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Ecuaciones cuadráticas

Departamento de Matemáticas

Universidad de Puerto Rico - Arecibo

Resolver ecuaciones cuadráticas

mediante factorización

Polinomios de grado 2

Una ecuación cuadrática es un polinómio de grado dos.

En esta parte del curso resolveremos ecuaciones cuadráticas en una variable.

Ejemplos: 2w2 - 8w + 3 = 0 3x - x2 + 4 = 2x - 6 5x2 - 3 = 6x + 5 7 = 5y2

Ecuación cuadrática en forma

general

Una ecuación cuadrática tiene la forma general: ax2 + bx + c = 0,

donde a, b,c son valores reales; y a≠0

a es el coeficiente del término principal (Es el coeficiente del término cuadrático;

Es el coeficiente de la variable de grado 2).

b es el coeficiente del término lineal (coeficiente de la variable de grado 1.)

c es el término constante o simplemente la constante.

Ejemplo: Escriba 4 = 2x (3x + 5) en forma general.

Solución:

4 = 6x2 + 10x por la propiedad distributiva

4 – 4 = 6x2 + 10x – 4 por la propiedad de igualdad

0 = 6x2 + 10x – 4

6x2 + 10x - 4 = 0 por la propiedad reflexiva,

Escribir en forma general

Escriba 3x – x2 + 4 = 2x – 6 en forma general.

Solución: 3x – x2 + 4 = 2x – 6 3x – x2 + x2 + 4 = 2x – 6 + x2 3x + 4 = 2x – 6 + x2 3x – 3x + 4 = 2x – 3x – 6 + x2 4 = -x – 6 + x2 4 – 4 = -x – 6 – 4 + x2

0 = -x – 10 + x2

x2 – x – 10 = 0

Ejemplo

ordenar, luego usar propiedad reflexiva

Escriba (5x – 3) (4x + 2) = 3x + 9 en forma general.

Solución: 5x (4x + 2) – 3 (4x + 2) propiedad distributiva

20x2 + 10x – 12x – 6 = 3x + 9 20x2 – 2x – 6 = 3x + 9 20x2 – 2x – 3x – 6 = 3x – 3x + 9 20x2 – 5x – 6 – 9 = 9 – 9 20x2 – 5x – 15 = 0

Ejemplo

Soluciones de una ecuación

Las soluciones de una ecuación cuadrática son aquellos valores de la variable que hacen que la expresión cuadrática tenga un valor de 0.

Ejemplo: Determine si x = 2 es solución de 5x2 – 6x – 8 = 0.

Solución: =5(2)2 – 6(2) – 8 =20 – 12 – 8 =0 2 ES solución de la ecuación.

Ejemplo

Determine si x = -3 es solución de 5x2 – 6x – 8 = 0.

Solución:

= 5(-3)2 – 6(-3 ) – 8

= 5(9) + 18 – 8

= 45 + 18 – 8

= 63 – 8

= 55

Por lo tanto, x = -3 NO es solución de la ecuación.

≠ 0

Soluciones de una ecuación

Una ecuación cuadrática puede tener

• Dos (2) soluciones reales

• Una (1) solución real

• Ninguna (0) solución real

Resolver ecuaciones

cuadráticas

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. • Método de factorización • Método de raíz cuadrada • Método utilizando la fórmula cuadrática

Método de factorización

Factorizamos la ecuación cuadrática y luego aplicamos

el principio del factor cero que establece que:

Si 𝒂 × 𝒃 = 0 entonces a = 0 ó b = 0

En otras palabras, si un producto de dos expresiones es cero, es porque por lo menos uno de las dos expresiones es igual a cero.

Pasos en el método de

factorización

1. Escribir la ecuación de la forma general: ax2 + bx + c = 0 2. Factorizar el polinomio cuadrático ax2 + bx + c 3. Utilizar la propiedad de factor cero Si ab = 0 entonces a = 0 ó b = 0. 4. Resolver las ecuaciones lineales. 5. Verificar la solución.

Principio del factor cero

Según este principio, si tenemos una ecuación cuadrática en su forma factorizada:

(x + 2)(x + 3) = 0 podemos decir que

x + 2 = 0 ó x + 3 = 0 por lo que

x = -2 ó x = -3

El conjunto solución de la ecuación es {-2, 3}.

Ejemplo:

Determine las soluciones de

2 – 11x = – 12x2.

Paso 1. Escribir la ecuación en forma general.

12x2 – 11x + 2 = 0

Paso 2. Factoriza el polinomio cuadrático.

Necesitamos factores de 24 que sumen – 11, 12x2 – 8x – 3x + 2 = 0 4x(3x – 2) – (3x – 2) = 0 (4x – 1)(3x – 2) = 0

Ejemplo (cont)

(4x – 1)(3x – 2) = 0

Paso 3. Se utiliza la propiedad del factor cero.

4x – 1 = 0 ó 3x – 2 = 0

Paso 4. Resolver las ecuaciones lineales.

4x – 1 = 0 ó

4x = 1

x = 1/4

3x – 2 = 0 3x = 2

x = 2/3

El conjunto solución es 𝟏

𝟒,

𝟐

𝟑

Ejemplo

Hallar el conjunto solución : 3x2 – 5x = 0 Solución: Esta ecuación cuadrática tiene solo dos términos que tienen un factor común. x(3x – 5) = 0 Ahora, usamos el principio del factor cero y establecemos que: x = 0 ó 3x – 5 = 0 3x – 5 = 0 3x = 5

x = 5/3

El conjunto solución es 0, 𝟓

𝟑

Ejemplo

Hallar el conjunto solución de 5x2 – 6x – 8 = 0

Solución:

Factorizar la expresión cuadrática.

Necesitamos factores de -40 que sumen -6. Usemos -10 y 4

5x2 – 10x + 4x – 8 = 0

5x(x – 2) + 4(x – 2) = 0

(x – 2)(5x + 4) = 0

Continuación del ejemplo

Ahora, usamos el principio del factor cero y establecemos que:

x – 2 = 0 ó 5x + 4 = 0 por lo que:

x = 2 ó x = -4/5

El conjunto de soluciones de la ecuación son: {2, -4/5}

Cuidado

El principio del factor cero funciona solo con la

ecuación igualada a cero, y no con otros números.

Es común cometer el error de aplicar una versión

modificada de este principio con otros números,

Por ejemplo si, (x + 4)(x – 3) = 5 NO podemos

concluir que x + 4 = 5 ó x – 3 = 5

En ese caso, tendríamos que multiplicar los binomios

y escribir la ecuación en forma general antes de

empezar a factorizar.

Ejemplo

Hallar el conjunto solución de 2x2 + 4x – 9 = 0

Solución:

Factorizar la expresión cuadrática.

Necesitamos factores de -18 que sumen 4. Los posibles son:

(- 2)(9) = -18

(2)(-9) = -18

(3)(-6) = -18

(-3)(6) = -18

(1)(-18) = -18

(-1)(18) = -18

(- 2) + (9) = 7 (2) + ( -9) = -7

(3) + ( -6) = -3

(1) + ( -18) = -17

(-1) + ( 18) = 17

(-3) + ( 6) = 3

La ecuación NO factoriza sobre los reales. Habría que utilizar OTRO método para resolver.

Ejemplo

Resolver: 4x2 – 9 = 0

Solución: Factorizar la expresión cuadrática. Esto es una diferencia de cuadrados, por lo tanto factoriza (2x – 3) (2x + 3) = 0 Por el principio del factor cero tenemos que 2x – 3 = 0 2x = 3 x = 3/2

El conjunto solución es

−𝟑

𝟐,

𝟑

𝟐

2x + 3 = 0 2x = -3 x = -3/2

Ejemplo

Resolver:

Solución: Factorizar la expresión cuadrática. 2𝑥2 + 𝟖𝒙 − 𝟑𝒙 − 12 = 0 2x(x + 4) – 3(x + 4) = 0 (x + 4)(2x – 3)=0 Por el principio del factor cero tenemos que

x + 4=0

x= -4

El conjunto solución es −4, 3/2

2x – 3 = 0 2x = 3 x = 3/2

𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎

Ejemplo

Resolver:

Solución: Primeramente, factorizar la expresión por factor común. 𝑥3 − 8𝑥2 + 16𝑥 = 0

𝑥(𝑥2 − 8𝑥 + 16) = 0 Luego, factorizar el trinomio cuadrático x(x – 4)(x – 4) = 0

x – 4 = 0

x= 4

El conjunto solución es 𝟎, 𝟒

x = 0

Aplicar el principio del factor cero .

𝒙𝟑 − 𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 = 𝟎

Ejemplo

Resolver: 16𝒙𝟐 − 𝟗𝒙𝟒 = 𝟎

Solución: Factorizar la expresión por factor común. 16𝑥2 − 9𝑥4 = 0 𝑥2(16 − 9𝑥2) = 0 Factorizar la diferencia de cuadrados 𝑥2(4 − 3𝑥)(4 + 3𝑥) = 0

4 – 3x = 0

x= 4/3

El conjunto solución es 𝟎, −𝟒

𝟑, 𝟒/𝟑

x2 = 0 x = 0

Aplicar el principio del factor cero

4 + 3x = 0 x= - 4/3

Ejercicios

A. Escriba en forma general

1) 3x - 5 = 2x2 + 10

2) (4x - 5)(3x + 2) - 3x = 5

3) 7x - 3x2 = 4 - 6x

B. Determine si el número a la derecha es solución

o no de la ecuación.

1) x2 - 5x - 24 = 0 {8}

2) 2x2 - 4x + 5 = 0 {2}

3) 3x2 + x - 2 = 0 {-1}

Soluciones

A. Escriba en forma general

1) -2x2 - 3x + 15 = 0

2) 12x2 - 10x - 15 = 0

3) -3x2 + 13x - 4 = 0

B. Determine si el número a la derecha es solución

o no de la ecuación.

1) cierto

2) falso

3) cierto

Ejercicios

Soluciones