práctica de análisis matemático iii
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Universidad Nacional de Huancavelica EAP Ingeniería Civil - Hvca
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL - HVCA
PRIMERA PRÁCTICA DE ANÁLISIS MATEMÁTICO III - IV CICLO “A”
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN INDEFINIDA
1. MÉTODO DE INTEGRACIÓN COMPLEJA
a)∫ sen5 (2 x )dx
Solución:
sen (2x )= e2 ix−e−2ix
2 i
⇒∫ sen5 (2x )dx=∫( e2 ix−e−2 ix
2i )5
dx=∫ (e2 ix−e−2 ix )5
32idx
¿∫ (e10ix−5e6ix+10e2 ix−10e−2 ix+5e−6 ix−e−10ix )32i
dx
¿∫ (e10ix−e−10 ix )32i
dx−∫ (5 e6 ix−5e−6 ix )32i
dx+∫ (10e2 ix−10e−2 ix )32 i
dx
¿ 116
∫ (e10ix−e−10 ix )2i
dx− 516
∫ (e6 ix−e−6 ix )2 i
dx+ 1016
∫ (e2 ix−e−2 ix )2 i
dx
¿ 116∫ sen (10 x )dx− 5
16∫ sen (6 x )dx+1016∫sen (2x )dx
¿− 1160
cos (10 x )+ 596
cos (6x )− 516
cos (2 x )+C
b)∫ cos5 (2 x )dx
Solución:
⇒∫cos5 (2x )dx=∫( e2 ix+e−2 ix
2 )5
dx=∫ (e2 ix+e−2 ix )5
32dx
¿∫ (e10ix+5 e6 ix+10e2 ix+10e−2 ix+5e−6 ix+e−10 ix )32
dx
Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 1
Universidad Nacional de Huancavelica EAP Ingeniería Civil - Hvca
¿∫ (e10ix+e−10ix )32
dx+∫ (5e6 ix+5e−6 ix )32
dx+∫ (10e2ix+10e−2ix )32
dx
¿ 116
∫ (e10ix+e−10ix )2
dx+ 516
∫ (e6 ix+e−6 ix )2
dx+ 1016
∫ (e2ix+e−2 ix )2
dx
¿ 116∫cos (10 x )dx+ 5
16∫ cos (6 x )dx+1016∫ cos (2 x )dx
¿ 1160
sen (10x )+ 596sen (6 x )+ 5
16sen (2 x )+C
c)∫ tan7 (3x )dx
Solución:
⇒∫ tan7 (3x )dx=tan (3x )= sen(3 x )
cos (3 x )=
e3ix−e−3 ix
2ie3ix−e−3 ix
2
= e3 ix−e−3 ix
i (e3 ix−e−3ix )
¿ tan (3 x )= e6 ix−1
i (e6 ix+1 )=1i− 2
i (e6 ix+1 )=−i+ 2 i
e6 ix+1
¿∫ tan7 (3 x )dx=∫(−i+ 2 ie6 ix )
7
dx=−i∫( 2e6 ix+1
−1)7
dx
¿−i∫¿¿
−4
(e6 ix+1 )2+
2
e6 ix+1−1]dx
¿−128 i∫ dx
(e6ix+1 )7+64 i∫ dx
(e6 ix+1 )6−32 i∫ dx
(e6 ix+1 )5+16 i∫ dx
(e6ix+1 )4−¿
−8 i∫ dx
(e6 ix+1 )3+4 i∫ dx
(e6ix+1 )2−2i∫ dx
e6 ix+1+i∫ dx
Hallando cada integral:
¿∫ dx
(e6ix+1 )7
u=e6 ix+1; du=6 i e6ix dx ;dx= du6 i (u−1 )
Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 2
Universidad Nacional de Huancavelica EAP Ingeniería Civil - Hvca
⇒∫ dx
(e6 ix+1 )7= 1
6 i∫du
(u−1 )u7= 1
6 i∫u− (u−1 )(u−1 )u7
du= 16 i∫
du(u−1 )u6
− 16 i∫
du
u7
¿ 16 i∫ u−(u−1 )
(u−1 )u6 du−16 i ( u
−6
−6 )= 16 i∫ du
(u−1 )u5 −1
6 i∫ duu6 + 1
36u6
¿ 16 i∫ u−(u−1 )
(u−1 )u5 du−16 i ( u
−5
−5 )+ 136 i u6 =
16 i∫ du
(u−1 )u4 −16 i∫ duu5 + 1
30 iu5 +1
36 i u6
¿ 16 i∫ u−(u−1 )
(u−1 )u4 du−16 i ( u
−4
−4 )+ 130 iu5 +
136 iu6 =
16 i∫ du
(u−1 )u3 −1
6 i∫ duu4 + 1
24u4
+1
30i u5+ 1
36 iu6= 1
6 i∫du
(u−1 )u3− 1
6 i∫du
u4+ 1
24u4+ 1
30 iu5+ 1
36i u6
16 i∫ u−(u−1 )
(u−1 )u3 du−16 i ( u
−3
−3 )+ 124 u4 + 1
30 i u5 +1
36 iu6 =16 i∫ du
(u−1 )u2 −16 i∫ duu3 +¿
+118i u3 +
124u4 +
130 iu5 +
136 iu6 =
16 i∫ u−(u−1 )
(u−1 )u2 du−( u−2
−2 )+ 118 iu3 + 1
24 u4 +¿
+1
30i u5+ 1
36 iu6= 1
6 i∫du
(u−1 )udu− 1
6 i∫du
u2+ 1
12 iu2+ 1
18 i u3+ 1
24u4+ 1
30 iu5+¿
+136 iu6 =
16 i∫ u−(u−1 )
(u−1 )udu− 1
6 i (u−1
−1 )+ 112 iu2 +
118i u3 +
124u4 +
130 iu5 +
136 iu6
¿ 16 i
ln|u−1|− 16 i
ln|u|+ 16 iu
+ +1
12i u2+ 1
18 iu3+ 1
24u4+ 1
30i u5+ 1
36 iu6
⇒∫ dx
(e6 ix+1 )6
u=e6 ix+1; du=6 i e6ix dx ;dx= du6 i (u−1 )
⇒∫ dx
(e6 ix+1 )6= 1
6 i∫du
(u−1 )u6= 1
6 i∫u− (u−1 )(u−1 )u6
du= 16 i∫
du(u−1 )u5
− 16 i∫
du
u6
¿ 16 i∫ u−(u−1 )
(u−1 )u5 du−16 i ( u
−5
−5 )= 16 i∫ du
(u−1 )u4 −16 i∫ duu5 + 1
30 iu5
Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 3
Universidad Nacional de Huancavelica EAP Ingeniería Civil - Hvca
¿ 16 i∫ u−(u−1 )
(u−1 )u4 du−16 i ( u
−4
−4 )+ 130 iu5=
16 i∫ du
(u−1 )u3 −16 i∫ duu4 + 1
24u4 + 130 iu5
¿ 16 i∫ u−(u−1 )
(u−1 )u3 du−16 i ( u
−3
−3 )+ 124 u4 + 1
30 i u5 =1
6 i∫ du
(u−1 )u2 −16 i∫ duu3 + 1
18 iu3
+124u4 + 1
30i u5 =16 i∫ u−(u−1 )
(u−1 )u2 du−( u−2
−2 )+ 118i u3 +
124u4 +
130 iu5
¿ 16 i∫
du(u−1 )u
du− 16 i∫
du
u2+ 1
12 iu2+ 1
18i u3+ 1
24u4+ 1
30 iu5
¿ 16 i
ln|u−1|− 16 i
ln|u|+ 16 iu
+ +1
12i u2+ 1
18 iu3+ 1
24u4+ 1
30i u5
⇒∫ dx
(e6 ix+1 )5
u=e6 ix+1; du=6 i e6ix dx ;dx= du6 i (u−1 )
⇒∫ dx
(e6 ix+1 )5= 1
6 i∫du
(u−1 )u5= 1
6 i∫u−(u−1 )(u−1 )u5
du= 16 i∫
du(u−1 )u4
− 16i∫
du
u5
¿ 16 i∫ u−(u−1 )
(u−1 )u4 du−16 i ( u
−4
−4 )+ 130 iu5=
16 i∫ du
(u−1 )u3 −16 i∫ duu4 + 1
24u4
¿ 16 i∫ u−(u−1 )
(u−1 )u3 du−16 i ( u
−3
−3 )+ 124 u4 =
16 i∫ du
(u−1 )u2 −1
6 i∫ duu3 + 1
18 i u3 +1
24u4
¿ 16 i∫ u−(u−1 )
(u−1 )u2 du−( u−2
−2 )+ 118i u3 +
124u4 =
16 i∫ du
(u−1 )udu− 1
6 i∫ duu2 + 1
12 iu2 +¿
+1
18i u3+ 1
24u4= 1
6 iln|u−1|− 1
6 iln|u|+ 1
6 iu+ +1
12i u2+ 1
18 iu3+ 1
24u4
⇒∫ dx
(e6 ix+1 )4
u=e6 ix+1; du=6 i e6ix dx ;dx= du6 i (u−1 )
⇒∫ dx
(e6 ix+1 )4= 1
6 i∫du
(u−1 )u4= 1
6 i∫u−(u−1 )(u−1 )u4
du= 16 i∫
du(u−1 )u3
− 16 i∫
du
u4
Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 4
Universidad Nacional de Huancavelica EAP Ingeniería Civil - Hvca
¿ 16 i∫ u−(u−1 )
(u−1 )u3 du−16 i ( u
−3
−3 )= 16 i∫ du
(u−1 )u2−1
6 i∫ duu3 + 1
18 i u3
¿ 16 i∫ u−(u−1 )
(u−1 )u2 du−( u−2
−2 )+ 118i u3 =
16 i∫ du
(u−1 )udu− 1
6 i∫ duu2 + 1
12 iu2 +1
18i u3
⇒∫ dx
(e6 ix+1 )4= 1
6 iln|u−1|− 1
6 iln|u|+ 1
6 iu+ 1
12iu2+ 1
18i u3
⇒∫ dx
(e6 ix+1 )3= 1
6 iln|u−1|− 1
6 iln|u|+ 1
6 iu+ 1
12 iu2
⇒∫ dx
(e6 ix+1 )2= 1
6 iln|u−1|− 1
6 iln|u|+ 1
6 iu
⇒∫ dx
e6 ix+1= 1
6iln|u−1|− 1
6 iln|u|
⇒∫dx=xReemplazando:
∫ tan7 (3x )dx=ix−2i6 i
ln| e6 ix
e6 ix+1|+ 4 i6 i ( ln| e6 ix
e6 ix+1|+ 1e6 ix+1 )−8 i
6 i¿
+1e6 ix+1
+ 1
2 (e6 ix+1 )2 )+16 i6 i (ln| e6 ix
e6 ix+1|+ 1e6 ix+1
+ 1
2 (e6 ix+1 )2 +¿
+1
3 (e6 ix+1 )3 )−32i6 i (ln| e6 ix
e6 ix+1|+ 1e6 ix+1
+ 1
2 (e6 ix+1 )2 +1
3 (e6 ix+1 )3+¿
+1
4 (e6 ix+1 )4 )+ 64 i6 i ( ln| e6 ix
e6 ix+1|+ 1e6 ix+1
+ 1
2 (e6 ix+1 )2+ 1
3 (e6 ix+1 )3 +¿
+1
4 (e6 ix+1 )4 +1
5 (e6 ix+1 )5 )−128 i6 i (ln| e6 ix
e6 ix+1|+ 1e6 ix+1
+ 1
2 (e6 ix+1 )2 +¿
+1
4 (e6 ix+1 )4 +1
5 (e6 ix+1 )5+ 1
6 (e6ix+1 )6 )+C⇒∫ tan7 (3x )dx=−43
3ln| 1
2 cos (3 x )|− 14
e6 ix+1− 22
3 (e6 ix+1 )2+ ix− 40
9 (e6 ix+1 )3−¿
Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 5
Universidad Nacional de Huancavelica EAP Ingeniería Civil - Hvca
−4
(e6 ix+1 )4− 32
15 (e6 ix+1 )5− 32
9 (e6 ix+1 )6+C
d)∫ sec3 (4 x )dx
Solución:
e)∫ senh5 (3 x )dx
Solución:
senh (3x )= e3 x−e−3x
2
⇒∫ senh5 (3 x )dx=∫( e3x−e−3 x
2 )5
dx
¿ 132∫ (e15 x−5e9x+10e3 x−10e−3x+5e−9x−e−15 x)dx
¿ 132∫ (e15 x−e−15 x )dx− 5
32∫ (e9x−e−9x )dx+1032∫ (e3x−e−3 x)dx
¿ 116
∫( e15 x−e−15 x
2 )dx− 516
∫( e9x−e−9x
2 )dx+ 1016
∫( e3x−e−3 x
2 )dx¿ 1
16∫ senh (15x )dx− 516∫ senh (9 x )dx+ 10
16∫ senh (3 x )dx
¿ 1240
cosh (15 x )− 5144
cosh (9 x )+ 524
cosh (3 x )+C
f)∫ cosh3 ( 4 x )dx
Solución:
cosh (4 x )= e4 x+e−4 x
2
⇒∫cosh3 (4 x )dx=∫( e4x+e−4 x
2 )3
dx=18∫ (e12 x+3e4x+3e−4 x+e−12 x)dx
¿ 18∫ (e12 x+e−12 x )dx+ 1
8∫ (e4 x+e−4x )dx
¿ 14∫( e12 x+e−12 x
2 )dx+ 14∫( e4 x+e−4 x
2 )dx=14∫ cosh (12 x )dx+ 1
4∫cosh (4 x )dx
Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 6
Universidad Nacional de Huancavelica EAP Ingeniería Civil - Hvca
¿ 148senh (12 x )+ 1
16senh ( 4 x )+C
g)∫coth3 (6 x )dx
Solución:
coth (6 x )= e6x+e−6 x
e6x−e−6 x=1+ 2e12 x−1
⇒∫coth 3 (6 x )dx=∫(1+ 2e12 x−1 )
3
dx
¿∫(1+ 6e12 x−1
+ 12
(e12 x−1 )2 +8
(e12 x−1 )3 )dx¿∫dx+6∫ dx
e12 x−1+12∫ dx
(e12 x−1 )2+8∫ dx
(e12 x−1 )3
Si: e12 x−1=u⇒ du=12e12 x dx⇒ dx= du12 (u+1 )
⇒∫coth 3 (3 x )dx=x+ 612∫
duu (u+1 )
+ 1212∫
du
u2 (u+1 )+ 8
12∫du
u3 (u+1 )
¿ x+12∫
(u+1 )−uu (u+1 )
du+∫ (u+1 )−uu2 (u+1 )
du+ 23∫
(u+1 )−uu3 (u+1 )
du
¿ x+12
ln|u|−12
ln|u+1|+∫ du
u2−∫ du
u (u+1 )+ 2
3∫du
u3−2
3∫du
u2 (u+1 )
¿ x+12
ln| uu+1|+( u−1
−1 )−∫ (u+1 )−uu (u+1 )
du+ 23 ( u−2
−2 )−23∫ (u+1 )−uu2 (u+1 )
du
¿ x+12
ln| uu+1|−1
u−ln|u|+ ln|u+1|− 1
3u− 4
3u2−2
3∫ duu (u+1 )
¿ x+12
ln| uu+1|−1
u−ln|u|+ ln|u+1|− 1
3u− 4
3u2−2
3ln|u|−2
3ln|u+1|+C
¿ x+12
ln|e12 x−1e12 x |− 1
e12 x−1−ln|e12 x−1|+ ln|e12 x|− 1
3 (e12 x−1 )− 4
3 (e12 x−1 )2
−23
ln|e12 x−1|−23
ln|e12 x|+C
Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 7
Universidad Nacional de Huancavelica EAP Ingeniería Civil - Hvca
h)∫ csch5 ( 4 x )dx
Solución:
i)∫e3x sen4 (2x )dx
Solución:
e (ax+biy )=eax . ebiy=eax (cos (by )−isen (by ) )
e iz=cos ( z )+isen ( z )
e4 iz=cos4 ( z )+4 cos3 ( z )isen ( z )+6 cos2 ( z )i2 sen2 ( z )+4 cos ( z )i3 sen3 ( z )+i4 sen4 ( z )
e4 iz=cos4 ( z )+4 isen ( z ) cos3 ( z )−6 sen2 ( z) cos2 ( z )−4 i sen3 ( z ) cos ( z )+sen4 ( z )
cos (4 z )+isen ( 4 z )=cos4 ( z )−6 sen2 ( z )cos2 ( z )+sen4 ( z )+[ 4 sen (z ) cos3 ( z )−¿
−4 sen3 ( z ) cos ( z ) ]
ℜ∫dx=∫ℜ (d (x ) )
cos (4 z )=cos4 ( z )−6 sen2 ( z )cos2 ( z )+sen4 ( z )
sen (4 z )=cos (4 z )+6 sen2 ( z ) cos2 ( z )−cos4 (z )
e3x sen4 ( z )=e3x cos (4 z )+6 e3 xsen2 (z ) cos2 ( z )−e3x cos4 (z )
⇒∫e3x sen4 ( z )dx=∫ e3xcos (4 z )dx+∫ 6e3x sen2 ( z )cos2 (z )dx−∫ e3 xcos4 (2x )dx
Hallando cada una de las integrales:
Si: sen (2 x )= e2 ix−e−2 ix
2i;cos (2x )= e
2 ix+e−2 ix
2
∫ e3 xcos (3 x )dx=∫e3x ( e8ix+e−8 ix
2 )dx=12∫ (e( 3+8 i ) x+e( 3−8 i) x )dx
¿ 12 ( e (3+8 i) x
3+8 i+ e
(3−8 i ) x
3−8 i )=12
(3−8 i ) e3x+8 ix+ (3+8 i )e3x−8 ix
9+64
⇒∫e3x cos (3 x )dx= 373e3x cos (8 x )dx+ 8
73e3x sen (8x )
∫ e3 xsen2 (2 x ) cos2 (2x )dx=∫e3x ( e2 ix+e−2 ix
2 )2
( e2 ix−e−2 ix
2 i )2
dx
Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 8
Universidad Nacional de Huancavelica EAP Ingeniería Civil - Hvca
¿∫ [−e3x
16(e4 ix+2+e−4 ix ) (e4 ix+e−4 ix−2 )]dx=−1
16∫ e3 x (e8 ix+e−8ix−2 )dx
¿− 116
∫ (e (3+8 i) x+e (3−8 i ) x−2e3 x )dx=−116 ( e (3+8i ) x
3+8 i+ e
(3−8 i ) x
3−8 i−2e3x
3 )¿ 1
16e3x ( 3e8 ix+3e−8 ix−8i e8 ix+8 i e−8 ix
73 )+ e3 x
24
¿ −3584
e3 xcos (8 x )− 173e3 x sen (8 x )+ 1
24e3x+C
∫ e3 xcos4 (2x )dx=∫e3x ( e2 ix+e−2 ix
2 )4
dx
¿∫ e3 x
16(e8 ix+4 e4 ix+10e0+4 e−4 ix+e−8 ix )dx
¿ 116∫ (e(3+8 i) x+4e (3+4 i) x+10e3x+4 e (3−4 i ) x+e( 3−8 i) x )dx
¿ 116 ( e( 3+8 i) x
3+8 i+ 4e (3+4 i ) x
3+4 i+ 10e3 x
3+ 4 e(3−4 i) x
3−4 i+ e
(3−8i ) x
3−8 i )¿ 1
16 ( (3−8 i ) e(3+8 i) x+(3+8i ) e (3−8 i) x
(3−8 i ) (3+8i ) )+ 416 ( (3−4 i ) e( 3+4 i) x+(3+4 i )e (3−4 i) x
(3−4 i) (3+4 i ) )+¿
+1048
e3x= e3x
16 (3e8 ix−8 ie8 ix+3e−8 ix+8i e−8 ix
73 )+ e3x
4 ( 3e4 ix−4 ie4 ix+3e−4 ix
25+¿
+ 4 i e−4 ix
25 )+ 5e3x
24= e
3 x
16 ( 673
cos (6 x )+ 1673sen (8 x ))+ e
3x
4 ( 625
cos (4 x )+ 825sen (4 x ))
+524e3x= 3
584e3xcos (8 x )+ 1
73e3 x sen (8 x )+ 3
50e3 xcos ( 4 x )+ 1
50e3x sen (4 x )+ 5
24e3x
∫ e2 xsen (4 x )dx= 373e3x cos (8 x )+ 8
73e3x sen (8 x )− 9
292e3x cos (8 x )− 6
73e3x sen (8 x )
+18e3x− 3
584e3 xcos (8x )− 1
73e3 x sen (8 x )− 3
50e3x cos (4 x )− 1
50e3 x sen (4 x )− 5
24e3x+C
j)∫ e−2x cos5 (3 x )dx
Solución:
cos (3 x )= e3 ix+e−3 ix
2
Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 9
Universidad Nacional de Huancavelica EAP Ingeniería Civil - Hvca
cos5 (3 x )=( e3 ix+e−3ix
2 )5
= e15ix+e−15ix+5e9 ix+5e−9ix+10e3 ix+10e−3 ix
32
cos5 (3 x )= 116 [ e15 ix+e−15 ix
2+
5 (e9 ix+e−9ix )2
+10 (e3 ix+e−3 ix )
2 ]cos5 (3 x )= 1
16( cos (15 x )+5 cos (9 x )+10 cos (3x ) )
∫ e−2 xcos5 (3 x )dx= 116∫e
−2 x (cos (15 x )+5 cos (9 x )+10 cos (3 x ) )dx
∫ e−2 xcos5 (3 x )dx= 116∫e
−2 xcos (15 x )dx+ 516∫ e
−2x cos (9 x )dx+ 1016∫ e
−2 xcos (3 x )d x
Resolviendo:∫ e−2 xcos (15 x )dx
∫udv=uv−∫vdu
Sea :e−2x=u;cos (15 x )dx=dv
−2e−2x dx=du ;sen (15 x )
15=v
⇒∫e−2 xcos (15 x )dx= e−2x
15sen (15x )+ 2
15∫e−2 xsen (15x )dx
Haciendo otro cambio:
Sea:e−2 x=u;sen (15 x )dx=dv
−2e−2x dx=du ;−cos (15 x )
15=v
⇒∫e−2 xcos (15 x )dx= e−2x
15sen (15x )+ 2
15 [−e−2 xcos (15 x )15
− 215
∫ e−2x cos (15 x )dx ]∫ e−2 xcos (15 x )dx= e
−2x
15sen (15x )− 2
225e−2x cos (15 x )− 4
225∫e−2x cos (15 x )dx
¿ 229225
∫e−2x cos (15 x )dx= e−2 x
15sen (15 x )− 2
225e−2xcos (15x )
∫ e−2 xcos (15 x )dx= 15225
e−2 x sen (15x )− 2229
e−2x cos (15x )
Resolviendo:∫ e−2 xcos (9x )dx
Sea:e−2 x=u;cos (9 x )dx=dv
Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 10
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−2e−2x dx=du ;sen (9x )
9=v
⇒∫e−2 xcos ( 9x )dx= e−2x
9sen (9 x )+ 2
9∫ e−2x sen (9 x )dx
Haciendo otro cambio:
Sea:e−2 x=u;sen (9 x )dx=dv
−2e−2x dx=du ;−cos (9 x )
9=v
⇒∫e−2 xcos ( 9x )dx= e−2x
9sen (9 x )+ 2
9 [−e−2x cos (9 x )9
−29∫ e−2x cos (9 x )dx]
∫ e−2 xcos (9x )dx= e−2x
9sen (9 x )−2e−2x
81cos (9 x )− 4
81∫e−2 xcos (9 x )dx
∫ e−2 xcos (9x )dx=81e−2 x sen (9 x )(9 ) (85 )
−(2 ) (81 ) e−2 x cos (9 x )
(81 ) (85 )
∫ e−2 xcos (9x )dx= 985e−2x sen (9 x )− 2
85e−2 xcos (9x )
Resolviendo:∫ e−2 xcos (3 x )dx
Sea:e−2 x=u;cos (3 x )dx=dv
−2e−2x dx=du ;sen (3 x )
3=v
⇒∫e−2 xcos (3 x )dx= e−2x
3sen (3x )+ 2
3∫e−2 x sen (3x )dx
Haciendo otro cambio:
Sea:e−2 x=u;sen (3 x )dx=dv
−2e−2x dx=du ;−cos (3 x )
3=v
⇒∫e−2 xcos (3 x )dx= e−2x
3sen (3x )+ 2
3 [−e−2 xcos (3 x )3
−23∫ e−2x cos (3 x )dx ]
∫ e−2 xcos (3 x )dx= e−2x
3sen (3 x )−2
3e−2x cos (3 x )−4
9∫ e−2x cos (3 x )dx
Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 11
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∫ e−2 xcos (3 x )dx=9e−2 x sen (3 x )(3 ) (13 )
−(2 ) (9 )e−2 xcos (3 x )
(13 ) (9 )
∫ e−2 xcos (3 x )dx= 313e−2 xsen (3x )− 2
13e−2xcos (3x )
Finalmente reemplazando en la expresión inicial:
∫ e−2 xcos5 (15 x )dx= 153664
e−2x sen (15 x )− 11832
e−2xcos (15x )+ 9272
e−2 xsen (9 x )−¿
−1136
e−2 xcos (9 x )+ 15104
e−2x sen (3 x )− 552e−2xcos (3x )+C
k)∫ e2 x tan2 (2 x )dx
Solución:
l)∫e4 x sec3 ( x )dx
Solución:
ll)∫ e2 xsen3 (3 x )dx
Solución:
sen (3 x )= e3 ix−e−3 ix
2 i
sen3 (3x )=( e3 ix−e−3 ix
2 i )3
= e9ix−e−9 ix
(2 i )3−3
e3 ix−e−3 ix
(2i )3
¿ e9ix−e−9 ix
(−4 ) (2 i )−
3 (e3 ix−e−3 ix )(−4 ) (2i )
=−14sen (9x )+ 3
4sen (3 x )
∫ e2 xsen3 (3 x )dx=−14 ∫e2x sen (9 x )dx+ 3
4∫ e2 x sen (3x )dx
Hallando :∫ e2x sen (9 x )dx
Sea:e2x=u ; sen (9 x )dx=dv
2e2xdx=du ;−cos (9 x )
9=v
Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 12
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∫ e2 xsen (9x )dx=−e2x
9cos (9 x )+ 2
9∫ e2 xcos ( 9x )dx
Haciendo otro cambio en :∫ e2xcos (9 x )dx
Sea:e2x=u ;cos (9 x )dx=dv
2e2xdx=du ;sen (9 x )
9=v
∫ e2 xcos (9 x )dx= e2x
9sen (9x )−2
9∫ e2x sen (9 x )dx
∫ e2 xsen (9x )dx=−e2x
9cos (9 x )+ 2
9 ( e2x sen (9 x )9
−29∫ e2x sen (9 x )dx)
∫ e2 xsen (9x )dx=−985e2xcos (9 x )+ 2
85e2 x sen (9 x )
Hallando :∫ e2x sen (3 x )dx
Sea:e2x=u ; sen (3 x )dx=dv
2e2xdx=du ;−cos (3 x )
3=v
∫ e2 xsen (3x )dx=−e2x
9cos (3 x )+ 2
3∫e2x cos (3 x )dx
Haciendo otro cambio en :∫ e2xcos (3x )dx
Sea:e2x=u ;cos (3x )dx=dv
2e2xdx=du ;sen (3 x )
3=v
∫ e2 xcos (3 x )dx= e2 x
3sen (3 x )−2
3∫e2x sen (3 x )dx
∫ e2 xsen (3x )dx=−e2x
9cos (3 x )+ 2
3 ( e2x
3sen (3 x )−2
3∫e2x sen (3 x )dx)
∫ e2 xsen (3x )dx=−313e2 xcos (3 x )+ 2
13e2x sen (3 x )
Reemplazando en la expresión inicial:
∫ e2 xsen3 (3 x )dx=−9e2x
340cos ( 9x )+ e
2 x
170sen (9 x )−9e2 x
52cos (3 x )+ 3e2x
26sen (3 x )+C
Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 13
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m)∫e√x cos3 (√ x )dx
Solución:
n)∫ e√ x sen2 (√x )dx
Solución:
ñ)∫ ex sen3 ( x )dx
Solución:
o)∫e3x cos3 (√3 x )dx
Solución:
p)∫ e2 xcos2 (√2 x )dx
Solución:
q)∫ e2x cosn ( x )dx
Solución:
2. MÉTODO DE INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
a)∫ sen5 (2 x )dx
Solución:
b)∫ cos5 (3 x )dx
Solución:
∫cos5 (3x )dx=∫ tan4 (2 x ) tan2 (2 x )dx=∫ tan4 (2x ) (sec2 (2 x )−1 )dx
Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 14
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¿∫ ( tan4 (2 x ) sec2 (2 x )−tan4 (2x ) )dx=∫ tan 4 (2 x ) sec2 (2x )dx−∫ tan4 (2x )dx
¿ 12∫ tan4 (2x )d ( tan (2 x ))−∫ tan2 (2 x ) (sec2 (2x )−1 ) dx
¿tan5 (2x )
10−∫ ( tan2 (2x ) sec 2 (2 x )−tan 2 (2 x )) dx
¿tan5 (2x )
10−1
2∫ tan2 (2 x )d ( tan (2x ) )+∫ tan2 (2x )dx
¿tan5 (2x )
10−
tan 3 (2 x )6
+∫ (sec2 (2x )−1 ) dx
¿tan5 (2x )
10−
tan 3 (2 x )6
+tan (2 x )
2−x+C
c)∫ tan6 (2x )dx
Solución:
d)∫ csc5 (2 x )dx
Solución:
e)∫ sen5 ( x ) tan4 ( x )dx
Solución:
f)∫ cos4 (x ) sen3 (x )dx
Solución:
g)∫ tan3 (3 x ) sen3 ( x )dx
Solución:
h)∫ sec2( x3 )sen2( x2 )dxSolución:
Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 15
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i)∫sen2 (2x ) cos2( x2 )cos2( x4 )dxSolución:
Hacemos que: x=4 t ;dx=4dt
⇒∫ sen2 (2x ) cos2( x2 )cos2( x4 )dx=2∫ sen2 (8 t )cos2 (2 t )2 cos2 ( t )dt
¿2∫ sen2 (8 t ) cos2 (2t ) (1+cos (2 t ) )dt
¿2 [∫ (sen2 (8 t ) cos2 (2 t ) )dx+2∫ sen2 (8 t ) cos (2 t )dt ]¿∫ sen2 (8t ) (1+cos ( 4 t ) )dt+∫ sen2 (8 t ) 2 cos2 (2t ) cos (2 t )dt
¿∫ sen2 (8t )dt+∫ sen2 (8 t )cos (4 t )dt+∫ sen2 (8 t ) (1+cos (4 t ) ) cos (2 t )dt
¿ 12∫ (1−cos (16 t ) )dt+∫sen2 (8t ) cos (4 t )dt+∫ sen2 (8 t ) cos (2 t )dt+¿
+∫cos (4 t ) sen2 (8 t )cos (2t )dt
¿ 12t−sen (16 t )
32+∫ sen2 (8 t )cos (4 t )dt+∫ sen2 (8 t ) cos (2 t )dt+¿
+∫cos (4 t ) sen2 (8 t )cos (2t )dt
Hallando:∫ sen2 (8 t ) cos ( 4 t )dt
¿∫ (2 sen (4 t ) cos (4 t ) )2 cos (4 t )dt=4∫ sen2 ( 4 t )cos3 (4 t )dt
¿∫ sen2 (4 t ) cos2 (2t ) cos (4 t )dt=∫ sen2 (4 t ) (1−sen2 (4 t ) )cos ( 4 t )d (4 t )
¿∫ sen2 (4 t )d ( sen (4 t ) )−∫ sen4 (4 t )d (sen (4 t ) )= sen3 (4 t )3
−15sen5 ( 4 t )
Hallando:∫ sen2 (8 t ) cos (2 t )dt
¿∫ (4 sen2 (4 t )cos2 (4 t ) )cos (2 t )dt=4∫sen2 (4 t )cos2 (4 t ) cos (2 t )dt
¿ 162 ∫ (2 sen6 (2t )−3 sen4 (2 t )+sen2 (2 t ) )cos (2 t )d (2t )
¿8∫ (2 sen6 (2t )−3 sen4 (2 t )+sen2 (2 t )) d ( sen (2 t ) )
Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 16
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⇒∫ sen2 (8 t )cos (2 t )dt=167sen7 (2 t )−24
5sen5 (2 t )+ 1
3sen3 (2 t )
Hallando:∫cos ( 4 t ) sen2 (8 t )cos (2 t )dt
¿4 sen2 ( 4 t )cos2 ( 4 t )cos (4 t ) cos (2 t )=4 sen2 (4 t ) cos3 (4 t ) cos (2 t )
¿4 (4 sen2 (2 t )cos2 (2 t ) )(cos2 (2 t )−sen2 (2 t ) )3cos (2t )
¿16 sen2 (2t ) cos2 (2t ) (cos6 (2 t )−3 cos4 (2t ) sen2 (2 t )+3cos2 (2 t ) sen4 (2 t )−sen6 (2 t ) )
¿16∫ [ sen2 (2t ) cos9 (2 t )−3 sen4 (2 t ) cos7 (2t )+3 cos5 (2 t ) sen6 (2 t )−sen8 (2 t )cos3 (2 t ) ]dt
Hallando:∫ sen2 (2t ) cos9 (2 t )dt
¿∫ sen2 (2t ) (1−sen2 (2t ) )4 cos (2t )dt
¿ 12∫ sen
2 (2 t ) (1−4 sen2 (2 t )+6 sen4 (2t )−4 sen6 (2t )+sen8 (2t ) )d (sen (2t ) )
¿ 12∫ (sen2 (2t )−4 sen4 (2 t )+6 sen6 (2 t )−4 sen8 (2 t )+sen10 (2 t ) )d ( sen (2 t ) )
¿ 16sen3 (2 t )− 4
10sen5 (2 t )+ 6
14sen7 (2t )− 4
18sen9 (2 t )+ 4
22sen11 (2 t )
Hallando:∫3 sen4 (2 t ) cos7 (2 t )dt
¿3∫ sen4 (2 t ) (1−sen2 (2 t ) )3cos (2t )dt
¿ 32∫ (sen4 (2 t )−3 sen6 (2t )+3 sen8 (2 t )−sen10 (2t ) )d (sen (2 t ) )
¿ 310sen5 (2t )− 9
14sen7 (2 t )+ 1
2sen9 (2 t )− 3
22sen11 (2t )
Hallando:∫3 cos5 (2 t ) sen6 (2t )dt
¿ 32∫ sen
6 (2t ) (cos2 (2 t ))2cos (2t )d (2 t )
¿ 32∫ (sen6 (2 t ) (1+sen4 (2 t )−2 sen2 (2 t ) ))cos (2 t )d (2 t )
¿ 32∫ (sen6 (2 t )+sen10 (2t )−2 sen8 (2t ) )d (sen (2t ) )
¿ 314sen7 (2 t )+ 3
22sen11 (2 t )−1
3sen9 (2t )
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Hallando:∫ sen8 (2t ) cos3 (2 t )dt
¿ 12∫ sen
8 (2t ) cos2 (2t ) cos (2 t )d (2t )=12∫ sen
8 (2 t ) (1−sen2 (2 t ) )d ( sen (2 t ) )
¿ 12∫ (sen8 (2 t )−sen10 (2 t ) )d ( sen (2t ) )= 1
18sen9 (2 t )− 1
22sen11 (2t )
Reemplazando en la expresión inicial:
∫ sen2 (2 x ) cos2( x2 )cos2( x4 )dx= x8−sen ( 4 x )
32+sen3 ( x )
3−sen5 (x )
5+
25 sen7 ( x /2 )7
−¿
−11sen5 ( x /2 )2
+17 sen3 ( x /2 )
6−sen9 ( x /2 )+¿
+4 sen11 ( x /2 )11
+C
j)∫ sen3 (2 x ) sen2( 2 x3 )sen2( 3 x
4 )sen ( 2x5 )dx
Solución:
k)∫ cos2 (3x ) cos2(3 x2 )cos2( 2 x
3 )cos( 5 x2 )dx
Solución:
l)∫ tan3 ( x ) sec 4 (2 x )dx
Solución:
Llevando a un mismo argumento mediante las I.T.
tan( x2 )=√ 1−cos ( x )1+cos ( x )
⇒∫ tan3 (x ) sec 4 (2x )dx=∫(√ 1−cos ( x )1+cos ( x ) )
3
sec4 (2 x )dx
¿∫ 1−cos (2 x )1+cos (2 x ) (√ 1−cos ( x )
1+cos ( x ) )sec4 (2 x )dx=∫ (1−cos (2x ) )2sec4 (2x )
sen (2x ) (1+cos (2 x ) )dx
Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 18
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¿∫ (1−cos (2 x ) )3 sec4 (2 x )sen3 (2 x )
dx=∫ (1−cos3 (2x )−3 cos (2x )+3 cos2 (2 x ) )sec 4 (2 x )sen3 (2 x )
dx
¿∫ sec4 (2 x )+sec (2 x )−3 sec3 (2x )+3 sec2 (2 x )sen3 (2 x )
dx
¿∫ sec4 (2x ) csc3 (2x )dx−∫ sec (2 x ) csc3 (2 x )dx−3∫ sec3 (2 x ) csc3 (2 x )dx+¿
+3∫ sec2 (2 x )csc 3 (2 x )dx
Hallando:∫ sec4 (2x ) csc3 (2x )dx
∫ sec4 (2 x )csc3 (2 x )dx=∫ sec4 (2 x ) (1+cot2 (2 x ) )csc (2x )dx
¿∫ sec4 (2x ) csc (2x )dx+∫ sec 4 (2x ) csc (2x ) co t 2 (2 x )dx
¿∫ (1+ tan2 (2 x ) )2 csc (2x )dx+∫ cot2 (2x ) sec 4 (2 x ) csc (2 x )dx
¿∫ (1+2 tan2 (2 x )+ tan 4 (2 x ) )csc (2x )dx+∫ csc5 (2x )dx
¿∫csc (2 x )dx+2∫ tan 2 (2 x )csc (2 x )dx+∫ tan4 (2 x ) csc (2 x )dx+∫csc5 (2 x )dx
¿ 12
ln|csc (2 x )−cot (2 x )|+2∫ sen (2 x )cos2 (2 x )
dx+∫ sen3 (2 x )cos4 (2 x )
dx+∫csc5 (2x )dx
Hallando:∫ sen (2x )cos2 (2x )
dx=−12∫ d (cos (2x ) )
cos2 (2x )=
12cos (2x )
Hallando:∫ sen3 (2 x )cos4 (2 x )
dx
Sea : t=cos (2 x )⇒ dt=−2 sen (2 x )dx
t 2=1−sen2 (2x )⇒ sen2 (2x )=1−t2
¿−12∫ (1−t2 )
t 4 dt=−12∫ dtt4
+ 12∫ dtt2
= 16 t3
− 12t
=16sec3 (2 x )−1
2sec (2 x )
Hallando:∫csc5 (2 x )dx
¿∫ (1+cot2 (2 x ) )csc3 (2 x )dx=∫csc3 (2x )dx+∫cot2 (2x ) csc3 (2x )dx
¿∫csc3 (2x )dx+∫cot (2 x )csc 2 (2 x )csc (2 x )cot (2 x )dx
En:∫cot (2 x ) csc2 (2 x )csc (2 x )cot (2 x )dx ;mediante integración por partes:
Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 19
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Sea :u=cot (2 x ); dv=csc2 (2x ) csc (2x ) cot (2 x )dx
du=−2csc2 (2x )dx; v=−csc3 (2 x )/6
∫cot (2 x ) csc2 (2 x ) csc (2 x ) cot (2x )dx=−cot (2x ) csc3 (2x )6
−26∫ csc5 (2 x )dx
Hallando:∫csc3 (2 x )dx=∫ (1+cot2 (2x ) )csc (2 x )dx=∫ csc (2 x )dx+¿
+∫cot2 (2 x )csc (2 x )dx
¿ 12
ln|csc (2 x )−cot (2 x )|+∫ cot (2x ) cot (2 x ) csc (2 x )dx
En:∫cot (2 x )cot (2 x ) csc (2 x )dx ;mediante integración por partes :
Sea :u=cot (2 x ); dv=cot (2 x )csc (2 x )dx
du=−2csc2 (2x )dx; v=−csc (2 x )/2
∫ csc3 (2 x )dx=12
ln|csc (2 x )−cot (2x )|− cot (2x ) csc (2x )2
−∫csc3 (2 x )dx
∫ csc3 (2 x )dx=14
ln|csc (2 x )−cot (2x )|− cot (2x ) csc (2x )4
⇒∫csc 5 (2 x )dx=14
ln|csc (2x )−cot (2x )|− cot (2 x ) csc (2x )4
−13∫csc
5 (2x )dx−¿
−cot (2x ) csc3 (2x )6
¿ 13∫csc
5 (2x )dx+∫csc5 (2x )dx=14
ln|csc (2x )−3 cot (2 x )|− cot (2 x )csc (2 x )4
−¿
−cot (2x ) csc3 (2x )6
= 316
ln|csc (2x )−cot (2x )|−3 cot (2 x )csc (2 x )16
−3 cot (2 x )csc3 (2 x )
24
⇒∫ sec4 (2 x ) csc3 (2 x )dx= 316
ln|csc (2 x )−cot (2x )|−3cot (2 x ) csc (2 x )16
−sec3 (2x )
6−¿
−18
cot (2 x )csc3 (2 x )
Hallando:∫ sec (2 x ) csc3 (2 x )dx
¿∫ sec (2 x ) (1+cot2 (2x ) )cs c (2 x )dx=∫ sec (2x ) csc (2 x )dx+¿
Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 20
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+∫cot 2 (2 x ) sec (2 x ) csc (2x )dx
¿∫ ( tan (2x )+cot (2 x ) )dx+∫ cos (2x )sen3 (2x )
dx=12
ln|sec (2 x )|+12|sen (2x )|+∫ cos (2x )
sen3 (2 x )dx
¿ 12
( ln|sec (2x )|+ ln|sen (2x )|)+∫ cos (2 x )sen3 (2x )
dx
En:∫ cos (2x )sen3 (2 x )
dx ; haremos el cambio de variable:
t=sen (2x )⇒dt=2cos (2 x )dx
∫ cos (2 x )sen3 (2x )
dx=12∫
dt
t3=−1
4 t 2=−1
4csc2 (2 x )
⇒∫ sec (2x ) csc3 (2x )dx=12
ln|sec (2x )|+ 12
ln|sen (2 x )|−14csc2 (2x )
Hallando:∫ sec3 (2 x ) csc3 (2 x )dx
¿∫ (1+ tan2 (2 x ) ) (1+cot2 (2 x ) ) csc (2 x ) sec (2x )dx
¿∫ (1+cot2 (2 x )+ tan2 (2x )+1 )csc (2 x ) sec (2 x )dx
¿2∫ csc (2x ) sec (2 x )dx+∫cot2 (2 x )csc (2 x ) sec (2 x )dx+∫ tan2 (2x ) csc (2x ) sec (2 x )dx
¿2∫ (tan (2 x )+cot (2x ) )dx+∫ cos (2x )sen3 (2 x )
dx+∫ sen (2x )cos3 (2x )
dx
¿2∫ tan (2 x )dx+2∫ cot (2x )dx+ 12∫ d ( sen (2 x ) )
sen3 (2 x )−
12∫ d (cos (2 x ) )
cos3 (2 x )
⇒∫ sec3 (2 x ) csc3 (2 x )dx=ln|sec (2x )|+ ln|sen (2 x )|−14csc 2 (2 x )+ 1
4sec2 (2 x )
Hallando:∫ sec2 (2 x )csc 3 (2 x )dx
¿∫ (1+ tan2 (2 x ) ) (1+cot2 (2 x ) ) csc (2 x )dx=∫ (2+ tan2 (2 x )+cot2 (2x ) )csc (2 x )dx
¿2∫ csc (2x )dx+∫ cot2 (2x ) csc (2x )dx+∫ tan2 (2 x )csc (2 x )dx
¿ ln|csc (2 x )−cot (2 x )|+∫ cot (2 x ) cot (2 x )csc (2 x )dx+∫ tan (2x ) tan (2 x )csc (2 x )dx
En:∫cot (2 x )cot (2 x ) csc (2 x )dx ;mediante integración por pates
Sea :u=cot (2 x ); dv=cot (2 x )csc (2 x )dx
Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 21
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du=−2csc2 (2x )dx; v=−csc (2x )2
¿−cot (2 x ) csc (2x )
2−∫ csc3 (2x )dx
¿−cot (2 x ) csc (2x )
2−1
4ln|csc (2 x )−cot (2 x )|− cot (2x ) csc (2x )
4
En:∫ tan (2x ) tan (2 x )csc (2 x )dx=∫ sen (2 x )cos3 (2 x )
dx=−12∫ d (cos (2 x ) )
cos3 (2 x )=
14sec2 (2x )
⇒∫ sec2 (2 x ) csc3 (2 x )dx=ln|csc (2 x )−cot (2 x )|−34
cot (2 x )csc (2 x )+ sec2 (2 x )4
∴∫ tan3 ( x ) sec4 (2x )dx=3916
ln|csc (2x )−cot (2x )|−3916
cot (2x ) csc (2x )+ sec3 (2 x )6
−¿
−18
cot (2 x )csc3 (2 x )−72
ln|sec (2x )|−72
ln|sen (2x )|+¿
+csc 2 (2 x )+ 94
ln|csc (2x )−cot (2x )|−94
cot (2x ) csc (2x )+C
ll)∫ senh3 (2 x ) senh2 (2x )dx
Solución:
m)∫cosh2 (3 x ) cosh2 (2 x )cosh2 (4 x )dx
Solución:
n)∫ tanh (2x ) senh2 (2 x )dx
Solución:
ñ)∫ senh3 ( x ) cosh2 ( x ) senh2 (2 x ) cosh2 (2x )dx
Solución:
o)∫ tanh (2x ) tan (2 x )dx
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Solución:
p)∫ senh2 ( x ) cosh2 ( x ) sen ( x ) cos ( x )dx
Solución:
q)∫ senh3 ( x ) senh2( x2 )sen2( x3 )dxSolución:
r)∫ cosh2 ( x ) cos2 ( x ) cosh( x3 )cos ( x3 )dxSolución:
s)∫ senh2 (2 x ) cos (2 x ) senh ( x2 )dxSolución:
t)∫ sen (2 x )(1−sen ( x ) )3
dx
Solución:
u)∫ cos3 (2x )sen2 (x )
dx
Solución:
v)∫ dx
( cos ( x )−sen ( x ) )4
Solución:
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w)∫ cos (2 x )2 sen ( x )+3 cos ( x )
dx
Solución:
x)∫ cos3 ( x )−sen3 ( x )sen2 (2x )−cos2 (2x )
dx
Solución:
y)∫ sen2 (2 x )sen ( x )cos (3x )
dx
Solución:
z)∫ 2 sen (3 x )2+cos ( x )
dx
Solución:
3. MÉTODO DE FRACCIONES PARCIALES
a)∫ 3x+2
2 x2+7 x−6dx
Solución:
Es una fracción propia:
3 x+2
2x2+7 x−6= A
(2 x−(−7+√97/2 ) )+ B
(x+ (7+√97 /4 ) )
3 x+2=A (x+(7+√97 /4 ) )+B (2 x−(−7+√97 /2 ) )
3 x+2=Ax+ A4
(7+√97 )+B (2x )− B2
(−7+√97 )
3 x+2=x (A+2B )+A(7+√97 )
4+B
(−7+√97 )2
A+2 B=3→A=3−2B………………… (1 )
( 7+√974 )A+(−7+√97
2 )B=2
(14+2√97 ) A+(−28+4√97 )B=16
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(14+2√97 ) (3−2B )−28B+4 B√97=16
42+6√97−28 B−4 B√97−28 B+4 B√97=16
26−56B+6√97=0
B=13+3√9728
Reemplazando en (1)
A=3−2( 13+3√9728 )⇒ A=29−3√97
14
¿(29−3√97 )
14∫ dx
2 x−(−7+√97/2 )+
(13+3√97 )28
∫ dxx+(7+√97/28 )
⇒∫ 3 x+22x2+7 x−6
dx=(29−3√97 )
8ln|2 x− (−7+√97 )
2 |+¿
+ (13+3√97 )28
ln|x+ (7+√97 )4 |+C
b)∫ 2x2+4 x−63 x5−5 x2−11 x+2
dx
Solución:
c)∫ 4 x−3
9 x3−81 xdx
Solución:
4 x−3
9 x3−81x= 4 x−3
9 x ( x−3 ) ( x+3 )= A
9 x+ Bx−3
+ Cx+3
4 x−3=A ( x−3 ) ( x+3 )+9Bx ( x+3 )+9Cx ( x−3 )
si: x=0→A=1/3
x=3→B=1/18
x=−3→C=−5/54
⇒∫ 4 x−3
9 x3−81 xdx=1
3∫dx9 x
+ 118∫
dxx−3
− 554∫
dxx+3
¿ 127
ln|x|+ 118
ln|x−3|− 554
ln|x+3|+C
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d)∫ 3x+2
x4−4 x2−3dx
Solución:
Es una fracción propia
3x+2
x4−4 x2−3= 3x+2
(x2+2+√7 ) (x2+2+√7 )= Ax+Bx2+2+√7
+ Cx+Dx2+2+√7
3 x+2=( Ax+B ) (x2+2+√7 )+(Cx+D ) (x2+2−√7 )
3 x+2=A x3+ (2−√7 ) Ax+B x2+B (2−√7 )+C x3+( 2+√7 )Cx+Dx2+D (2+√7 )
3 x+2=( A+C ) x3+(B+D ) x2+(C (2+√7 )+A (2−√7 ) ) x+ (2−√7 ) B+(2+√7 )D
A+C=0 A=−3/2√7
B+D=0⇒B=−1/√7
A (2−√7 )+C (2+√7 )=3C=3 /2√7
B (2−√7 )+D (2+√7 )=2D=1/√7
⇒∫ 3x+2
x4−4 x2−3dx= −1
2√7∫ (3 x+2 )x2+2+√7
dx+ 12√7
∫ 3 x+2
x2+2−√7dx
¿ −34√7
∫ 2 xdx
x2+2+√7− 1
√7∫ dx
x2+(√2+√7 )2+ 3
4√7∫ 2 xdx
x2+2+√7+¿
+1
√7∫ dx
x2+(√2−√7 )2
¿−34√7
ln|x2+2+√7|+ 1
√14+7√7arctan ( x
√2+√7 )+ 34√7
ln|x2+2−√7|+¿
+1
√14−7 √7arctan( x
√2−√7 )+C¿ 3
2√7ln|x2+2−√7x2+2+√7 |+ arctan ( x /√2+√7 )
√14+7√7+
arctan (x /√2−√7 )√14−7√7
+C
e)∫ x6+3 x5−8 x3+x−44 x5−9 x3−32x2+72
dx
Solución:
Como no es una fracción propia, se convierte a fracción propia
⇒ x6+3 x5−8 x3+x−44 x5−9 x3−32x2+72
= x4+ 3
4+
9x4
4+ 27 x3
4+24 x2−17 x−58
4 x5−9 x3−32 x2+72
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⇒∫ x6+3 x5−8 x3+x−44 x5−9x3−32x2+72
dx=∫ xdx4
+∫ 3dx4
+∫9 x4
4+ 27 x3
4+24 x2−17 x−58
4 x5−9 x3−32 x2+72dx
¿ x2
8+3 x
4+∫
9 x4
4+ 27 x3
4+24 x2−17x−58
4 x5−9 x3−32 x2+72dx
Hallando:∫9 x4
4+ 27 x3
4+24 x2−17 x−58
4 x5−9 x3−32x2+72dx
9 x4
4+ 27 x3
4+24 x2−17 x−58
4 x5−9 x3−32x2+72= Ax−2
+ B2 x+3
+ C2 x−3
+ Dx+Ex2+2 x+4
9 x4
4+ 27 x3
4+24 x2−17 x−58=A ( 4 x2−9 ) (x2+2x+4 )+B (2 x2−7 x+6 ) (x2+2x+4 )
+C (2 x+3 ) ( x−2 ) (x2+2 x+4 )+(Dx+E ) ( 4 x3−8 x2−9 x+18 )
Si : x=2⇒ A=42/ 47
Si : x=−3 /2⇒B=647/4368
Si : x=3 /2⇒C=−299 /111
D=171668844 /182302848
E=−29761377/5696964
¿ 4247∫
dxx−2
+ 6474368∫
dx2 x+3
−299111∫
dx2 x−3
+ 171668844364605696∫
2 xdx
x2+2 x+4−¿
297613775696964 ∫ dx
x2+2 x+4
¿ 4247
ln|x−2|+ 6478736
ln|2 x+3|−299222
ln|2x−3|+171668844364605696∫
2x+2
x2+2 x+4dx−¿
−171668844182302848 ∫ dx
x2+2x+4−29761377
5696964 ∫ dx
x2+2 x+4
∴∫ x6+3 x5−8 x3+x−44 x5−9 x3−32x2+72
dx= x2
8+ 3 x
4+ 42
47ln|x−2|+ 647
8736ln|2 x+3|−299
222ln|2x−3|
+171668844364605696
ln|x2+2 x+4|− 171668844182302848√3
arctan ( x+1
√3 )−¿
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−297613775696964√3
arctan( x+1
√3 )+C
f)∫ x4+3 x2+x−1
x (x2−4 )3 (x−3 )dx
Solución:
g)∫ 4 x5−6x3+2 x−13x2 ( x−1 )3 ( x+5 )2
dx
Solución:
Es una fracción propia
4 x5−6 x3+2 x−13 x2 ( x−1 )3 ( x+5 )2
= A3 x2 +
Bx+ C
( x−1 )3+ D
( x−1 )2+ Ex−1
+ M( x+5 )2
+ Nx+5
4 x5−6 x3+2x−1=A ( x−1 )3 ( x+5 )2+Bx ( x−1 )3 (x+5 )2+C x2 ( x+5 )2+¿
+D x2 ( x−1 ) ( x+5 )2+E x2 ( x−1 )2 (x+5 )2+M x2 ( x−1 )3+¿
N x2 ( x−1 )3 ( x+5 )
4 x5−6 x3+2x−1=A x5−7 A x 4−2 A x3−46 A x2+65 Ax−25 A+B x6+7B x5−¿
−2B x4−46 B x3+65 B x2+25 Bx+C x4+10C x3+25C x2+¿
+D x5−11D x4+15Dx3−25D x2+Ex6+8 E x5+6 E x4−¿
−40E x3+25 E x2+M x5−3M x4+3M x3−M x2+N x6+¿
+2N x5−12N x4+14N x3−5N x2
Hallando el sistema de ecuaciones
B+E+N=0 A=1 /25
A+7 B+D+8E+M+2N=4B=−3 /125
−7 A−2B+C−11D+6E-3M−12N=0C=−1/36
−2 A−46B+10C+15D−40E+3M+14N=−6⇒D=−29.8
−46 A+65B+25C−25D+25E−M−5N=0 E=13186/705
65 A+25 B=2M=11761 /5400
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−25 A=−1N=1.81
⇒∫ 4 x5−6 x3+2 x−13x2 ( x−1 )3 (x+5 )2
dx= 125
∫ dxx2 − 2
125∫ dxx
− 136
∫ dx( x−1 )3
−29.8∫ dx( x−1 )2
+¿
+13186705 ∫ dx
x−1+ 11761
5400 ∫ dx
( x+5 )2+1.8∫ dx
x+5
¿− 175 x
− 1125
ln|x|+ 1
216 ( x−1 )2+ 149
15 ( x−1 )+ 13186
2115ln|x−1|−0.73
x+5+3 ln|x+5|
¿− 175 x
− 1125
ln|x|+ 1
216 ( x−1 )2+ 149
15 ( x−1 )+ 13186
2115ln|x−1|−0.73
x+5+ 3
5ln|x+5|+C
h)∫ x3−4 x2+2x−9( x+5 )3 ( x−1 )2 x
dx
Solución:
Es una fracción propia
⇒ x3−4 x2+2 x−9( x+5 )3 ( x−1 )2 x
= A( x+5 )3
+ B( x+5 )2
+ Cx+5
+ D( x+1 )2
+ Ex+1
+ Fx
x3−4 x2+2 x−9=Ax ( x−1 )2+Bx ( x+5 ) ( x−1 )2+Cx ( x+5 )2 ( x−1 )2+¿
+Dx ( x+5 )3+Ex ( x−1 ) ( x+5 )3+F ( x+5 )3 (x−1 )2
x3−4 x2+2 x−9=A x3−2 A x2+Ax+B x4+3B x3−9B x2+5 Bx+C x5+8C x 4+¿
+6C x3−40C x2+25Cx+D x4+15Dx3+75D x2+125Dx+¿
+E x5+14 E x4+60 E x3+50E x2−125 Ex+F x5+13 F x 4+¿
+46F x3−10 F x2−125 Fx+125 F
Hallando el sistema de ecuaciones
C+E+F=0 A=61/45
B+8C+D+14E+13F=0 B=28133 /130
A+3 B+6C+15D+60E+46F=1⇒C=73.7
−2 A−9B−40C+75D+50E-10 F=−4D=−5/108
A+5 B+25C+125D−125E-125F=2E=5533/780
125 F=−9 F=−9 /125
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⇒∫ x3−4 x2+2 x−9( x+5 )3 ( x−1 )2 x
dx=6145
∫ dx( x+5 )3
+ 28133130
∫ dx( x+5 )2
+73.3∫ dxx+5
−¿
−5108∫
dx
( x−1 )2+ 5533
780 ∫ dxx−1
− 9125∫
dxx
¿ 61
90 ( x+5 )2− 28133
130 ( x+5 )+73.7 ln|x+5|+ 5
108 ( x−1 )+5533
780ln|x−1|− 9
125ln|x|
¿ 61
90 ( x+5 )2− 28133
130 ( x+5 )+73.7 ln|x+5|+ 5
108 ( x−1 )+5533
780ln|x−1|−9 ln|x|
125+C
i)∫ x5+6 x3−3 x−2
( x+6 )2 ( x2−16 )3dx
Solución:
j)∫ x+1
x4 ( x−6 )3dx
Solución:
Es una fracción propia
⇒ x+1
x4 ( x−6 )3= A
x4+ Bx3
+ Cx2
+ Dx
+ E
( x−6 )3+ F
( x−6 )2+ Gx−6
x+1=A x3−18 A x2+108 Ax−216 A+B x4−18 Bx3+108 Bx2−216 Bx+C x5−¿
−18C x4+108C x3−216C x2+D x6−18D x5+108D x4−216D x3+E x4+¿
+F x5−6F x4+Gx6−12G x5+36Gx4
Hallando el sistema de ecuaciones
D+G=0 A=−1/216
C−18D+F−12G=0B=−1/144
B−18C+108D+E−6 F+36G=0C=−1/324
A−18B+108C−216D=0⇒D=−23 /23328
−18 A+108 B−216C=0 E=7/1296
108 A−216B=1F=77 /32400
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−216 A=1G=23/16200
⇒∫ x+1
x4 ( x−6 )3dx= −1
216∫dx
x 4− 1
144∫dx
x3− 1
324∫dx
x2− 23
23328∫dxx
+¿
+71296∫
dx
( x−6 )3+ 77
32400∫dx
( x−6 )2+ 23
16200∫dxx−6
¿ 1
648x3+ 1
288 x2+ 1
324 x− 23
23328ln|x|− 7
2592 ( x−6 )+ 23
16200ln|x−6|+C
k)∫ 3 x+2
( x+2 )3 ( x2−2x+4 )dx
Solución:
Es una fracción propia
⇒ 3 x+2
( x+2 )3 (x2−2 x+4 )= A
( x+2 )3+ B
(x+2 )2+ Cx+2
+ Dx+Ex2−2 x+4
3 x+2=A (x2−2 x+4 )+B ( x+2 ) (x2−2x+4 )+C ( x+2 )2 (x2−2 x+4 )+¿
+(Dx+E ) (x+2 )3
3 x+2=A x2−2 Ax+4 A+B x3+8 B+C x4+2C x3+8Cx+16C+Dx4+6Dx3+¿
+12Dx2+8Dx+E x3+6 E x2+12Ex+8 E
Hallando el sistema de ecuaciones:
C+D=0 A=−1/3
B+2C+6D+E=0 B=1/ 4
A+12D+6 E=0⇒C=−5/72
−2 A+8C+8D+12E=3D=5 /72
4 A+8 B+16C+8E=2 E=11 /36
⇒∫ 3 x+2
( x+2 )3 (x2−2 x+4 )dx=−1
3 ∫ dx
( x+2 )3+ 1
4∫dx
( x+2 )2− 5
72∫dxx+2
+¿
172∫
5 x+22
x2−2 x+2dx
¿ 1
6 ( x+2 )2− 1
4 (x+2 )− 5
72ln|x+2|+ 1
72∫5 x
x2−2x+4dx+22∫ dx
x2−2x+4
Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 31
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¿ 1
6 ( x+2 )2− 1
4 (x+2 )− 5
72ln|x+2|+ 5
144ln|x2−2 x+4|+1589
72 ∫ dx
( x+1 )2+(√3 )2
¿ 1
6 ( x+2 )2− 1
4 (x+2 )− 5
72ln|x+2|+ 5
144ln|x2−2 x+4|+arctan ( x−1
√3 )+C
l)∫ 4 x2−3x+4
x ( x−6 ) (2 x2+5x+8 )dx
Solución:
ll)∫ x−2
x2 ( x−3 )2 (x2+x+1 )3dx
Solución:
Es una fracción propia
⇒ x−2
x2 ( x−3 )2 (x2+ x+1 )3= A
x2+Bx+ C
( x−3 )2+ Dx−3
+ Ex+F
(x2+x+1 )3+¿
+Mx+N
(x2+x+1 )2+ Px+Qx2+x+1
x−2=A (x−3 )2 (x2+x+1 )3+Bx ( x−3 )2 (x2+x+1 )3+C x2 (x2+x+1 )3+¿
D x2 ( x−3 ) (x2+x+1 )3+ (Ex+F ) x2 (x−3 )2+¿
+(Mx+N ) x2 ( x−3 )2 (x2+x+1 )+(Px+Q ) x2 ( x−3 )2 (x2+ x+1 )2
m)∫ x5+3x+6
(x+2 ) (x2+4 )dx
Solución:
n)∫ x3+4 x+2
( x+2 ) x3 (x2−3 x+5 )dx
Solución:
Es una fracción propia
Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 32
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⇒ x3+4 x+2
( x+2 ) x3 (x2−3 x+5 )=¿
ñ)∫ 2 x2+x−4
x2 (x2+4 )2 (x2+4 )dx
Solución:
Es una fracción propia
⇒ 2x2+x−4
x2 (x2+4 )3= Ax2 +
Bx+ Cx+D
(x2+4 )3+ Ex+F
(x2+4 )2+Mx+Nx2+4
2 x2+x−4=A (x2+4 )3+Bx ( x2+4 )3+ (Cx+D ) x2+(Ex+F ) x2 (x2+4 )+¿
(Mx+N ) x2 (x2+4 )2
2 x2+x−4=A x6+12 A x4+48 A x2+64 A+B x7+12B x5+48B x3+64 Bx+C x3+¿
+D x2+E x4+F x3+4 E x2+4 Fx+M x7+N x6+8M x5+8N x4+¿
+16M x3+16N x2
Hallando el sistema de ecuaciones:
B+M=0 A=−1/16
A+N=0B=0
12B+8M=0C=−1/4
12 A+E+8N=0⇒D=3
48 B+C+F+16M=0E=1/ 4
48 A+D+4E+16 N=2 F=1/4
64 B+4 F=1M=0
64 A=−4N=1/16
⇒∫ 2 x2+x−4
x2 (x2+4 )2 ( x2+4 )dx=−1
16∫ dxx2 −1
4∫ x+12
(x2+4 )3dx+ 1
4∫ x+1x2+4
dx+ 116
∫ dxx2+4
¿ 116x
−14∫
x
(x2+4 )3dx+3∫ dx
x2+4+ 1
8∫2 x+2
x2+4dx+ 1
16∫dx
x2+22
¿ 116x
+ 1
4 (x2+4 )− 1
2 (x2+4 )2+ 1
8∫2 x+4
x2+4dx−1
4∫dx
x2+22+ 49
16∫dx
x2+22
Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 33
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¿ 116x
+ 1
4 (x2+4 )− 1
2 (x2+4 )2+ 1
8ln|x2+4|+ 49
16arctan( x+2
2 )+C
o)∫ x+4
(x2−2 x+4 ) (x2+3 x+9 )dx
Solución:
p)∫ 3 x+2
(x2+x+4 )3 ( x2−x+4 )2dx
Solución:
3 x+2
(x2+x+4 )3 (x2−x+4 )2;es una fracción propia
3 x+2
(x2+x+4 )3 (x2−x+4 )2= Ax+B
( x2+x+4 )3+ Cx+D
(x2+x+4 )2+ Ex+Fx2+ x+4
+¿
+Px+Q
(x2−x+4 )2+ Mx+Nx2−x+4
3 x+2=( Ax+B ) (x2−x+4 )+(Cx+D ) (x2+x+4 ) ( x2− x+4 )+¿
+(Ex+F ) (x2+ x+4 )2 (x2−x+4 )+(Px+Q ) (x2+x+4 )3+¿
+(Mx+N ) (x2+x+4 )2 (x2−x+4 )
3 x+2=P x7+3 P x6+15P x5+25 Px4+60P x3+48 P x2+64 Px+Q x6+¿
q)∫ ( x+2 )3
(x2+5x+12 )2dx
Solución:
( x+2 )3
(x2+5 x+12 )2;es una fracción propia
( x+2 )3
(x2+5 x+12 )2= Ax+B
( x2+5 x+12 )2+ Cx+Dx2+5x+12
( x+2 )3=( Ax+B )+(Cx+D ) (x2+5 x+12 )
x3+6 x2+12 x+8=Ax+B+C x3+5C x2+2Cx+D x2+5Dx+2D
Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 34
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x3+6 x2+12 x+8=C x3+(5C+D ) x2+( A+2C+5D ) x+(B+2D )
Hallando el sistema de ecuaciones:
C=1 A=5
5C+D=6⇒B=6
A+2C+5D=12C=1
B+2D=8D=1
⇒∫ 5 x+6
(x2+5x+12 )2dx=∫ 5 x+6
(x2+5 x+12 )2dx+∫ x+1
x2+5 x+12dx
¿5∫ x
(x2+5 x+12 )2dx+6∫ dx
(x2+5 x+12 )2+ 1
2∫2x+2+3−3
x2+5 x+12dx
¿5∫ xdx
[ (x+5 /2 )2+(√23 /2 )2 ]2+6∫ dx
[ ( x+5 /2 )2+ (√23 /2 )2 ]2+ 1
2∫(2 x+5 )dxx2+5 x+12
−¿
−23 ∫ dx
(x+5 /2 )2+(√23 /2 )2
¿5∫ x
[ (x+5 /2 )2+(√23 /2 )2 ]2dx+ 1
2∫2 x+5
x2+5x+2dx+ 9
2∫dx
( x+5/2 )2+(√23/2 )2
¿ −5
2 [ (x+5 /2 )2+(√23 /2 )2 ]2+1
2ln|x2+5x+12|+9arctan( x+2/5
√23/2 )+C
r)∫ 4 x2+3 x+2
(x+2 )2 (x2+1 )2dx
Solución:
4 x2+3 x+2
( x+2 )2 (x2+1 )2;es una fracción propia
4 x2+3 x+2
( x+2 )2 (x2+1 )2= A
( x+2 )2+ Bx+2
+ Cx+D(x2+1 )2
+ Ex+Fx2+1
4 x2+3 x+2=A (x2+1 )2+B (x+2 ) (x2+1 )2+ (Cx+D ) ( x+2 )2+¿
+(Ex+F ) (x2+1 ) (x+2 )2
4 x2+3 x+2=A x4+2 A x2+A+B x5+2B x4+2 Bx3+4B x2+Bx+2B+c x3+¿
Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 35
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+4C x2+Dx2+4Cx+4Dx+4D+E x5+F x4+4 E x4+5 E x3+¿
+4 Ex+4 Fx+4 F+4 F x3+4 E x2+5 F x2
Hallando el sistema de ecuaciones:
B+E=0B=−E A=12 /25
A+2 B+4E+F=0 F=−25 E/6 B=¿
2B+C+5E+4 F=0⇒C=41E /3C=¿
2 A+4 B+4C+D+4E+5 F=4C=D=¿
B+4C+4D+4E+4 F=3D=E=¿
A+2 B+4D=2D=F=¿
s)∫ 3 x4+2 x2+10
(x2+4 )2 ( x2+2 )3dx
Solución:
3 x4+2 x2+10
(x2+4 )2 (x2+2 )3;es una fracción propia
3 x4+2 x2+10
(x2+4 )2 (x2+2 )3= Ax+B
(x2+4 )2 +Cx+Dx2+4
+ Ex+F(x2+2 )3
+Gx+H(x2+2 )2
+ Ix+Jx2+2
3 x4+2 x2+10=( Ax+B ) (x2+2 )3+ (Cx+D ) (x2+4 ) (x2+2 )3+(Ex+F ) (x2+4 )2
+(Gx+H ) (x2+4 )2 (x2+2 )+ ( Ix+J ) (x2+4 )2 (x2+2 )2
3 x4+2 x2+10=C x9+D x8+ (A+10C+D+G ) x7+ (B+10C+H+4 I+J ) x6+¿
+(6 A+36C+E+10G+4 I+4 J ) x5+ (6B+36D+F+10H+8D
+4 J ) x4+ (12 A+56C+8E+32G+48 I+8 J ) x3+¿
8 F+32H+96 I+48 J ) x2+ (8 A+32C+16E+32G+64 I+96J ) x
+(8 B+32D+16 F+32H+64 J )
Hallando el sistema de ecuaciones:
C=0
D=0
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A+10C+G+ I=0
B+10C+H+4 I+J=0
6 A+36C+E+10G+4 I+4 J=0
6 B+36D+F+10H+PI +4 J=3
12 A+56C+8E+32G+48 I+8J=0
12B+56D+8F+32H+96 I+48J=2
8 A+32C+16E+32G+64 I+96 J=0
8 B+32D+16F+32H+64 J=10
t)∫ dx
(x2+16 )5
Solución:
u)∫ 2 x3+4 x+8
x3 (x4−9 )2 (x4−25 )3dx
Solución:
v)∫ x3+x−4
( 2x2+3 x+3 )3dx
Solución:
4. MÉTODO DE BINOMIOS DIFERENCIALES
a)∫ dx
x2 (3+x2 )3 /2
Solución:
b)∫ dx
x (5+x2 )1/3
Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 37
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Solución:
c)∫ dx
x (2+4 x4 )2/3
Solución:
d)∫ dx
(1+x3 )1/3
Solución:
e)∫ dx3√ x (3−3√ x)1/2
Solución:
f)∫ dx
x5 (6−x 4 )1/2
Solución:
g)∫ dx
x4 (3+x2 )1/2
Solución:
h)∫ (2+√x )1 /3
xdx
Solución:
i)∫ x2
(a+b x5 )18 /5
Solución:
Primera Práctica de Análisis Matemático III: Métodos de Integración Indefinida 38
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j)∫ dx
x11 (3+x4 )1/2
Solución:
k)∫ (x−x3 )1/3dx
Solución:
l)∫ (2+ 4√x )1 /3dx
Solución:
m)∫ (2+ 5√ x )1/3dx
Solución:
n)∫ (2 3√ x+3 )1/2
x3 dx
Solución:
ñ)∫ (√ x+3 )1/2
x4 dx
Solución:
o)∫ ( 4√ x+2 )5 /4
x5 dx
Solución:
p)∫ (√sen ( x )+1 )2 /3
√xdx
Solución:
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q)∫ ( 3√cos ( x )+1 )2 /3
√xdx
Solución:
r)∫ ( 5√ tan ( x )+5 )1 /6
x5 dx
Solución:
s)∫ ( 4√ x+1 )1 /3
x3 dx
Solución:
5. MÉTODO DE HERMITE
a)∫ x3+2 x+8
( x+1 )2 (x2+4 )3dx
Solución:
b)∫ x3−27
( x2−1 )2 (x2−16 )3dx
Solución:
c)∫ x3+81x
x (x2+3 )2 (x2−25 )4 dx
Solución:
d)∫ ( x+2 )3 x3
x (x2+√2 )2 ( x2+25 )2dx
Solución:
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e)∫ ( x−3 )5 ( x+2 )3
x (x2−√2 )4 ( x3−27 )2dx
Solución:
f)∫ x (x+4 )3 ( x−1 )2
x2 (x−√2 )4 (x3+81 )3dx
Solución:
g)∫ x (x2−9 )3 ( x+3 )3
x3 ( x+1 )5 (x3−81x )4 dx
Solución:
h)∫ x (x2−2 )2 ( x−2 )4
x2 (x−4 )4 (x3−125 x )5dx
Solución:
i)∫ (x2−16 )3 ( x+5 )5
x ( x−5 )3 (x3+125x )4 dx
Solución:
j)∫ sen2 ( x )−cos2 ( x )tan2 ( x )+sec3 ( x )
dx
Solución:
k)∫ sen3 (2 x )+cos2 (2 x )tan2 (3 x )−sec2 (3 x )
dx
Solución:
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