematicos, son las que se representan mediante basesnumericas.

Las representaciones numericas que utilizan bases, sonposicionales.

Es posible representar una misma cantidad numerica, endiferentes bases.





Bases Numericas

Forma general de expresar un numero en funcion de su base

k1k2k3 . . . km = k1 ∗Bm−1 + k2 ∗Bm−2 + · · ·+ km−1 ∗B1 + km ∗B0

donde B =base y ki =la cifra i .

Las cifras ki pueden ser dıgitos entre 0 y B − 1.





Numeros Decimales

La base mas comun y natural de utilizar es la base 10, la quecorresponde a los numeros decimales.

En esta base estamos acostumbrados a realizar todas nuestrasoperaciones de calculo.

Por ejemplo...

El numero 7523810 puede ser representado de la forma general, dela siguiente forma:

7 ∗ 104 + 5 ∗ 103 + 2 ∗ 102 + 3 ∗ 101 + 8 ∗ 10◦

.





Numeros binarios

En el mundo digital, se utilizan generalmente representacionesque tienen solo 2 estados discretos (0 o 1, on u off, etc...).

Para ello se utilizan los numeros binarios {0,1} cuya base es 2.

Por ejemplo...

Si se tiene 10011102 corresponde a:

1 ∗ 26 + 0 ∗ 25 + 0 ∗ 24 + 1 ∗ 23 + 1 ∗ 22 + 1 ∗ 21 + 0 ∗ 20 = 7810





Bases Numericas

En la computacion son muy utiles ademas las bases octal(8) yhexadecimal(16).

La utilidad de estas bases, se debe a que pueden representarinformacion binaria de manera compacta (8 y 16 bits).





Sistemas Octal y Hexadecimal

Sistema Octal

Dıgitos: 0,1,2,...,6,7Ej:

53278 = 5 ∗ 83 + 3 ∗ 82 + 2 ∗ 81 + 7 ∗ 80 = 277510

Base Hexadecimal

Dıgitos: 0,1,2,...,9,A,B,C,D,E,FEj:

2A5D16 = 2 ∗ 163 + 10 ∗ 162 + 5 ∗ 161 + 13 ∗ 160 = 1084510





Bases Numericas

Las bases numericas tambien se pueden extender pararepresentar numeros decimales.

De forma general:

k1k2k3 . . . km, kj · · · = k1∗Bm−1+k2∗Bm−2+· · ·+km∗B0+kj∗B−1

Por ejemplo...

376, 5310 = 3 ∗ 102 + 7 ∗ 101 + 6 ∗ 10◦ + 5 + 10−1 + 3 ∗ 10−2

1011, 0112 = 1 ∗ 23 + 1 ∗ 21 + 1 ∗ 2◦ + 1 ∗ 2−2 + 1 ∗ 2−3 = 11, 375372, 438 = 3∗82 +7∗81 +2∗80 +4 ∗ 8−1 + 3 ∗ 8−2 = 250, 546875





Conversion de Bases Numericas

Para la conversion desde la base decimal, a otra base, serealizan divisiones sucesivas de los cocientes, por la base a lacual se transformara. Rescatando en cada paso los restos delas divisiones.

Por ejemplo...

Convertir 23410 a la base octal.234 8

29 23 50 3

→23410 = 3528





Conversion desde la base Decimal

Ejemplo 2

Convertir 53710 a la base binaria.537 2

268 1134 067 033 116 18 04 02 01 00 1

→53710 = 10000110012






Ejemplo 3

Convertir 134510 a la base hexadecimal.1345 16

84 15 40 5

→134510 = 54116






Esta idea se puede extender ademas para numerosfraccionarios.

En este caso es necesario tratar la parte entera y la partedecimal, por separado.

Por ejemplo...

Convertir 23, 437510 a la base binaria.23 2

11 15 12 11 00 1

0,4375 2

0,875 21,750 21,500 21,000 2

→23, 437510 = 10111, 01112





Conversion hacia la base Decimal

Para realizar una conversion desde cualquier base a la basedecimal, es necesario aplicar la formula general propuestaanteriormente:

k1k2k3 . . . km = k1∗Bm−1+k2∗Bm−2+· · ·+km−1∗B1+km∗B0

Por ejemplo...

Convertir 724, 348 a la base decimal.

7 ∗ 82 + 2 ∗ 81 + 4 ∗ 80 + 3 ∗ 8−1 + 4 ∗ 8−2 = 468,4375





Conversion entre las bases de potencia de 2

De manera muy particular, entre las bases que son potenciasde 2, existe una propiedad que hace muy rapida la conversion.

Las mas conocidas son Binario, Octal y Hexadecimal.

El procedimiento de esta conversion se basa en utilizar laconversion a binario como conversion intermedia.

Es decir, por ejemplo para convertir un numero en base octala base hexadecimal, se convierte primero a binario y luego ahexadecimal.





Conversion de una base potencia de 2 a Binario

Para realizar la conversion, se considera B = 2n, por lo quecada dıgito del numero en base B corresponden a n dıgitos debase binaria.

Por Ejemplo...

Para convertir 5248 a binario, se tiene que B = 8 = 23, por lo quen = 3. Luego cada dıgito del numero a convertir se traduce en 3dıgitos binarios.

5 2 41 0 1 0 1 0 1 0 0

→5248 = 1010101002





Conversion de una base potencia de 2 a Binario

Ejemplo 2

Para convertir 3E716 a binario, se tiene que B = 16 = 24, por loque n = 4. Luego cada dıgito del numero a convertir se traduce en4 dıgitos binarios.

3 E 70 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1

→3E716 = 11111001112





Conversion de Binario a una base potencia de 2

Para este procedimiento se considera de igual manera,B = 2n, por lo que se deben hacer grupos de n dıgitos (dederecha a izquierda).

Por Ejemplo...

Para convertir 100110102 a Octal, se tiene que B = 8 = 23, por loque n = 3. Luego se agrupa de la siguiente forma:

1 0 0 1 1 0 1 02 3 2

→100110102 = 2328





Conversion de Binario a una base potencia de 2

Ejemplo 2

Para convertir 11011100010102 a hexadecimal, se tiene queB = 16 = 24, por lo que n = 4.

1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 01 B 8 A

→11011100010102 = 1B8A16





Aritmetica de los Computadores

Como se explico anteriormente, los computadores tienen comounidad de almacenamiento, solo la capacidad de distinguirentre 2 estados (on u off, 0 o 1, etc..).

Los computadores pueden realizar operaciones aritmeticas, porlo que requieren de algun dispositivo de HW para almacenarlos numeros que se esten operando.

Estos dispositivos se denominan registros.

los registros tienen un ancho en bits, definido por laarquitectura. Actualmente los procesadores utilizan registrosde 32 o 64 bits.





El Registro

Un registro se representa por un conjunto de bits(generalmente 8, 16, 32 o 64).

un ejemplo de un registro de 16 bits esta dado por:1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1

Por convencion, los grupos de 8 bits(b) se denominanbytes(B).





El Registro

Podemos darnos cuenta, que si un numero debe seralmacenado en un registro, entonces el tamano maximo deeste numero esta limitado por el ancho del registro.

Con solo 16 bits el numero mas grande representable por unregistro es 216 − 1 = 65535.

Sin embargo, ¿Cuando hemos utilizado nuestros computadoresnormales (de 32 bits), hemos podido trabajar con numerosmayores a 232 − 1?





Aritmetica de los Computadores

Sin duda, al hablar de operaciones aritmeticas se requiereademas que el computador sea capaz de trabajar con numerosnegativos y con numeros decimales.

¿Como se representa un numero negativo en un registro?

Existen diferentes formas de representar un numero negativo,pero por convencion el bit mas significativo del registrorepresenta el signo.

Numero positivo.0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1

Numero negativo.1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1





Numeros negativos

Hay 3 formas de representar numeros negativos

Signo y Magnitud (S-M).Complemento 1 (C-1).Complemento 2 (C-2).

En estas 3 representaciones, los numeros positivos quedan dela misma forma.





Signo y Magnitud

La idea de esta representacion, es reservar el bit massignificativo del registro, para el signo y en el resto de los bitsse almacena la magnitud.

En un registro de 16 bits, solo se utilizan 15 bits para lamagnitud, es decir, el rango representable en 16 bits es:-32767 a 32767.

Ejemplo

para representar el numero −1310 en un registro de 6 bits.1 0 1 1 0 1





Signo y Magnitud

Segun el ancho n de un registro, el rango de numerosrepresentables esta dado por:

−(2n−1 − 1) ≤ N ≤ +(2n−1 − 1)

El problema que surge de esta representacion es el que existendos ceros (+0 y −0).





Complemento 1

La idea de esta representacion es basicamente tomar unnumero positivo y luego complementar cada bit del registropara transformarlo en negativo.

este mecanismo es bastante sencillo y rapido de realizar.

Ejemplo

para representar el numero −1310 en un registro de 6 bits.

Primero se considera 1310

0 0 1 1 0 1

Luego se complementa cada bit1 1 0 0 1 0





Complemento 1


−(2n−1 − 1) ≤ N ≤ +(2n−1 − 1)

Al igual que en S-M, existen dos ceros (+0 y −0).





Complemento 2

En esta representacion, el Complemento 2 de N en un registrode m bits se obtiene calculando 2m − N.

Ejemplo

para representar el numero −1310 en un registro de 6 bits.1 0 0 0 0 0 00 0 0 1 1 0 10 1 1 0 0 1 1

→− 1310 = 1100112 en C-2.





Complemento 2

La otra forma de calcular el Complemento 2, es calcularprimero el C-1 y luego sumar 1.

De esta forma, su calculo es bastante rapido y sencillo, por loque es muy facil de implementar por HW.

Ejemplo

para representar el numero −1310 en un registro de 6 bits.0 0 1 1 0 1 13

1 1 0 0 1 0 13 en C-1.+ 0 0 0 0 0 1 Se suma 1.

1 1 0 0 1 1 −1310 en C-2.





Complemento 2


−(2n−1) ≤ N ≤ +(2n−1 − 1)

Con el C-2 se soluciona el problema de los dos ceros,existiendo un unico cero, por lo que el rango de numerosrepresentables es asimetrico.





Suma de Registros

Para realizar sumas de registros, debemos sumar numerosbinarios.

La idea de esto es aprender como la maquina realiza lasoperaciones aritmeticas internamente.

Analizaremos los formatos C-1 y C-2 de representacion, yaque se pueden implementar por HW.





Suma de Registros

Al realizar una suma, es posible tener un carry de salida y/oun carry de entrada.

Suma con carry de salida y sin carry de entrada:

1 1+ 1

0

Suma con carry de salida y carry de entrada:

1 11

+ 0

0





Suma de Registros

Al sumar registros debemos tener en cuenta que es posiblecausar un overflow.

Recordemos que en n bits solo es posible representar numerosentre:

−(2n−1 − 1) y (2n−1 − 1) para C-1y −(2n−1) y (2n−1 − 1) para C-2.





Suma de Registros en C-2

Algunos ejemplos...

Si queremos calcular (7− 4) utilizando registros de 5 bits.:

0 0 1 0 0 → 4.1 1 0 1 1 → −4 en C-11 1 1 0 0 → −4 en C-2

Luego,

1 1 10 0 1 1 1 → 7.

+ 1 1 1 0 0 → −4 en C-2.

0 0 0 1 1 → 3 en C-2.






Algunos ejemplos...

Calcular (5− 8) utilizando registros de 5 bits.:

0 0 1 0 1 → 5+ 1 1 0 0 0 → −8 en C-2.

1 1 1 0 1 → −3 en C-2.

Calcular (7− 7) utilizando registros de 5 bits.:

1 1 1 1 10 0 1 1 1 → 7

+ 1 1 0 0 1 → −7 en C-2.

0 0 0 0 0 → 0 en C-2.






Utilizando registros de 5 bits en C-2, el numero mınimorepresentable es -16 y el maximo representable es +15.

Si no cumplimos con esto, se produce un overflow.

Ejemplos de overflow

Si intentamos calcular (−10− 8) utilizando registros de 5 bits.:

11 0 1 1 0 → −10 en C-2.

+ 1 1 0 0 0 → −8 en C-2.

0 1 1 1 0 → ???.





Overflow

Ejemplos de overflow

Si intentamos calcular (9 + 7) utilizando registros de 5 bits.:

1 1 1 10 1 0 0 1 → 9.

+ 0 0 1 1 1 → 7.

1 0 0 0 0 → ???.





Overflow

¿Como es posible detectar un overflow?

Para detectar un overflow es necesario analizar el carry desalida y el de entrada, al bit del signo (el bit mas significativo).

Si ambos carry (entrada y salida) son iguales, NO hayoverflow. En caso contrario (si los carry son distintos), existeoverflow.






Tambien se puede operar aritmeticamente con registros enC-1.

Algunos ejemplos

Si calculamos (7− 4) utilizando registros de 5 bits.:

1 1 0 1 1 → −4 en C-1

1 1 1 1 10 0 1 1 1 → 7.

+ 1 1 0 1 1 → −4 en C-1.

0 0 0 1 0+ 1 → Si hay carry de salida, Se suma.

0 0 0 1 1 → 3 en C-1.






Algunos ejemplos


1 1 10 0 1 0 1 → 5.

+ 1 0 1 1 1 → −8 en C-1.

1 1 1 0 0 → −3 en C-1.


0 0 1 1 1 → 7.+ 1 1 0 0 0 → −7 en C-1.

1 1 1 1 1 → −0 en C-1.





Aritmetica de Punto Flotante

A Comienzos de 1980 con la ayuda de varios cientıficos, entreellos W. Kahn, se desarrollo un estandar para el sistema dePunto Flotante, que adopto la IEEE (IEEE 754).

Con la introduccion de este Sistema de Punto Flotante seresolvieron las limitaciones que tiene el Sistema de Punto Fijo.

El estandar cumple con 3 requisitos:1 La representacion del Punto Flotante debe ser consistente en

todas las maquinas que lo adopten.2 La aritmetica de redondeo debe ser correcta.3 El tratamiento de casos especiales debe ser consistente (Ej:

division por cero, etc...).






La notacion de Punto Flotante se asemeja a la notacioncientıfica o exponencial en la que representamos a losnumeros.La idea principal de esta notacion, es facilitar la comparacionentre los numeros y su ordenamiento.






Representacion del estandar IEEE754

Solo nos preocuparemos de la representacion de precision simple(32 bits).

1 bit 8 bits 23 bitsS E M

S: Signo (0=positivo y 1=negativo)

E: Exponente sesgado.

M: Mantisa (magnitud del numero normalizado).






El exponente sesgado corresponde a: e + (Bn−1 − 1)Donde e es el exponente real y n el numero de bits pararepresentar el exponente (en precision simple son 8 bits).

La normalizacion de un numero se refiere a dejarlo de la forma:

+−1.b1b2b3 . . . b23x2

+−e

En los 23 bits de la mantisa, se almacenan los bits desde el b1

al b23 sin considerar el 1 que esta a la izquierda de la coma,llamado bit oculto (hidden bit).






El rango de numeros representables esta dado por:

1,2x10−38a3,4x10+38

Se debe tener en cuenta que existe un cierto grado deprecision, que esta dado por ε (epsilon).

Este numero ε es la diferencia entre 1 y el numero proximomas grande.

Luego, ε esta dado por: 2−n donde n es el numero de bits quetiene la mantisa.Por ejemplo para la precision simple, se tiene queε = 2−23 = 0,000000119

¿Que precision ε se logra con una mantisa de 3 bits?






¿Como sumar o restar en Punto Flotante?

Para sumar o restar, es necesario realizar los siguientes pasos:

1) Se debe desplazar la mantisa del numero que tengamenor exponente, hasta igualar al exponente del otronumero. En este paso es posible perder bastantesdıgitos del numero.

2) Sumar las mantisas (en caso de ser una resta, esnecesario utilizar el complemento 2).

3) Finalmente si es necesario, se debe volver anormalizar.






Un ejemplo de suma

Si queremos sumar los numeros 1,101x2−2 y 0,1x2+3

1) 1,101x2−2 = 0,00001101x2+3

2) Se suma:0,10000000

+ 0,00001101

0,10001101

3) El resultado es 0,10001101x2+3 y finalmente senormaliza, quedando 1,0001101x2+2

Es importante verificar que no se produzcanoverflow.





Codigos

Por codigo se entiende una relacion capaz de llevar unconjunto de sımbolos de un espacio (dominio), a otro espaciodiferente (codominio).





Codigo BCD

Por ejemplo para representar el numero 57310 se puedeconvertir a binario, resultando 57310 = 10001111012

Esta conversion resulta un poco larga, si pensamos que sedebe realizar por cada numero que queremos representar.

Ademas, se debe tener conocimiento completo del numero,para poder realizar la conversion.





Codigo BCD

El codigo BCD establece una relacion que permite convertirrapida y facilmente los numeros decimales en binarios.

Tabla de conversion BCD

Decimal BCD

0 00001 00012 00103 00114 0100

Decimal BCD

5 01016 01107 01118 10009 1001





Codigo BCD

Ejemplo de conversion a BCD

Convertir 438510 a un numero en BCD:

4 3 8 50100 0011 1000 0101

→ 4385 = 0100 0011 1000 0101





Codigo BCD

El codigo Gray tiene propiedades muy particulares, por o quees altamente utilizado.

Esta definido de la siguiente forma:

El codigo Gray de 1 bit, esta dado por {0, 1}.El codigo se puede construir para k + 1 bits, dado el codigo dek bits.Para ello se hace una lista con el codigo Gray conocido y se leanteponen 0’s. Luego se sigue la lista con el codigo en ordeninverso, y antepuesto por 1’s.





Codigo Gray

Construccion del Codigo Gray

0

1→

0 00 1

1 11 0

→

0 0 00 0 10 1 10 1 0

1 1 01 1 11 0 11 0 0





Codigo Gray

Ejemplo de un codigo Gray de 3 bits

i G (i) G (i)

0 0 0 0 01 0 0 1 12 0 1 1 33 0 1 0 24 1 1 0 65 1 1 1 76 1 0 1 57 1 0 0 4

La funcion inversa G (i)−1 = j se define si G (j) = i .





Codigos

Existen otros codigo, como por ejemplo el EBCDIC.

Por ejemplo el codigo ASCII (American Standard Code ofInformation).





Fin...


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