representaciÓn grÁfica de funciones
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REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
Por Aida
Pasos a seguir
• Dominio• Simetrías• Periodicidad• Puntos de corte con los ejes• Asíntotas y ramas infinitas• Crecimiento y decrecimiento• Extremos relativos (máximos y mínimos)• Curvatura• Puntos de inflexión
Estudio del dominio• Las funciones polinómicas están definidas para todos los
valores de x.• Las funciones racionales no están definidas en los puntos
que anulan el denominador.• Las funciones radicales de índice par no están definidas en
los valores que hacen negativo el radicando.• Las funciones exponenciales están definidas para todos los
valores de x.• Las funciones logarítmicas no están definidas para los
valores menores o iguales que cero. • Las funciones trigonométricas (seno y coseno) están
definidas en todo R.
Puntos de corte con los ejes
• CON EL EJE X:Hacemos y = 0Despejamos x:
(a,0)
• CON EL EJE Y:Hacemos x = 0Despejamos y:
(0,a)
Estudio de las asíntotas
TIPOS DEASÍNTOTAS
HORIZONTALES OBLÍCUASVERTICALES
Asíntotas verticales:
Asíntotas horizontales:
Asíntotas oblícuas:
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
• Una función f(x) es creciente en un intervalo (a,b) si f’(x) > 0
• Una función f(x) es decreciente en un intervalo (a,b) si f’(x) < 0
Igualamos la primera derivada a cero (obteniendo los valores donde puede cambiar de signo), y partimos el dominio con los puntos que salen para estudiar el signo de la derivada.
Crecimiento y decrecimiento
• Una función f(x) es creciente en un intervalo (a,b) si f’(x)>0
• Una función f(x) es decreciente en un intervalo (a,b) si f’(x) < 0
• En los máximos y mínimos relativos, la recta tangente a la curva es horizontal y, por tanto, de pendiente nula. Por tanto: Si una función tiene máximos o mínimos relativos y es derivable en esos puntos, entonces su derivada se anula en estos puntos
Curvatura
• Una curva es cóncava (o cóncava hacia arriba) en un punto cuando, al trazar la tangente en ese punto, la curva queda por encima de la recta tangente.
• Una curva es convexa (o cóncava hacia abajo) en un punto cuando, al trazar la tangente en ese punto, la curva queda por debajo de la recta tangente.
Puntos de inflexión
• Puntos de inflexión de una curva son los puntos en que cambia el sentido de la curvatura pasando de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. En los puntos de inflexión la tangente atraviesa la curva.
• Si f tiene un punto de inflexión en x = a, entonces f'' (a)=0.
Ejemplo 1º:
D(f)=R, por ser una función polinómica.
Puntos de corte con los ejes:
Ramas infinitas:
43 23 xxy
4,0440·300
0,20,11,20120430..
23
223
yyxYeje
yxxxxxyXejeCP
43lim 23 xxx
43lim 23 xxx
;
Crecimiento:
Extremos relativos:
2,0023063' 2 xxxxxxxf
01'0, f
01'2,0 f
03',2 f
f crece
f decrece
f crece
40;00'' ff
02;02'' ff
máximo en (0,4)
mínimo en (2,0)
401066 ,.I.Pxxx''f
66 xx''f
Curvatura:
001 ''f,
convexa
021 ''f,
cóncava
Representación:
Ejemplo 2º:
D(f)=R, por ser una función polinómica.
Puntos de corte con los ejes:
Ramas infinitas:
1003643lim 234 xxxx
1003643lim 234 xxxx
1003643 234 xxxy
100,01000
??010036430..
234
yxYeje
xxxyXejeCP
Crecimiento:
Extremos relativos:
3,2,00721212' 23 xxxxxxxf
04'3, f
01'0,3 f
01'2,0 f
03',2 f
f decrece
f crece
f decrece
f crece
722436 2 xxx''f
893;03'' ff
1000;00'' ff
362;02'' ff
mínimo en (-3,-89)
máximo en (0,100)
mínimo en (2,36)
Ejemplo 3º:
D(f)=R, por ser una función polinómica.
Puntos de corte con los ejes:
Ramas infinitas:
34 43 xxy
0,000
3/4,00430..
34
yxYeje
xxxxyXejeCP
34 43lim xxx
34 43lim xxx
Crecimiento:
Extremos relativos:
1,001212' 23 xxxxxf
01'0, f
05010 ,'f,
02',1 f
f crece
f crece
f decrece
xxx''f 2436 2
00;00'' ff
11;01'' ff
no hay extremo relativo en (0,0)
máximo en (1,1)
Ejemplo 4º:
Puntos de corte con los ejes:
Asíntotas:
2
752
x
xxy
2RfD (excluimos del dominio los valores de x que anulan el denominador)
5'3,02/70
sin0750..
2
yxYeje
soluciónxxyXejeCP
2..
0
21
2
75lim
0
21
2
75lim
2
2
2
2
xenVA
x
xx
x
xx
x
x
2
75lim
2
x
xxx
no hay A.H.
12
75lim2
75
lim2
2
2
xx
xx
xx
xx
mxx
32
73
2
275lim
2
75lim lim
222
x
x
x
xxxxx
x
xxn
xxx
Asíntota oblícua: y = x - 3
Crecimiento:
Extremos relativos:
1,302
34
2
1·75252'
2
2
2
2
xx
x
xx
x
xxxxxf
02'1, f
05,1'2,1 f
05,2'3,2 f
04',3 f
f crece
f decrece
f decrece
f crece
31;01'' ff
13;03'' ff
máximo en (1,-3)
mínimo en (3,1)
4
22
2
2234242
x
x··xxxxx''f
Ejemplo 5º:
Puntos de corte con los ejes:
Asíntotas:
A.V. no hay porque no hay puntos fuera del dominio.
12
3
x
xy
RfD (el denominador no se anula nunca)
0,000
0,0000..
3
yxYeje
xxyXejeCP
1
lim2
3
x
xx
no hay A.H.
Asíntota oblícua: y = x
1lim1lim3
32
3
xx
x
xx
x
mxx
01
lim1
lim2
33
2
3
x
xxxx
x
xn
xx
Crecimiento:
Representación:
00
1
3
1
21322
22
22
322
x
x
xx
x
x·xxxx'f
010 'f,
010 'f,
f crece
f crece
Curvatura:
42
224223
1
213164
x
x·x·xxx·xxx''f
00''f P. I. en (0,0)
010 ''f,
010 ''f,
f convexa
f cóncava
Ejemplo 6º:
Puntos de corte con los ejes:
Asíntotas:
Asíntota oblícua: no hay.
xx
xy
2
12
2
2,0RfD (excluimos del dominio los valores de x que anulan el denominador)
DomxYeje
soluciónxyXejeCP
0
sin010..
2
0..
0
1
2
1lim
0
1
2
1lim
2
2
0
2
2
0
xenVA
xx
x
xx
x
x
x
1..12
1lim
2
2
yenHA
xx
xx
2
0
1
2
10
1
2
1
2
2
2
2
2
2
xen.V.A
xxx
lim
xxx
lim
x
x
Crecimiento:
Extremos relativos:
02621 'f',
010621 'f,'
0506200 ''f',
012620 'f,'
032 'f,
f decrece
f crece
f crece
f decrece
f decrece
62,1,62,002
222
2
22122'
22
2
22
22
xx
xx
xx
xx
xxxxxxf
31;01'' ff
13;03'' ff
máximo en (1,-3)
mínimo en (3,1)
Ejemplo 7º:
Puntos de corte con los ejes:
D(f)=R, por ser una función polinómica.
Crecimiento:
Asíntotas: no hay.
Dominio:
xxxy 96 23
0,000·90·600
0,30,03,00960..
23
23
yyxYeje
yxxxxyXejeCP
xxxx
96lim 23
xxxlimx
96 23
Ramas infinitas:
3,109123' 2 xxxxxf
00'1, f
02'3,1 f
04',3 f
f crece
f decrece
f crece
Curvatura:
Puntos de inflexión:
Extremos relativos:
41;01'' ff
03;03'' ff
máximo en (1,4)
mínimo en (3,0)
20126'' xxxf
00''2, f
03'',2 f
f convexa
f cóncava
2,2..22 IPf
Ejemplo 8º:
Puntos de corte con los ejes:
Asíntotas:
Asíntota oblícua: y = x + 9
Dominio:
1
82
x
xxy
1RfD(excluimos del dominio los valores de x que anulan el denominador)
0,000
0,8,0,08,00750..
2
yxYeje
xxxxyXejeCP
1..
0
9
1
8lim
0
9
1
8lim
2
1
2
1
xenVA
x
xx
x
xx
x
x
1
8lim
2
x
xxx
no hay A.H.
18
lim1
8
lim2
2
2
xx
xx
xx
xx
mxx
91
8lim
2
xx
xxn
x
Crecimiento:
Extremos relativos:
Curvatura:
4,201
82'
2
2
xxx
xxxf
03'2, f
00'1,2 f
02'4,1 f
05',4 f
f crece
f decrece
f decrece
f crece
42;02'' ff
16404 f;''f
máximo en (-2,4)
mínimo en (4,16)
3118
xx''f
..01
18''
3InoP
xxf
00''1, f
03'',1 f
f convexa
f cóncava
Ejemplo 9º:
Puntos de corte con los ejes:
Asíntotas:
Asíntotas oblícuas:
Dominio:
xxy 102
,100,10,00102 fDxxxx
(excluimos del dominio los valores de x que hacen negativo el radicando)
0,000
0,10,0,010,00..
yxYeje
xxyXejeCP
A.V. no hay, por estar definida en los extremos del dominio.
xfxlim no hay A.H.
110
lim2
x
xxm
x 510lim 2
xxxnx
110
lim2
x
xxm
x 510lim 2
xxxn
x
;
; y = x – 5 en ;
; y = - x + 5 en
Crecimiento:
Extremos relativos: no hay.
Curvatura:
fDxxx
xxf
50
10
5'
2
01'0, f
011',10 f
f decrece
f crece
..01010
25''
22InoP
xxxxxf
01''0, f
011'',10 f
f convexa
f convexa
Ejemplo 10º:
Puntos de corte con los ejes:
Asíntotas:
Asíntotas oblícuas: no hay.
Dominio:
2xey
RfD (porque el exponente es una función polinómica)
1,0100
sin0..
fxYeje
soluciónyXejeCP
A.V. no hay, por estar definida en los extremos del dominio.
0lim xfx
A.H.: y = 0
Crecimiento:
Extremos relativos:
Curvatura:
Puntos de inflexión:
máximo en (0,1)
002'2
xxexf x
02'0, f
01',0 f
f crece
f decrece
10;00'' ff
2
2;
2
2024''
22 xxexxf x
e
e
e
e,
2
2;,
2
2P.I.:
04''2
2, f
00''
2
2,
2
2f
04'',
2
2f
f cóncava
f convexa
f cóncava
Ejemplo 11º:
Puntos de corte con los ejes:
Asíntotas:
Asíntotas oblícuas no hay:
Dominio:
9ln 2 xy
,33,3,3092 fDxxx
fDxYeje
yxxyXejeCP
0
10,00,1010;100..
3..9lnlim 2
3
xenVAx
x
3..9lnlim 2
3
xenVAx
x
xfxlim A.H.: no
hay
0
9lnlim;0
9lnlim
22
x
xm
x
xm
xx
Crecimiento:
Extremos relativos: no hay.
Curvatura:
fDxx
xxf
00
9
2'
2
04'3, f
04',3 f
f decrece
f crece
..09
182''
22
2
InoPx
xxf
04''3, f
04'',3 f
f convexa
f convexa
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