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5 Las Funciones Trigonométricas

Sección 5.1 Angulos

Introducción • Si comenzamos con un rayo fijo l1,

que tiene un extremo nombrado O, y rotamos el rayo en el plano sobre O in a plane, hasta llegar a la posición nombrado por l2 formamos un ángulo.

• Llamamos l1 el lado inicial, l2 el lado terminal, y al O el vértice de ∠AOB.

• Si no restringimos ni el tamaño ni la dirección de la rotación, encontraremos que muchos ángulos comparten el mismo lado inicial o el mismo lado terminal.

• Dos ángulos cualesquiera que comparten lado el lado terminal o el lado inicial se conocen ángulos coterminales.

Introducción

Posición Estándar • En un sistema de coordenadas

rectangulares , la posición estándar de un ángulo se obtiene colocando el vértice del ángulo en el origen y dejando que el lado inicial coincida con la parte positiva del eje de x.

• Si l1 se rota en la dirección en contra de la manecillas del reloj, hacia el lado terminal, entonces el ángulos se considera positivo.

Posición Estándar (cont.) • Si l1 se rota a favor de la

maneciallas del reloj, entonces el ángulo que se construye en un ángulo negativo

• Si el lado terminal de un ángulo que está en posición estándar se encuentra en un cierto cuadrante del plano cartesiano, decimos que el “ángulo está en ese cuadrante “

Ej. En la figura, 𝛼 está en el cuadrante III,

Posición Estándar

Una medida del ángulo: Grados

• El ángulo, en posición estándar, que se obtiene luego de una rotación completa en contra de las maneciallas del reloj tiene una medida de 360 grados, que se escribe 360°.

Una medida del ángulo: Grados

Una medida del ángulo: Grados

Ejemplo • Si θ = 60° esta en posición estándar,

hallar la medida de dos ángulos coterminales con θ, dos positivos y dos negativos.

• Solución : Elegimos los ángulos más pequeños o Para determinar dos ánglulos positivos

coterminales, sumanos 360° o 720°, a la medida de θ

o Para determinar dos ánglulos negativos coterminales, sumanos –360° o –720°, a la medida de θ para obtener

Solución (cont.) 60° + 360° = 420° y 60° + 720° = 780°

Solución (cont.) 60° + (–360°) = –300° y

60° + (–720°) = –660°

Tipos de ángulos • Se describen algunos tipos de

ángulos:

Medidas de ángulos • Si necesitamos utilizar una medida

más pequeña que un grado, podemos referirnos a esta medida como una parte decimal de un grado.

• Ej θ mide 55.5o

θ

Minutos y Segundos • También el grado se divide en …

o 60 parts iguales, llamadas minutos ( y que se denotan ′ ), y

o cada minuto se divide en 60 partes iguales, llamadas segundos (y que se denotadan ″ ).

o Por lo tanto, 1o = 60’, y 1’ = 60”

• Ej: Si θ mide 55.5o entonces mide 55o 30’

Conversiones A menudo las medidas se encuentran en grados decimales. Ej 121.135 °, en lugar de grados minutos y segundos Para convertir un valor decimal al sistema sexagesimal: • Multiplica el decimal por 60. En el ejemplo, 0,135 * 60 = 8.1 Esto es equivalente en minutos a 8 ‘ • El decimal del paso anterior se multiplica por 60. En el ejemplo anterior, 0.1 * 60 = 6. El número resultante representa los segundos. • Los tres números se escriben utilizando los símbolos de

grados (°), minutos (') y segundos (") En el ejemplo 121.135 ° = 121 ° 8‘ 6"

Conversiones Para convertir del sistema sexagesimal a un valor decimal: • La parte entera se queda igual. • Divida los minutos entre 60. • Divide los segundos entre 3600. • Sume los tres números • Ejemplo: Convertir 40o 20’ 50” a decimal. 40 + (20/60) + (50/3600)

Relaciones entre ángulos • Si θ es la medida de un ángulo

central de un círculo de radio r, entonces: β es el ángulo complementario de θ

si β = 90 – θ. β es el ángulo suplementario de θ si β = 180 – θ.

Ejemplo • Determinar el ángulo que es

complementario a θ si: a) θ = 25° 43′ 37″ b) θ = 73.26°

• Solución:

a) Debemos hallar 90° – θ. Para restar las dos medidas expresamos 90° en una forma equivalente, 89°59′60″.

Solución (cont.)

Otra medida: el radian Cuando estudiemos las

funciones trigonométricas, vamos a medir los ángulos en radianes para que los valores del dominio y del rango puedan ser medidos en escalas comparables.

Un radián • El ángulo central

de un círculo mide un radián si el arco interceptado por el ángulo tiene la misma longitud que el radio.

Medida en radianes(cont.)

¿Cuántos radianes hay en un círculo?

• Hay 360 grados en un círculo. ¿Cuántos radianes hay?

• Hay un poco más de 6 radianes en un círculo

• De hecho, hay exactamente 2π radianes en un círculo

• ≈ 2 x 3.14159≈ 6.28

Grados vs. Radianes (cont.) • Un ángulo que mide 2π radianes

corresponde a una medida en grados de 360°, por lo tanto 360° = 2π radianes.

• Esto nos lleva a lo siguiente:

Grados vs. Radianes (cont.) • Noten que cuando se utiliza la medida

de radian, por costumbre no se indican unidades.

• Por ejemplo, si un ángulo tiene una medida de 5 radianes,

escribiremos θ = 5 y no θ = 5 radianes. • Si θ se mide en grados escribiremos θ = 5°, y no θ = 5.

• Para cambiar de una medida a otra podemos usar la proporción

Grados vs. Radianes (cont.)

Ejemplo 1: Convertir 120o a radianes Solución: Usando proporciones: 𝝅𝟏𝟏𝟏

=𝒙𝟏𝟏𝟏

𝟏𝟏𝟏𝝅𝟏𝟏𝟏

= 𝒙

Esto simplifica a 𝒙 =𝟏𝝅𝟑

Podemos notar que, en este caso, resolver la proporción es equivalente a multiplicar por 𝝅

𝟏𝟏𝟏 .

Grados vs. Radianes (cont.)

Ejemplo 2: Convertir 6𝜋5 a grados Solución: Usando proporciones: 𝟏𝟏𝟏𝝅

=𝒙𝟔𝝅𝟓

𝟏𝟏𝟏𝟏𝝅𝟓𝝅 = 𝒙

𝒙 = 𝟏𝟏𝟔𝒐

Podemos notar que, en este caso, resolver la proporción es equivalente a multiplicar por 𝟏𝟏𝟏

𝝅 .

• Convertir entre medidas: Ejemplo

a)

Eliminar el factor común de 45 .

b)

Eliminar el factor común de 𝟒𝝅 .

Ejemplo • Convertir θ = 3 a grados, minutos,

y segundos:

Longitud de un arco circular • Un arco circular es un trozo

o una parte de la longitud de la circunferencia

• Si un arco de largo s, en un círculo de radio r, está suspendido sobre un ángulo central, θ, (medida en radianes) entonces

s= r θ (la longitud del arco es igual al radio del círculo por la medida del ángulo central

en radianes)

Longitud de un arco circular • Calcule la longitud del arco

circular, s, si el círculo tiene radio igual a 12 cm y el ángulo suspendido mide 60o. s = r θ

cm

Area de un sector circular • Si θ es la medida en radianes de

un ángulo central de un círculo de radio r, entonces el área del sector circular está dado por:

𝐴 = 1

2𝑟2𝜃

Ejemplo El ángulo central, θ, está suspendido sobre un arco de longitud igual a 10 cm en un círculo de radio igual a 4 cm.

a) Aproxime la medida de θ en grados.

b) Encuentre el área del sector circular determinado por θ.

Solución Parte A:

Convertir de radianes a grados.

Hallar θ:

Solución (cont.) Parte B : Encuentre el área del sector circular determinado por θ.

Ejemplo Determinar el ángulo que es suplementario a β=2 . Solución: Si β = k radianes entonces

1. su ángulo complementario es el ángulo que mide 𝜋2− β

2. su ángulo suplementario es el ángulo que mide π − β

NOTE que β = 2 es un ángulo del segundo cuadrante por que 𝜋

2≈ 1.57 < 2 y 𝜋 ≈ 3.14 > 2.

Solución (cont.) Como β=2 es un ángulo del segundo cuadrante, el ángulo suplementario a β es

𝜋 − 2 𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑒𝑓 𝜋 − 2 ≈ 1.14

Movimiento circular Si un punto se mueve a lo largo de un círculo; su movimiento tiene dos características: • la distancia recorrida va

cambiando • el ángulo central, θ, va

cambiando

Movimiento circular • La velocidad angular es la razón a

la que el ángulo central, θ, va cambiando

𝜔 =𝜃𝑒

• La velocidad lineal es la razón a la

que está cambiando la distancia recorrida, s, en un el tiempo t

𝑣 =𝑠𝑒

Ejemplo • Un niño gira una piedra con una honda de

3 pies de largo a una velocidad de 15 revoluciones cada 10 segundos. Encuentre la velocidad angular y la velocidad lineal de la piedra.

Solución • En 10 segundos, la piedra da 15 vueltas completas a

un círculo. • Por lo tanto, 𝜃 cambia a 15 ∙ 2𝜋

𝜔 =𝜃𝑒

=15 ∙ 2𝜋

10

𝜔 = 3π rad/seg

Solución (cont.) • Cada vuelta que da la piedra tiene una

longitud igual a la circunferencia del círculo.

• Por lo tanto, 𝑠, cambia a 15 ∙ 2𝜋𝑓, donde r es el radio del círculo

𝑣 =𝑠𝑒

=15 ∙ 2𝜋 ∙ 3

10

v = 9π pies/seg

Movimiento Circular • Podemos observar que hay una relación

entre ambas velocidades. • Si despejamos una fórmula para t,

• Y sustituimos en la otra

• Como s = rθ tenemos que r = 𝑠𝜃

. Entonces,

𝑒 =𝜃𝜔

𝑣 =𝑠𝑒 → 𝑣 =

𝑠𝜃𝜔

→ 𝑣 =𝑠𝜔𝜃

𝒗 = 𝒓𝝎

Ejemplo • Una mujer va en una bicicleta cuyas

ruedas tienen 26 pulgadas de diámetro. Si la ruedas giran a 125 revoluciones por minuto encuentre la velocidad a la que está viajando la bicicleta.

Solución • La rueda gira 125 veces en un minuto. • Por lo tanto, 𝜃 cambia a 125 ∙ 2𝜋

𝜔 =𝜃𝑒

=125 ∙ 2𝜋

1

𝜔 = 250π rad/min 𝑣 = 𝑓𝜔

𝑣 = 13 ∙ 250𝜋 𝒗 ≈ 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏 𝒑𝒑𝒑𝒑/𝒎𝒎𝒎 𝒗 ≈ 𝟗.𝟕 𝒎𝒎/𝒉

Notas adicionales

Grados vs. Radianes (cont.) • Aquí se muestran dibujos de algunos

ángulos.

Grados vs. Radianes (cont.)

• Esta tabla muestra la medida en grados y radianes de ángulos especiales:

Angulos comunes