PRODUCTOS NOTABLES

Departamento de MatemáticasFacultad de Ciencias Básicas

APRENDIZAJES ESPERADOS:

UNIDAD : PRODUCTOS NOTABLES

Para multiplicar monomios se multiplican los coeficientes numéricos y las partes literales entre sí, aplicando las propiedades de potencias.

Ejemplo: Multiplique 3𝑥2𝑦 2𝑥−1𝑦2 =

Producto de Monomios

Se utiliza la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición.

Ejemplo: Resuelva

a) 2𝑥3 3𝑥4 − 2𝑥3 + 3 =

b) −3𝑥22

3𝑥5 + 2𝑥2 − 4𝑥 =

Producto de un monomio por un polinomio en una sola variable

Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio. Luego se reducen los términos semejantes, si es que existen términos.

Ejemplo:

3𝑥2 + 2𝑥 − 51

3𝑥4 − 2𝑥2 + 𝑥 =

Producto de polinomios en una sola variable

Producto de polinomios en varias variables

Se multiplican de manera similar a cómo se efectúa la multiplicación con una sola variable. Término a término, considerando las propiedades de potencias

Ejemplo: 3𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦3 − 3𝑥 𝑥𝑦2 − 𝑥2𝑦 − 𝑦2 =

Los productos notables son productos que sepueden calcular mediante fórmulaspreestablecidas, es decir, un producto notable esuna multiplicación de polinomios que cumplereglas establecidas y por tanto su resultado sepuede escribir de manera directa.

Productos Notables

Entre los productos notables más comunes encontramos los siguientes:

Factor común

Cuadrado de un binomio

Suma por diferencia

Productos de binomio con un término común

Cubo de un binomio

El resultado de multiplicar un binomio 𝑎 + 𝑏por un término 𝑐 se obtiene aplicando la propiedad distributiva

𝑐 𝑎 + 𝑏 = 𝑐𝑎 + 𝑐𝑏

Ejemplo:1. 𝑎 2 + 𝑥 = 2𝑎 + 𝑎𝑥2. 3 𝑎 − 𝑏 = 3𝑎 − 3𝑏3. 2 𝑥 + 𝑦 = 2𝑥 + 2𝑦

Factor Común

Cuadrado de un BinomioSi se eleva al cuadrado una expresión significa multiplicarla por sí misma.

𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 2

= 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Ejemplos:

1) 2𝑎 + 3𝑏2 2 = 2𝑎 2 + 2 2𝑎 3𝑏2 + 3𝑏2 2

= 4𝑎2 +12𝑎𝑏2 + 9𝑏4

2) 3𝑎𝑥 − 2𝑎2 2= 3𝑎𝑥 2 − 2 3𝑎𝑥 2𝑎2 + 2𝑎2 2

= 9𝑎2𝑥2 − 12𝑎3𝑥 + 4𝑎4

3)2

3𝑎 − 3𝑏

2

=

Suma por Diferencia

Se llama así al producto de dos binomios que tienen los mismos términos algebraicos, donde uno de ellos es una suma y el otro una resta.

𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2

Ejemplos:

1) 2𝑎 + 4𝑏 2𝑎 − 4𝑏 = 2𝑎 2 − 4𝑏 2 = 4𝑎2 − 16𝑏2

2) 3

4𝑥2 +

2

3𝑦4

3

4𝑥2 −

2

3𝑦4 =

Para efectuar un producto de dos binomios

con término común se tiene que identificar

el término común, en este caso 𝒙, luego se

aplica la fórmula siguiente:𝒙 + 𝑎 𝒙 + 𝑏 = 𝒙2 + 𝑎 + 𝑏 𝒙 + 𝑎𝑏

Productos de binomio con un término común

Ejemplos:1) 𝑎 + 3 𝑎 + 5 = 𝑎2 + 3 + 5 𝑎 + 3 ∙ 5

= 𝑎2 + 8𝑎 + 15

2) 𝑥 + 2 𝑥 − 5 = 𝑥2 + 2 + (−5 )𝑥 + 2 ∙ −5

= 𝑥2 − 3𝑥 − 10

3) 𝑥 −1

2𝑎 𝑥 +

1

2𝑏 =

Se llama cubo de un binomio a la multiplicación de un binomio por sí mismo tres veces, y se representa como:

𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 3

= 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

Cubo de un Binomio

Resuelva:

1) 2𝑎 + 3𝑏 3

2)𝑥𝑦

2+ 4𝑥𝑦2

3

=

3) 3𝑎𝑏2 − 2𝑎𝑏2 3 =

División de Polinomios

3𝑥3+ 13𝑥2− 13𝑥 + 2 : 3𝑥 − 2 = 𝑥2 +5𝑥−3𝑥3 + 2𝑥2

15𝑥2 − 13𝑥 + 2−15𝑥2 + 10𝑥

−3𝑥 + 23𝑥 − 2

0

Ejercicios:

1) 5𝑥4 + 2𝑥5 − 14𝑥2 − 8𝑥3 + 6𝑥 + 9 : 𝑥 − 1 =

2) 𝑥6 + 5𝑥4 + 3𝑥2 − 2𝑥 : 𝑥2 − 𝑥 + 3 =

3) 6𝑥5 + 𝑥4 + 4𝑥4 − 7𝑥 + 1 : 2𝑥2 + 𝑥 − 3 =

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