semana 11

Ecuaciones Diferenciales

Catalina DomınguezRicardo Prato

Universidad del Norte

Departamento de matematicas y estadıstica

Semana 13

05-08.10.2015

Pagina 1 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

Sistema Masa-Resorte

Sistema Masa-Resorte

l

Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)

Sistema Masa-Resorte

l

Masa

Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)

Posicion de equilibrio:

Sistema Masa-Resorte

l

Masa

l

Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)

Posicion de equilibrio:masa m produce unaelongacion s

Sistema Masa-Resorte

l

Masa

l

s

Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)

Posicion de equilibrio:masa m produce unaelongacion s

mg − ks = 0

.

Sistema Masa-Resorte

l

Masa

l

s

Masa

F

Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)

Posicion de equilibrio:masa m produce unaelongacion s

mg − ks = 0

.En movimiento, se

Sistema Masa-Resorte

l

Masa

l

s

Masa

F

l

ss

Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)

Posicion de equilibrio:masa m produce unaelongacion s

mg − ks = 0

.En movimiento, se

Sistema Masa-Resorte

l

Masa

l

s

Masa

F

x

l

ss

Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)

Posicion de equilibrio:masa m produce unaelongacion s

mg − ks = 0

.En movimiento, seproduce undesplazamiento x

Sistema Masa-Resorte

l

Masa

l

s

Masa

x

l

ss

Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)

Posicion de equilibrio:masa m produce unaelongacion s

mg − ks = 0

.En movimiento, seproduce undesplazamiento x

ma = −k(x+ s) +mg

Sistema Masa-Resorte

l

Masa

l

s

Masa

x

l

ss

Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)

Posicion de equilibrio:masa m produce unaelongacion s

mg − ks = 0

.En movimiento, seproduce undesplazamiento x

ma = −k(x+ s) +mg

ma = −kx−ks+mg

Sistema Masa-Resorte

l

Masa

l

s

Masa

x

l

ss

Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)

Posicion de equilibrio:masa m produce unaelongacion s

mg − ks = 0

.En movimiento, seproduce undesplazamiento x

ma = −k(x+ s) +mg

ma = −kx−ks+mg

md2x

dt2= −kx

Sistema Masa-Resorte

l

Masa

l

s

Masa

x

l

ss

Movimiento libre No amortiguado

d2x

dt2+ ω2x = 0, ω =

√

k

m

Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)

Posicion de equilibrio:masa m produce unaelongacion s

mg − ks = 0

.En movimiento, seproduce undesplazamiento x

ma = −k(x+ s) +mg

ma = −kx−ks+mg

md2x

dt2= −kx

Sistema Masa-Resorte

l

Masa

l

s

Masa

x

l

ss

Movimiento libre No amortiguado

d2x

dt2+ ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0

Resorte de longitud l yconstante de elasticidadk (sin estirar)

Posicion de equilibrio:masa m produce unaelongacion s

mg − ks = 0

.En movimiento, seproduce undesplazamiento x

ma = −k(x+ s) +mg

ma = −kx−ks+mg

md2x

dt2= −kx

Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.

Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.

Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.

En equilibrio estatico:

Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.

En equilibrio estatico:

Hallar k

Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.

En equilibrio estatico:

Hallar k

Fresorte = W

Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.

En equilibrio estatico:

Hallar k

Fresorte = W

k · 12m

Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.

En equilibrio estatico:

Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.

En equilibrio estatico:

Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100

Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.

En equilibrio estatico:

Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100

Hallar m.

Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.

En equilibrio estatico:

Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100

Hallar m. Si g ≈ 10m/s2

Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.

En equilibrio estatico:

Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100

Hallar m. Si g ≈ 10m/s2

W = mg,⇒

Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.

En equilibrio estatico:

Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100

Hallar m. Si g ≈ 10m/s2

W = mg,⇒ m =10N

10m/s2=

Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.

En equilibrio estatico:

Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100

Hallar m. Si g ≈ 10m/s2

W = mg,⇒ m =10N

10m/s2= 1Kg

Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.

En equilibrio estatico:

Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100

Hallar m. Si g ≈ 10m/s2

W = mg,⇒ m =10N

10m/s2= 1Kg

Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.

En equilibrio estatico:

Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100

Hallar m. Si g ≈ 10m/s2

W = mg,⇒ m =10N

10m/s2= 1Kg

En movimiento:

Mov. libre no amortiguado

Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.

En equilibrio estatico:

Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100

Hallar m. Si g ≈ 10m/s2

W = mg,⇒ m =10N

10m/s2= 1Kg

En movimiento:

Mov. libre no amortiguado

x′′(t) +k

mx(t) = 0

Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.

En equilibrio estatico:

Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100

Hallar m. Si g ≈ 10m/s2

W = mg,⇒ m =10N

10m/s2= 1Kg

En movimiento:

Mov. libre no amortiguado

x′′(t) +k

mx(t) = 0

x′′(t) +100

1x(t) = 0

Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.

En equilibrio estatico:

Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100

Hallar m. Si g ≈ 10m/s2

W = mg,⇒ m =10N

10m/s2= 1Kg

En movimiento:

Mov. libre no amortiguado

x′′(t) +k

mx(t) = 0

x′′(t) +100

1x(t) = 0

x′′(t) + 100x(t) = 0

Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.

En equilibrio estatico:

Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100

Hallar m. Si g ≈ 10m/s2

W = mg,⇒ m =10N

10m/s2= 1Kg

En movimiento:

Mov. libre no amortiguado

x′′(t) +k

mx(t) = 0

x′′(t) +100

1x(t) = 0

x′′(t) + 100x(t) = 0

x(0) =0.5, x′(0) = 10

Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.

En equilibrio estatico:

Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100

Hallar m. Si g ≈ 10m/s2

W = mg,⇒ m =10N

10m/s2= 1Kg

En movimiento:

Mov. libre no amortiguado

x′′(t) +k

mx(t) = 0

x′′(t) +100

1x(t) = 0

x′′(t) + 100x(t) = 0

x(0) =0.5, x′(0) = 10

r2+100 = 0,

Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.

En equilibrio estatico:

Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100

Hallar m. Si g ≈ 10m/s2

W = mg,⇒ m =10N

10m/s2= 1Kg

En movimiento:

Mov. libre no amortiguado

x′′(t) +k

mx(t) = 0

x′′(t) +100

1x(t) = 0

x′′(t) + 100x(t) = 0

x(0) =0.5, x′(0) = 10

r2+100 = 0, r = ±10i

Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.

En equilibrio estatico:

Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100

Hallar m. Si g ≈ 10m/s2

W = mg,⇒ m =10N

10m/s2= 1Kg

En movimiento:

Mov. libre no amortiguado

x′′(t) +k

mx(t) = 0

x′′(t) +100

1x(t) = 0

x′′(t) + 100x(t) = 0

x(0) =0.5, x′(0) = 10

r2+100 = 0, r = ±10i

x(t) = c1 cos(10t) + c2 sin(10t)

Un cuerpo que pesa 10 N esta sujeto al extremo de un resorte, el cual seestira medio metro mediante una fuerza de 50 N. El cuerpo se pone enmovimiento desde una posicion inicial de 0.5 m y una velocidaddescendente de 10 m/s. Encuentre el desplazamiento del cuerpo paracualquier tiempo t y la amplitud de oscilacion.

En equilibrio estatico:

Hallar k

Fresorte = W

k · 12m = 50N

k = 100

Hallar m. Si g ≈ 10m/s2

W = mg,⇒ m =10N

10m/s2= 1Kg

En movimiento:

Mov. libre no amortiguado

x′′(t) +k

mx(t) = 0

x′′(t) +100

1x(t) = 0

x′′(t) + 100x(t) = 0

x(0) =0.5, x′(0) = 10

r2+100 = 0, r = ±10i

x(t) = c1 cos(10t) + c2 sin(10t)

x(t) =1

2cos(10t) + 1 · sin(10t)

... continuacion ...

Movimiento libre no amortiguado

x′′ + ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0

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... continuacion ...

Movimiento libre no amortiguado

x′′ + ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0

x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)

Pagina 4 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

... continuacion ...

Movimiento libre no amortiguado

x′′ + ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0

x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)

Pagina 4 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

... continuacion ...

Movimiento libre no amortiguado

x′′ + ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0

x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)

C =√

c21+ c2

2

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... continuacion ...

Movimiento libre no amortiguado

x′′ + ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0

x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)

C =√

c21+ c2

2

x(t) =(

c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt))C

C

Pagina 4 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

... continuacion ...

Movimiento libre no amortiguado

x′′ + ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0

x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)

C =√

c21+ c2

2

x(t) =(

c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt))C

C

= C(c1C

cos(ωt) +c2C

sin(ωt))

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... continuacion ...

Movimiento libre no amortiguado

x′′ + ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0

x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)

C =√

c21+ c2

2

x(t) =(

c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt))C

C

= C(c1C

cos(ωt) +c2C

sin(ωt))

c2

c1

C

α

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... continuacion ...

Movimiento libre no amortiguado

x′′ + ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0

x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)

C =√

c21+ c2

2

x(t) =(

c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt))C

C

= C(c1C

cos(ωt) +c2C

sin(ωt))

c2

c1

C

α

cos(α) =

Pagina 4 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

... continuacion ...

Movimiento libre no amortiguado

x′′ + ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0

x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)

C =√

c21+ c2

2

x(t) =(

c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt))C

C

= C(c1C

cos(ωt) +c2C

sin(ωt))

c2

c1

C

α

cos(α) =c1C

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... continuacion ...

Movimiento libre no amortiguado

x′′ + ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0

x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)

C =√

c21+ c2

2

x(t) =(

c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt))C

C

= C(c1C

cos(ωt) +c2C

sin(ωt))

c2

c1

C

α

cos(α) =c1C

sin(α) =c2C

Pagina 4 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

... continuacion ...

Movimiento libre no amortiguado

x′′ + ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0

x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)

C =√

c21+ c2

2

x(t) =(

c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt))C

C

= C(c1C

cos(ωt) +c2C

sin(ωt))

= C(

cos(α) cos(ωt) + sin(α) sin(ωt))

c2

c1

C

α

cos(α) =c1C

sin(α) =c2C

Pagina 4 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

... continuacion ...

Movimiento libre no amortiguado

x′′ + ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0

x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)

C =√

c21+ c2

2

x(t) =(

c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt))C

C

= C(c1C

cos(ωt) +c2C

sin(ωt))

= C(

cos(α) cos(ωt) + sin(α) sin(ωt))

= C cos(ωt− α)

c2

c1

C

α

cos(α) =c1C

sin(α) =c2C

Pagina 4 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

... continuacion ...

Movimiento libre no amortiguado

x′′ + ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0

x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)

C =√

c21+ c2

2

x(t) =(

c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt))C

C

= C(c1C

cos(ωt) +c2C

sin(ωt))

= C(

cos(α) cos(ωt) + sin(α) sin(ωt))

= C cos(ωt− α) C = Amplitud

c2

c1

C

α

cos(α) =c1C

sin(α) =c2C

Pagina 4 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

... continuacion ...

Movimiento libre no amortiguado

x′′ + ω2x = 0, ω =

√

k

m

x(0) = x0, x′(0) = v0

x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)

α

C

C =√

c21+ c2

2

x(t) =(

c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt))C

C

= C(c1C

cos(ωt) +c2C

sin(ωt))

= C(

cos(α) cos(ωt) + sin(α) sin(ωt))

= C cos(ωt− α) C = Amplitud

c2

c1

C

α

cos(α) =c1C

sin(α) =c2C

Pagina 4 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

Sistema Masa-Resorte

Masa

F

x

l + s

Sistema Masa-Resorte

Masa

x

l + s

Sistema Masa-Resorte

Masa

x

l + s

Movimiento libre amortiguado

Fuerza amortiguamiento:

famort. = βdx

dt

Sistema Masa-Resorte

Masa

x

l + s

Movimiento libre amortiguado

Fuerza amortiguamiento:

famort. = βdx

dt

ma = mg − k(x+ s)− βdx

dt

Sistema Masa-Resorte

Masa

x

l + s

Movimiento libre amortiguado

Fuerza amortiguamiento:

famort. = βdx

dt

ma = mg − k(x+ s)− βdx

dt

md2x

dt2= −kx− β

dx

dt

Sistema Masa-Resorte

Masa

x

l + s

Movimiento libre amortiguado

Fuerza amortiguamiento:

famort. = βdx

dt

ma = mg − k(x+ s)− βdx

dt

md2x

dt2= −kx− β

dx

dtd2x

dt2+

k

mx+

β

m

dx

dt= 0

Sistema Masa-Resorte

Masa

x

l + s

Movimiento libre amortiguado

Fuerza amortiguamiento:

famort. = βdx

dt

ma = mg − k(x+ s)− βdx

dt

md2x

dt2= −kx− β

dx

dtd2x

dt2+

k

mx+

β

m

dx

dt= 0

d2x

dt2+ 2λ

dx

dt+ ω2x = 0

2λ =β

mω2 =

k

m

Sistema Masa-Resorte

Masa

x

l + s

Movimiento libre amortiguado

Fuerza amortiguamiento:

famort. = βdx

dt

ma = mg − k(x+ s)− βdx

dt

md2x

dt2= −kx− β

dx

dtd2x

dt2+

k

mx+

β

m

dx

dt= 0

d2x

dt2+ 2λ

dx

dt+ ω2x = 0

2λ =β

mω2 =

k

mEcuacion caracterıstica:

m2 + 2λm+ ω2 = 0

Sistema Masa-Resorte

Masa

x

l + s

Movimiento libre amortiguado

Fuerza amortiguamiento:

famort. = βdx

dt

ma = mg − k(x+ s)− βdx

dt

md2x

dt2= −kx− β

dx

dtd2x

dt2+

k

mx+

β

m

dx

dt= 0

d2x

dt2+ 2λ

dx

dt+ ω2x = 0

2λ =β

mω2 =

k

mEcuacion caracterıstica:

m2 + 2λm+ ω2 = 0 ⇒ m1,2 = −λ±√

λ2 − ω2

Sistema Masa-Resorte

Caso I: λ2 − ω2 > 0 (Sobre-amortiguamiento)

En este caso β > k y las soluciones vienen dadas por

x(t) = e−λt(

C1e√λ2−ω2t + C2e

−√λ2−ω2t

)

Sistema Masa-Resorte

Caso I: λ2 − ω2 > 0 (Sobre-amortiguamiento)

En este caso β > k y las soluciones vienen dadas por

x(t) = e−λt(

C1e√λ2−ω2t + C2e

−√λ2−ω2t

)

1

2

3

0.5 1.0 1.5 2.0−0.5

e−λt

Sistema Masa-Resorte

Caso I: λ2 − ω2 > 0 (Sobre-amortiguamiento)

En este caso β > k y las soluciones vienen dadas por

x(t) = e−λt(

C1e√λ2−ω2t + C2e

−√λ2−ω2t

)

1

2

3

0.5 1.0 1.5 2.0−0.5

C1e√λ2−ω2t + C2e

−√λ2−ω2te−λt

Sistema Masa-Resorte

Caso I: λ2 − ω2 > 0 (Sobre-amortiguamiento)

En este caso β > k y las soluciones vienen dadas por

x(t) = e−λt(

C1e√λ2−ω2t + C2e

−√λ2−ω2t

)

1

2

3

0.5 1.0 1.5 2.0−0.5

C1e√λ2−ω2t + C2e

−√λ2−ω2te−λt

x(t)

Sistema Masa-Resorte

Caso I: λ2 − ω2 > 0 (Sobre-amortiguamiento)

En este caso β > k y las soluciones vienen dadas por

x(t) = e−λt(

C1e√λ2−ω2t + C2e

−√λ2−ω2t

)

1

2

3

0.5 1.0 1.5 2.0−0.5

C1e√λ2−ω2t + C2e

−√λ2−ω2te−λt

x(t)

El cuerpo puede pasar por el puntode equilibrio, pero NO logra realizaruna oscilacion completa

Sistema Masa-Resorte

Caso II: λ2 − ω2 = 0 (Crıticamente amortiguamiento)

En este caso las soluciones vienen dadas por

x(t) = e−λt(

C1 + C2t)

Sistema Masa-Resorte

Caso II: λ2 − ω2 = 0 (Crıticamente amortiguamiento)

En este caso las soluciones vienen dadas por

x(t) = e−λt(

C1 + C2t)

1

2

3

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5−0.5−1.0

e−λt

Sistema Masa-Resorte

Caso II: λ2 − ω2 = 0 (Crıticamente amortiguamiento)

En este caso las soluciones vienen dadas por

x(t) = e−λt(

C1 + C2t)

1

2

3

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5−0.5−1.0

C1 + C2te−λt

Sistema Masa-Resorte

Caso II: λ2 − ω2 = 0 (Crıticamente amortiguamiento)

En este caso las soluciones vienen dadas por

x(t) = e−λt(

C1 + C2t)

1

2

3

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5−0.5−1.0

C1 + C2te−λt

x(t)

Sistema Masa-Resorte

Caso II: λ2 − ω2 = 0 (Crıticamente amortiguamiento)

En este caso las soluciones vienen dadas por

x(t) = e−λt(

C1 + C2t)

1

2

3

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5−0.5−1.0

C1 + C2te−λt

x(t)

La masa puede pasar por el puntode equilibrio a lo sumo una vez. Nose presentan oscilaciones

Sistema Masa-Resorte

Caso II: λ2 − ω2 = 0 (Crıticamente amortiguamiento)

En este caso las soluciones vienen dadas por

x(t) = e−λt(

C1 + C2t)

1

2

3

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5−0.5−1.0

C1 + C2te−λt

x(t)

La masa puede pasar por el puntode equilibrio a lo sumo una vez. Nose presentan oscilaciones

Sistema Masa-Resorte

Caso III: ∆ := λ2 − ω2 < 0 (Sub-amortiguamiento)

En este caso β < k y las soluciones vienen dadas por

x(t) = e−λt(

C1 cos√−∆ t+ C2 sin

√−∆ t

)

Sistema Masa-Resorte

Caso III: ∆ := λ2 − ω2 < 0 (Sub-amortiguamiento)

En este caso β < k y las soluciones vienen dadas por

x(t) = e−λt(

C1 cos√−∆ t+ C2 sin

√−∆ t

)

2

4

−2

−4

1 2 3 4 5 6

e−λt

Sistema Masa-Resorte

Caso III: ∆ := λ2 − ω2 < 0 (Sub-amortiguamiento)

En este caso β < k y las soluciones vienen dadas por

x(t) = e−λt(

C1 cos√−∆ t+ C2 sin

√−∆ t

)

2

4

−2

−4

1 2 3 4 5 6

C1 cos√−∆ t+ C2 sin

√−∆ t

e−λt

Sistema Masa-Resorte

Caso III: ∆ := λ2 − ω2 < 0 (Sub-amortiguamiento)

En este caso β < k y las soluciones vienen dadas por

x(t) = e−λt(

C1 cos√−∆ t+ C2 sin

√−∆ t

)

2

4

−2

−4

1 2 3 4 5 6

C1 cos√−∆ t+ C2 sin

√−∆ t

e−λt

x(t)

Sistema Masa-Resorte

Masa

F

x

l + s

Sistema Masa-Resorte

Masa

x

l + s

Sistema Masa-Resorte

Masa

x

l + s

F

Sistema Masa-Resorte

Masa

x

l + s

F

Movimiento forzado

En este caso

Sistema Masa-Resorte

Masa

x

l + s

F

Movimiento forzado

En este caso

d2x

dt2+ 2λ

dx

dt+ ω2x =

Fm

2λ =β

mω2 =

k

m

Sistema Masa-Resorte

Masa

x

l + s

F

Movimiento forzado

En este caso

d2x

dt2+ 2λ

dx

dt+ ω2x =

Fm

2λ =β

mω2 =

k

m

dondex(t) = xc(t) + xp(t)

Sistema Masa-Resorte

Masa

x

l + s

F

Movimiento forzado

En este caso

d2x

dt2+ 2λ

dx

dt+ ω2x =

Fm

2λ =β

mω2 =

k

m

dondex(t) = xc(t) + xp(t)

1 xc(t) se dice solucion transitoria

Sistema Masa-Resorte

Masa

x

l + s

F

Movimiento forzado

En este caso

d2x

dt2+ 2λ

dx

dt+ ω2x =

Fm

2λ =β

mω2 =

k

m

dondex(t) = xc(t) + xp(t)

1 xc(t) se dice solucion transitoria(xc(t) → 0 cuando t → ∞)

Sistema Masa-Resorte

Masa

x

l + s

F

Movimiento forzado

En este caso

d2x

dt2+ 2λ

dx

dt+ ω2x =

Fm

2λ =β

mω2 =

k

m

dondex(t) = xc(t) + xp(t)

1 xc(t) se dice solucion transitoria(xc(t) → 0 cuando t → ∞)

2 xp(t) se dice solucion de estado estacionario

Movimiento Libre Forzado mx′′(t) + βx′(t) + kx = F (t)

x(t) = xc(t) + xp(t)

Pagina 11 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

Movimiento Libre Forzado mx′′(t) + βx′(t) + kx = F (t)

x(t) = xc(t) + xp(t)

1

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7 8

Solucion transitoria xc

Pagina 11 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

Movimiento Libre Forzado mx′′(t) + βx′(t) + kx = F (t)

x(t) = xc(t) + xp(t)

1

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7 8

Solucion transitoria xc

Solucion estable xp

Pagina 11 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

Movimiento Libre Forzado mx′′(t) + βx′(t) + kx = F (t)

x(t) = xc(t) + xp(t)

1

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7 8

Solucion transitoria xc

Solucion estable xp

Solucion estable x(t) = xc(t) + xp(t)

Pagina 11 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

Ejemplo

La solucion de

d2x

dt2+ ω2x = F0 sin γt

x(0) = 0 x′(0) = 0

donde γ 6= ω viene dada por

x(t) =F0

ω(ω2 − γ2)(−γ sinωt+ ω sin γt)

Pagina 12 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

Ejemplo

La solucion de

d2x

dt2+ ω2x = F0 sin γt

x(0) = 0 x′(0) = 0

donde γ 6= ω viene dada por

x(t) =F0

ω(ω2 − γ2)(−γ sinωt+ ω sin γt)

Pregunta

¿ limγ→ω

x(t)?

Pagina 12 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

Mov. Forzado sin amortiguamientox′′(t) + ω2x = F0 sin(γt) x(0) = x′(0) = 0

Pagina 13 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

Mov. Forzado sin amortiguamientox′′(t) + ω2x = F0 sin(γt) x(0) = x′(0) = 0

x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt) +F0

ω2 − γ2sin(γt)

Pagina 13 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

Mov. Forzado sin amortiguamientox′′(t) + ω2x = F0 sin(γt) x(0) = x′(0) = 0

x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt) +F0

ω2 − γ2sin(γt)

Al resolver el PVI

x(t) =F0

ω(ω2 − γ2)

(

− γ sin(ωt) + ω sin(γt))

Pagina 13 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

Mov. Forzado sin amortiguamientox′′(t) + ω2x = F0 sin(γt) x(0) = x′(0) = 0

x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt) +F0

ω2 − γ2sin(γt)

Al resolver el PVI

x(t) =F0

ω(ω2 − γ2)

(

− γ sin(ωt) + ω sin(γt))

Si γ → ω

Pagina 13 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

Mov. Forzado sin amortiguamientox′′(t) + ω2x = F0 sin(γt) x(0) = x′(0) = 0

x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt) +F0

ω2 − γ2sin(γt)

Al resolver el PVI

x(t) =F0

ω(ω2 − γ2)

(

− γ sin(ωt) + ω sin(γt))

Si γ → ω

limγ→ω

−γ sin(ωt) + ω sin(γt)

ω(ω2 − γ2)=

Pagina 13 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

Mov. Forzado sin amortiguamientox′′(t) + ω2x = F0 sin(γt) x(0) = x′(0) = 0

x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt) +F0

ω2 − γ2sin(γt)

Al resolver el PVI

x(t) =F0

ω(ω2 − γ2)

(

− γ sin(ωt) + ω sin(γt))

Si γ → ω

limγ→ω

−γ sin(ωt) + ω sin(γt)

ω(ω2 − γ2)= lim

γ→ω

ddγ

(

− γ sin(ωt) + ω sin(γt))

ddγ

(

ω(ω2 − γ2))

Pagina 13 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

Mov. Forzado sin amortiguamientox′′(t) + ω2x = F0 sin(γt) x(0) = x′(0) = 0

x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt) +F0

ω2 − γ2sin(γt)

Al resolver el PVI

x(t) =F0

ω(ω2 − γ2)

(

− γ sin(ωt) + ω sin(γt))

Si γ → ω

limγ→ω

−γ sin(ωt) + ω sin(γt)

ω(ω2 − γ2)= lim

γ→ω

ddγ

(

− γ sin(ωt) + ω sin(γt))

ddγ

(

ω(ω2 − γ2))

= limγ→ω

− sin(ωt) + ωt cos(γt)

−2ωγ

Pagina 13 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

Mov. Forzado sin amortiguamientox′′(t) + ω2x = F0 sin(γt) x(0) = x′(0) = 0

x(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt) +F0

ω2 − γ2sin(γt)

Al resolver el PVI

x(t) =F0

ω(ω2 − γ2)

(

− γ sin(ωt) + ω sin(γt))

Si γ → ω

limγ→ω

−γ sin(ωt) + ω sin(γt)

ω(ω2 − γ2)= lim

γ→ω

ddγ

(

− γ sin(ωt) + ω sin(γt))

ddγ

(

ω(ω2 − γ2))

= limγ→ω

− sin(ωt) + ωt cos(γt)

−2ωγ=

− sin(ωt) + ωt cos(ωt)

−2ω2

Pagina 13 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

Ejemplo

limα→ω

x(t) =F0

2ω2sin(ωt)− F0

2ωt cos(ωt)

Pagina 14 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

Ejemplo

limα→ω

x(t) =F0

2ω2sin(ωt)− F0

2ωt cos(ωt)

2

4

6

8

−2

−4

−6

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

Pagina 14 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

Ejemplo

limα→ω

x(t) =F0

2ω2sin(ωt)− F0

2ωt cos(ωt)

2

4

6

8

−2

−4

−6

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

Pagina 14 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

Ejemplo: Resonancia

limα→ω

x(t) =F0

2ω2sin(ωt)− F0

2ωt cos(ωt)

2

4

6

8

−2

−4

−6

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

Pagina 14 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

Resonancia

Si no ve el video consulte:

http://www.youtube.com/watch?v=j-zczJXSxnw

Ejemplo

1 Una masa de 3Kg esta fija al extremo de un resorte quese estira20 cm por una fuerza de 15N . Se pone en movimiento con la posicioninicial de x0 = 0 y la velocidad inicial de v0 = −10m/s. Encuentre laamplitud, el periodo y la frecuencia del movimiento resultante.

2 Una masa que pesa 100K esta sujeta al extremos de un resorte que seha estirado 1m mediante una fuerza de 100K. Otra fuerza F0 cos(ωt)actua sobre la masa. ¿A que frecuencia (en hertzios) ocurriran lasoscilaciones de resonancia? Haga casa omiso del amortiguamiento.

3 A mass of 1 slug, when attached to a spring, stretches it 2 feet andthen comes to rest in the equilibrium position. Starting at t = 0, anexternal force equal to f(t) = 8 sin 4t is applied to the system. Findthe equation of motion if the surrounding medium offers a dampingforce numerically equal to 8 times the instantaneous velocity.

Pagina 16 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

.Circuitos RLC

E

R

L

C

Carga: q(t)

Voltaje: V (t)

Corriente: i(t)

Resistencia: R

Fuente: E

Capacitancia: C

Inductancia: L

.Circuitos RLC

E

R

L

C

Carga: q(t)

Voltaje: V (t)

Corriente: i(t)

Resistencia: R

Fuente: E

Capacitancia: C

Inductancia: L

Caıda de voltaje en el condensador:q(t)

C

.Circuitos RLC

E

R

L

C

Carga: q(t)

Voltaje: V (t)

Corriente: i(t)

Resistencia: R

Fuente: E

Capacitancia: C

Inductancia: L

Caıda de voltaje en el condensador:q(t)

CCaıda de voltaje en la resistencia: Ri

.Circuitos RLC

E

R

L

C

Carga: q(t)

Voltaje: V (t)

Corriente: i(t)

Resistencia: R

Fuente: E

Capacitancia: C

Inductancia: L

Caıda de voltaje en el condensador:q(t)

CCaıda de voltaje en la resistencia: Ri

Caıda de voltaje en el inductor: Ldi(t)

dt

.Circuitos RLC

E

R

L

C

Carga: q(t)

Voltaje: V (t)

Corriente: i(t)

Resistencia: R

Fuente: E

Capacitancia: C

Inductancia: L

Caıda de voltaje en el condensador:q(t)

CCaıda de voltaje en la resistencia: Ri

Caıda de voltaje en el inductor: Ldi(t)

dtUsando la segunda ley de Kirchhoff

.Circuitos RLC

E

R

L

C

Carga: q(t)

Voltaje: V (t)

Corriente: i(t)

Resistencia: R

Fuente: E

Capacitancia: C

Inductancia: L

Caıda de voltaje en el condensador:q(t)

CCaıda de voltaje en la resistencia: Ri

Caıda de voltaje en el inductor: Ldi(t)

dtUsando la segunda ley de Kirchhoff

Ldi(t)

dt

.Circuitos RLC

E

R

L

C

Carga: q(t)

Voltaje: V (t)

Corriente: i(t)

Resistencia: R

Fuente: E

Capacitancia: C

Inductancia: L

Caıda de voltaje en el condensador:q(t)

CCaıda de voltaje en la resistencia: Ri

Caıda de voltaje en el inductor: Ldi(t)

dtUsando la segunda ley de Kirchhoff

Ldi(t)

dt+Ri(t)

.Circuitos RLC

E

R

L

C

Carga: q(t)

Voltaje: V (t)

Corriente: i(t)

Resistencia: R

Fuente: E

Capacitancia: C

Inductancia: L

Caıda de voltaje en el condensador:q(t)

CCaıda de voltaje en la resistencia: Ri

Caıda de voltaje en el inductor: Ldi(t)

dtUsando la segunda ley de Kirchhoff

Ldi(t)

dt+Ri(t) +

1

Cq(t) =

.Circuitos RLC

E

R

L

C

Carga: q(t)

Voltaje: V (t)

Corriente: i(t)

Resistencia: R

Fuente: E

Capacitancia: C

Inductancia: L

Caıda de voltaje en el condensador:q(t)

CCaıda de voltaje en la resistencia: Ri

Caıda de voltaje en el inductor: Ldi(t)

dtUsando la segunda ley de Kirchhoff

Ldi(t)

dt+Ri(t) +

1

Cq(t) = E(t)

.Circuitos RLC

E

R

L

C

Carga: q(t)

Voltaje: V (t)

Corriente: i(t)

Resistencia: R

Fuente: E

Capacitancia: C

Inductancia: L

Caıda de voltaje en el condensador:q(t)

CCaıda de voltaje en la resistencia: Ri

Caıda de voltaje en el inductor: Ldi(t)

dtUsando la segunda ley de Kirchhoff

Ldi(t)

dt+Ri(t) +

1

Cq(t) = E(t)

Ld2q(t)

dt2+R

dq(t)

dt+

1

Cq(t) = E(t)

Si E(t) = 0

Ld2q(t)

dt2+R

dq(t)

dt+

1

Cq(t) = 0

las vibraciones electricas del circuito se dice que son libres.

Pagina 18 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

Si E(t) = 0

Ld2q(t)

dt2+R

dq(t)

dt+

1

Cq(t) = 0

las vibraciones electricas del circuito se dice que son libres.La ecuacion caracterıstica para esta dada por

Lm2 +Rm+1

C= 0

Pagina 18 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

Si E(t) = 0

Ld2q(t)

dt2+R

dq(t)

dt+

1

Cq(t) = 0

las vibraciones electricas del circuito se dice que son libres.La ecuacion caracterıstica para esta dada por

Lm2 +Rm+1

C= 0 ⇒ m1,2 =

−R±√

R2 − 4LC

2L

Pagina 18 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

Si E(t) = 0

Ld2q(t)

dt2+R

dq(t)

dt+

1

Cq(t) = 0

las vibraciones electricas del circuito se dice que son libres.La ecuacion caracterıstica para esta dada por

Lm2 +Rm+1

C= 0 ⇒ m1,2 =

−R±√

R2 − 4LC

2L

Lo anterior define 3 estados del circuito dependiendo del valor deldiscriminante:

Pagina 18 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

Si E(t) = 0

Ld2q(t)

dt2+R

dq(t)

dt+

1

Cq(t) = 0

las vibraciones electricas del circuito se dice que son libres.La ecuacion caracterıstica para esta dada por

Lm2 +Rm+1

C= 0 ⇒ m1,2 =

−R±√

R2 − 4LC

2L

Lo anterior define 3 estados del circuito dependiendo del valor deldiscriminante:

Estadoamorti-guado

Discriminante

∆ := R2 − 4LC

Solucion

sobre R2 − 4LC

> 0, q(t) = e−R

2Lt(C1e

√∆t + C2e

√∆t)

crıtico R2 − 4LC

= 0 q(t) = e−R

2Lt(C1 + C2t)

sub R2 − 4LC< O q(t) = e

−R

2Lt(C1 cos

√−∆t+ C2 sin

√−∆t)

Pagina 18 Semana 11 05-08.10.2015 C. Domınguez -R. Prato

Cuando E(t) = 0 y R = 0, el circuito se dice no amortiguado y lasvibraciones electricas no tienden a cero cuando t crece sin lımite, larespuesta del circuito es armonica simple.

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Cuando E(t) = 0 y R = 0, el circuito se dice no amortiguado y lasvibraciones electricas no tienden a cero cuando t crece sin lımite, larespuesta del circuito es armonica simple.

En cada uno de estos tres casos la solucion general de q(t) contiene el

factor e−R

2Lt, y ası

q(t) → 0 cuando t → ∞

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Cuando E(t) = 0 y R = 0, el circuito se dice no amortiguado y lasvibraciones electricas no tienden a cero cuando t crece sin lımite, larespuesta del circuito es armonica simple.

En cada uno de estos tres casos la solucion general de q(t) contiene el

factor e−R

2Lt, y ası

q(t) → 0 cuando t → ∞

En el caso subamortiguado cuando q(0) = q0, la carga en elcondensador oscila a medida que decae, en otras palabras, elcondensador se carga y descarga cuando t → ∞.

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Cuando E(t) = 0 y R = 0, el circuito se dice no amortiguado y lasvibraciones electricas no tienden a cero cuando t crece sin lımite, larespuesta del circuito es armonica simple.

En cada uno de estos tres casos la solucion general de q(t) contiene el

factor e−R

2Lt, y ası

q(t) → 0 cuando t → ∞

En el caso subamortiguado cuando q(0) = q0, la carga en elcondensador oscila a medida que decae, en otras palabras, elcondensador se carga y descarga cuando t → ∞.

Cuando el voltaje aplicado en el circuito E(t) 6= 0 , las vibracioneselectricas se dicen que estan forzadas. En el caso en que R 6= 0, lasolucion de la homogenea asociada qc(t), se denomina una soluciontransciente o remanente (transient solution).

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Cuando E(t) = 0 y R = 0, el circuito se dice no amortiguado y lasvibraciones electricas no tienden a cero cuando t crece sin lımite, larespuesta del circuito es armonica simple.

En cada uno de estos tres casos la solucion general de q(t) contiene el

factor e−R

2Lt, y ası

q(t) → 0 cuando t → ∞

En el caso subamortiguado cuando q(0) = q0, la carga en elcondensador oscila a medida que decae, en otras palabras, elcondensador se carga y descarga cuando t → ∞.

Cuando el voltaje aplicado en el circuito E(t) 6= 0 , las vibracioneselectricas se dicen que estan forzadas. En el caso en que R 6= 0, lasolucion de la homogenea asociada qc(t), se denomina una soluciontransciente o remanente (transient solution).

Si E(t) es periodica o una constante, entonces la solucion particularqp(t) de se dice solucion de estado estacionario (steady-statesolution).

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Ejemplo

1 Find the charge on the capacitor in an RLC series circuit when L = 1

2

h, R = 10Ω , C = 0.01 f, E(t) = 150 V, q(0) = 1 C, and i(0) = 0 A.What is the charge on the capacitor after a long time?

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Ejemplo

1 Find the charge on the capacitor in an RLC series circuit when L = 1

2

h, R = 10Ω , C = 0.01 f, E(t) = 150 V, q(0) = 1 C, and i(0) = 0 A.What is the charge on the capacitor after a long time?

2 Encuentre la carga y la corriente de estado estable en un circuito LRCen serie cuando L = 1h, R = 2Ω, C = 1/4 y E(t) = 50 cos(t)V .

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