MA12 - Unidade 5Progressoes Aritmeticas

Paulo Cezar Pinto Carvalho

PROFMAT - SBM

9 de Marco de 2013

Sequencias Numericas

Progressoes Aritmeticas sao casos particulares de sequenciasnumericas.

Uma sequencia numerica e uma funcao x : N→ R.

E comum denotar x(n) por xn e usar (xn) para representar asequencia.

PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 5, Progressoes Aritmeticas slide 2/16

Progressoes Aritmeticas

Uma progressao aritmetica e uma sequencia na qual adiferenca entre cada termo e o termo anterior e constante.Essa diferenca constante e chamada de razao da progressao erepresentada pela letra r .

Mais formalmente: (an) e uma progressao aritmetica quandoexiste um numero real r tal que an+1 = an + r , para todon ∈ N.

PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 5, Progressoes Aritmeticas slide 3/16

Termo Geral

Em uma progressao aritmetica (an)

para avancar um termo, basta somar a razao;para avancar dois termos, basta somar duas vezes a razao;e assim por diante;

Por exemplo, a13 = a5 + 8r

De modo geral,an = a1 + (n − 1)r ,

pois, ao passar de a1 para an, avancamos n − 1 termos.

PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 5, Progressoes Aritmeticas slide 4/16

Exemplo

O cometa Halley visita a Terra a cada 76 anos. Sua ultimapassagem por aqui foi em 1986. Quantas vezes ele visitou aTerra desde o nascimento de Cristo? Em que ano foi suaprimeira passagem na era crista?

Os anos de passagem do cometa foram 1986, 1910, 1834,... eformam uma progressao aritmetica de razao −76.

O termo de ordem n dessa progressao e

an = a1 + (n − 1)r = 1986− 76(n − 1) = 2062− 76n.

Temos an > 0 quando n <2062

76= 27, 13 . . . . Portanto, os

termos positivos dessa progressao sao os 27 primeiros.

Logo, ele nos visitou 27 vezes na era crista e sua primeirapassagem na era crista foi no ano a27 = 2062− 76× 27 = 10.

PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 5, Progressoes Aritmeticas slide 5/16

Comecando de a0 ou a1?

O preco de um carro novo e de R$ 15 000,00 e diminui deR$1 000,00 a cada ano de uso. Qual sera o preco com 4 anosde uso?

Chamando o preco com n anos de uso de an, temosa0 = 15000 e queremos calcular a4.

Como a desvalorizacao anual e constante, (an) e umaprogressao aritmetica.

Logo, a4 = a0 + 4r = 15000 + 4× (−1000) = 11000, ou seja,o preco sera de R$11 000,00.

PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 5, Progressoes Aritmeticas slide 6/16

Progressoes aritmeticas e funcoes afins

Em uma progressao aritmetica de razao nao nula, o termogeral e dado por um polinomio do primeiro grau em n:

an = a1 + (n − 1)r = r . n + (a1 − r).

Reciprocamente, se em uma sequencia o termo de ordem n fordado por um polinomio do primeiro grau em n ela sera umaprogressao aritmetica de razao nao nula.Com efeito, se xn = an + b, (xn) e uma progressao aritmeticana qual r = a e a1 = a + b.

PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 5, Progressoes Aritmeticas slide 7/16

O grafico de uma progressao aritmetica

Portanto, uma progressao aritmetica pode ser vista como umafuncao afim, restrita ao domınio dos numeros naturais.

Em consequencia, o grafico de uma progressao aritmetica eum conjunto de pontos igualmente espacados sobre uma reta.

PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 5, Progressoes Aritmeticas slide 8/16

Soma dos termos de uma progressao aritmetica

Sn = a1 + a2 + . . . + an−1 + anSn = an + an−1 + . . . + a2 + a1

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + . . . + (a1 + an) + (a1 + an)

Sn =(a1 + an)n

2.

PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 5, Progressoes Aritmeticas slide 9/16

Exemplos

A soma dos n primeiros numeros inteiros e positivos e

1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n + 1)

2=

n2

2+

n

2.

A soma dos n primeiros numeros ımpares e

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n − 1) =(1 + 2n − 1)n

2= n2.

Em ambos os casos, a expressao da soma e dada por umpolinomio do segundo grau em n, sem termo independente,

PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 5, Progressoes Aritmeticas slide 10/16

Soma dos termos de PAs e funcoes quadraticas

Sn =(a1 + an)n

2=

[a1 + a1 + (n − 1)r ]n

2=

r

2n2 +

(a1 −

r

2

)n.

O termo geral da sequencia (Sn) das somas dos n primeirostermos de uma progressao artimetica com r 6= 0 e dado porum polinomio do segundo grau sem termo independente.

Reciprocamente, todo polinomio do segundo grau em n semtermo independente e o valor da soma dos n primeiros termosde alguma progressao aritmetica com r 6= 0.

PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 5, Progressoes Aritmeticas slide 11/16

Progressoes Aritmeticas de Segunda Ordem

O Operador ∆ (ou de diferenca) para uma sequencia edefinido por:

∆an = an+1 − an

Uma sequencia (an) e uma progressao aritmetica se e somentese (∆an) e uma sequencia constante.

Dizemos que uma sequencia (an) e uma progressao aritmeticade segunda ordem quando (∆an) e uma progressao aritmeticanao constante.

A sequencia (Sn) da soma dos n primeiros termos de umaprogressao aritmetica e uma progressao aritmetica de segundaordem.

PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 5, Progressoes Aritmeticas slide 12/16

Teorema

Uma sequencia e uma progressao aritmetica de segundaordem se e somente se seu termo geral e dado por umpolinomio do segundo grau.

Se an = an2 + bn + c , entao∆an = a(n+1)2+b(n+1)+c−an2−bn−c = 2an+(2a+b),que e um polinomio do primeiro grau. Logo, (∆an) e umaP.A. nao constante e (an) e P.A. de segunda ordem.

Se (an) e P.A. de segunda ordem, entao (bn) = (∆an) e umaP.A. nao constante. Mas an = a1 + (b1 + ... + bn−1). A somaem parenteses e a soma dos n − 1 primeiros termos da P.A.(bn); logo tanto esta soma quanto an sao expressos porpolinomios do segundo grau em n.

PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 5, Progressoes Aritmeticas slide 13/16

Revisitando a Pizza de SteinerQual e o maior numero de partes em que se pode dividir oplano com n cortes retos?

Numero de cortes (n) Numero maximo de partes (pn)

1 2

2 4

3 7

4 11

No n-esimo corte, n regioes sao acrescentadas. Portanto,(∆pn) e uma P.A. e pn e uma P.A. de segunda ordem.A expressao de pn e da forma pn = an2 + bn + c . Masp(1) = a + b + c = 2p(2) = 4a + 2b + c = 4p(3) = 9a + 3b + c = 7Resolvendo o sistema, encontramos a = 1

2 , b = 12 e c = 1 e

pn =n2 + n + 2

2PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 5, Progressoes Aritmeticas slide 14/16

Progressoes Aritmeticas de Ordem Superior

Definicao Uma sequencia (an) e progressao aritmetica deordem k quando ∆an e progressao aritmetica de ordem k − 1.

Observacao: definicao por recorrencia

Teorema: Uma sequencia e uma progressao aritmetica deordem k se e somente se seu termo geral e um polinomio degrau k.

Ver demonstracao no livro-texto.

PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 5, Progressoes Aritmeticas slide 15/16

Uma aplicacaoObter uma expressao para a soma Sn = 12 + 22 + . . . + n2

Como ∆Sn = (n + 1)2 e um polinomio de segundo grau, ∆Sne uma P.A. de segunda ordem. Portanto Sn e uma P.A. deterceira ordem e seu termo geral e da formaSn = an3 + bn2 + cn + d .

Para calcular os valores de a, b, c e d , basta usar os valoresde Sn para n = 1, 2, 3 e 4.

a + b + c + d = 18a + 4b + 2c + d = 527a + 9b + 3c + d = 1464a + 16b + 4c + d = 30

Resolvendo: a =1

3, b =

1

2, c =

1

6, d = 0. Entao

12 + 22 + 32 + · · ·+n2 =1

3n3 +

1

2n2 +

1

6n =

n(n + 1)(2n + 1)

6.

PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 5, Progressoes Aritmeticas slide 16/16