productos notables
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Profesor Practicante: Ignacio Espinoza Braz
Comunidad “San Marcos”Subsector de MatemáticaArica
Existen algunos productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención de resultados. Éstos productos reciben el nombre de Productos Notables. Algunos de ellos son:
• Cuadrado de Binomio• Productos de Binomios que tienen un término común• Suma por su Diferencia• Cubo de Binomio
Para encontrar la formula general, haremos el producto de los binomios idénticos.
( ) 2a b±
( ) ( ) ( )2a b a b a b+ = + ⋅ +
2 2a ab ba b= + + +
( ) 2 2 22a b a ab b∴ + = + +
Veamos otro ejemplo:
¿Qué pasa si tenemos un signo menos?
( ) ( ) ( )2m n m n m n+ = + ⋅ +
2 2m mn nm n= + + +
( ) 2 2 22m n m mn n∴ + = + +
En general podemos decir que: “El cuadrado de binomio es siempre igual al Cuadrado del primer Término (siempre positivo), más o menos, el doble del producto entre el primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término (siempre positivo)”
( ) ( ) ( )2a b a b a b− = − ⋅ −
2 2a ab ba b= − − +
( ) 2 2 22a b a ab b∴ − = − +
( ) 2 2 22a b a ab b+ = + +
( ) 2 2 22a b a ab b− = − +
Cuando los términos se están sumando
Cuando los términos se están restando
Para encontrar la formula general, haremos el producto de los binomios.
( ) ( )x a x b+ ⋅ +
( ) ( )7 3x x+ ⋅ + =2 10 21x x= + +
( ) ( ) 27 3 10 21x x x x∴ + + = + +
2 3 7 21x x x+ + +
Veamos otro ejemplo:
( ) ( )2 5y y+ ⋅ + =2 7 21y y= + +
( ) ( ) 22 5 7 10y y y y∴ + + = + +
2 2 5 10y y y+ + +
Veamos otro ejemplo, muy distinto a los anteriores:
( ) ( )x b x c+ ⋅ + =
( )2x c b x bc= + + +
( ) ( ) ( )2x b x c x b c x bc+ ⋅ + = + + +
2x cx bx bc+ + +
En general podemos decir que:
Se eleva al cuadrado el primer término Se suman o restan los términos no comunes,
multiplicado por el término común Se multiplican los términos no comunes
( ) ( ) ( )2x b x c x b c x bc+ ⋅ + = + + +
Para encontrar la formula general, haremos el producto de los binomios.
( ) ( )x a x a+ −
( ) ( )7 7x x+ ⋅ − =( ) 22 249 7x x= − = −
( ) ( ) ( ) 227 7 7x x x+ ⋅ − = −
2 7 7 49x x x+ − −
Veamos otro ejemplo:
( ) ( ) 2 2x a x a x ax xa a+ − = + − −2 2x a= −
( ) ( ) 2 2x a x a x a+ − = −
En general podemos decir que: “La suma por su diferencia es igual cuadrado de los términos que tienen igual signo, menos el cuadrado de los términos que tienen distinto signo”
( ) ( ) 2 2x a x a x a+ − = −
Para encontrar la formula general, resolveremos el cubo del binomio como un producto de factores iguales.
( ) 3a b±
( ) ( ) ( ) ( )3a b a b a b a b+ = + ⋅ + ⋅ +
( ) ( )2a b a b= + ⋅ +
( ) ( )2 22a ab b a b= + + ⋅ +3 2 2 2 2 32 2a a b ab a b ab b= + + + + +
( ) 3 3 2 2 33 3a b a a b ab b∴ + = + + +
¿Qué ocurre si tenemos un signo menos?
( ) ( ) ( ) ( )3a b a b a b a b− = − ⋅ − ⋅ −
( ) ( )2a b a b= − ⋅ −
( ) ( )2 22a ab b a b= − + −3 2 2 2 2 32 2a a b ab a b ab b= − + − + −
( ) 3 3 2 2 33 3a b a a b ab b∴ − = − + −
• Cuadrado de Binomio
• Productos de Binomios que tienen un término común
• Suma por su Diferencia
• Cubo de Binomio
( ) 2 2 22a b a ab b+ = + + ( ) 2 2 22a b a ab b− = − +
( ) ( ) ( )2x b x c x b c x bc+ ⋅ + = + + +
( ) ( ) 2 2x a x a x a+ − = −
( ) 3 3 2 2 33 3a b a a b ab b+ = + + + ( ) 3 3 2 2 33 3a b a a b ab b− = − + −
Ahora, trabajemos
con la guía de ejercicios entregada