productos notables  · productos notables y factorizacio n productos notables un producto notable...

Matemáticas IV.- Álgebra 75

REGLAS DE LOS PRODUCTOS NOTABLES (a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

UNIDAD V.- PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIO N

Productos Notables

Un producto notable (multiplicación) es aquel que se puede obtener su resultado sin necesidad de realizar exactamente la multiplicación, por ejemplo al tener:

, un error común es pensar que es igual a ¡¡ERROR!! Ya que si

fuera cierto lo anterior, sería cierto lo siguiente:

¿Cuadrado de 8, es igual a 34?

Recuerda entonces, si tienes una multiplicación (no suma o resta)

pero

Bueno pues veamos entonces a que es igual a sabes que:

y

Luego entonces:

o sea: 2

2

2 32 3

4 66 9

4 12 9

xx

x xx

x x

2)32( x 94)3()2()32( 2222 xxx34259)5()3()53( 222

28

3 3 3( ) ( ) ( )a b a b 3 3 3( )a b a b

2)32( x

23 3 3 9 35 5 5 5 125

)32)(32()32( 2 xxx

OJO:Recuerda que al multiplicar dos binomios (x+2)(x+3) no es igual a x2 + 6

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Es decir:

Ahora, las 6 reglas antes mencionadas te ayudan a encontrar este resultado sin necesidad de realizar la multiplicación en sí:

La primera regla

Ejemplos, desarrollar los siguientes productos notables: a) “primera regla ”

b) “Cuarta regla ”

c)

los exponentes se multiplican

Bases diferentes no se suman los exponentes

EJERCICIOS

a) 22 33a b b)

324xy a c) 21 22 3x by a

d) 3 3ab ab e) 33 47 3a b f) 2 24 5 4 5x x

g) 226 3ab h) 2 24 7x x i) 14 20y y

9124)32( 22 xxx

222 )3()3)(2(2)2()32( xxxx

2 2 2( ) 2a b a ab b

9124)32( 22 xxx

2 2(5 4)x 2 2 2( ) 2a b a ab b

25xa 4b

222222 )4()4)(5(2)5()45( xxx164025 24 xx

2 3(3 2 )y 3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b

3a22yb

322222332 )2()2)(3(3)2()3(3)3()23( yyyy

)8()4)(3(3)2)(9(327 642 yyy 642 8365427 yyy

1 2 2( )x ya b

1 xaa2 ybb

222121221 )())((2)()( yyxxyx bbaaba 422122 2 yyxx bbaa

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Matemáticas IV.- Álgebra 77

El Binomio de Newton Primero recordemos los productos notables ya estudiados:

2 2 22a b a ab b , 3 3 2 2 33 3a b a a b ab b

como podrás observar , por ejemplo en el desarrollo de 3a b el comportamiento de las literales (sus

exponentes) es:

3 2 2 3a a b ab b

Ahora los coeficientes los puedes obtener de la manera siguiente:

3 2 1 2 33 3a a b a b b

Analizemos ahora el desarrollo de 4a b para que nos quede más claro

empezamos con 4a

4 4 3 2 2 3 4las literalesa b a a b a b ab b

terminamos con 4b .

Ya habíamos comentadoque los exponentes de “a” van disminuyendo 4 3 2, , , ,sina a a a a

2 3 4sin , , ,b b b b y los exponentes de b van aumentando. Ahora los coeficientes quedan:

4 3 2 2 1 3 44 6 4a a b a b a b b

Es decir tenemos:

4 4 3 2 2 3 44 6 4a b a a b a b ab b Finalmente el binomio de Newton se escribiría como:

1 2 2 3 3( 1) ( 1)( 2) ...1 2 1 2 3

n n n n n nn n n n na b a na b a b a b b

la b no aparece en el primer término, aparce en el segundo y va aumentendo hasta b3

la a empieza con exponente 3 y va bajando de exponente 3, 2, 1 hasta que desaparece

2 3 6 32 2

(3)(1)1

3

dos término escritos 3 23a a b

tres término escritos 3 2 23 3a a b ab

(3)(4) 12 62 2

(6)(2) 12 43 3

Recuerda que se divide entre el número de términos anteriores

(1)(4) 14

Observación: El desarrollo antes mencionado sólo considera el caso en que el binomio es una suma, para cuando es una resta más adelante se vera que sucede

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Ejemplo 1.- Desarrollar con el binomio de Newton 522 1x

52 2 5 2 4 2 3 2 2 2 3 2 4 5

5 5 4 3 2 2 3 4 5

2 1 (2 ) 5(2 ) (1) 10(2 ) (1) 10(2 ) (1) 5(2 )(1) (1)

( ) 5 10 10 5ba

x x x x x x

a b a a b a b a b ab b

Ahora, desarrollando las potencias antes de multiplicar

52 10 8 6 4 22 1 32 5 16 1 10 8 1 10 4 1 5 2 1 1x x x x x x

52 10 8 6 4 22 1 32 80 80 40 10 1x x x x x x

Ejemplo 2.- Desarrollar 43 23 2a b

43 2

4 4 3 2 2 3 4

3 2

4 6 4

a b

a b a b a a b a b ab b

4 4 3 2 2 3 43 2 3 3 2 3 2 3 2 23 2 3 4 3 2 6 3 2 4 3 2 2a b a a b a b a b b

ahora primero desarrollamos las potencias

43 2 12 9 2 6 4 3 6 8

12 9 2 6 4 3 6 8

3 2 81 4 27 2 6 9 4 4 3 8 16

81 216 216 96 16

a b a a b a b a b b

a a b a b a b b

Ejercicios Encuentra el desarrollo de los siguientes binomios utilizando el desarrollo del binomio de Newton

a) 623x y b)

53 42 4x y

c) 751 2a d)

42 33a b a

e) 63 53 5a a f)

841 3b

Observación: Si al desarrollar un binomio elevado a una potencia, el signo es menos

na b , los términos son los mismos que en la potencia positiva na b ,

sólo que los signo se van alternando, empezando con +

5 5 4 3 2 2 3 4 5

5 5 4 3 2 2 3 4 5

5 10 10 5

5 10 10 5

a b a a b a b a b ab b

a b a a b a b a b ab b

Los signos se alternan

no se pone 22b

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Matemáticas IV.- Álgebra 79

Factorización

Factorizar un número consiste en escribirlo como un producto de números primos (números que ya no se pueden descomponer). Por ejemplo al factorizar el número 20 nos queda:

es decir la factorización de 20 es

Cabe mencionar que aunque 20=(4)(5) ésta no es su descomposición factorial pues 4 no es primo (es decir se puede descomponer como 4=(2)(2) ).

RECUERDA.- El número 1 NO es considerado como número primo

Factorización De Una Expresión Algebraica

Factorizar una expresión algebraica al igual que en los números, consiste en escribirla como un producto de dos o más expresiones algebraicas que ya no pueden ser factorizadas. Para factorizar una expresión algebraica ya no es tan fácil como en los números, sin embargo considerando 8 casos y un caso especial podemos lograrlo de la siguiente manera.

Caso I.- Factor Común

FACTOR COMÚN.- Éste caso se presenta cuando todos los términos de dicha expresión tienen un factor en común.

Factorizar : a) 2a2 + 4a = 2a ( a +2) ésto es un producto

(2)(a)(a) (2)(2)(a) 2a es el factor común

Si vemos detalladamente la factorización de cada término de la expresión anterior tenemos:

18x2y3z = (2)(3)(3)(x)(x)(y)(y)(y)(z)

12x3y4z2 = (2)(2)(3)(x)(x)(x)(y)(y)(y)(y)(z)(z) Factor común : (2)(3)(x)(y)(y)6xy2

24 xy2 = (2)(2)(2)(3)(x)(y)(y)

Como podrás observar, 6 es el M.C.D. de 18,12 y 24 y además se toma la letra común en cada expresión pero con MENOR exponente es decir de x2 , x3yx se toma ax y de y3 , y4 y y2 se toma y2 .

Entonces podemos escribir

18x2y3z = (2)(3)(3)(x)(x)(x)(y)(y)(y)(z) = 6xy2 (3xyz) 12x3y4z2 = (2)(2)(3)(x)(x)(x)(y)(y)(y)(y)(z)(z) = 6xy2 (2x2y2z2) 24 xy2 = (2)(2)(2)(3)(x)(y)(y) = 6xy2 (4)

522

151020

20

)5)(2)(2(20delfactorialcióndescomposi

2 3 3 4 2 218 12 24x y z x y z xy

2 3 3 4 2 2 2 2 2 218 12 24 6 3 2 4x y z x y z xy xy xyz x y z www.calix

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80 Prof. Jesús Calixto Suárez

Ejemplo 1.- Factorizar 2 3 4 3 224 18 12a y ay a y Ahora, factoricemos más directo sin ser tan explícitos, es decir, tomemos a la vez sólo a los números (coeficientes) 24, 18 y 12 para encontrar su factor común (M.C.D.)

24 18 12 212 9 6 34 3 2

2 3 6 es el factor común

en cuanto a las letras debemos tomar a las letras COMUNES Y DE MAYOR EXPONENTE → Para 2 3, y a a a tomaremos a

→ Para 3 4 2, e y y y tomaremos 2y nuestra factorización queda:

2 3 4 3 2 2 2 224 18 12 6 4 3 2a y ay a y ay ay y a

EJERCICIOS.- Factorizar las siguientes expresiones.

a) b) c)

d) e) f)

g) h)

Caso II.- Factorización Por Agrupación

Este caso se presenta cuando la expresión algebraica por factorizar contiene términos que no todos comparten un factor común, sin embargo si los AGRUPAMOS ya comparten un factor común. Por ejemplo en la expresión siguiente los dos primeros términos comparten a “x” como factor común y los dos últimos a “–y2 “. La agrupación se hace en general de dos en dos , de tres en tres términos, etcétera.

Factorizar : x + x2 – x y2–y2

x + x2 – x y2–y2 = (x + x2 )+(– x y2–y2 ) factor común de x + x2 es: x factor común de – x y2–y2 es : –y2 = factor común

=

Ejercicios.-Factorizar las siguientes expresiones.

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k)

2 22 6a x ax 2 3 335 70m n m 2 22 2 3a x ax ax

2 3 4x x x x 3 215 20 5y y y 2 2 2 424 36a xy x y

2 296 48 144mn n 6 4 3 23 8 4a a a a

21 1x x y x 1x

21x x y

2a ab ax bx – –am bm an bn – 2 – 2 4ax bx ay by

2 2 2 2 2 2– 3 – 3a x bx a y by 4 43 – 2 – 2 3m n nx mx 2 2 2 2– –x a x a x

3 24 –1– 4a a a2 2 2– –x x xy y 2 2 2 23 – 2 – 2 3abx y x aby

2 23 – 2 – 6a b b x ax 3 24 – 4 3 – 3a x a b bm amxwww.calix

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Matemáticas IV.- Álgebra 81

Caso III.- Trinomio Cuadrado Perfecto (T.C.P.)

Este caso se presenta cuando tenemos una expresión de tres términos de los cuales dos son positivos y tienen raíz cuadrada exacta y el tercer término(no necesariamente esta al centro) esta compuesto por el doble producto de las raíces de los dos términos. Por los productos notables ya vistos un T.C.P. se puede escribir como el cuadrado de un binomio (a+b)2, compuesto por las raíces antes mencionadas y el signo del término que no tuvo raíz cuadrada.

Factorizar: 4x2–12xy + 9y2

Como se puede observar

y además , es decir la expresión si es un T.C.P.

Entonces tenemos Signo del término que no tuvo raíz cuadrada

Ejercicios: Factorizar

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j)

Caso IV.- Diferencia De Cuadrados

En este caso es sencillo identificar el caso, ya que sólo tiene dos términos que tiene raíz cuadrada exacta y entre ellos hay un signo menos (necesariamente), al igual que en un T.C.P. por productos notables la diferencia de cuadrados se escribe como el producto de dos binomios, uno con la suma de las raíces y el otro con la diferencia de las raíces.

Factorizar: como podemos ver se trata de la diferencia de dos cantidades y tiene raíz cuadrada exacta, entonces

Ejercicios: Factorizar

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j)

2 2

2 3

2 24 12 9

x y

x xy y 2 2 3 12 x y xy

–12xy

22 24 –12 9 2 – 3 x xy y x y

2 22a ab b 2 – 2 1x x 4 21 2y y

2 –10 25a a 29 – 6x x 2 416 40 25x x

21 49 –14a a 2 436 12m m 3 61– 2a a8 418 81a a

10 12– 49 a b

)7)(7(49 65651210

67

2

5

2

bababa

ba

216 – n 2 – 25a 21– y24 – 9a 425 – 36a 2 21– 49a b2 44 – 81x y 2 8 2–a b c 2 6100 – x y

10 12– 49a bwww.ca

lixto.

com.m

x

82 Prof. Jesús Calixto Suárez

Caso V.- Trinomios De La Forma x2 + bx +c

Para este caso debe de haber de nuevo, como en el Caso III, 3 términos , un cuadrático x2 , uno lineal bx y otro constante o independiente c, dichos trinomios por el 5° producto notable:

Es decir al tener un trinomio de la forma se factoriza como sigue.

Factorizar:

ésta expresión es un trinomio de la forma , por tanto hay que encontrar dos números que multiplicados den –30 y sumados den –7.

(2)(5) = 10 , ya que (–10)(3) = –30 y –10+(3) = –7

Ejercicios.-Factorizar

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

Caso VI.- Trinomios De La Forma ax2 + bx +c

La diferencia entre el caso V y el caso VI es que en el caso VI el término cuadrático ax2 tiene coeficiente “a” diferente de uno como en el caso V, por tanto también se factoriza de una manera similar.

ax2 + bx +c = (px + q)(rx+s) donde : (p)(r) = a (q)(s) = c (p)(s) + (q)(r) = b

Factorizar : 25 4 12x x

Como podrás observar ya no se trata de un trinomio de la forma que menciona el caso V, ya que el coeficiente de x2 (5x2) , es 5.

Apliquemos el caso VI 5x2 +4x–12 = (5x ) (x ), ahora busquemos dos números que den multiplicados –12

(5)(1) = 5

(3)(4) = 12 (6)(2) = 12

2x a x b x a b x a b

2x bx c

2 donde: y x bx c x p x q p q b p q c

2 – 7 – 30x x

2 x bx c

532

151530

2 – 7 – 30 –10 3x x x x

2 – 2 – 35a a 2 14 13x x 2 33 –14a a

2 13 – 30m m 2 –13 –14c c 2 15 56x x

2 –15 54x x 2 7 – 60a a 2 –17 – 60x x2 8 –180x x 2 – 20 – 300m m 2 –132x x

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Matemáticas IV.- Álgebra 83

5x2 + 4x – 12 = (5x + 3 ) (x – 4 ) , como puedes ver (3)(–4) = –12 pero (5)(–4)+(3)(1) 4

Ahora probemos con 6 y 2, es decir , que cumple (5)(1) = 5 , (2)(6) = 12 y (5)(2)+(–6)(1) = 4

Ejercicios: Factorizar

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

Caso VII.- Suma De Cubos

Una suma de cubos como su nombre lo dice es una expresión compuesta por dos términos que tiene raíz cúbica exacta y se encuentran sumando, no confundirse con el cubo de una suma que es (a+b)3 , es decir a3+b3 (a+b)3 , la suma de cubos se factoriza como el producto de un binomio por un trinomio los cuales se forman de la siguiente manera

2 2 – a b a a b b

a b (a)2 (b)2

Factorizar: 27a6 + 8

Entonces

Ejercicios: Factorizar

a) b) c)

d) e) f)

g)

25 4 –12 5 – 6 2x x x x

22 3 – 2x x 23 –12 – 35x x 26 7 2x x

25 13 – 6x x 26 – 6 – 5x x 212 – – 6x x24 15 9a a 23 11 10a a 212 –13 – 35m m

220 –1y y 28 –14 –15a a 27 – 44 – 35 x x

33

33 ba

23 6 327 aa 283

2 26 2 2 227 8 3 2 3 – 3 2 2a a a a

6 2 4 227 8 3 2 9 – 6 4a a a a

3 27a 664 a 3 38x y3 68 27a b 9512 27a 31 343n

3 6 125x y

(3)(1) (5)(–4)

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84 Prof. Jesús Calixto Suárez

Caso VIII.- Diferencia De Cubos

De la misma manera que en la suma de cubos tenemos. = 2 2 – a b a a b b

a b (a)2 (b)2

Factorizar: 8b9– 1

Entonces 8b9– 1 = (2b3– 1) ( (2b3)2+ (2b3)(1) +(1)2 ) 8b9– 1 = (2b3– 1) (4b6 + 2b3 + 1)

Ejercicios: Factorizar

a) b) c)

d) e) f)

g)

33

33 ba

33 9 28 bb

113

3 – 27y 98 – a 3 38 –a b3 68 – 27z y 9512 – 27a 31– 343n

3 6 27 – x y

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