productos notables

Profesor Practicante: Ignacio Espinoza Braz

Comunidad “San Marcos”Subsector de MatemáticaArica

Existen algunos productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención de resultados. Éstos productos reciben el nombre de Productos Notables. Algunos de ellos son:

• Cuadrado de Binomio• Productos de Binomios que tienen un término común• Suma por su Diferencia• Cubo de Binomio

Para encontrar la formula general, haremos el producto de los binomios idénticos.

( ) 2a b±

( ) ( ) ( )2a b a b a b+ = + ⋅ +

2 2a ab ba b= + + +

( ) 2 2 22a b a ab b∴ + = + +

Veamos otro ejemplo:

¿Qué pasa si tenemos un signo menos?

( ) ( ) ( )2m n m n m n+ = + ⋅ +

2 2m mn nm n= + + +

( ) 2 2 22m n m mn n∴ + = + +

En general podemos decir que: “El cuadrado de binomio es siempre igual al Cuadrado del primer Término (siempre positivo), más o menos, el doble del producto entre el primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término (siempre positivo)”

( ) ( ) ( )2a b a b a b− = − ⋅ −

2 2a ab ba b= − − +

( ) 2 2 22a b a ab b∴ − = − +

( ) 2 2 22a b a ab b+ = + +

( ) 2 2 22a b a ab b− = − +

Cuando los términos se están sumando

Cuando los términos se están restando

Para encontrar la formula general, haremos el producto de los binomios.

( ) ( )x a x b+ ⋅ +

( ) ( )7 3x x+ ⋅ + =2 10 21x x= + +

( ) ( ) 27 3 10 21x x x x∴ + + = + +

2 3 7 21x x x+ + +

Veamos otro ejemplo:

( ) ( )2 5y y+ ⋅ + =2 7 21y y= + +

( ) ( ) 22 5 7 10y y y y∴ + + = + +

2 2 5 10y y y+ + +

Veamos otro ejemplo, muy distinto a los anteriores:

( ) ( )x b x c+ ⋅ + =

( )2x c b x bc= + + +

( ) ( ) ( )2x b x c x b c x bc+ ⋅ + = + + +

2x cx bx bc+ + +

En general podemos decir que:

Se eleva al cuadrado el primer término Se suman o restan los términos no comunes,

multiplicado por el término común Se multiplican los términos no comunes

( ) ( ) ( )2x b x c x b c x bc+ ⋅ + = + + +

Para encontrar la formula general, haremos el producto de los binomios.

( ) ( )x a x a+ −

( ) ( )7 7x x+ ⋅ − =( ) 22 249 7x x= − = −

( ) ( ) ( ) 227 7 7x x x+ ⋅ − = −

2 7 7 49x x x+ − −

Veamos otro ejemplo:

( ) ( ) 2 2x a x a x ax xa a+ − = + − −2 2x a= −

( ) ( ) 2 2x a x a x a+ − = −

En general podemos decir que: “La suma por su diferencia es igual cuadrado de los términos que tienen igual signo, menos el cuadrado de los términos que tienen distinto signo”

( ) ( ) 2 2x a x a x a+ − = −

Para encontrar la formula general, resolveremos el cubo del binomio como un producto de factores iguales.

( ) 3a b±

( ) ( ) ( ) ( )3a b a b a b a b+ = + ⋅ + ⋅ +

( ) ( )2a b a b= + ⋅ +

( ) ( )2 22a ab b a b= + + ⋅ +3 2 2 2 2 32 2a a b ab a b ab b= + + + + +

( ) 3 3 2 2 33 3a b a a b ab b∴ + = + + +

¿Qué ocurre si tenemos un signo menos?

( ) ( ) ( ) ( )3a b a b a b a b− = − ⋅ − ⋅ −

( ) ( )2a b a b= − ⋅ −

( ) ( )2 22a ab b a b= − + −3 2 2 2 2 32 2a a b ab a b ab b= − + − + −

( ) 3 3 2 2 33 3a b a a b ab b∴ − = − + −

• Cuadrado de Binomio

• Productos de Binomios que tienen un término común

• Suma por su Diferencia

• Cubo de Binomio

( ) 2 2 22a b a ab b+ = + + ( ) 2 2 22a b a ab b− = − +

( ) ( ) ( )2x b x c x b c x bc+ ⋅ + = + + +

( ) ( ) 2 2x a x a x a+ − = −

( ) 3 3 2 2 33 3a b a a b ab b+ = + + + ( ) 3 3 2 2 33 3a b a a b ab b− = − + −

Ahora, trabajemos

con la guía de ejercicios entregada