presentación final transformada de fourier - ing ana maría ugartemendía
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Transformada de Fourier
Serie de Fourier (I) Las series de Fourier describen señales periódicas
como una combinación de señales armónicas
(sinusoidales).
Con esta herramienta podemos analizar una señal
periódica en términos de su contenido de
frecuencias o espectro.
Nos permitió establecer la dualidad o equivalencia
entre tiempo y frecuencia de forma que
operaciones realizadas en el dominio del tiempo
tienen su dual en el dominio de la frecuencia.
Serie de Fourier (II)
La forma exponencial de la serie de Fourier
describe una función periódica de período T
y frecuencia fundamental de la
siguiente manera:
00 22
fT
π=π=ω
( )tf
( )
++++++=
==
ωωω−−
ω−−
+∞
∞−
ω∑tjtjtjtj
tjnn
eCeCCeCeC
eCtf
0000
0
22101
22
Cálculo de los coeficientes:
La potencia contenida en una señal puede
evaluarse a partir de los coeficientes de su
correspondiente serie de Fourier.
( )∫ ω−=T
tjnn dtetfT
C0
01
Relación de Parseval:
( ) ∑∫+∞
∞−
== 2
0
21n
T
f CdttfT
P
Espectro de señales periódicas: los coeficientes
son los coeficientes espectrales de la señal
La gráfica de esos coeficientes en función de n
(índice armónico) o de la frecuencia se
denomina espectro.
Tenemos dos tipos de gráficos, uno de magnitud
o amplitud con los y otro de fase
La función como la función son
funciones discretas de la frecuencia.
nC ( )tf
0ω=ω n
nC ( )nφ
nC ( )nφ
Forma de la señal
Espectro discreto de amplitud
( )tf
2a− 2
a
2T− 2
T t
0V
10
120
1
=
=
T
a2
1=T
a
π=π=π=ω 2022
1010 T
20V
π−ω−402 0
nC
0π
ω402 0 0ωn
Forma de la señal
Espectro discreto de amplitud
( )tf
2T− 2
T t
4
120
1
=
=
T
a5
1=T
a
π=π=π=ω 822
410 T
2a− 2
a
50V
π−ω−405 0
nC
0π
ω405 0 0ωn
πω8010 0
π−ω−8010 0
Forma de la señal
Espectro discreto de amplitud
( )tf
2T− 2
T t
10
1
2
1
20
1 ===T
aTa π=π=π=ω 4
22
210 T
2a− 2
a
200V
π−ω−4010 0
nC
0π
ω4010 0 0ωn
πω
8020 0
π−ω−
8020 0
Transformada de Fourier (I)
Queremos ampliar el concepto de serie de Fourier
a señales no periódicas.
Podemos visualizar una señal no periódica como
una señal continua de período infinito:
o El espaciado entre frecuencias se aproxima a
cero y es por lo tanto una función continua.
o Los coeficientes disminuyen y tienden a
cero.nC
Transformada de Fourier (II)
Se define la transformada de Fourier de y se
indica como:
Sujeto a la condición suficiente pero no necesaria
de
espectro continuo de
amplitud
espectro continuo de fase
( )tf( )ωF
( ) ( )[ ] ( )∫ ω−
∞−
∞+==ω dtetftfFF tj
( ) ( ) ( )ωφω=ω jeFF
( ) ( )( )ωω=ωφ −
F
F
Re
Imtg 1
( )∫ ∞<∞−
∞+dttf
( ) ( ) ( )ω+ω=ω FFF 22 ImRe
Forma de la señal
Espectro continuo de amplitud
( )tf
t
0 Cuando 0 →ω∞→T
2a− 2
a
( )
><
=2
20
;0
;a
a
t
tVtf
( ) ( )2
20
sena
a
aVtfFFω
ω==ω
aπ2
aπ−2
( )ωF
ω
aV0
Relación entre la serie y la transformada de Fourier
es la función envolvente de
Si tomamos una muestra de a intervalos
regulares la función resultante es el espectro de
amplitud de una señal periódica de período
Es decir, muestrear en el dominio frecuencial se
corresponde con señales periódicas en el dominio
del tiempo.
( )ωF
( )ωFnC
0
10 fT =
0f
Transformada inversa de Fourier para una función
Las expresiones (1) y (2) constituyen el par de
transformadas de Fourier.
La expresión (1) transforma la función en el
dominio del tiempo en su función equivalente en el
dominio de la frecuencia y viceversa.
( )tf
( )ωF
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ωω=
ω=ω
ω
∞−
∞+π
ω−
∞−
+∞
∫∫
deFtf
dtefF
tj
tj
212
1
Algunas propiedades de la transformada de Fourier (I)
1. Linealidad o superposición:
2. Derivada: si
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )ω=ω= 2211 ; FtfFFtfF
( ) ( )[ ] ( ) ( )ω+ω=+ 22112211 FaFatfatfaF
sarbitraria constantes y 21 aa
( )[ ] ( )ω= FtfF
( ) ( )ωω=
Fjdt
tdfF
Algunas propiedades de la transformada de Fourier (II)
3. Cambio de escala o escalonamiento:
4. Desplazamiento en el tiempo:
( )[ ] ( )aa FatfF ω= 1
( )[ ] ( )ω=− ω− FettfF tj 00
factor =a
( )[ ] ( )ω= FtfF
( )[ ] ( )ω= FtfF
Algunas propiedades de la transformada de Fourier (III)
5. Modulación:
a.
b.
6. Convolución: ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )ω=ω= 2211 ; FtfFFtfF
( ) ( )[ ] ( ) ( )ω⋅ω=⊕ 2121 FFtftfF
( )[ ] ( ) real constante; 0 =ωω= FtfF
( ) ( )0][ 0 ω−ω=ω FetfF tj
( )[ ] ( ) ( )021
021
0cos ω+ω+ω−ω=ω FFttfF
Aplicaciones: calculamos la transformada de Fourier de algunas funciones
Forma de la serie:
Espectro continuo de amplitud:
Espectro continuo de fase:
( )
<≥
=α−
00
0
t
tetf
t
te α−
( )tf
t
( )
( )22
1
1
ω+α=ω
ω+α=ω
F
jF
( )
αω−=ωφ −1tg
( )ωφ
( )ωFa1
ωα
α2α3 α4
α− 3 α− 2α 0α− 4
ω
Forma de la serie:
Espectro continuo de amplitud:
( ) ( ) ttptf a 0cos ω⋅=
( )tf
t
( )( ) ( )
0
0
0
0
2sen
2sen
ω+ω
ω+ω
+ω−ω
ω−ω
=ω
aa
F
( )ωF
t0cosω
( )tpa
2a−
2a
t
t
ω
Transformada de Fourier
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