repaso de sumatorias

Sesión II.- Repaso de

sumatorias

Profesor: Dr. Alberto González Sánchez

TC2007. Métodos

Cuantitativos y Simulación

Introducción

• Posiblemente ya hayas escuchado esta historia…

“Érase una vez un niño alemán llamado Carl F.

Gauss. Cuando tenía diez años, su profesor de la

escuela, enfadado porque sus alumnos se portaban

mal, le puso un problema matemático al pequeño

Carl y a sus compañeros.”

Deben sumar todos los números

del 1 al 100, es decir:

1+2+3+4+5+…+98+99+100

Introducción

El profesor se sentó en su silla a leer el periódico,

confiaba en que tendría horas hasta que los niños

sumaran todos los números. Sin embargo, el

pequeño Gauss no tardó ni cinco minutos en ir

hacia el profesor y darle el resultado: 5050.

¿Cómo lo hizo?

DEFINICIÓNLa sumatoria es la operación de la adición de una secuencia de

números, el resultado es la suma total.

NOTACIÓN

𝒕𝟏 + 𝒕𝟐 + 𝒕𝟑+…+𝒕𝒏=

𝑖=𝑎

𝑛

𝑡𝑖

Índice superior

Término general

Índice inferiorsigma

Propiedades de las

sumatorias

Nota: el siguiente material se adaptó de:

http://es.slideshare.net/donializ/sumatorias-i

(Agradecimiento particular a la autora Donia Alizandra

Ruelas Azuelo)

P1. El número de sumandos y de términos de una sumatoria

es igual al índice superior menos el índice inferior mas la

unidad.

𝑖=𝑎

𝑛

𝑡𝑖= 𝒏−𝒂 +𝟏=𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔

Ejemplo:

Hallar el número de términos de la siguiente expresión:

𝑖=5

45

𝑖= 45−5 +1=41 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠

P2. La sumatoria de una constante es igual al producto del

número de sumandos por la constante.

𝑖=𝑎

𝑛

𝑘 = [ 𝑛 − 𝑎 + 1]. 𝑘

Ejemplo:

Hallar la sumatoria de la siguiente expresión:

𝑖=5

45

4 = 45 − 5 + 1 . 4 = 164

P3. La sumatoria en el que el término general es una suma

algebraica ésta se puede descomponer en sumatorias

independientes.

𝑖=𝑎

𝑛

(𝑘𝑖2 + 𝑘´𝑖) =

𝑖=𝑎

𝑛

𝑘𝑖2 +

𝑖=𝑎

𝑛

𝑘´𝑖

Ejemplo:

𝑖=𝑎

𝑛

2𝑖2 +

𝑖=𝑎

𝑛

3𝑖

Donde: k y k´ son constantes.

𝑖=𝑎

𝑛

(2𝑖2 + 3𝑖) =

P4. Una sumatoria cuyo índice inferior no es la unidad puede

descomponerse de ésta manera:

𝑖=𝑎

𝑛

𝑡𝑖 =

𝑖=1

𝑛

𝑡𝑖 −

𝑖=1

𝑎−1

𝑡𝑖

Ejemplo:

Expresar la siguiente sumatoria de forma descompuesta:

𝑖=1

11

𝑖 −

𝑖=1

4

𝑖

Donde: a ≠ 𝟏

𝑖=5

11

𝑖 =

Sumatorias notables

𝑖=1

𝑛

𝑖 = 1 + 2 + 3 + 4 +⋯+ 𝑛 =𝑛 𝑛 + 1

2

Los n primeros números naturales

Los n primeros números pares naturales

𝑖=1

𝑛

2𝑖 = 2+ 4 + 6 + 8 +⋯+ 𝟐𝒏 = 𝑛 𝑛 + 1

Demostración:

𝑖=1

𝑛

2𝑖 = 2+ 4 + 6 + 8 +⋯+ 𝟐𝒏

𝑖=1

𝑛

2𝑖 = 2(1+ 2 + 3 + 4 +⋯+ 𝒏)

𝑖=1

𝑛

2𝑖 = 2 [n(n+1)

2]

𝑖=1

𝑛

2𝑖 = 𝑛 𝑛 + 1 lqqd

SN primeros N

Factorización

𝑖=1

𝑛

(2𝑖 − 1) = 1 + 3 + 5 + 7 +⋯+ (2𝑛 − 1) =𝑛2

Los n primeros números impares naturales.

Demostración:

𝑖=1

𝑛

2𝑖 − 1 =

𝑖=1

𝑛

2𝑖 −

𝑖=1

𝑛

1 P3:

𝑖=1

𝑛

2𝑖 − 1 = [𝑛 𝑛 + 1 − 𝑛 − 1 + 1 1] SN #pares y P2:

𝑖=1

𝑛

2𝑖 − 1 = [𝑛 𝑛 + 1 − 𝑛 − 1 + 1 1]

𝑖=1

𝑛

2𝑖 − 1 = [𝑛2 + 𝑛 − 𝑛 ]

simplificación

𝑖=1

𝑛

2𝑖 − 1 =𝑛2 lqqd

Los n primeros números cuadrados perfectos

𝑖=1

𝑛

𝑖2 = 12+22+32+42+⋯+ 𝑛2 =𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1)

6

Los n primeros números cubos perfectos.

𝑖=1

𝑛

𝑖3 = 13+23+33+43+⋯+ 𝑛3 = [𝑛 𝑛 + 1

2]2

Los n primeros números cuartos perfectos.

𝑖=1

𝑛

𝑖4 = 14+24+34+44+⋯+ 𝑛4 =𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1)(3𝑛2 + 3𝑛 − 1)

30

Los n primeras potencias.

𝑖=1

𝑛

𝑎𝑖 = 𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4+⋯+ 𝑎𝑛 =𝑎𝑛+1 − 𝑎

𝑎 − 1

Ejercicios resueltos

1. Escriba con notación ∑

a) 3+9+27+81+…(10 términos)

Resolución:

3+9+27+81+…(10 términos)

𝑖=1

10

3𝑖

𝒕𝟏 =3

𝒕𝟐 =9 =𝟑𝟐

𝒕𝟑 =27=𝟑𝟑

𝒕𝟒 =81=𝟑𝟒

3+9+27+81+…(10 términos) =

…

b) 2+6+10+14+18…(10 términos)

Resolución:

2+6+10+14+18…(10 términos)

𝒕𝟏 =2

𝒕𝟐 = 6 = 2(3)

𝒕𝟑 = 10 = 2(5)

𝒕𝟒 = 14 = 2(7)

…

2+6+10+14+18…(10 términos) =

𝑖=1

10

2(2𝑛 − 1)

2. Hallar

𝑥=1

30

(3𝑥 + 2)

Resolución:

:propiedad 3

𝑥=1

30

3𝑥 + 2 =

𝑥=1

30

3𝑥 +

𝑥=1

30

2

𝑥=1

30

3𝑥 + 2 = 3

𝑥=1

30

𝑥 +

𝑥=1

30

2

𝑥=1

30

3𝑥 + 2 = 3(30 30 + 1

2) + [ 30 − 1 + 1]. 2

𝑥=1

30

3𝑥 + 2 = 3(465) + 60

𝑥=1

30

3𝑥 + 2 = 1455

:S.N y :propiedad 2

:propiedad 2

3. Calcular P , si P = 3 +24 + 81 + 192 +… + 8232

Resolución:

:factorizando

𝑃 = 3 + 24 + 81 + 192 + …+ 8232

𝑃 = 3

𝑥=1

14

𝑥3 :S.N. cubos

𝑃 = 3(1 + 8 + 27 + 64 + …+ 2744)

𝑃 = 3(13 + 23 + 33 + 43 + …+ 143)

𝑃 = 314(14+1)

2

2

𝑃 = 3 7(15) 2

𝑃 =33075

4. Hallar n:

Resolución:

:S.N. números pares

:Ec. De 2 grado

𝑛(𝑛 + 1) = 342

𝑥=1

𝑛

2𝑥 = 342

𝑥=1

𝑛

2𝑥 = 342

𝑛2 + 𝑛 − 342 = 0

(n-18)(n+19)= 0

n-18= 0

n= 18

5. Hallar S: Si S = 4 + 7 +12 + 19 + . ..

Resolución:

:Propiedad 3

15 términos

S = 4 + 7 +12 + 19 + . ..

15 términos

𝑆 =

𝑖=1

15

(𝑛2+3)

𝑆 =

𝑖=1

15

𝑛2 +

𝑖=1

15

3 :S.N. y Propiedad 2

𝑆 =15(15+1)(2(15)+1)

6+(15-1+1)3

𝑆 = 1240+45

𝑆 = 1285

6. Calcular E:

Resolución:

:Decimal a fracción

:Factorizando

E= 100

𝐸 = 0,01 + 0,03 + 0,05 + …+ 19,99

𝐸 = 0,01 + 0,03 + 0,05 + …+ 19,99

𝐸 =1

100+3

100+5

100+⋯+

1999

100

𝐸=1

101 + 3 + 5 +⋯+ 1999 2n-1= 1999

2n= 2000

n= 1000𝐸=1

1010002

8. Un ómnibus salió de su paradero inicial con 7

pasajeros, y en cada estación suben 2 pasajeros

más de lo que subieron en la estación anterior.

Si al llegar a su paradero final se contaron con 520

pasajeros. ¿En cuántas estaciones se detuvo el

ómnibus a recoger pasajeros?

Resolución: Inicio: 1° 2° 3° … n°

Final

7 9 11 13 __

520Total de pasajeros: 7 +9+11+13+…+n=520

𝑛2 + 62 = 520

𝑖=7

𝑛

2𝑛 − 1 = 520

𝑖=1

𝑛

2𝑛 − 1 −

𝑖=1

6

2𝑛 − 1 = 520

𝑛= 22

𝑷𝒆𝒓𝒐 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒚𝒂 𝒕𝒆𝒏𝒊𝒂 𝟕 𝒑𝒂𝒔𝒂𝒋𝒆𝒓𝒐𝒔, 𝒆𝒍 𝒐𝒎𝒏𝒊𝒃𝒖𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒐 𝒆𝒏 𝟐𝟏 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔

10. Se contrata a un obrero para cavar en busca de fósiles

prometiéndole pagar una suma por el primer fósil que

encuentre y que luego se le irá duplicando dicha suma para

Cada nuevo fósil encontrado. Si encuentra 12 fósiles y recibe

S/. 12285 ¿Cuánto le pagaron por el octavo fósil encontrado?

Resolución:1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8°

…. 12°

Fósil Fósil Fósil Fósil Fósil Fósil Fósil Fósil

Fósil

x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32 x + 64 x + 128x +…+ =

12285

x( 20+ 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27+ 28 + 29 + 210 + 211 ) = 12285

x+𝑥[212−2

2−1]= 12285

Por 𝐞𝐥 𝟖° 𝒇ó𝒔𝒊𝒍 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒕𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒍𝒆 𝒑𝒂𝒈𝒂𝒓𝒐𝒏: 𝟏𝟐𝟖 𝟑 = 𝟑𝟖𝟒

𝑥 + 𝑥

𝑖=1

11

2𝑖 = 12285

4095𝑥 = 12285

𝑥 = 3

Ejercicios

1. Escriba con notación ∑

a) 11+13+15+17+…(7 términos)

b) 4+9+16+25+36…(10 términos)

2. Hallar

𝑥=1

30

(7𝑥 + 2𝑥 + 6)

Resolución:

3. Calcular P , si P = 7 +10 + 14 + 19 +… + 78

Resolución:

4. Hallar n:

Resolución:

𝑥=1

𝑛

3𝑥 = 741

5. Hallar S: Si S = 4 + 7 +12 + 19 + . ..

Resolución:

30 términos

6. Calcular G:

Resolución:

𝐺 = 0,02 + 0,04 + 0,06 + …+ 22,22

7. Se tiene:

Resolución:

𝑬𝑻𝑪=1+3+5+…+ 43

Encontrar el valor de: 1 +3 +5 +…+ 𝑻𝑬

Conclusiones

Las sumatorias notables, son sumatorias ya calculadas

que nos permiten resolver problemas.

La definición de sumatoria ayuda en el entendimiento

base en problemas de sumatorias.

Las propiedades de las sumatorias

facilitan en la resolución de problemas.