representaciÓn grÁfica de funciones

E L A B O R Ó : P T B . S A L V A D O R S A L G A D O G E O R G E

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

PROPÓSITO DEL MÓDULO:

Representar gráficamente fenómenos naturales y/o

sociales mediante el cálculo de superficies,

distancias, pendientes y ángulos relacionados con su

vida diaria a fin de construir lugares geométricos que

permitan la ubicación de objetos en sistemas

coordenados.

MAPA DEL MÓDULO

UNIDAD I: REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LUGARES GEOMÉTRICOS

• PROPÓSITO DE LA UNIDAD: Representará gráficamente

ecuaciones de las rectas y de espacios geométricos

poligonales, considerando principios, leyes y procedimientos

de trazo, aplicables al análisis, descripción y solución de

situaciones de la vida cotidiana.

• RESULTADO DE APRENDIZAJE: 1.1 Representa gráficamente

espacios geométricos poligonales, considera los principios,

leyes y procedimientos gráficos, aplicables a la solución de

situaciones de la vida cotidiana.

CONTENIDO

A. EMPLEO DE RELACIONES Y FUNCIONES.

VARIABLES DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES.

RELACIONES

FUNCIONES

B. IDENTIFICACIÓN DE LOS FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA.

SEGMENTO DIRIGIDO

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

PERÍMETRO DE POLÍGONOS

ÁREA DE POLÍGONOS

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

PUNTO MEDIO

VARIABLE DEPENDIENTE E INDEPENDIENTE

• VARIABLE DEPENDIENTE: Una variable dependiente es

aquella cuyos valores dependen de los que tomen otra

variable.

La variable dependiente en una función se suele representar

por y. La variable dependiente se representa en el eje

ordenadas.

La variable y está en función de la variable x, que es la variable

independiente.

VARIABLE DEPENDIENTE E INDEPENDIENTE

• VARIABLE INDEPENDIENTE: Una variable independiente es

aquella cuyo valor no depende del de otra variable.

La variable independiente en una función se suele representar por

x. La variable independiente se representa en el eje de abscisas.

La variable y, llamada variable dependiente, está en función de la

variable x, que es la variable independiente.

EJEMPLO I

El precio que pagamos por las patatas depende del número de

kilogramos que compremos.

EJEMPLO II

El precio de un viaje en taxi viene dado por:

y= 3 + 0.5x

Siendo x el tiempo en minutos que dura el viaje.

x 10 20 30 40

𝐲 = 𝟑 + 𝟎. 𝟓𝐱 8 13 18 23

RELACIONES Y FUNCIONES

Relación: Es la correspondencia de un primer conjunto,

llamado dominio, con un segundo conjunto, llamado rango,

de manera que a cada elemento del dominio le corresponde

uno o más elementos del recorrido o rango.

Función: Es una relación a la que se le añade la restricción de

que a cada valor del dominio le corresponde uno y sólo un

valor del recorrido.

EJEMPLO

FUNCIONES

ALGEBRAICAS

CONSTANTES

DE PRIMER GRADO

CUADRÁTICAS

• POLINÓMICAS

• RACIONALES

• RADICALES

• A TROZOS

TRASCENDENTES

• EXPONENCIALES

• LOGARÍTMICAS

• TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIONES POLINÓMICAS

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

𝒇 𝒙 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟐𝒙𝟐 + 𝒂𝟐𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝒏𝒙𝒏

Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.

FUNCIÓN CONSTANTE

El criterio viene dado por un número real.

𝒇 𝒙 = 𝑲

La gráfica es una recta horizontal paralela al eje de las abscisas.

Consideremos la función más sencilla, por ejemplo 𝑦 = 2 . La

imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una tabla

de valores tendríamos:

X -2 -1 0 1 2

Y 2 2 2 2 2

FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO

• Son de la forma:

𝒇 𝒙 = 𝒎𝒙 + 𝒏

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos

puntos de la función.

o Función afín: es del tipo 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏, en donde m es la pendiente

de la recta. La pendiente es la inclinación de la recta con

respecto al eje de las abscisas.

Dos rectas paralelas tienes la misma pendiente.

n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la

recta con el eje de las ordenadas.

Ejemplos de funciones afines:

𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟏 -5 -3 -1 1 3

x -2 -1 0 1 2

𝒚 = −𝟑

𝟒𝒙 − 𝟏

𝟐 −

𝟒 -1 −

𝟒 −

𝟐 −

𝟏𝟑

𝟒 -4

x -2 -1 0 1 2 3 4

o Función lineal: es de la forma 𝒚 = 𝒎𝒙, su gráfica es una línea

recta que pasa por el origen de coordenadas.

En este caso si m > 0 la función es creciente y el ángulo que

forma la recta con la parte positiva del eje de las abscisas es

agudo. Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que

forma la recta con la parte positiva del eje de las abscisas es

obtuso.

Ejemplo de función lineal:

𝒚 = 𝟐𝒙 0 2 4 6 8 10

X 0 1 2 3 4 5

o Función identidad: es de la forma 𝒇 𝒙 = 𝒙, su gráfica es la

bisectriz del primer y tercer cuadrante, ejemplo:

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Son funciones polinómicas de segundo grado, siendo su gráfica

una parábola.

𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

Ejemplo: Supongamos que tenemos la ecuación cuadrática

𝑦 = 𝑥2, a la variable x daremos los siguientes valores: -3,-2,0,2 y 3.

Representando los valores de x antes mencionados, de forma

gráfica, obtenemos lo siguiente:

FUNCIÓN CUADRÁTICA

𝒚 = 𝒙𝟐 9 4 0 4 9

x -3 -2 0 2 3

FUNCIONES RACIONALES

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios.

𝒇 𝒙 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒎𝒙𝒏

𝒃𝟎 + 𝒃𝟏𝒙 + 𝒃𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒃𝒎𝒙𝒏

El dominio lo forman todos los números reales excepto los

valores de x que anulan el denominador.

Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad

inversa de ecuación:

𝒇 𝒙 = 𝒌

Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas

de las funciones.

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏

𝑐𝑥 + 𝑑

FUNCIONES RADICALES

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

o Función radical de índice impar.

El dominio es .

𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔𝟑

FUNCIONES RADICALES

o Función radical de índice par.

El dominio está formado por todos los valores que hacen que

el radicando sea mayor o igual que cero.

𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 ∴ 𝑥2 − 5𝑥 + 6 ≥ 0

FUNCIONES A TROZOS

Son funciones definidas por distintos criterios, según los

intervalos que se consideren.

El dominio lo forman todos los números reales menos el 2.

FUNCIONES A TROZOS

o Función parte entera de x.

Es una función que a cada número real hace corresponder el

número entero inmediatamente inferior.

FUNCIONES A TROZOS

o Función mantisa.

Función que hace corresponder a cada número el mismo

número menos su parte entera.

FUNCIONES A TROZOS

o Función signo.

𝑓 𝑥 = 𝑠𝑔𝑛(𝑥)

FUNCIÓN EXPONENCIAL

La función exponencial es del tipo:

𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙

Sea a un número real positivo. La función que a cada número

real x le hace corresponder la potencia 𝒂𝒙 se llama función

exponencial de base a y exponente x.

Ejemplo:

𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙

FUNCIÓN EXPONENCIAL

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

La función logarítmica en base a es la función inversa de la

exponencial en base a.

𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥

𝑎 > 0 ∴ 𝑎 ≠ 1

Ejemplo:

𝒇 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝟐𝒙

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

X 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝟐𝒙

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

o Función seno.

𝒇 𝒙 = sin 𝒙

o Función coseno.

𝒇 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙

o Función tangente.

𝒇 𝒙 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙

o Función Cotangente.

𝒇 𝒙 = 𝐜𝐨𝐭 𝒙

o Función secante.

𝒇 𝒙 = 𝐬𝐞𝐜 𝒙

o Función cosecante.

𝒇 𝒙 = 𝐜𝐬𝐜 𝒙

PLANO CARTESIANO

El plano cartesiano está formado por dos rectas

numéricas, una horizontal y otra vertical que se

cortan en un punto. La recta horizontal es llamada

eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje

de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se

cortan recibe el nombre de origen.

PLANO CARTESIANO

SEGMENTO DIRIGIDO

Es un segmento de recta que tiene dirección. Es decir, tiene un

extremo que es el inicial y otro que es el final.

Los segmentos dirigidos, se denotan de manera usual a los

segmentos, pero respetando la dirección. Por ejemplo, en la

notación AB, A es el punto inicial y B el punto final. De esta

manera, BA es otro segmento dirigido con la dirección opuesta

Las regla básica para operar segmentos dirigidos es la siguiente:

𝑨𝑩 + 𝑩𝑪 = 𝑨𝑪

donde A, B y C son puntos alineados.

Dados dos puntos cualesquiera 𝑨(𝒙𝟏, 𝒚𝟏), 𝑩 𝒙𝟐, 𝒚𝟐 , definimos la

distancia entre ellos, 𝒅(𝑨, 𝑩), como la longitud del segmento que

los separa.

Para calcularla aplicamos el teorema de Pitágoras en el

rectángulo coloreado :

𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝒙𝟐−𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)𝟐

Si los puntos tiene la misma ordenada o la misma abscisa, la

distancia entre ellos se calcula sin necesidad de aplicar la

fórmula anterior.

Ejemplo: calcula la distancia entre los puntos 𝑨 𝟕, 𝟓 𝒚 𝑩(𝟒, 𝟏)

𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟒 − 𝟕)𝟐 + (𝟏 − 𝟓)𝟐

𝒅 𝑨, 𝑩 = (−𝟑)𝟐 + (−𝟒)𝟐

𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟗 + 𝟏𝟔

𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟐𝟓

𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟓 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔

Ejercicios:

1. Halla la distancia entre A y B en cada caso:

a) A(-7, 4), B(6, 4)

𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟔 − −𝟕 )𝟐 + (𝟒 − 𝟒)𝟐

𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟔 + 𝟕)𝟐 + (𝟎)𝟐

𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟏𝟑)𝟐 + (𝟎)𝟐

𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟏𝟔𝟗 + 𝟎

𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟏𝟔𝟗

𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟏𝟑 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔

b) A(3, 4), B(3, 9)

𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟑 − 𝟑)𝟐 + (𝟗 − 𝟒)𝟐

𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟎)𝟐 + (𝟓)𝟐

𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟎 + 𝟐𝟓

𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟐𝟓

c) A(-5, 11), B(0, -1)

𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟎 − −𝟓 )𝟐 + (−𝟏 − 𝟏𝟏)𝟐

𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟎 + 𝟓)𝟐 + (−𝟏𝟐)𝟐

𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟓)𝟐 + (−𝟏𝟐)𝟐

𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟐𝟓 + 𝟏𝟒𝟒

𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟏𝟔𝟗

𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟏𝟑 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔

2. Calcula el valor de k para que la distancia de A(-1, 4) a B(k, 1)

sea igual a 5.

𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝒙𝟐 − 𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)𝟐

𝟓 = (𝒌 − −𝟏 )𝟐 + (𝟏 − 𝟒)𝟐

(𝟓)𝟐 = (𝒌 + 𝟏)𝟐 + (−𝟑)𝟐

𝟐𝟓 = 𝒌𝟐 + 𝟐𝒌 + 𝟏 + 𝟗

𝟐𝟓 = 𝒌𝟐 + 𝟐𝒌 + 𝟏𝟎

𝒌𝟐 + 𝟐𝒌 + 𝟏𝟎 − 𝟐𝟓 = 𝟎

𝒌𝟐 + 𝟐𝒌 − 𝟏𝟓 = 𝟎

Aplicamos la fórmula general cuadrática:

𝑲 =−(𝟐) ± (𝟐)𝟐−𝟒(𝟏)(−𝟏𝟓)

𝟐(𝟏)

𝒌 =−𝟐 ± 𝟒 + 𝟔𝟎

𝒌 =−𝟐 ± 𝟔𝟒

𝒌 =−𝟐 ± 𝟖

𝒌𝟏 =−𝟐 + 𝟖

𝟐= 𝟑

𝒌𝟐 =−𝟐 − 𝟖

−𝟏𝟎

𝟐= −𝟓

Comprobación #1:

𝒅 𝟓 = (𝟑 − −𝟏 )𝟐 + (𝟏 − 𝟒)𝟐

𝒅 𝟓 = (𝟑 + 𝟏)𝟐 + (−𝟑)𝟐

𝒅 𝟓 = (𝟒)𝟐 + (−𝟑)𝟐

𝒅 𝟓 = 𝟏𝟔 + 𝟗

𝒅 𝟓 = 𝟐𝟓

𝒅 𝟓 = 𝟓 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔

Comprobación #2:

𝒅 𝟓 = (−𝟓 − −𝟏 )𝟐 + (𝟏 − 𝟒)𝟐

𝒅 𝟓 = (−𝟓 + 𝟏)𝟐 + (−𝟑)𝟐

𝒅 𝟓 = (−𝟒)𝟐 + (−𝟑)𝟐

𝒅 𝟓 = 𝟏𝟔 + 𝟗

𝒅 𝟓 = 𝟐𝟓

𝒅 𝟓 = 𝟓 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔

3. Calcula el perímetro de los siguientes triángulos y clasifícalos

según la longitud de sus lados:

a) A(-2, 2), B(1, 6), C(6, -6)

𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟏 − −𝟐 )𝟐 + (𝟔 − 𝟐)𝟐

𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟏 + 𝟐)𝟐 + (𝟔 − 𝟐)𝟐

𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟑)𝟐 + (𝟒)𝟐

𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟗 + 𝟏𝟔

𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟐𝟓

𝒅 𝑩, 𝑪 = (𝟔 − 𝟏)𝟐 + (−𝟔 − 𝟔)𝟐

𝒅 𝑩, 𝑪 = (𝟓)𝟐 + (−𝟏𝟐)𝟐

𝒅 𝑩, 𝑪 = 𝟐𝟓 + 𝟏𝟒𝟒

𝒅 𝑩, 𝑪 = 𝟏𝟔𝟗

𝒅 𝑩, 𝑪 = 𝟏𝟑 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔

𝒅 𝑨, 𝑪 = (𝟔 − −𝟐 )𝟐 + (−𝟔 − 𝟐)𝟐

𝒅 𝑨, 𝑪 = (𝟔 + 𝟐)𝟐 + (−𝟖)𝟐

𝒅 𝑨, 𝑪 = (𝟖)𝟐 + (−𝟖)𝟐

𝒅 𝑨, 𝑪 = 𝟔𝟒 + 𝟔𝟒

𝒅 𝑨, 𝑪 = 𝟏𝟐𝟖

𝒅 𝑨, 𝑪 = 𝟏𝟏. 𝟑𝟏 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔

Clasificación según la longitud de sus lados: Triángulo rectángulo.

Perímetro = a + b + c = 5u + 13u + 11.31 = 29.31 unidades

b) A(-5, -2), B(0, 6), C(5, -2)

𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟎 − (−𝟓))𝟐 + (𝟔 − (−𝟐))𝟐

𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟎 + 𝟓)𝟐 + (𝟔 + 𝟐)𝟐

𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟓)𝟐 + (𝟖)𝟐

𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟐𝟓 + 𝟔𝟒

𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟖𝟗

𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟗. 𝟒𝟑 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔

𝒅 𝑩, 𝑪 = (𝟓 − 𝟎)𝟐 + (−𝟐 − 𝟔)𝟐

𝒅 𝑩, 𝑪 = (𝟓)𝟐 + (−𝟖)𝟐

𝒅 𝑩, 𝑪 = 𝟐𝟓 + 𝟔𝟒

𝒅 𝑩, 𝑪 = 𝟖𝟗

𝒅 𝑩, 𝑪 = 𝟗. 𝟒𝟑 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔

𝒅 𝑨, 𝑪 = (𝟓 − −𝟓 )𝟐 + (−𝟐 − (−𝟐))𝟐

𝒅 𝑨, 𝑪 = (𝟓 + 𝟓)𝟐 + (−𝟐 + 𝟐)𝟐

𝒅 𝑨, 𝑪 = (𝟏𝟎)𝟐 + (𝟎)𝟐

𝒅 𝑨, 𝑪 = 𝟏𝟎𝟎 + 𝟎

𝒅 𝑨, 𝑪 = 𝟏𝟎𝟎

𝒅 𝑨, 𝑪 = 𝟏𝟎 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔

Clasificación del triángulo: triángulo isósceles.

Perímetro del triángulo = a + b + c = 9.43u + 9.43u + 10u = 28.86u

4. Trazar en el plano cartesiano los siguientes puntos: P (2,1);

Q (-1,2); R (-2,-1) y S (1,-2) y une los puntos indicados, ¿qué

figura representa?, después de graficar calcular lo siguiente:

Longitud de su lados.

Área de la figura.

Perímetro de la figura.

Representación gráfica:

Cálculos:

𝒅 𝑷, 𝑸 = (−𝟏 − 𝟐)𝟐 + (𝟐 − 𝟏)𝟐

𝒅 𝑷, 𝑸 = (−𝟑)𝟐 + (𝟏)𝟐

𝒅 𝑷, 𝑸 = 𝟗 + 𝟏

𝒅 𝑷, 𝑸 = 𝟏𝟎

𝒅 𝑷, 𝑸 = 𝟑. 𝟏𝟔𝒖

𝒅 𝑸, 𝑹 = (−𝟐 − −𝟏 )𝟐 + (−𝟏 − 𝟐)𝟐

𝒅 𝑸, 𝑹 = (−𝟐 + 𝟏)𝟐 + (−𝟏 − 𝟐)𝟐

𝒅 𝑸, 𝑹 = (−𝟏)𝟐 + (−𝟑)𝟐

𝒅 𝑸, 𝑹 = 𝟏 + 𝟗

𝒅 𝑸, 𝑹 = 𝟏𝟎

𝐝 𝐐, 𝐑 = 𝟑. 𝟏𝟔𝐮

𝐝 𝐑, 𝐒 = (𝟏 − −𝟐 )𝟐 + (−𝟐 − (−𝟏))𝟐

𝒅 𝑹, 𝑺 = (𝟏 + 𝟐)𝟐 + (−𝟐 + 𝟏)𝟐

𝒅 𝑹, 𝑺 = (𝟑)𝟐 + (−𝟏)𝟐

𝒅 𝑹, 𝑺 = 𝟗 + 𝟏

𝒅 𝑹, 𝑺 = 𝟏𝟎

𝒅 𝑹, 𝑺 = 𝟑. 𝟏𝟔𝒖

𝒅 𝑺, 𝑷 = (𝟏 − 𝟐)𝟐 + (−𝟐 − 𝟏)𝟐

𝒅 𝑺, 𝑷 = (−𝟏)𝟐 + (−𝟑)𝟐

𝒅 𝑺, 𝑷 = 𝟏 + 𝟗

𝒅 𝑺, 𝑷 = 𝟏𝟎

𝒅 𝑺, 𝑷 = 𝟑. 𝟏𝟔𝒖

¿Qué figura representa? R= Un cuadrado

Área de la figura = 𝑨 = 𝑳𝟐 = (𝟑. 𝟏𝟔𝒖)𝟐 = 𝟗. 𝟗𝟖𝒖𝟐

Perímetro de la figura = 𝐏 = 𝟒𝐋 = 𝟒 𝟑. 𝟏𝟔𝒖 = 𝟏𝟐. 𝟔𝟒𝒖

5. Tres vértices de un rectángulo son los puntos A (2,-1); B (7,-1) y

C(7,3). Hallar el cuarto vértice D, el perímetro y el área de la

figura.

Coordenadas: A(2,-1); B(7,-1); C(7,3) y D(2,3).

𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟕 − 𝟐)𝟐 + (−𝟏 − (−𝟏))𝟐

𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟓)𝟐 + (−𝟏 + 𝟏)𝟐

𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟐𝟓

𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟓𝒖

𝒅 𝑩, 𝑪 = (𝟕 − 𝟕)𝟐 + (𝟑 − (−𝟏))𝟐

𝒅 𝑩, 𝑪 = (𝟎)𝟐 + (𝟑 + 𝟏)𝟐

𝒅 𝑩, 𝑪 = 𝟏𝟔

𝒅 𝑩, 𝑪 = 𝟒𝒖

𝒅 𝑪, 𝑫 = (𝟐 − 𝟕)𝟐 + (𝟑 − 𝟑)𝟐

𝒅 𝑪, 𝑫 = (−𝟓)𝟐 + (𝟎)𝟐

𝒅 𝑪, 𝑫 = 𝟐𝟓

𝒅 𝑪, 𝑫 = 𝟓𝒖

𝒅 𝑫, 𝑨 = (𝟐 − 𝟐)𝟐 + (𝟑 − (−𝟏))𝟐

𝒅 𝑫, 𝑨 = (𝟎)𝟐 + (𝟑 + 𝟏)𝟐

𝒅 𝑫, 𝑨 = 𝟏𝟔

𝒅 𝑫, 𝑨 = 𝟒𝒖

Área del rectángulo = 𝑏 ∙ ℎ = 5𝑢 4𝑢 = 20𝑢2

Perímetro del rectángulo = 2ℎ + 2𝑏 = 2 4𝑢 + 2 5𝑢 = 8𝑢 + 10𝑢 = 18𝑢

6. Los vértices de un cuadrilátero son: A (-2, 1), B (2, 5), C (9, 6)

y D (7, 2). Determinar, el perímetro y el área.

𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟐 − −𝟐 )𝟐 + (𝟓 − 𝟏)𝟐

𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟐 + 𝟐)𝟐 + (𝟒)𝟐

𝒅 𝑨, 𝑩 = (𝟒)𝟐 + 𝟏𝟔

𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟏𝟔 + 𝟏𝟔

𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟑𝟐

𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟓. 𝟔𝟓𝒖

𝒅 𝑩, 𝑪 = (𝟗 − 𝟐)𝟐 + (𝟔 − 𝟓)𝟐

𝒅 𝑩, 𝑪 = (𝟕)𝟐 + (𝟏)𝟐

𝒅 𝑩, 𝑪 = 𝟒𝟗 + 𝟏

𝒅 𝑩, 𝑪 = 𝟓𝟎

𝒅 𝑩, 𝑪 = 𝟕. 𝟎𝟕𝒖

𝒅 𝑪, 𝑫 = (𝟕 − 𝟗)𝟐 + (𝟐 − 𝟔)𝟐

𝒅 𝑪, 𝑫 = (−𝟐)𝟐 + (−𝟒)𝟐

𝒅 𝑪, 𝑫 = 𝟒 + 𝟏𝟔

𝒅 𝑪, 𝑫 = 𝟐𝟎

𝒅 𝑪, 𝑫 = 𝟒. 𝟒𝟕𝒖

𝒅 𝑫, 𝑨 = (𝟕 − −𝟐 )𝟐 + (𝟐 − 𝟏)𝟐

𝒅 𝑫, 𝑨 = (𝟕 + 𝟐)𝟐 + (𝟏)𝟐

𝒅 𝑫, 𝑨 = (𝟗)𝟐 + 𝟏

𝒅 𝑫, 𝑨 = 𝟖𝟏 + 𝟏

𝒅 𝑫, 𝑨 = 𝟖𝟐

𝒅 𝑫, 𝑨 = 𝟗. 𝟎𝟓𝒖

Área del cuadrilátero:

𝑨 =𝟏

𝟐𝒖

−𝟐𝟏

𝟐𝟓

𝟗𝟔

𝟕𝟐

𝟐𝟏

𝑨 =𝟏

𝟐𝒖 𝟐 + 𝟒𝟓 + 𝟒𝟐 − 𝟒 − −𝟏𝟎 + 𝟏𝟐 + 𝟏𝟖 + 𝟕 𝒖

𝑨 = 𝟏

𝟐𝒖 𝟖𝟓 − 𝟐𝟕 𝒖

𝑨 = 𝟏

𝟐𝒖 𝟓𝟖𝒖

𝑨 =𝟓𝟖

𝟐𝒖𝟐 = 𝟐𝟗𝒖𝟐

Perímetro del cuadrilátero: 𝑷 = 𝟓. 𝟔𝟓𝒖 + 𝟕. 𝟎𝟕𝒖 + 𝟒. 𝟒𝟕 + 𝟗. 𝟎𝟓𝒖 = 𝟐𝟔. 𝟐𝟒𝒖

Si 𝑷𝟏 𝒙𝟏, 𝒚𝟏 y 𝑷𝟐(𝒙𝟐, 𝒚𝟐) son los extremos de un segmento 𝑷𝟏𝑷𝟐 , las

coordenadas (𝒙, 𝒚), de un punto P que divide a este segmento en

una razón dada 𝒓 = 𝑷𝟏𝑷: 𝑷𝑷𝟐 son: 𝒓 = 𝒙−𝒙𝟏

𝒙𝟐−𝒙=

𝑷𝟏𝑷

𝑷𝑷𝟐; 𝒓 =

𝒚−𝒚𝟏

𝒚𝟐−𝒚=

𝑷𝟏𝑷

𝑷𝑷𝟐.

Las coordenadas del punto medio de un segmento dirigido cuyos

puntos extremos sean 𝑷𝟏 = 𝒙𝟏, 𝒚𝟏 𝒚 𝑷𝟐 = 𝒙𝟐, 𝒚𝟐 son:

𝒙 = 𝒙𝟏−𝒙𝟐

𝟐 ; 𝒚 =

𝒚𝟏−𝒚𝟐

EJEMPLOS:

1) Si el punto 𝑨 −𝟒, 𝟐 ; 𝑩(𝟒, 𝟔) son los puntos extremos de un segmento dirigido

𝑨𝑩, hallar las coordenadas del punto P que divide a este segmento en la

razón: 𝑷𝟏𝑷: 𝑷𝑷𝟐 = −𝟑.

DESARROLLO:

𝒓𝒙 =𝒙 − 𝒙𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙 ∴ −𝟑 =

𝒙 − (−𝟒)

𝟒 − 𝒙

−𝟑 =𝒙 + 𝟒

𝟒 − 𝒙 ; −𝟑 𝟒 − 𝒙 = 𝒙 + 𝟒

−𝟏𝟐 + 𝟑𝒙 = 𝒙 + 𝟒; 𝟑𝒙 − 𝒙 = 𝟒 + 𝟏𝟐

𝟐𝒙 = 𝟏𝟔 ; 𝒙 = 𝟏𝟔

𝟐= 𝟖

𝒓𝒚 =𝒚 − 𝒚𝟏

𝒚𝟐 − 𝒚 ∴ −𝟑 =

𝒚 − 𝟐

𝟔 − 𝒚

−𝟑 𝟔 − 𝒚 = 𝒚 − 𝟐 ; −𝟏𝟖 + 𝟑𝒚 = 𝒚 − 𝟐

𝟑𝒚 − 𝒚 = −𝟐 + 𝟏𝟖

𝟐𝒚 = 𝟏𝟔 ; 𝒚 = 𝟏𝟔

𝟐= 𝟖

REPRESENTACIÓN GRÁFICA:

Coordenadas: A(-4,2), B(4,6) y P(8,8)

2) Los extremos de un segmento son los puntos P(7, 4) y Q(-1, -4).

Hallar la razón 𝑷𝟏𝑷: 𝑷𝑷𝟐 en el punto F(1,-2) que divide al

segmento.

DESARROLLO:

𝒓𝒙 =𝒙 − 𝒙𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙 ∴ 𝒓𝒙 =

𝟏 − 𝟕

−𝟏 − 𝟏

𝒓𝒙 =−𝟔

−𝟐= 𝟑

𝒓𝒙 =𝒚 − 𝒚𝟏

𝒚𝟐 − 𝒚∴ 𝒓𝒚 =

−𝟐 − 𝟒

−𝟒 − (−𝟐)

𝒓𝒚 =−𝟔

−𝟐= 𝟑

3) Encontrar las coordenadas del punto P que divide al segmento

determinado por 𝑨(𝟖, 𝟐) y 𝑩(−𝟓, 𝟕) en la razón 𝑷𝟏𝑷: 𝑷𝑷𝟐 = 𝟑

DESARROLLO:

𝑟𝑥 =𝑥 − 𝑥1

𝑥2 − 𝑥 ∴

𝑥 − 8

−5 − 𝑥

−5 − 𝑥3

4= 𝑥 − 8 ; 3 −5 − 𝑥 = 4(𝑥 − 8)

−15 − 3𝑥 = 4𝑥 − 32 ; −3𝑥 − 4𝑥 = −32 + 15

−7𝑥 = −17

𝒙 =𝟏𝟕

𝑟𝑦 =𝑦 − 𝑦1

𝑦2 − 𝑦 ∴

𝑦 − 2

7 − 𝑦

7 − 𝑦3

4= 𝑦 − 2 ; 3 7 − 𝑦 = 4(𝑦 − 2)

21 − 3𝑦 = 4𝑦 − 8

−3𝑦 − 4𝑦 = −8 − 21

−7𝑦 = −29

𝒚 = 𝟐𝟗

Coordenadas: 𝐴 8,2 ; 𝐵 −5,7 𝑦 𝑷(𝟏𝟕

𝟐𝟗

4) Tres moléculas con pesos de 18, 25 y 34 moles (m) se ubican en los puntos (1, 1), (-2, 3) y

(5, -2), respectivamente. Determinar su centro de gravedad “C”.

DESARROLLO:

𝑚 =𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3

3 ∴ 𝑚 =

18 + 25 + 34

𝑚 = 77

𝑃1𝑃: 𝑃𝑃2 = 𝑟 ∴ 𝑚2𝑝: 𝑃𝑚3 = 77

𝑥 − (−2)

5 − 𝑥 ; 5 − 𝑥

3= 𝑥 + 2

77 5 − 𝑥 = 3 𝑥 + 2 ; 385 − 77𝑥 = 3𝑥 + 6

−77𝑥 − 3𝑥 = 6 − 385 ; −80𝑥 = −379

𝒙 =𝟑𝟕𝟗

𝟖𝟎= 𝟒. 𝟕𝟑

𝑦 − 3

−2 − 𝑦 ∴ −2 − 𝑦

3= 𝑦 − 3

77 −2 − 𝑦 = 3 𝑦 − 3 ; −154 − 77𝑦 = 3𝑦 − 9

−77𝑦 − 3𝑦 = −9 + 154

−80𝑦 = 145

𝑦 = −145

80= −

16= −1.81𝑢

𝒚 = −𝟏. 𝟖𝟏

Coordenadas: 𝑚1 1,1 ; 𝑚2 −2,3 ; 𝑚3 5, −2 𝑦 𝑪(𝟒. 𝟕𝟑, −𝟏. 𝟖𝟏)

PUNTO MEDIO

Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

𝑨 𝒙𝟏, 𝒚𝟏 𝒚 𝑩(𝒙𝟐, 𝒚𝟐)

Las coordenadas del punto medio de un segmento coinciden con

la semisuma de las coordenadas de los puntos extremos.

𝒙𝑴 =𝒙𝟏 + 𝒙𝟐

𝟐 ; 𝒚𝑴 =

𝒚𝟏 + 𝒚𝟐

PUNTO MEDIO

EJEMPLOS:

1) Hallar las coordenadas del punto medio (M) del segmento AB.

𝐴 3,9 𝑦 𝐵(−1,5)

DESARROLLO:

𝑥𝑀 =3 + (−1)

2 ; 𝑦𝑀 =

𝑥𝑀 = 3 − 1

2= 1 ; 𝑦𝑀 =

M(𝟏, 𝟕)

PUNTO MEDIO

Coordenadas: 𝐴 3,9 , B −1,5 y 𝐌(𝟏, 𝟕)

PUNTO MEDIO

2) Halla las coordenadas del punto medio del segmento de extremos

A(2, -1) y B(-6, -4).

DESARROLLO:

𝑥𝑚 =2 + (−6)

2 ; 𝑦𝑚 =

−1 + (−4)

𝑥𝑚 = 2 − 6

2 ; 𝑦𝑚 =

−1 − 4

2= −

𝑥𝑚 = −2 ; 𝑦𝑚 = −5

𝒎(−𝟐, −𝟓

PUNTO MEDIO

Coordenadas: 𝐴 2, −1 , 𝐵 −6, −4 𝑦 𝑴(−𝟐, −𝟓

PUNTO MEDIO

3) Los puntos A(2, 1); B(3, 4) y C(7, 4) son tres vértices del paralelogramo ABCD. Calcula las

coordenadas del cuarto vértice y los puntos medios de los lados del paralelogramo.

DESARROLLO:

𝑀𝐴𝐵 =2 + 3

𝑴𝑨𝑩 = 𝟓

𝟐 ,

𝑀𝐵𝐶 =3 + 7

𝑀𝐵𝐶 = 10

𝑴𝑩𝑪 = 𝟓, 𝟒

PUNTO MEDIO

Coordenada del cuarto vértice son: D(6,1)

𝑀𝐶𝐷 =7 + 6

𝑴𝑪𝑫 = 𝟏𝟑

𝟐 ;

𝑀𝐷𝐴 = 6 + 2

𝑀𝐷𝐴 = 8

𝑴𝑫𝑨 = 𝟒, 𝟏

PUNTO MEDIO

4) Los vértices de un triángulo son; A(-1,3), B(3,5) y C(7,-1). Si D es el punto medio del lado 𝑨𝑩 y E del

lado 𝑩𝑪, demostrar que la longitud del segmento 𝑫𝑬 es la mitad de longitud del lado 𝑨𝑪.

DESARROLLO:

𝑀𝐴𝐵 =−1 + 3

𝑀𝐴𝐵 = 2

𝑴𝑨𝑩 = 𝟏, 𝟒

𝑀𝐵𝐶 = 3 + 7

5 + (−1)

𝑀𝐵𝐶 = 10

𝑴𝑩𝑪 = (𝟓, 𝟐)

PUNTO MEDIO

𝑑 𝐷, 𝐸 = (5 − 1)2 + (2 − 4)2

𝑑 𝐷, 𝐸 = (4)2 + (−2)2

𝑑 𝐷, 𝐸 = 16 + 4

𝑑 𝐷, 𝐸 = 20

𝒅 𝑫, 𝑬 = 𝟒. 𝟒𝟕𝒖

𝑑 𝐴, 𝐶 = (7 − −1 )2 + (−1 − 3)2

𝑑 𝐴, 𝐶 = (7 + 1)2 + (−4)2

𝑑 𝐴, 𝐶 = (8)2 + (−4)2

𝑑 𝐴, 𝐶 = 64 + 16

𝑑 𝐴, 𝐶 = 80

𝒅 𝑨, 𝑪 = 𝟖. 𝟗𝟒𝒖 = 𝟖. 𝟗𝟒

𝟐𝒖 = 𝟒. 𝟒𝟕𝒖

La mitad del segmento 𝑨𝑪 es igual al resultado del segmento 𝑫𝑬.

PUNTO MEDIO

Coordenadas: 𝐴 −1,3 , 𝐵 3,5 , 𝐶 7, −1 , 𝐷 1,4 𝑦 𝐸(5,2)

UNIDAD I: REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LUGARES GEOMÉTRICOS

• PROPÓSITO DE LA UNIDAD: Representará gráficamente

ecuaciones de las rectas y de espacios geométricos poligonales,

considerando principios, leyes y procedimientos de trazo,

aplicables al análisis, descripción y solución de situaciones de la

vida cotidiana.

• RESULTADO DE APRENDIZAJE: 1.2 Construir la ecuación de la recta

y su representación gráfica a partir de los elementos que la

integran.

CONTENIDO

A. Análisis de la pendiente de una recta.

Definición.

Ángulo entre rectas.

Paralelismo y perpendicularidad.

B. Representación matemática y graficación de la recta.

Ecuación punto-pendiente.

Ecuación pendiente ordenada en el origen.

Ecuación simétrica.

Ecuación general de la recta.

PENDIENTE DE UNA RECTA

DEFINICIÓN:

La pendiente de una recta en un sistema de representación

triangular, suele ser representado por la letra m, y es definido

cambio o diferencia en el eje y dividido por el respectivo cambio

en el eje de las abscisas (x), entre dos puntos de la recta.

En la siguiente ecuación se describe:

𝒎 =∆𝒚

∆𝒙

“El símbolo delta ∆ , es comúnmente usado para representar un

cambio o diferencia”.

Dados los dos puntos 𝑥1, 𝑦1 ; (𝑥2, 𝑦2) al momento de sustituir las cantidades nos

queda de la siguiente manera:

𝒎 = 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

EJEMPLO:

Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos 𝑷 𝟏, 𝟐 𝑦 𝑸(𝟑, 𝟒).

𝑚 = ∆𝑦

∆𝑥 ∴ 𝑚 =

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

𝑚 = 4 − 2

3 − 1=

𝒎 = 𝟏

Coordenadas: 𝑷(𝟏,𝟐) 𝑦 𝑸(𝟑,𝟒); Pendiente de la recta m = 1.

2) Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los

puntos A(1, 6) y B(5, -2).

𝒎 =∆𝒚

∆𝒙=

𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏=

−𝟐 − 𝟔

𝟓 − 𝟏= −

𝟒= −𝟐

Teniendo la pendiente de la recta procedemos a hallar el ángulo de inclinación de

la recta por medio de la siguiente ecuación:

tan 𝜃 = 𝑚

tan 𝜃 = −2

𝜃 = arctan (−2)

𝜽 = −𝟔𝟑°𝟐𝟔′𝟔"

Transformamos el valor obtenido del ángulo a su forma positiva nos queda:

𝜃 = −𝟔𝟑°𝟐𝟔′𝟔" + 𝟏𝟖𝟎°

𝜽 = 𝟏𝟏𝟔°𝟑𝟑′𝟓𝟒"

REPRESENTACIÓN GRAFÍCA:

Coordenadas: A(1,2) y B(5,-2); Pendiente de la recta: m= -2;

Ángulo de inclinación de la recta: 𝜽 = −𝟔𝟑°𝟐𝟔′𝟔“.

3) Los vértices de un triángulo son los puntos A (2, -2); B (-1, 4) y; C (4, 5). Calcular

los ángulos de inclinación de los lados del triángulo ABC, el perímetro y el área.

DESARROLLO:

𝑚𝐴𝐵 = ∆𝑦

∆𝑥=

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1=

4 − (−2)

−1 − 2=

−3= −

3= −𝟐

𝑚𝐵𝐶 = ∆𝑦

∆𝑥=

5 − 4

4 − (−1)=

4 + 1=

5= 𝟎. 𝟐𝟎

𝑚𝐶𝐴 = ∆𝑦

∆𝑥=

−2 − 5

4 − 2= −

2= −𝟑. 𝟓

tan 𝜃𝐴𝐵 = 𝑚 ∴ tan 𝜃𝐴𝐵 = −2 ; 𝜃𝐴𝐵 = arctan −2 = 𝟏𝟏𝟔°𝟑𝟑′𝟓𝟒"

tan 𝜃𝐵𝐶 = 𝑚 ∴ tan 𝜃𝐵𝐶 = 0.20 ; 𝜃𝐵𝐶 = arctan 0.20 = 𝟏𝟏°𝟏𝟖′𝟑𝟔"

tan 𝜃𝐶𝐴 = 𝑚 ∴ tan 𝜃𝐶𝐴 = 3.5 ; 𝜃𝐶𝐴 = arctan 3.5 = 𝟕𝟒°𝟑′𝟏𝟕"

Cálculo del perímetro y área del triángulo:

𝑑 𝐴, 𝐵 = (−1 − 2)2 + (4 − (−2))2

𝑑 𝐴, 𝐵 = (−3)2 + (4 + 2)2

𝑑 𝐴, 𝐵 = 9 + 36

𝑑 𝐴, 𝐵 = 45

𝒅 𝑨, 𝑩 = 𝟔. 𝟕𝟎𝒖

𝑑 𝐵, 𝐶 = (4 − −1 )2 + (5 − 4)2

𝑑 𝐵, 𝐶 = (4 + 1)2 + 1 2

𝑑 𝐵, 𝐶 = 26

𝒅 𝑩, 𝑪 = 𝟓. 𝟎𝟗𝟗𝒖

𝑑 𝐶, 𝐴 = 4 − 2 2 + 5 − (−2) 2

𝑑 𝐶, 𝐴 = 2 2 + (7)2

𝑑 𝐶, 𝐴 = 53

𝒅 𝑪, 𝑨 = 𝟕. 𝟐𝟖𝒖

𝑃 = 6.70𝑢 + 5.099𝑢 + 7.28𝑢

𝑷 = 𝟏𝟗. 𝟎𝟕𝟗𝒖

𝐴 =1

2 −1 4−2 4 5

𝐴 =1

2𝑢 8 − 5 − 8 − 2 + 16 + 10 𝑢

𝐴 = 1

2𝑢 −5 − 28 𝑢

𝐴 =1

2𝑢 −5 − 28 𝑢

𝐴 = 1

2𝑢 −33 𝑢

𝑨 = −𝟑𝟑

𝟐𝒖𝟐 = −𝟏𝟔. 𝟓𝒖𝟐

ÁNGULO ENTRE RECTAS

Si la recta 𝑳𝟏 , con ecuación 𝒚 = 𝒎𝟏𝒙 + 𝒃𝟏 , se intersecta con la

recta 𝑳𝟐, con ecuación 𝒚 = 𝒎𝟐𝒙 + 𝒃𝟐, se forman dos ángulos, el

ángulo 𝜽 y su suplementario 𝟏𝟖𝟎 − 𝜽.

Para obtener el valor del ángulo 𝜽 procedemos en la forma

los dos ángulos interiores no adyacentes a el":

𝛼1 + 𝛽 = 𝛼2

Despejamos:

𝛽 = 𝛼2 − 𝛼1

Como 𝜷 = 𝜽 para ser opuestas por el vértice queda de la siguiente

forma:

𝜃 = 𝛼2 − 𝛼1

El problema lo resolveremos usando la función tangente; en

consecuencia, podemos indicar que:

tan 𝜃 = tan(𝛼2 − 𝛼1)

En trigonometría se demostró que la tangente de la diferencia de

dos ángulos es:

tan 𝛼2 − 𝛼1 = tan 𝛼2 − tan 𝛼1

1 + tan 𝛼1 tan 𝛼2

Como 𝐭𝐚𝐧 𝜶𝟐 = 𝒎𝟐 ; 𝐭𝐚𝐧 𝜶𝟏 = 𝒎𝟏, sustituyendo queda:

𝐭𝐚𝐧 𝜽 = 𝒎𝟐 − 𝒎𝟏

𝟏 + (𝒎𝟏)(𝒎𝟐)

Para aplicar esta relación se debe tener sumo cuidado al

determinar cual es la pendiente 𝒎𝟏 𝑦 𝒎𝟐. Para ello se deben seguir

las siguientes indicaciones:

a) Si las dos pendientes son positivas, 𝒎𝟐 es la mayor y 𝒎𝟏 la

menor.

b) Cuando una pendiente es positiva y la otra negativa, 𝒎𝟐 es la

pendiente negativa y 𝒎𝟏 es la pendiente positiva.

c) Cuando las dos pendientes son negativas, 𝒎𝟐 tiene mayor

valor absoluto.

EJEMPLO:

1) Determina el valor del ángulo que forman las rectas

𝟑𝒙 + 𝒚 − 𝟔 = 𝟎 con 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟒 = 𝟎.

DESARROLLO:

Pendiente de la recta (m): 3𝑥 + 𝑦 − 6 = 0

Despejamos:

𝑦 = −3𝑥 + 6 ; 𝐦 = −𝟑

Pendiente de la recta (m): 2𝑥 − 3𝑦 − 4 = 0

Despejamos:

−3𝑦 = −2𝑥 + 4 ; 𝑦 = −2

−3𝑥 + 4

𝑦 = 2

3𝑥 + 4 ; 𝒎 =

Determinamos cual es 𝒎𝟐 (mayor ángulo) y cual es 𝒎𝟏 (menor ángulo).

Nos percatamos de que tenemos un valor positivo y otro negativo, en donde 𝑚2 es la pendiente

negativa 𝒎𝟐 = −𝟑 y 𝑚1 es la pendiente positiva 𝒎𝟏 = 𝟐

Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula que anteriormente se nos había planteado:

tan 𝜃 =𝑚2 − 𝑚1

1 + 𝑚1 𝑚2 ∴ tan 𝜃 =

−3 −23

tan 𝜃 =

−9 − 23

1 + −63

3 + (−6)3

9= 3.6666

tan 𝜃 = 3.6666 ; 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(3.6666)

𝜽 = 𝟕𝟒°𝟒𝟓′

2) Si A(1, 6), C(4, -2), B(7,4), calcula el valor del ángulo C.

DESARROLLO:

Primero procedemos a encontrar el valor de las pendientes

𝒎𝟏 𝑦 𝒎𝟐 aplicando la ecuación de pendiente de una recta dado

los puntos.

Pendiente de la recta (m): 𝐴 1,6 ; 𝐶(4, −2)

𝑚 = ∆𝑦

∆𝑥=

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1=

−2 − 6

4 − 1

𝒎 = −𝟖

Pendiente de la recta (m): 𝐶 4, −2 ; 𝐵(7,4)

𝑚 = ∆𝑦

∆𝑥=

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1=

4 − (−2)

7 − 4=

7 − 4

𝑚 = 6

3= 2 ∴ 𝒎 = 𝟐

Notamos que 𝒎𝟏 = 𝟐 (ángulo menor) y 𝒎𝟐 = −𝟖

𝟑 (ángulo mayor), teniendo los valores de las

pendientes procedemos a calcular el ángulo entre las dos rectas:

tan 𝐶 = 𝑚2 − 𝑚1

1 + (𝑚1)(𝑚2)=

1 + (2) −83

−8 − 63

1 + −163

1 −163

3 − 163

−133

tan 𝐶 =

39= 1.0769 ; tan 𝐶 = 1.0769

𝑪 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝟏. 𝟎𝟕𝟔𝟗 = 𝟒𝟕°𝟕′

PARALELISMO

Dos recta 𝑳𝟏 𝑦 𝑳𝟐son paralelas si sus pendientes son iguales. Es decir

si cumplen que: 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 . Además, dos rectas 𝐿1 𝑦 𝐿2 son

coincidentes (se sobreponen) cuando aparte de tener la misma

pendiente, pasan por un mismo punto.

PARALELISMO

Para saber si dos rectas son paralelas, es decir, que sus

pendientes son de igual valor, es necesario calcular la pendiente

de cada una de las rectas de acuerdo la siguiente fórmula:

𝐿1 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 ; 𝐿2 = 𝐴′𝑥 + 𝐵′𝑦 + 𝐶´𝑧 + 𝐷′ = 0

𝑚1 = −𝐴

𝑚2 = −𝐴′

𝐵′

𝑚1 = 𝑚2 → −𝐴

𝐵= −

𝐴′

𝐵′ ↔ −

𝐴′

𝐵′

PARALELISMO

Ejemplos:

1) Calcular el valor de K para que las rectas 𝑳𝟏 = 𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑 = 𝟎 y

𝑳𝟐 = 𝒙 − 𝑲𝒚 + 𝟒 = 𝟎 sean paralelas.

Recordemos que las rectas se consideran paralelas siempre y cuando cumplan con

la siguiente regla:

𝒎𝟏 = 𝒎𝟐

−𝐴

𝐵= −

−𝐴′

𝐵′= −

−𝑘=

𝑘= −

𝒌 = −𝟐 ∴ 𝒎𝟏 ≠ 𝒎𝟐

PARALELISMO

2) ¿serán paralelas las rectas 𝑳𝟏 = 𝟖𝒙 − 𝟏𝟔𝒚 − 𝟐𝟎 = 𝟎 y

𝑳𝟐 = 𝟒𝒙 − 𝟖𝒚 − 𝟏𝟎 = 𝟎?

DESARROLLO:

𝑚1 = 𝑚2

−𝐴

𝐵= −

−16=

−𝐴′

𝐵′= −

𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 ∴ 𝟏

PERPENDICULARIDAD

Dos rectas 𝑳𝟏 y 𝑳𝟐 son perpendiculares u ortogonales si forman un

ángulo de 90° entre sí, un ejemplo de ello es la siguiente figura:

Como las rectas son perpendiculares 𝛼2 = 𝛼1 + 90° , tomando la

tangente de los ángulos en ambos miembros:

𝑚2 = tan 𝛼2 = tan 𝛼1 + 90° = − cot 𝛼1

PERPENDICULARIDAD

Pero como la tangente y la cotangente son funciones recíprocas

se tiene:

− cot 𝛼1 = −1

tan 𝛼1= −

Por lo tanto, la condición de perpendicularidad entre dos rectas 𝐿1

y 𝐿2 se cumple siempre que el producto de sus pendientes sea -1:

𝒎𝟏 ∙ 𝒎𝟐 = −𝟏

PERPENDICULARIDAD

EJEMPLOS:

1) ¿Serán perpendiculares las rectas 𝑳𝟏 = 𝟑𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟏𝟏 = 𝟎 y

𝑳𝟐 = 𝟏𝟎𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟏𝟖 = 𝟎?

DESARROLLO:

𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1

𝑚1 = − 𝐴

𝐵= −

𝑚2 = −𝐴′

𝐵′= −

5= −

1= −2

𝒎𝟏 ∙ 𝒎𝟐 = −𝟏 ∴ 𝟏

𝟐−𝟐 = −

𝟐= −𝟏

Si es perpendicular

PERPENDICULARIDAD

2) ¿Serán perpendiculares las rectas 𝑳𝟏 = 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟖𝒚 − 𝟏𝟑 = 𝟎 y

𝑳𝟐 = 𝒚 = −𝟑

𝟐𝒙 − 𝟏𝟓?

DESARROLLO:

𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1

𝑚1 = −𝐴

𝐵= −

18= −

6= −

𝑚2 = −𝐴′

𝐵′ = − 3

𝒎𝟏 ∙ 𝒎𝟐 = −𝟏 ∴ −𝟐

𝟑−

𝟔= 𝟏

No es perpendicular

ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE

Partiendo de la ecuación continua de la recta:

𝑥 − 𝑥1

𝑣1=

𝑦 − 𝑦1

Despejamos denominadores:

𝑥 − 𝑥1 𝑣1 = 𝑦 − 𝑦1 𝑣2

Volvemos a despejar:

𝑦 − 𝑦1 =𝑣2

𝑣1𝑥 − 𝑥1

Recordemos que:

𝑚 =𝑣2

𝑣1=

∆𝑦

∆𝑥=

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

Se obtiene:

𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 𝒙 − 𝒙𝟏

EJEMPLOS:

1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto Q(4, -1) y

tiene un ángulo de inclinación de 135°.

DESARROLLO:

𝑚 = tan 𝜃 ∴ 𝑚 = tan 135°

𝒎 = −𝟏

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 ∴ 𝑦 − −1 = −1(𝑥 − 4)

𝑦 + 1 = −𝑥 + 4 ; 𝑦 = −𝑥 + 4 − 1

𝒚 = −𝒙 + 𝟑

2) Buscar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-7) y

tiene pendiente de 8.

DESARROLLO:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 ∴ 𝑦 − −7 = 8 𝑥 − 3

𝑦 + 7 = 8𝑥 − 24

𝑦 = 8𝑥 − 24 − 7

𝒚 = 𝟖𝒙 − 𝟑𝟏

3) Hallar la ecuación de la recta que pasan por los puntos 𝑨 −𝟐, −𝟑 ; 𝑩(𝟒, 𝟐).

DESARROLLO:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 ∴ 𝑦 − 𝑦1 = ∆𝑦

∆𝑥𝑥 − 𝑥1

𝑦 − −3 = 2 − −3

4 − −2𝑥 − −2

𝑦 + 3 =2 + 3

4 + 2𝑥 + 2

𝑦 + 3 =5

6𝑥 + 2

𝑦 + 3 =5

6𝑥 +

𝑦 =5

6𝑥 +

6− 3 ; 𝑦 =

6𝑥 +

10 − 18

𝒚 = 𝟓

𝟔𝒙 −

𝟔 ó 𝒚 =

𝟓𝒙 − 𝟖

4) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,3) y tiene pendiente de −1

DESARROLLO:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 ∴ 𝑦 − 3 = −1

4𝑥 − 1

𝑦 − 3 = −1

4𝑥 +

𝑦 = −1

4𝑥 +

𝑦 = −1

4𝑥 +

1 + 12

𝑦 = −1

4𝑥 +

𝒚 =−𝒙 + 𝟏𝟑

ECUACIÓN PENDIENTE ORDENADA EN EL ORIGEN

Es la recta cuya pendiente es “m” y cuya ordenada en el origen

es “b” y se tiene por ecuación:

𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃

EJEMPLOS:

1) Determina la ecuación de la recta cuya pendiente es m = 2 y

corta al eje de las ordenadas en el punto (0,3).

DESARROLLO:

𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 ∴ 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟑

ECUACIÓN PENDIENTE ORDENADA EN EL ORIGEN

2) Encuentra la ecuación de la recta, cuya intersección con el eje

“y” es 4 y su pendiente es -3.

𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 ∴ 𝒚 = −𝟑𝒙 + 𝟒

3) Halla la ecuación de la recta cuya ordenada en el origen es -5 y

que es paralela a la recta 𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟗. Expresar la ecuación en

forma pendiente ordenada al origen.

DESARROLLO:

En este caso el problema nos indica que las rectas son paralelas, por

lo tanto tienen la misma pendiente (ver concepto de paralelismo) y

nuestra ecuación nos queda de la siguiente forma:

𝒚 = −𝟐𝒙 − 𝟓

ECUACIÓN SIMÉTRICA

La recta cuyas intersecciones con los ejes “x” y “y” son; 𝒂 ≠ 𝟎 y

𝒃 ≠ 𝟎, respectivamente; tiene por ecuación simétrica:

𝒃= 𝟏

Donde 1 es el factor que nunca cambiara y a ; b son los puntos

donde la recta toca las líneas del plano cartesiano 𝒂 = 𝒙 y

𝒚 = 𝒃 .

ECUACIÓN SIMÉTRICA

1) Una recta determina sobre los ejes coordenados, segmentos de 5 y 3 unidades,

respectivamente. Hallar su ecuación simétrica.

DESARROLLO:

𝒃= 𝟏 ∴

𝟑= 𝟏

2) Sean 𝒂 = 𝟑 y 𝒃 = 𝟖, la abscisa y la ordenada respectivamente de una recta. Determina la

ecuación de la recta que las contiene en su forma simétrica.

DESARROLLO:

𝒃= 𝟏 ∴

𝟖= 𝟏

3) Obtener la ecuación simétrica de la recta que pasa por los puntos 𝑨 𝟎, 𝟓 y 𝑩 −𝟐, 𝟎 .

DESARROLLO:

𝒃= 𝟏 ∴

−𝟐+

𝟓= 𝟏

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implícita

de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta

cuando se pide la ecuación de una recta.

𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎

En donde A, B y C son constante arbitrarias; 𝒎 = −𝑨

𝑩 y su ordenada

en el origen 𝒃 = −𝑪

EJEMPLOS:

1) Determinar la abscisa y la ordenada al origen, de la recta que pasa por los puntos P(-3, -1) y Q(5, 3). Obtener la forma

general y la simétrica de la recta.

DESARROLLO:

𝑚 = ∆𝑦

∆𝑥=

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1=

3 − (−1)

5 − (−3)=

5 + 3=

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 ∴ 𝑦 − −1 =1

2𝑥 − −3

𝑦 + 1 =1

2𝑥 + 3

𝑦 + 1 =1

2𝑥 +

2 ; 𝑦 =

2𝑥 +

2− 1

𝑦 =1

2𝑥 +

3 − 2

𝑦 =1

2𝑥 +

2 ; 2𝑦 = 𝑥 + 1

𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟏 = 𝟎 → 𝑭𝑶𝑹𝑴𝑨 𝑮𝑬𝑵𝑬𝑹𝑨𝑳

𝑏= 1 ; 𝑥 − 2𝑦 = −1 ;

𝑥 − 2𝑦

−1= 1

−𝒙

𝟏𝟐

= 𝟏 → 𝑭𝑶𝑹𝑴𝑨 𝑺𝑰𝑴É𝑻𝑹𝑰𝑪𝑨

Coordenadas: 𝑷 −𝟑, −𝟏 𝒚 𝑸 𝟓, 𝟑

2) Una recta tiene de abscisa y ordenada en el origen 5 y -3,

respectivamente. Hallar su ecuación en la forma general.

DESARROLLO:

𝑏= 1 ;

−3= 1

5𝑥 − 3𝑦

−15= 1

5𝑥 − 3𝑦 = 1(−15)

5𝑥 − 3𝑦 = −15

𝟓𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟏𝟓 = 𝟎

3) Trazar la siguiente recta empleando puntos convenientes (sin necesidad de tabular) 5x-3y+6=0.

DESARROLLO:

5𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0 ; −3𝑦 = −5𝑥 − 6

𝑦 = −5𝑥 − 6

𝑦 =−5

−3𝑥 +

𝑦 =5

3𝑥 +

𝑦 = 5

3𝑥 +

𝑦 = 5

3𝑥 +

𝑦 =5

3𝑥 + 2

𝒎 = 𝟓

𝟑 ; 𝒃 = 𝟐

4) Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como

pendiente m = -2.

DESARROLLO:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 ∴ 𝑦 − 5 = −2 𝑥 − 1

𝑦 − 5 = −2𝑥 + 2

𝑦 = −2𝑥 + 2 + 5

𝑦 = −2𝑥 + 7

𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟕 = 𝟎

UNIDAD II: REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y USO DE LAS CURVAS CANÓNICAS

PROPÓSITO DE LA UNIDAD: Representará grafica y

algebraicamente curvas canónicas, partiendo de la definición

de su lugar geométrico y aplicando técnicas y procedimientos,

para la descripción, análisis y solución de situaciones cotidianas

de su entorno.

RESULTADO DE APRENDIZAJE: 2.1 Representa gráficamente la

circunferencia, mediante su ecuación o elementos que la

integran.

CONTENIDO

A. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y ELEMENTOS DE LA

CIRCUNFERENCIA.

LA CIRCUNFERENCIA COMO LUGAR GEOMÉTRICO.

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA.

B. REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA.

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA.

ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA.

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN.

LA CIRCUNFERENCIA COMO LUGAR GEOMÉTRICO

CIRCUNFERENCIA:

La circunferencia es el perímetro curvo del corte efectuado por un plano paralelo

a la base de un cono.

La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma

distancia de un punto fijo llamado centro. Se distingue del círculo en que éste es el

lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es

decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

CENTRO: El centro es el punto del que equidistan todos los puntos de la

circunferencia.

RADIO: El radio es el segmento que une el centro de la circunferencia con

un punto cualquiera de la misma.

DIÁMETRO: El diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la

circunferencia. El diámetro mide el doble del radio.

CUERDA: La cuerda es un segmento que une dos puntos de la

circunferencia.

ARCO: Un arco es cada una de las partes en que una cuerda divide a la

circunferencia.

SECANTE: La recta corta a la circunferencia en dos puntos.

TANGENTE: La recta corta a la circunferencia en un punto.

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Una circunferencia, analíticamente, es una ecuación de segundo grado con dos

variables. Ahora bien, no toda la ecuación de este tipo representa siempre una

circunferencia; sólo en determinadas ocasiones es cierto.

Una circunferencia queda completamente determinada si se conocen su centro y

radio.

La ecuación de la circunferencia de centro (𝒉, 𝒌) y radio 𝒓 es:

𝒙 − 𝒉 𝟐 + 𝒚 − 𝒌 𝟐 = 𝒓𝟐

Si el centro es el origen de coordenadas, la ecuación toma la forma 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐.

Toda circunferencia se puede expresar por medio de una ecuación del tipo:

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎

Si escribimos esta ecuación en la forma:

𝑥2 + 𝐷𝑥 + 𝑦2 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LA CIRCUNFERENCIA

sumamos y restamos los términos que se indican para completar cuadrados, se

tiene:

𝑥2 + 𝐷𝑥 +𝐷2

4+ 𝑦2 + 𝐸𝑦 +

4− 𝐹

O bien:

𝑥 +𝐷

+ 𝑦 +𝐸

=𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹

El centro es el punto −𝑫

𝟐 ; −

𝟐 y el radio 𝒓 =

𝟐𝑫𝟐 + 𝑬𝟐 − 𝟒𝑭.

Si 𝑫𝟐 + 𝑬𝟐 − 𝟒𝑭 > 𝟎, la circunferencia es real.

Si 𝑫𝟐 + 𝑬𝟐 − 𝟒𝑭 < 𝟎, la circunferencia es imaginaria.

Si 𝑫𝟐 + 𝑬𝟐 − 𝟒𝑭 = 𝟎, el radio de la circunferencia es igual a cero y la ecuación

representa al punto −𝑫

𝟐 ; −

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA

Dados las coordenadas del centro de la circunferencia 𝑪(𝒉, 𝒌) y el radio "r" de la misma,

podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de y correspondiente a un

valor de x:

(𝒙 − 𝒉)𝟐 + 𝒚 − 𝒌 𝟐 = 𝒓𝟐

EJEMPLOS:

1. Hallar la ecuación ordinaria de la circunferencia cuyo centro es C(2,6) y con radio r = 4.

𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2

𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 6 2 = 42

𝒙 − 𝟐 𝟐 + 𝒚 − 𝟔 𝟐 = 𝟏𝟔

2. Determinar la ecuación ordinaria de la circunferencia cuyo centro esta en

C(3,-4) y que pasa por el punto A(6,12).

DESARROLLO:

(𝑥 − ℎ)2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2 ; 𝑥 − 3 2 + 𝑦 − −42

= 𝑟2

𝑥 − 3 2 + 𝑦 + 4 2 = 𝑟2

Para encontrar el valor de 𝒓𝟐 aplicamos la fórmula de la distancia entre dos

puntos:

𝑟2 = 𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 + 𝑦1

𝑟2 = 6 − 3 2 + 12 + 4 2

𝑟2 = 3 2 + 16 2

𝑟2 = 9 + 256

𝒓𝟐 = 𝟐𝟔𝟓

𝒙 − 𝟑 𝟐 + 𝒚 + 𝟒 𝟐 = 𝟐𝟔𝟓

3. Encuentre la ecuación ordinaria de la circunferencia de centro en C(-3, 2) y

DESARROLLO:

𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2

𝑥 − −32

+ 𝑦 − 2 2 = 6 2

𝒙 + 𝟑 𝟐 + 𝒚 − 𝟐 𝟐 = 𝟑𝟔

ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su

ecuación ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos la forma general de

la ecuación de la circunferencia, así:

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎

Prueba:

(𝑥 − ℎ)2+(𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2

𝑥2 − 2ℎ𝑥 + ℎ2 + 𝑦2 − 2𝑘𝑦 + 𝑘2 = 𝑟2

𝑥2 + 𝑦2 − 2ℎ𝑥 − 2𝑘𝑦 + ℎ2 + 𝑘2 = 𝑟2

𝑟2 + 𝑦2 − 2ℎ𝑥 − 2𝑘𝑦 + ℎ2 + 𝑘2 − 𝑟2 = 0

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑫 −2ℎ 𝑥 + 𝑬 −2𝑘 𝑦 + 𝑭 ℎ2 + 𝑘2 − 𝑟2 = 0

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎

Así es como surge la ecuación general de la circunferencia.

EJEMPLOS:

1. Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(2,6) y radio r = 4 y calcular

la naturaleza de la misma.

DESARROLLO:

𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 6 2 = 4 2

𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦2 − 12𝑦 + 36 = 16

𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦2 − 12𝑦 + 36 − 16 = 0

𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 12𝑦 + 4 + 36 − 16 = 0

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏𝟐𝒚 + 𝟐𝟒 = 𝟎

𝑫 = −𝟒 ; 𝑬 = −𝟏𝟐 ; 𝑭 = 𝟐𝟒

A continuación verificaremos la naturaleza de nuestra circunferencia:

𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹 ∴ −4 2 + −12 2 − 4 24

𝟏𝟔 + 𝟏𝟒𝟒 − 𝟗𝟔 = 𝟔𝟒 ∴ 𝟔𝟒 > 𝟎

La naturaleza de nuestra circunferencia es real, ya que cumple con la regla:

𝑫𝟐 + 𝑬𝟐 − 𝟒𝑭 > 𝟎

2. Una circunferencia tiene su centro en (6, -2) y pasa por el punto Q(4, 0). Hallar la ecuación general de la

circunferencia y calcular la naturaleza de la circunferencia.

DESARROLLO:

𝑥 − 6 2 + 𝑦 − −22

= 𝑟2

𝑟2 = 4 − 6 2 + 0 − 2 2

𝑟2 = −2 2 + −2 2

𝑟2 = 4 + 4

𝑟2 = 8

𝑥 − 6 2 + 𝑦 + 2 2 = 8

𝑥2 − 12𝑥 + 36 + 𝑦2 + 4𝑦 + 4 = 8

𝑥2 + 𝑦2 − 12𝑥 + 4𝑦 + 36 + 4 − 8 = 0

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟑𝟐 = 𝟎

𝑫 = −𝟏𝟐 ; 𝑬 = 𝟒 ; 𝑭 = 𝟑𝟐

Procedemos a encontrar la naturaleza de nuestra circunferencia:

𝑫𝟐 + 𝑬𝟐 − 𝟒𝑭 ; −𝟏𝟐 𝟐 + 𝟒 𝟐 − 𝟒 𝟑𝟐 ; 𝟏𝟒𝟒 + 𝟏𝟔 − 𝟏𝟐𝟖 = 𝟑𝟐 ∴ 𝟑𝟐 > 𝟎

La naturaleza de la circunferencia es real.

3. Determinar la ecuación general de la circunferencia si los extremos de uno de sus diámetros son los puntos Q(6, 2)

y R(-2, -4).

DESARROLLO:

𝑥𝑚 =𝑥1 + 𝑥2

6 + (−2)

𝑦𝑚 =𝑦1 + 𝑦2

2 + (−4)

2= −

2= −1

𝒄(𝟐, −𝟏)

𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2

𝑥 − 2 2 + 𝑦 − −12

= 𝑟2

𝑥 − 2 2 + 𝑦 + 1 2 = 𝑟2

𝑟 =1

2−2 − 6 2 + −4 − 2 2

𝑟 =1

2−8 2 + −6 2

𝒓 =𝟏

𝟐𝟏𝟎𝟎 ∴ 𝒓 = 𝟓

𝑥 − 2 2 + 𝑦 + 1 2 = 25 ; 𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦2 + 2𝑦 + 1 − 25 = 0 ; 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 2𝑦 + 4 + 1 − 25 = 0

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟐𝟎 = 𝟎

4. Dada la ecuación de la circunferencia 𝟑𝟔𝒙𝟐 + 𝟑𝟔𝒚𝟐 + 𝟒𝟖𝒙 − 𝟏𝟎𝟖𝒚 + 𝟗𝟕 = 𝟎, hallar el centro, el radio y la ecuación ordinaria de

dicha circunferencia .

DESARROLLO:

36𝑥2 + 36𝑦2 + 48𝑥 − 108𝑦 + 97 = 0

36 𝑥2 +48

36𝑥 + 36 𝑦2 −

36𝑦 + 97 = 0

36 𝑥2 +8

6𝑥 + 36 𝑦2 −

6𝑦 + 97 = 0

36 𝑥2 +4

3𝑥 +

36+ 36 𝑦2 − 3𝑦 +

4+ 97 = 0

36 𝑥 +4

− 16 + 36 𝑦 −3

− 81 + 97 = 0

36 𝑥 +2

+ 36 𝑦 −3

𝒙 +𝟐

+ 𝒚 −𝟑

= 𝟎

𝒉 = 𝟐

𝟑 ; 𝒌 = −

𝟐 ; 𝒓 = 𝟎

ECUACIÓN DE LA CIRCINFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN

Cuando el centro está en el origen 𝐶(0,0), la ecuación de una

circunferencia se simplifica a:

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐

A está ecuación se le conoce como ecuación canónica y se da

cuando el centro de la circunferencia es el punto C(0,0), por lo

que la expresión ordinaria queda reducida a:

EJERCICIOS:

1. Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto 𝑸(𝟔, 𝟑) y

cuyo centro se encuentra en 𝑪(𝟎, 𝟎).

DESARROLLO:

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

𝑟2 = 𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1

𝑟2 = 0 − 6 2 + 0 − 3 2

𝑟2 = −6 2 + −3 2

𝑟 = 36 + 9

𝑟 = 45

𝑟 = 6.708203933

𝑥2 + 𝑦2 = 6.708203933 2

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒𝟓

2. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen

y pasa por el punto 𝑷(𝟕, 𝟎).

DESARROLLO:

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

72 + 02 = 𝑟2

49 = 𝑟

𝑟 = 7

𝑥2 + 𝑦2 = 72

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒𝟗

3. Obtener la ecuación de la circunferencia dada su gráfica.

DESARROLLO:

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

𝑟 =1

23 − (−3) 2 + 2 − (−2) 2

𝑟 =1

23 + 3 2 + 2 + 2 2

𝑟 =1

26 2 + 4 2

𝑟 =1

236 + 16

𝑟 =1

27.211102551

𝑟 =7211102551

2= 3.605551275

𝑥2 + 𝑦2 = 3.605551275 2

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏𝟑

4. Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen cuya

área es igual a 10𝑢2.

DESARROLLO:

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

𝐴 = 𝜋𝑟2 ∴ 10𝑢2 = 𝜋𝑟2

𝑟2 =10𝑢2

𝜋= 3.183098862𝑢2

𝑟 = 3.183098862𝑢2

𝑟 = 1.784124116𝑢

𝑥2 + 𝑦2 = 1.784124116 2

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟑. 𝟏𝟖𝟑𝟎𝟗𝟖𝟖𝟔𝟐 ó 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 =𝟏𝟎

UNIDAD II: REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y USO DE LAS CURVAS CANÓNICAS

PROPÓSITO DE LA UNIDAD: Representará gráfica y

de su entorno.

parábola, mediante su ecuación o elementos que la integran.

CONTENIDO

A. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA.

LA PARÁBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO.

ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA.

B. REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LA PARÁBOLA.

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA HORIZONTAL.

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA VERTICAL.

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA.

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA.

LA PARÁBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO

La parábola es el perímetro curvo del corte efectuado por un plano

paralelo a una directriz del cono.

Por lo tanto, es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un

plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el

plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que

no pertenece a la recta. El punto fijo se llama “foco” y la recta fija

“directriz” de la parábola.

ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA

Vértice (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal.

Eje focal (ef): Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos

ramas y pasa por el vértice.

Foco (F):Punto fijo no perteneciente a la parábola y que se ubica en el eje

focal al interior de las ramas de la misma y a una distancia p del vértice.

Directriz (d): Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una

distancia p del vértice y fuera de las ramas de la parábola.

Distancia focal (p): Magnitud de la distancia entre vértice y foco, así como

entre vértice y directriz.

Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera,

pertenecientes a la parábola.

Cuerda focal: Cuerda que pasa por el foco.

Lado recto (LR): Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.

ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA (HORIZONTAL)

La ecuación de la parábola con vértice (0,0) y foco en el eje 𝒙 es:

𝒚𝟐 = 𝟒𝒑𝒙

Las coordenadas del foco son 𝒑, 𝟎 y la ecuación de la directriz es

𝒙 = −𝒑.

Si 𝒑 > 𝟎, la parábola abre hacia la derecha.

Si 𝒑 < 𝟎, la parábola abre hacia la izquierda.

EJEMPLOS:

1. Una parábola tiene como ecuación 𝒚𝟐 = −𝟖𝒙. Hallar las coordenadas del

foco, la ecuación de la directriz y gráfica de la parábola.

DESARROLLO:

𝑦2 = 4𝑝𝑥 ; 𝑦2 = −8𝑥

4𝑝 = −8 ; 𝑝 = −8

𝑝 = −2

𝑭 𝒑, 𝟎 ∴ 𝑭(−𝟐, 𝟎)

Después de haber calculado las coordenadas procedemos a calcular la directriz

de nuestra parábola.

𝑥 = −𝑝 ∴ 𝑥 = −(−2)

𝒙 = 𝟐

2. Encontrar las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz

para la parábola con ecuación 𝒚𝟐 = −𝟏𝟔𝒙.

DESARROLLO:

𝑦2 = 4𝑝𝑥 ; 𝑦2 = −16𝑥

4𝑝 = −16

𝑝 = −16

𝑝 = −4

𝑭(−𝟒, 𝟎)

𝑥 = −𝑝 ∴ 𝑥 = −(−4)

𝒙 = 𝟒

3. Una parábola horizontal con vértice en el origen pasa por el

punto 𝑨(−𝟐, 𝟒). Determinar su ecuación

DESARROLLO:

𝑦2 = 4𝑝𝑥 ∴ 4 2 = 4𝑝(−2)

16 = 4𝑝(−2)

2= 4𝑝

4𝑝 = −8

𝒚𝟐 = −𝟖𝒙

4. Hallar el foco, la ecuación de la directriz y el lado recto (LR) de la parábola con ecuación 3𝑦2 = 8𝑥.

DESARROLLO:

𝑦2 = 4𝑝𝑥 ; 3𝑦2 = 8𝑥

𝑦2 =8

4𝑝 =8

3 ; 𝑝 =

𝑝 =8

𝑝 =2

𝑭𝟐

𝟑, 𝟎

𝒙 = −𝒑 ∴ 𝒙 = −𝟐

𝟑 ; 𝒙 = −

𝐿𝑅 = 4𝑝 ∴ 𝐿𝑅 = 42

𝑳𝑹 = 𝟖

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA (VERTICAL)

La ecuación de la parábola con vértice (0,0) y foco en el eje “y”

𝒙𝟐 = 𝟒𝒑𝒚

Las coordenadas del foco son (𝟎, 𝒑) y la ecuación de la directriz es

𝒚 = −𝒑.

Si 𝒑 > 𝟎, la parábola abre hacia arriba.

Si 𝒑 < 𝟎, la parábola abre hacia abajo.

EJERCICIOS:

1. Una parábola con vértice (𝟎, 𝟎) y cuyo foco es (𝟎, 𝟑). Calcular

la ecuación de la parábola.

DESARROLLO:

𝑥2 = 4𝑝𝑦

𝑥2 = 4 3 𝑦

𝒙𝟐 = 𝟏𝟐𝒚

2. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje “y”, pasa por el

punto (4, -2). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas de su foco, la ecuación de la

directriz y la longitud de su lado recto. Trazar la gráfica correspondiente.

DESARROLLO:

𝑥2 = 4𝑝𝑦 ∴ 4 2 = 4𝑝(−2)

16 = 4𝑝 −2 ; 4𝑝 =16

4𝑝 = −8 ; 𝑝 = −8

4= −2

𝑭(𝟎, −𝟐)

𝑥2 = 4 −2 𝑦

𝒙𝟐 = −𝟖𝒚

𝑦 = −𝑝 ∴ 𝑦 = −(−2)

𝒚 = 𝟐

𝐿𝑅 = 4𝑝 ∴ 𝐿𝑅 = 4(−2)

𝑳𝑹 = 𝟖

3. Encontrar las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz para la

parábola 𝒙𝟐 = 𝟔𝒚.

DESARROLLO:

𝑥2 = 4𝑝𝑦 ; 𝑥2 = 6𝑦

4𝑝 = 6 ; 𝑝 =6

𝑭 𝟎,𝟑

𝑦 = −𝑝 ; 𝑦 = −3

𝒚 = −𝟑

4. Escribir la ecuación de la parábola con foco en F(0,5) y cuya

directriz tiene por ecuación 𝑦 = −5.

DESARROLLO:

𝑥2 = 4𝑝𝑦

𝑥2 = 4 5 𝑦

𝒙𝟐 = 𝟐𝟎𝒚

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA (VERTICAL)

Si p es positiva, la parábola abre hacia arriba, pero si p es

negativa, la parábola abre hacia abajo.

La ecuación ordinaria para la parábola paralela al eje “y” es:

𝒙 − 𝒉 𝟐 = 𝟒𝒑 𝒚 − 𝒌

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA PARÁBOLA (HORIZONTAL)

Si p es positiva, la parábola abre hacia la derecha, pero si p es

negativa la parábola abre hacia la izquierda.

La ecuación ordinaria para la parábola paralela al eje de “x” es:

𝒚 − 𝒌 𝟐 = 𝟒𝒑 𝒙 − 𝒉

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA

𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

Si 𝑨 = 𝟎 ; 𝑪 ≠ 𝟎 𝒚 𝑫 ≠ 𝟎, la ecuación representa una parábola

cuyo eje es paralelo o coincide con el eje “x”, es decir:

𝑪𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎

Si 𝑨 ≠ 𝟎 ; 𝑪 = 𝟎 𝒚 𝑬 ≠ 𝟎, la ecuación representa una parábola

cuyo eje es paralelo o coincide con el eje “y”, es decir:

𝑨𝒙𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎

EJERCICIOS DE ECUACIÓN ORDINARIA Y ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA

1. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (3, 4) y cuyo foco es el punto

(3, 2). Hallar también la ecuación de su directriz, la longitud de su lado recto y la gráfica

correspondiente.

DESARROLLO:

𝑥 − ℎ 2 = 4𝑝 𝑦 − 𝑘

𝑝 = −2

𝒙 − 𝟑 𝟐 = 𝟒 −𝟐 𝒚 − 𝟒 → 𝑭𝑶𝑹𝑴𝑨 𝑶𝑹𝑫𝑰𝑵𝑨𝑹𝑰𝑨

𝑥2 − 6𝑥 + 9 = −8 𝑦 − 4

𝑥2 − 6𝑥 + 9 = −8𝑦 + 32

𝑥2 − 6𝑥 + 8𝑦 + 9 − 32 = 0

𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟖𝒚 − 𝟐𝟑 = 𝟎 → 𝑭𝑶𝑹𝑴𝑨 𝑮𝑬𝑵𝑬𝑹𝑨𝑳

𝑦 = −𝑝 + 𝑘 ∴ 𝑦 = −(−2) + (4)

𝒚 = 𝟔 → 𝑫𝑰𝑹𝑬𝑪𝑻𝑹𝑰𝒁

𝐿𝑅 = 4𝑝 ∴ 𝐿𝑅 = 4(−2)

𝑳𝑹 = 𝟖

2. Determinar la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto (-3,1) y cuya

directriz es la recta x=3. Hallar también su lado recto y trazar la gráfica

correspondiente.

DESARROLLO:

𝑦 − 𝑘 2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ)

𝒚 − 𝟏 𝟐 = 𝟒(−𝟑) 𝒙 − 𝟎 → 𝑶𝑹𝑫𝑰𝑵𝑨𝑹𝑰𝑨

𝑦2 − 2𝑦 + 1 = −12 𝑥 − 0

𝑦2 − 2𝑦 + 1 = −12𝑥 + 0

𝒚𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟏 = 𝟎 → 𝑮𝑬𝑵𝑬𝑹𝑨𝑳

𝐿𝑅 = 4𝑝 ∴ 𝐿𝑅 = 4(−3)

𝑳𝑹 = 𝟏𝟐

3. Demostrar que la ecuación 𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 − 𝟐𝟒𝒚 + 𝟗𝟕 = 𝟎 representa una parábola y hallar las

coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado

recto. Trazando la gráfica correspondiente.

Argumento: la ecuación que se expone en el problema sí representa a una parábola cuyo eje

es paralelo o coincide en el eje “y”.

DESARROLLO:

4𝑥2 − 20𝑥 − 24𝑦 + 97 = 0 → 𝐺𝐸𝑁𝐸𝑅𝐴𝐿

𝑥2 −20𝑥 − 24𝑦 + 97

𝑥2 − 5𝑥 − 6𝑦 +97

𝑥2 − 5𝑥 + −5

− −5

− 6𝑦 +97

𝑥2 − 5𝑥 +25

4− 6𝑦 +

𝑥2 − 5𝑥 +25

4= 6𝑦 +

𝑥 −5

= 6𝑦 −72

𝑥 −5

= 6𝑦 − 18

𝑥 −5

= 6 𝑦 −18

𝑥 −5

= 6 𝑦 − 3 → 𝑂𝑅𝐷𝐼𝑁𝐴𝑅𝐼𝐴

4𝑝 = 6 ; 𝑝 =6

𝑝 =3

𝐹 ℎ, 𝑝 + 𝑘 ; 𝐹5

2+ 3 ; 𝐹

2,3 + 6

𝑭𝟓

𝟐,𝟗

𝟐 ; 𝑽

𝟐, 𝟑 ; 𝑦 = −𝑝 + 𝑘 ; 𝑦 = −

𝒚 =𝟑

𝑳𝑹 = 𝟒𝟑

𝟐 ; 𝑳𝑹 = 𝟔

4. Verificar que la ecuación 4𝑦2 − 48𝑥 − 20𝑦 = 71 representa una parábola y hallar las coordenadas

del vértice y del foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto. Trazando la gráfica

correspondiente.

Argumento: La ecuación que se expone en el problema sí representa a una parábola ya que cuyo eje

es paralelo o coincide con el eje “x”.

DESARROLLO:

4𝑦2 − 48𝑥 − 20𝑦 = 71 → 𝐺𝐸𝑁𝐸𝑅𝐴𝐿

4𝑦2 − 48𝑥 − 20𝑦 − 71 = 0

𝑦2 −48𝑥 − 20𝑦 − 71

𝑦2 − 12𝑥 − 5𝑦 −71

𝑦2 − 12𝑥 + −5

− −5

− 5𝑦 −71

𝑦2 − 12𝑥 +25

4− 5𝑦 −

𝑦2 − 12𝑥 +25

4− 5𝑦 −

𝑦2 − 5𝑦 +25

4= 12𝑥 +

𝑦 −5

= 12𝑥 +96

𝑦 −5

= 12𝑥 + 24

𝑦 −5

= 12 𝑥 +24

𝑦 −5

= 12 𝑥 + 2 → 𝐶𝐴𝑁Ó𝑁𝐼𝐶𝐴

𝟒𝒑 = 𝟏𝟐 ; 𝒑 =𝟏𝟐

𝟒= 𝟑

𝐹 ℎ + 𝑝, 𝑘 ; 𝐹 −2 + 3,5

2 ; 𝐹 1,

𝑭 𝟏,𝟓

𝟐 ; 𝑽 −𝟐,

𝟐 ; 𝑥 = −𝑝 + ℎ ; 𝑥 = −3 − 2

𝒙 = −𝟓 ; 𝐿𝑅 = 4𝑝 ; 𝐿𝑅 = 4(3)

𝑳𝑹 = 𝟏𝟐

UNIDAD II: REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y USO DE CURVAS CANÓNICAS

PROPÓSITO DE LA UNIDAD: Representará gráfica y

de su entorno.

elipse, mediante su ecuación o elementos que la integran.

CONTENIDO

A. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA ELIPSE.

LA ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO.

ELEMENTOS DE LA ELIPSE.

B. REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LA ELIPSE.

ECUACIÓN DE LA ELIPSE DE CENTRO EN EL ORIGEN Y EJES

COORDENADOS LOS EJES DE LA ELIPSE.

ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN Y EJES

PARALELOS A LOS EJES COORDENADOS.

ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE.

LA ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO

La elipse es el perímetro curvo del corte efectuado por un plano

oblicuo a la base y a las generatrices del cono.

Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal

manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano

es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre dichos

puntos; llamados “focos de la elipse”.

ELEMENTOS DE LA ELIPSE

En donde; V y V’ son los vértices, F y F’ los focos, VV’ eje mayor=2a, p un punto cualquiera de la elipse, BB’ eje menor=2b, JJ’

cuerda, LL’ lado recto ┴ al eje focal, NN’ cuerda focal, DD’ diámetro,

FP y F’P radio vector y C centro.

ECUACIÓN DE LA ELIPSE DE CENTRO EN EL ORIGEN Y EJES COORDENADOS LOS EJES

DE LA ELIPSE

Si una elipse tiene su centro en el origen y su eje focal coincide con el eje “x”, su ecuación

𝑎2+

𝑏2= 1

Si una elipse tiene su centro en el origen y su eje focal coincide con el eje “y”, su ecuación

𝑏2+

𝑎2= 1

En donde:

2𝑎 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 ; 2𝑏 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 ; 𝐿𝑅 =2𝑏2

𝑎 ; 𝑒 =

𝑎 → 𝐸𝑋𝐶𝐸𝑁𝑇𝑅𝐼𝐶𝐼𝐷𝐴𝐷

ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN Y EJES PARALELOS A LOS EJES

COORDENADOS

Si una elipse tiene su centro en (h, k) y su eje focal es paralelo al eje “x”, su

ecuación ordinaria será:

𝑥 − ℎ 2

𝑎2+

𝑦 − 𝑘 2

𝑏2= 1

Pero, si la elipse tiene su centro en (h, k) y su eje focal es paralelo al eje “y”,

su ecuación es:

𝑥 − ℎ 2

𝑏2+

𝑦 − 𝑘 2

𝑎2= 1

En donde:

2𝑎 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 ; 2𝑏 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 ; 𝐿𝑅 =2𝑏2

𝑎 ; 𝑒 =

𝑎 → 𝐸𝑋𝐶𝐸𝑁𝑇𝑅𝐼𝐶𝐼𝐷𝐴𝐷

ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE

𝑨𝒙𝟐 + 𝑪𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎

Sí A y C son del mismo signo, la ecuación 𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0;

representa una elipse de ejes paralelos a los coordenados, o bien

un punto, o no representa ningún lugar geométrico real.

EJERCICIOS PROPUESTOS DE ELIPSE

1. En la siguiente ecuación 16𝑥2 + 25𝑦2 = 400. Hallar las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los

ejes mayor y menor, la excentricidad y la longitud de cada lado recto. Graficar.

DESARROLLO:

16𝑥2 + 25𝑦2 = 400

16𝑥2

25𝑦2

𝑎2 = 25 ; 𝑏2 = 16 ∴ 𝑎 = 5 ; 𝑏 = 4

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 ; 25 = 16 + 𝑐2 ; 25 − 16 = 𝑐2

𝑐 = 9 ; 𝑐 = 3

𝑭 𝟑, 𝟎 ; 𝑭′(−𝟑, 𝟎)

𝑽 𝟓, 𝟎 ; 𝑽′(−𝟓, 𝟎)

𝒍𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 = 𝟐 𝟓 = 𝟏𝟎

𝒍𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 = 𝟐 𝟒 = 𝟖

𝑳𝑹 =𝟐𝒃𝟐

𝟐(𝟒)𝟐

𝟐(𝟏𝟔)

𝟑𝟐

𝒆 =𝒄

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