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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO CHILE
ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
ANÁLISIS DEL ESPECTRO DE FRECUENCIA DE INVERSORES MULTINIVELCON MODULACIÓN POR PULSO ÚNICO
CARLOS DANIEL LÓPEZ BARAHONA
INFORME FINAL DEL PROYECTO
PRESENTADO EN CUMPLIMIENTO
DE LOS REQUISITOS PARA OPTAR
AL TÍTULO PROFESIONAL DE
INGENIERO CIVIL ELÉCTRICO
Septiembre de 2009
ANÁLISIS DEL ESPECTRO DE FRECUENCIA DE INVERSORES MULTINIVELCON MODULACIÓN POR PULSO ÚNICO
INFORME FINAL
Presentado en cumplimiento de los requisitos
para optar al título profesional de
Ingeniero Civil Eléctrico
otorgado por la
Escuela de Ingeniería Eléctrica
de la
Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
Carlos Daniel López Barahona
Profesor Guía Sr. Domingo Ruiz CaballeroProfesor Correferente Sr. Reynaldo Ramos Astudillo
SEPTIEMBRE de 2009
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO CHILEFACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
ACTA DE APROBACIÓN
La Comisión Calificadora designada por la Escuela de Ingeniería Eléctrica haaprobado el texto del Informe Final del Proyecto de Titulación, desarrollado en elsegundo semestre de 2002 y el primer semestre de 2007, y denominado
ANÁLISIS DEL ESPECTRO DE FRECUENCIA DE INVERSORES MULTINIVELCON MODULACIÓN POR PULSO ÚNICO
Presentado por el Señor
Carlos Daniel López Barahona
Profesor Guía
Domingo Ruiz Caballero
Segundo Revisor
Reynaldo Ramos Astudillo
Secretario Académico
Raimundo Villarroel Valencia
Valparaíso, Septiembre del 2009
Dedicado a mis padres IrisBarahona y Carlos López, por suincondicional amor y apoyo. Estoes para ustedes, los amo.
ANÁLISIS DEL ESPECTRO DE FRECUENCIA DE INVERSORES MULTINIVELCON MODULACIÓN POR PULSO ÚNICO
Carlos Daniel López Barahona
Profesor Guía Sr. Domingo Ruiz Caballero
RESUMEN
En este trabajo se presenta un estudio teórico del espectro de frecuencia
de la tensión de salida de los inversores multiniveles NPC (Neutral Point
Clamped), con comando de los interruptores por pulso único, para tres, cinco,
siete y nueve niveles en la tensión de salida, entregando métodos para la
elección de los ángulos óptimos de disparo de los transistores.
Una de las herramientas que se utilizó para el análisis de la señal de
salida, es el índice de distorsión armónica total, llamado THD, el cual depende
de la forma de onda de la tensión de salida del inversor. Este índice es menor al
aumentar la cantidad de niveles de tensión.
Una vez obtenidas las ecuaciones que definen a la tensión de salida de
los inversores multinivel monofásicos, se procedió a realizar el mismo análisis
para inversores multinivel trifásicos compuestos por tres inversores multinivel
monofásicos.
Lo anterior se comprobó a través del programa computacional PSIM4.1,
en el cual se realizó las simulaciones de los inversores multinivel NPC de tres,
cinco, siete y nueve niveles, obteniendo las formas de onda de salida de los
inversores, así como el espectro armónico de las tensiones de fase y línea.
ÍNDICE
Pág.INTRODUCCIÓN 1
CAPÍTULO 1ESPECTRO DE FRECUENCIAS DE LA TENSIÓN DE SALIDA PARALOS INVERSORES NPC DE TRES NIVELES (DIODE-CLAMPEDINVERTER)1.1 INTRODUCCIÓN 21.2 FORMA DE ONDA DE LA TENSIÓN DE SALIDA DEL
INVERSOR DE TRES NIVELES3
1.3 EXPRESIÓN MATEMÁTICA DE LA FORMA DE ONDA DE LASALIDA DEL INVERSOR DE TRES NIVELES
3
1.4 DISTORSIÓN ARMÓNICA DEL INVERSOR DE TRES NIVELES 61.5 MÍNIMA DISTORSIÓN ARMÓNICA DEL INVERSOR DE TRES
NIVELES7
1.6 ESPECTRO ARMÓNICO DEL INVERSOR DE TRES NIVELES 71.7 ELIMINACIÓN SELECTIVA DE ARMÓNICAS 81.8 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DE UN INVERSOR FIJADO
POR DIODOS DE TRES NIVELES9
1.9 ESPECTRO DE FRECUENCIA DE LA TENSIÓN DE SALIDAPARA INVERSOR NPC TRIFÁSICO DE TRES NIVELES CONMODULACIÓN PULSO ÚNICO
13
1.10 DISTORSIÓN ARMÓNICA TOTAL DE LOS INVERSORESTRIFÁSICOS
18
1.11 MÍNIMA DISTORSIÓN ARMÓNICA PARA INVERSORTRIFÁSICO
18
1.12 ESPECTRO ARMÓNICO PARA INVERSOR NPC TRIFÁSICO 201.13 COMPARACIÓN ENTRE EL ESPECTRO ARMÓNICO
CALCULADO TEÓRICAMENTE Y LA UNCIÓN FFTINCORPORADA EN EL PROGRAMA COMPUTACIONALPSIM4.1
21
CAPÍTULO 2ESPECTRO DE FRECUENCIAS DE LA TENSIÓN DE SALIDA PARALOS INVERSORES NPC DE CINCO NIVELES (DIODE-CLAMPEDINVERTER)2.1 INTRODUCCIÓN 222.2 ETAPAS DE OPERACIÓN 222.3 EXPRESIÓN MATEMÁTICA DE LA FORMA DE ONDA DE LA
SALIDA DEL INVERSOR DE CINCO NIVELES26
2.4 MÍNIMA DISTORSIÓN ARMÓNICA DEL INVERSOR DE CINCONIVELES
27
2.5 ELIMINACIÓN SELECTIVA DE ARMÓNICAS 292.6 DISTRIBUCIÓN POR COMPARACIÓN CON ONDA
SINUSOIDAL30
2.7 DISTRIBUCIÓN SIMÉTRICA DE LOS PULSOS 312.8 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DE UN INVERSOR NPC DE
CINCO NIVELES32
2.9 COMPARACIÓN ENTRE EL ESPECTRO ARMÓNICOCALCULADO TEÓRICAMENTE Y LA FUNCIÓN FFTINCORPORADA EN EL PROGRAMA COMPUTACIONALPSIM4.1
35
2.10 ESPECTRO DE FRECUENCIA DE LA TENSIÓN DE SALIDAPARA INVERSOR NPC TRIFÁSICO DE CINCO NIVELESCON MODULACIÓN PULSO ÚNICO
36
2.11 ESPECTRO ARMÓNICO DEL INVERSOR TRIFÁSICOCOMPUESTO POR INVERSORES MONOFÁSICOS DE CINCONIVELES
41
2.12 MÍNIMA DISTORSIÓN ARMÓNICA PARA INVERSORTRIFÁSICO
41
2.13 ESPECTRO ARMÓNICO PARA INVERSOR NPC TRIFÁSICO 442.14 COMPARACIÓN ENTRE EL ESPECTRO ARMÓNICO
CALCULADO TEÓRICAMENTE Y LA FUNCIÓN FFTINCORPORADA EN EL PROGRAMA COMPUTACIONALPSIM4.1
45
CAPÍTULO 3ESPECTRO DE FRECUENCIAS DE LA TENSIÓN DE SALIDA PARALOS INVERSORES NPC DE SIETE NIVELES (DIODE-CLAMPEDINVERTER)3.1 INTRODUCCIÓN 473.2 PRESENTACIÓN DEL INVERSOR DE SIETE NIVELES CON
MODULACIÓN PULSO ÚNICO47
3.3 EXPRESIÓN MATEMÁTICA DE LA FORMA DE ONDA DE LASALIDA DEL INVERSOR DE SIETE NIVELES
49
3.4 MÍNIMA DISTORSIÓN ARMÓNICA DEL INVERSOR DE SIETENIVELES
50
3.5 ELIMINACIÓN SELECTIVA DE ARMÓNICAS 523.6 DISTRIBUCIÓN POR COMPARACIÓN CON ONDA
SINUSOIDAL53
3.7 DISTRIBUCIÓN SIMÉTRICA DE LOS PULSOS 533.8 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DE UN INVERSOR NPC DE
CINCO NIVELES54
3.9 COMPARACIÓN ENTRE EL ESPECTRO ARMÓNICOCALCULADO TEÓRICAMENTE Y LA FUNCIÓN FFTINCORPORADA EN EL PROGRAMA COMPUTACIONALPSIM4.1
57
3.10 ESPECTRO DE FRECUENCIA DE LA TENSIÓN DE SALIDAPARA INVERSOR NPC TRIFÁSICO DE SIETE NIVELES CONMODULACIÓN PULSO ÚNICO
58
3.11 ESPECTRO ARMÓNICO DEL INVERSOR TRIFÁSICOCOMPUESTO POR INVERSORES MONOFÁSICOS DE SIETENIVELES
62
3.12 MÍNIMA DISTORSIÓN ARMÓNICA PARA INVERSORTRIFÁSICO
63
3.13 ESPECTRO ARMÓNICO PARA INVERSOR NPC TRIFÁSICO 663.14 COMPARACIÓN ENTRE EL ESPECTRO ARMÓNICO
CALCULADO TEÓRICAMENTE Y LA FUNCIÓN FFTINCORPORADA EN EL PROGRAMA COMPUTACIONALPSIM4.1
67
CAPÍTULO 4ESPECTRO DE FRECUENCIAS DE LA TENSIÓN DE SALIDA PARALOS INVERSORES NPC DE NUEVE NIVELES (DIODE-CLAMPEDINVERTER)4.1 INTRODUCCIÓN 684.2 PRESENTACIÓN DEL INVERSOR DE NUEVE NIVELES CON
MODULACIÓN PULSO ÚNICO68
4.3 EXPRESIÓN MATEMÁTICA DE LA FORMA DE ONDA DE LASALIDA DEL INVERSOR DE NUEVE NIVELES
68
4.4 MÍNIMA DISTORSIÓN ARMÓNICA DEL INVERSOR DE NUEVENIVELES
70
4.5 ELIMINACIÓN SELECTIVA DE ARMÓNICAS 734.6 DISTRIBUCIÓN POR COMPARACIÓN CON ONDA
SINUSOIDAL74
4.7 DISTRIBUCIÓN SIMÉTRICA DE LOS PULSOS 744.8 COMPARACIÓN ENTRE EL ESPECTRO ARMÓNICO
CALCULADO TEÓRICAMENTE Y LA FUNCIÓN FFTINCORPORADA EN EL PROGRAMA COMPUTACIONALPSIM4.1
75
4.9 ESPECTRO DE FRECUENCIA DE LA TENSIÓN DE SALIDAPARA INVERSOR NPC TRIFÁSICO DE NUEVE NIVELES CONMODULACIÓN PULSO ÚNICO
76
4.10 ESPECTRO ARMÓNICO DEL INVERSOR TRIFÁSICOCOMPUESTO POR INVERSORES MONOFÁSICOS DE NUEVENIVELES
80
4.11 MÍNIMA DISTORSIÓN ARMÓNICA PARA INVERSORTRIFÁSICO
81
4.12 ESPECTRO ARMÓNICO PARA INVERSOR NPC TRIFÁSICO 83
4.13 COMPARACIÓN ENTRE EL ESPECTRO ARMÓNICOCALCULADO TEÓRICAMENTE Y LA FUNCIÓN FFTINCORPORADA EN EL PROGRAMA COMPUTACIONALPSIM4.1
84
CONCLUSIÓN 85
BIBLIOGRAFÍA 86
INTRODUCCIÓN
La función principal de los convertidores multinivel es sintetizar una forma
de onda sinusoidal en la salida, con la finalidad de disminuir el esfuerzo de
tensión a que son sometidos los interruptores que lo componen. La síntesis de la
forma de onda sinusoidal se logra a través de la suma y resta de escalones de
tensión resultado de los estados topológicos del circuito. A mayor cantidad de
escalones (o niveles) en la onda de salida, menos distorsión armónica tiene la
onda, esto reduce el tamaño del filtro necesario para reducir las armónicas, lo
que resulta en un ahorro de costos.
Los inversores multinivel, incluyen un arreglo de semiconductores y
fuentes de voltaje, para formar un voltaje de salida escalonado. Las
conmutaciones de los semiconductores permiten la suma o resta de las distintas
fuentes de voltaje continuo, generando una onda de voltaje de amplitud variable.
Por estas razones, los inversores multinivel están siendo investigados en
los últimos años por sus ventajas en la calidad de las ondas de voltaje y
corriente, por sus bajas pérdidas de conmutación y por su capacidad de trabajar
en alto voltaje. Algunas aplicaciones de los inversores multinivel incluyen
compensadores de reactivos, control de velocidad en motores eléctricos, filtros
activos de potencia y rectificadores.
Este trabajo trata sobre el análisis espectral de la tensión de salida de
inversores multiniveles NPC (Neutral Point Clamped). Se considera sólo las
formas de onda que generan los inversores NPC de 3, 5, 7 y 9 niveles y se
analiza la distorsión armónica de las mismas. Además se estudia para cada
caso, los ángulos óptimos de disparo que provoquen la mínima distorsión
armónica total.
CAPÍTULO 1
ESPECTRO DE FRECUENCIAS DE LA TENSIÓN DE SALIDA PARA LOSINVERSORES NPC DE TRES NIVELES (DIODE-CLAMPED INVERTER)
1.1 INTRODUCCIÓN
Una de las configuraciones más utilizadas con esta topología es la del
inversor de tres niveles, mostrada en la figura 1-1. Para esta configuración los
condensadores actúan como fuentes CC, dividiendo el voltaje común en partes
iguales. Así, en el diagrama de la figura 1-1, cada condensador acumula ½Vcc
pudiendo el inversor dar voltajes de salida de -½Vcc, 0 ó ½Vcc para Van. El
punto medio “n” de los dos condensadores se puede definir como el punto
neutro.
Se puede apreciar que, los pares de semiconductores de la primera rama,
es decir (S1 y S3) y (S2 y S4), son complementarios, así, cuando S1 está
conduciendo (S1=1), S3 está bloqueado (S3=0), y así para S2 y S4.
Tabla 1.1 Voltaje de Salida para cada conmutación.S1 S2 S3 S4 Van0 1 1 0 01 1 0 0 +1/2Vcc0 1 1 0 00 0 1 1 -1/2Vcc
12
Vcc
12
Vcc
n a
1S
2S
3S
4S
Figura 1-1 inversor NPC de tres niveles de tensión
12
Vcc
12
Vcc
1 2
3 4
2
( )Van t
t
TENSIÓN EN LA CARGA
Figura 1-2 Forma de onda de la tensión de salida.
1.2 FORMA DE ONDA DE LA TENSIÓN DE SALIDA DEL INVERSOR DETRES NIVELES
En la figura 1-2 se presenta la forma de onda de la tensión de salida del
inversor de tres niveles. Esta forma de onda en la salida se ha obtenido con las
conmutaciones presentadas en la tabla 1.1.
1.3 EXPRESIÓN MATEMÁTICA DE LA FORMA DE ONDA DE LA TENSIÓNDE SALIDA DEL INVERSOR DE TRES NIVELES
Para encontrar las expresiones que definen las señales de salida de los
inversores, es necesario primero encontrar la serie de Fourier, para ello se
definen 4 ángulos, los cuáles tienen las siguientes relaciones en función de 1.
0 1 / 2
12
13
124
Como se puede apreciar la forma de onda solo quedará en función de 1,
es decir, el comando del interruptor S1 es el que define la forma de onda en la
salida.
12
Vcc
1 2
( )Vab t
t
CICLO POSITIVOTENSIÓN EN LA CARGA
Figura 1-3 Ciclo positivo de la forma de onda con periodo .
La ecuación (1.1) representa la serie de Fourier.
0
1 1( ) cos( ) ( )
2 n nn n
af t a n t b sen n t (1-1)
Para obtener la serie de Fourier se analizará solo el ciclo positivo de la
forma de onda del voltaje de salida de un inversor de tres niveles, como se
aprecia en la figura 1-3.
Los coeficientes de la serie de Fourier son los siguientes:
1
01
1 ( )2
a Vcc t d t (1-2)
1
1
1 ( ) cos( )2na Vcc t n t d t (1-3)
1
1
1 ( ) ( )2nb Vcc t sen n t d t (1-4)
La solución de los coeficientes de Fourier son los siguientes:
0( 2 1)2
Vcca
0na Función par.
(cos( 1) cos( ( 1))2nVccb n n
n
Por lo tanto la función ( )f t queda de la siguiente forma:
1
( 2 1)( ) (cos( 1) cos( ( 1)) ( )2 2n
Vcc Vccf t n n sen n tn
(1-5)
Para el semiciclo negativo solo se desfasará en y se multiplicará por -1:
( ) ( )f t f t
( ) ( ) ( )f t f t f t
La función resultante queda de la siguiente forma:
1
(cos( 1) cos( ( 1)) ( )( )n
Vcc n n sen n tf tn
(1-6)
Pero:
cos( 1) cos( ) cos( 1) ( ) ( 1)n n n n sen n sen n
Es decir:
1
((1 (1) ) cos( 1) ( )( )n
n
Vcc n sen n tf tn
(1-7)
Pero para n = 1-1n = 0, luego:
,
2 cos( 1) ( )( )n impar
Vcc n sen n tf tn
(1-8)
La ecuación (1-8) representa la serie de Fourier para la tensión de salida
del inversor de la figura 1-1.
Como se puede observar, el contenido armónico de la forma de onda de
salida depende únicamente del ángulo 1 de disparo de los interruptores.
1.4 DISTORSIÓN ARMÓNICA DEL INVERSOR DE TRES NIVELES
Una vez obtenida la función matemática de la tensión de salida del
inversor, se procede a obtener la distorsión armónica de la forma de onda THD
en función de 1.
2/10
2
1,
cos( 1)
( 1)cos( 1)n impar
nnTHD (1-9)
La distorsión armónica THD queda en función de 1, por lo que se puede
realizar una gráfica de la distorsión armónica total v/s el ángulo de disparo de los
interruptores. Esta gráfica se puede apreciar en la figura 1-4
Figura 1-4 Distorsión armónica total de 1 variable.
1.5 MÍNIMA DISTORSIÓN ARMÓNICA DEL INVERSOR DE TRES NIVELES
De la figura 1-4 se puede apreciar en forma gráfica que la menor
distorsión armónica THD (THD=29%) tiene lugar para un ángulo 1=23.2º.
Para comprobar lo anterior se deriva THD( 1) y se reemplaza el 1=23.2º
para comprobar que es el mínimo.
n
n
nnsennsennn
nn
THDdd
32
´
2 )1cos())1cos()1()1()1(cos()1cos(2
)1cos(
)1cos(
121)1(
1
(1-10)
Evaluando,
0)2.23(1
THDdd
(1-11)
Por lo tanto se comprueba que la mínima distorsión armónica total se
obtiene con el ángulo de disparo en:
Ángulo de disparo interruptor S1 = 23.2°
Ángulo de disparo interruptor S2 = 156.8°
Ángulo de disparo interruptor S3 = 203.2°
Ángulo de disparo interruptor S4 = 336.8°
1.6 ESPECTRO ARMÓNICO DEL INVERSOR DE TRES NIVELES
El espectro armónico de la función del voltaje de salida de un inversor de
tres niveles, para el ángulo de disparo que produce la mínima distorsión
armónica en por unidad, es la siguiente:
cos( 23.2 )180
2( )cos(23.2 )
180
n
nC n Vdc (1-12)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
N
100%
Figura 1-5 Espectro armónico del inversor NPC de tres niveles para la mínimadistorsión armónica.
1.7 ELIMINACIÓN SELECTIVA DE ARMÓNICAS
Mediante una elección apropiada de los ángulos de disparo de los
interruptores, es posible realizar una eliminación selectiva de armónicas en la
tensión de salida del inversor.
En el caso de una forma de onda cuadrada como en figura 1-2, se tiene
un solo grado de libertad, es decir la ecuación 1-13 tiene solo una incógnita, por
tanto pueden eliminarse la armónica más significativa que sería la tercera; de la
ecuación 1-8, se puede obtener la amplitud de las distintas armónicas:
12 cos( )n
Vcca nn
(1-13)
Así para la eliminación de la tercera armónica quedaría de la siguiente forma:
3 12 cos(3 )3Vcca
3 1 1
1
0 cos(3 ) 3 90
30
a
En este caso la THD es igual a 31% lo cual es superior a la THD (29%)
obtenida para 2.231 .
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
N
100%
Figura 1-6 Espectro obtenido con la eliminación de la 3ª componente armónica ysus múltiplos para NPC de tres niveles.
Evidentemente al seleccionar el ángulo 1=30º no solo se elimina la
tercera 3º componente armónico, sino que además todos sus múltiplos, como se
puede ver en figura 1-6.
1.8 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DE UN INVERSOR FIJADO PORDIODOS, DE TRES NIVELES (DIODE CLAMPED)
Se ha simulado un circuito inversor fijado por diodos de tres niveles con el
programa computacional PSIM versión 4.1 ver figura 1-7. El objetivo de esta
simulación es comparar el espectro de frecuencia obtenido matemáticamente y
el que entrega la simulación.
Los parámetros que se han ingresado en la simulación son los que se
indican en la tabla 1.2, en donde se puede apreciar que se ha simulado para el
ángulo que produce la mínima distorsión armónica en la tensión de salida del
inversor.
1S
1VS
Vab
2S
2VS
3S
3VS
4S
4VS
2Vcc
2Vcc
1D
2D
1G
2G
3G
4G
Figura 1-7 Simulación en PSIM de Inversor NPC.
Tabla 1.2 Parámetros de Simulación en PSIM de Inversor NPC.
COMPONENTE SIMBOLOGÍA AJUSTEGATING G1 50 Hz, 23 157.GATING G2 50 Hz, 0 203 337 360.GATING G3 50 Hz, 0 23 157 360GATING G4 50 Hz, 203 337.L L 0.01 HR R 0.5 OhmVCC VCC1 - VCC2 200 V
En la figura 1-8, se muestran el voltaje de salida del inverso Van, y en la
figura 1-7 y 1-8 los distintos estados de conmutación de los semiconductores S1,
S2, S3 y S4.
Figura 1-8 Tensión de salida del inversor NPC.
Figura 1-9 Conmutación de los interruptores S1 y S2.
Figura 1-10 Conmutación de los interruptores S3 y S4.
En la figura 1-11, se muestran los datos graficados que se obtuvieron
aplicando la función Transformada Rápida de Fourier (FFT) incorporada en el
programa PSIM, en donde se puede apreciar que los resultados son iguales a
los obtenidos teóricamente, para ello ver figura 1-11 y 1-12.
Datos Obtenidos en PSIM
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
N
100%
Figura 1-11 Gráfica de FFT Simulada en PSIM de la Tensión de Salida de
inversor NPC de tres niveles.
Datos Obtenidos Calculados
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29N
100%
Figura 1-12 Gráfica de Espectro Armónico Calculado en ecuación 1-10.
1.9 ESPECTRO DE FRECUENCIAS DE LA TENSIÓN DE SALIDA PARAINVERSOR NPC TRIFÁSICO DE TRES NIVELES CON MODULACIÓNPULSO ÚNICO
Si se conectan tres inversores NPC monofásicos cada uno desfasado en
120º con respecto al otro en disposición estrella, entonces se obtiene un inversor
NPC trifásico de tres niveles, el cual se presenta el la figura 1-13. Al punto
común de los inversores se denominará ‘o’, mientras que el punto común de la
conexión estrella de la carga se denominará ‘n’. A los puntos de conexión entre
cada inversor monofásico y la carga se le llamará ‘u’, ‘v’ y ‘w’.
Para determinar las formas de onda de las tensiones de fase y línea, se
analizará el circuito equivalente presentado en la figura 1-14. Para el análisis se
considerará que la carga es balanceada y que los interruptores son ideales.
En la figura 1-15, se presenta la forma de onda en los terminales de cada
inversor monofásico.
De la figura 1-14 se pueden obtener las ecuaciones de las tensiones de
fase del inversor trifásico en función de las tensiones de los terminales de cada
inversor monofásico la cuales fueron obtenidas en la ecuación (1.8).
( ) ( ) ( ) ( )Vun t Vvn t Vuo t Vvo t (1-14)
( ) ( ) ( ) ( )Vvn t Vwn t Vvo t Vwo t (1-15)
( ) ( ) ( ) 0Vun t Vvn t Vwn t (1-16)
Representado en forma matricial:
1 1 0 ( ) ( ) ( )0 1 1 ( ) ( ) ( )1 1 1 ( ) 0
Vun t Vuo t Vvo tVvn t Vvo t Vwo tVwn t
(1-17)
2Vcc
2Vcc
2Vcc
2Vcc
2Vcc
2Vcc
Figura 1-13 Circuito inversor NPC de tres niveles trifásico.
Figura 1-14 Circuito equivalente inversor NPC trifásico.
Figura 1-15 Formas de onda en los terminales de cada inversor monofásico.
Resolviendo la ecuación (1-17) para las tensiones de fase se tiene:
1( ) (2 ( ) ( ) ( ))3
Vun t Vuo t Vvo t Vwo t (1-18)
1( ) ( ( ) 2 ( ) ( ))3
Vvn t Vuo t Vvo t Vwo t (1-19)
1( ) ( ( ) ( ) 2 ( ))3
Vwn t Vuo t Vvo t Vwo t (1-20)
Las tensiones de línea del inversor trifásico se obtienen por inspección de
la figura 1-13:
( ) ( ) ( )Vuv t Vuo t Vvo t (1-21)
( ) ( ) ( )Vuw t Vuo t Vwo t (1-22)
( ) ( ) ( )Vvw t Vvo t Vwo t (1-23)
De la ecuación (1-8) se entrega la ecuación de la forma de onda para un
inversor NPC de tres niveles monofásico:
,
2( ) cos( 1) ( )n impar
VccVuo t n sen n t (1-24)
,
2 2( ) cos( 1) ( ( ))3n impar
VccVvo t n sen n t (1-25)
,
2 2( ) cos( 1) ( ( ))3n impar
VccVwo t n sen n t (1-26)
En la ecuación (1-27) se presenta la forma de onda de fase teórica del
inversor NPC trifásico:
,
22 cos( 1) 1 cos ( )32( )
3 n impar
nn sen n tVccVun t
n (1-27)
Se observa en la figura 1-16 que la tensión de fase del inversor trifásico
posee 7 niveles de tensión, los cuales son –2Vcc/3, -1Vcc/3, 0, 1Vcc/3, 2Vcc/3.
Las formas de onda de las otras tensiones de fase son análogas a la
anterior, pero desfasado en 120º. A continuación se presentan las ecuaciones
que definen las otras formas de onda de las tensiones de fase.
Figura 1-16 Formas de onda de la tensión de fase del inversor NPC trifásico.
,
2 22 cos( 1) 1 cos ( ( ))3 32( )
n impar
nn sen n tVccVvn t
n (1-28)
,
2 22 cos( 1) 1 cos ( ( ))3 32( )
n impar
nn sen n tVccVwn t
n (1-29)
De la ecuación (1-21) se obtiene la forma de onda de las tensiones de
líneas del inversor trifásico:
2 2
,
2cos( )2 2 3cos( 1) (1 cos( )) ( ) sin tan( )23 3 ( )2 3( )n impar
nn n sen n n t a
sen nVccVuv tn
(1-30)
Las otras tensiones de línea se pueden obtener desfasando en 120º la
ecuación (1-28). En la figura 1-17 se presenta gráficamente las formas de onda
de la tensión de línea del inversor trifásico, donde se puede apreciar que la
tensión de línea presenta 5 niveles siendo Vcc, Vcc/2, 0, -Vcc/2,-Vcc.
Figura 1-17 Formas de onda de la tensión de línea del inversor NPC trifásico.
1.10 DISTORSIÓN ARMÓNICA TOTAL DE LOS INVERSORES TRIFÁSICOS.
Una vez obtenidas las ecuaciones que rigen la forma de onda de las
tensiones de fase y de línea, y según la ecuación (1-31) se puede obtener la
distorsión armónica total de las tensiones de fase:
2
1,
2cos( 1) (1 cos( ))3
( 1)2cos(1 1) (1 cos( 1))3
n impar
n n
nTHD (1-31)
Del mismo modo, la distorsión armónica total para las tensiones de línea
viene dado por la ecuación (1-32):
22 2
2 21,
2 2cos( 1) (1 cos( )) ( )3 3
( 1)2 2cos(1 1) (1 cos( 1)) ( 1)3 3
n impar
n n sen n
nTHD
sen
(1-32)
1.11 MÍNIMA DISTORSIÓN ARMÓNICA PARA INVERSOR TRIFÁSICO.
La distorsión armónica THD queda en función de 1, por lo que se puede
realizar una gráfica de la distorsión armónica total v/s el ángulo de disparo de los
interruptores. Esto se realizará para las tensiones de fase y línea, y se
comparará con las obtenidas para un inversor NPC monofásico de 3 niveles.
De la ecuación (1-31) se grafica THD en función de 1, donde
gráficamente se puede apreciar el ángulo que produce la mínima distorsión
armónica para las tensiones de fase:
0 20 40 60 80
0.2
0.4
0.6
0.8
11
0.168
THD 1( )
9001
180
Figura 1-18 Formas de onda de THD v/s 1 tensión de fase.
De la figura 1-18 se puede obtener el ángulo que produce la mínima
distorsión armónica el cual es º161 , lo que da como resultado una THD del
16%.
De la ecuación (1-32) se grafica THD en función de 1 , donde
gráficamente se puede apreciar el ángulo que produce la mínima distorsión
armónica para las tensiones de línea:
0 20 40 60 80
0.2
0.4
0.6
0.8
11
0.168
THD 1( )
9001
180
Figura 1-19 Formas de onda de THD v/s 1 tensión de línea.
De la figura 1-19 se puede obtener el ángulo que produce la mínima
distorsión armónica º161 lo que produce una distorsión armónica total del
16%.
De lo anterior se puede concluir que el ángulo de disparo que produce la
mínima distorsión armónica para un inversor NPC monofásico de tres niveles es
distinto al ángulo de disparo que produce la mínima THD para un inversor NPC
trifásico compuesto por 3 inversores NPC monofásicos.
1.12 ESPECTRO ARMÓNICO PARA INVERSOR NPC TRIFÁSICO.
De la siguiente ecuación (1-33) se puede obtener los voltajes en la salida
para Vun, Vvn y Vwn, los distintos valores de armónicos en por unidad, siendo la
base la fundamental:
2cos( 16 ) (1 cos( )180 3
2( ) 2cos(1 16 ) (1 cos( 1)180 3
n n
nVun n Vcc (1-33)
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
120,00
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
N
VunVvnVwn100%
Figura 1-20 Espectro armónico de la tensión de fase con º161 .
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
120,00
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
N
V u v
V u w
V v w
1 0 0 %
Figura 1-21 Espectro armónico de la tensión de línea con º161 .
2 2
2 2
2 2cos( 16 ) (1 cos( ) ( )180 3 3
2( )2 2cos(16 ) (1 cos( 1) ( 1)
180 3 3
n n sen n
nVuv n Vcc
sen
(1-34)
1.13 COMPARACIÓN ENTRE EL ESPECTRO ARMÓNICO CALCULADOTEÓRICAMENTE Y LA FUNCIÓN FFT INCORPORADA EN ELPROGRAMA COMPUTACIONAL PSIM4.1
Al simular el circuito, con los ángulos obtenidos en la sección 1.11 es
decir 1 16º , los cuales producen la mínima distorsión armónica THD para el
inversor trifásico compuesto por inversores monofásicos de tres niveles con
modulación por pulso único, se puede aplicar una herramienta la cual es la
Transformada Rápida de Fourier (FFT), la cual será comparada con el análisis
armónico obtenido de la ecuación (1-31) y (1-32).
En la figura 1-20 se puede apreciar el espectro armónico de los datos
obtenidos en el PSIM en por unidad, siendo la base la fundamental:.
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
120,00
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
N
100%
Figura 1-20 Gráfica de FFT en PSIM de la tensión de salida Fase y Línea del
inversor de trifásico compuesto por inversor NPC de tres niveles pulso único.
CAPÍTULO 2
ESPECTRO DE FRECUENCIAS DE LA TENSIÓN DE SALIDA PARA LOSINVERSORES NPC DE CINCO NIVELES
2.1 INTRODUCCIÓN
Este inversor cuenta con cuatro condensadores o fuente de CC. Con los
cuales se pueden tener dos niveles de tensión, además del nivel nulo, en el
semiperiodo positivo y dos en el semiciclo negativo. El punto medio entre los
condensadores generan el punto neutro, por lo tanto, el valor máximo de tensión
en un semiciclo es ½ Vcc. El punto neutro es conectado a los terminales del
inversor a través de los diodos fijadores de tensión.
2.2 ETAPAS DE OPERACIÓN
Para el análisis del circuito se consideran las siguientes condiciones.
El circuito esta operando en régimen permanente.
Los condensadores son considerados fuentes ideales.
La carga es considerada una fuente sinusoidal.
Los interruptores de potencia son ideales.
Los diodos en antiparalelo y fijadores son ideales.
a) Primera etapa de operación (t1, t2).
Se retira el comando a S1’ a S4’ y los interruptores S1 a S4 pasan a
conducir la corriente de carga. La tensión de salida es igual a Vcc/2.
b) Segunda etapa de operación (t2, t3).
En t2 se retira el comando a S4 manteniendo los de S3, S2 y S1. D3 se
polariza directamente pasando a conducir la corriente “I0”. La tensión de salida
es igual a Vcc/4.
14
Vcc
14
Vcc
14
Vcc
14
Vcc
3D
2D
1D
3'D
2 'D
1'D
argc a
0I
Figura 2-1 Configuración de un inversor fijado por diodos de cinco niveles
c) Tercera etapa de operación (t3, t4).
En t3 se retira el comando a S3 manteniendo los de S2 y S1. D2 se
polariza directamente pasando a conducir la corriente “I0” por circulación libre. La
tensión de salida es igual a cero.
d) Cuarta etapa de operación (t4, t5).
En t4 se retira el comando de S2 manteniendo el de S1. D1 se polariza
directamente pasando a conducir la corriente “I0”. La tensión de salida es igual a
–Vcc/4.
e) Quinta etapa de operación (t5, t6).
En t5, “I0” es cero. Se retira el comando a S1 y los interruptores S1’ a S4’
pasan a conducir la corriente de carga. La tensión de salida es igual a -Vcc/2.
f) Sexta etapa de operación (t6, t7).
En t6 se retira el comando a S4’ manteniendo los de S3’, S2’ y S1’. D1’ se
polariza directamente pasando a conducir la corriente “I0”. La tensión de salida
es igual a -Vcc/4.
g) Séptima etapa de operación (t7, t8).
En t7 se retira el comando a S3’ manteniendo los de S2’ y S1’. D2’ se
polariza directamente pasando a conducir la corriente “I0” por circulación libre. La
tensión de salida es igual a cero.
h) Octava etapa de operación (t0, t1).
En t4 se retira el comando de S2’ manteniendo el de S1’. D3’ se polariza
directamente pasando a conducir la corriente “I0”. La tensión de salida es igual a
Vcc/4.
14
Vcc3D
3'D
2D
1D
1'D
2 'D
14
Vcc
14
Vcc
14
Vcc
argc a
0IVa
14
Vcc
14
Vcc
14
Vcc
14
Vcc
3D
2D
1D
1'D
2 'D
3'D
Va
argc a
0I
a) Primera etapa de conmutación. b) Segunda etapa de conmutación.
14
Vcc
14
Vcc
14
Vcc
14
Vcc
3D
2D
1D
1'D
2'D
3'D
argc a
0IVa
14
Vcc
14
Vcc
14
Vcc
14
Vcc
3D
2D
1D
1'D
2'D
3'D
argc a
0IVa
c) Tercera etapa de conmutación. d) Cuarta etapa de conmutación.
Figura 2-2 Primera a la cuarta etapa de conmutación del inversor NPC de cinconiveles
Se puede observar que los diodos en antiparalelo no conducen en
ningún momento de las etapas de operación del inversor. Esto sucede porque
los comandos de S1 y S1’ son mantenidos el tiempo necesario para que la
corriente invierta su sentido.
Si esto no se hace, los diodos entrarían en conducción y la tensión sería
–Vcc/2 o Vcc/2 de acuerdo al sentido de la corriente de carga “I0”.
En las figuras 2-2 y 2-3 se presentan las etapas de operación.
En la Tabla 2.1 se muestran los estados de conmutación del inversor y
los respectivos voltajes generados están listados en esta tabla.
14
Vcc
14
Vcc
14
Vcc
14
Vcc
3D
2D
1D
1'D
2'D
3'D
argc a
0IVa
14
Vcc
14
Vcc
14
Vcc
14
Vcc
3D
2D
1D
1'D
2'D
3'D
argc a
0IVa
e) Quinta etapa de conmutación. f) Sexta etapa de conmutación.
14
Vcc
14
Vcc
14
Vcc
14
Vcc
3D
2D
1D
1'D
2'D
3'D
argc a
0IVa
14
Vcc
14
Vcc
14
Vcc
14
Vcc
3D
2D
1D
1'D
2'D
3'D
argc a
0IVa
g) Séptima etapa de conmutación. h) Octava etapa de conmutación.Figura 2-3 Quinta a la Octava etapa de conmutación del inversor NPC de cinco
niveles.
2Vcc
1 4
( )Van t
t2 3
5 86 7
14
Vcc
2Vcc
14
Vcc
Figura 2-4 Forma de onda de la tensión de salida de un inversor NPC de cinconiveles.
Tabla 2.1 Voltaje de Salida para cada conmutación NPC cinco niveles.
S1 S2 S3 S4 S1’ S2’ S3’ S4’ Van1 1 0 0 0 0 1 1 01 1 1 0 0 0 0 1 Vcc/41 1 1 1 0 0 0 0 Vcc/21 1 1 0 0 0 0 1 Vcc/41 1 0 0 0 0 1 1 01 0 0 0 0 1 1 1 -Vcc/40 0 0 0 1 1 1 1 -Vcc/21 0 0 0 0 1 1 1 -Vcc/41 1 0 0 0 0 1 1 0
En la figura 2-4 muestra la tensión de salida de un inversor de cinco
niveles.
2.3 EXPRESIÓN MATEMÁTICA DE LA FORMA DE ONDA DE LA SALIDADEL INVERSOR DE CINCO NIVELES
Para encontrar las expresiones que definen las señales de salida del
inversor de la figura 2-4, es necesario primero encontrar la serie de Fourier, para
ello se definen 4 ángulos, los cuáles tienen las siguientes relaciones en función
de 1 y 2 .
2/210
14
23
15
26
128
227
Como se puede apreciar la forma de onda quedará en función de 1 y
2 , es decir, el comando del interruptor S1 y S2 es el que define la forma de
onda en la salida.
Para la serie de Fourier se analizará solo el ciclo positivo de la forma de
onda del voltaje de salida de un inversor de cinco niveles tal como se realizó
para el de tres niveles. Al ver la onda de salida de un inversor de cinco niveles se
puede pensar que es el resultado de la sumatoria de dos inversores de tres
niveles pero con distintos ángulos, por eso la serie de Fourier de la onda de
salida quedará en función de estos dos ángulos.
Por lo tanto la serie de Fourier de la onda de salida de un inversor de
cinco niveles con modulación pulso único, queda de la siguiente forma.
,Im
2 (cos( 1) cos( 2)) ( )( )n par
Vcc n n sen n tf tn
(2-1)
2.4 MÍNIMA DISTORSIÓN ARMÓNICA TOTAL DEL INVERSOR DE CINCONIVELES
Una vez obtenida la función matemática de la tensión de salida del
inversor, se procede a obtener la distorsión armónica total de la forma de onda
THD en función de 1 y 2 .
2/210
Figura 2-5 Distorsión armónica total de 2 para 1 variable.
21 2
1 21, 1 2
cos( ) cos( )
( , )cos( ) cos( )n impar
n nnTHD (2-2)
Para la función anterior, no fue posible calcular los ángulos que
entreguen la mínima distorsión armónica de forma directa, por ello se han
obtenido gráficamente los ángulos óptimos este método se muestra en la figura
2-5.
Para distintos valores de 1 se deja 2 constante, (lo anterior se
desarrolla en una misma gráfica) y se puede apreciar que para cualquier 1 que
cumple con las condiciones antes descritas, se tendrá el ángulo en que se
obtiene la mínima distorsión armónica. Lo anterior queda más claro al ver la
figura 2-5.
De la gráfica anterior se puede apreciar que el ángulo 2 que produce la
mínima distorsión armónica corresponde 2 =41.8°.
Para obtener 1 , se repite el procedimiento anterior.
Figura 2-6 Distorsión armónica total de 1para 2 variable.
De la gráfica anterior se puede apreciar que el ángulo 1 que produce la
mínima distorsión armónica corresponde 1=12.8°.
Ahora que se obtuvieron los ángulos que producen la mínima distorsión
armónica, se procede a calcularla:
21 2
1, 1 2
cos( ) cos( )
(12.8 ,41.8 )cos( ) cos( )n impar
n nnTHD (2-3)
%42.16)8.41,8.12(THD
2.5 ELIMINACIÓN SELECTIVA DE ARMÓNICAS
En el caso de una forma de onda cuadrada como en la figura 2-4, se
tiene dos grados de libertad, por lo tanto pueden eliminarse las armónicas más
significativas que serían la tercera y la quinta y sus múltiplos; de la ecuación 2-2,
se puede obtener la amplitud de las distintas armónicas:
1 22 cos( ) cos( )n
Vcca n nn
(2-4)
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
90.00
100.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
N
100%
Figura 2-7 Eliminación de la tercera y quinta armónica y sus múltiplos de uninversor de cinco niveles.
Así para la eliminación de la tercera y quinta armónica y sus múltiplos
quedaría de la siguiente forma:
3 1 22 [cos(3 ) cos(3 )]3Vcca (2-5)
5 1 22 [cos(5 ) cos(5 )]5Vcca (2-6)
Resolviendo el sistema de ecuaciones se determina los valores de
1 12 y 2 48 . De la ecuación (2-3) se puede obtener la distorsión
armónica total THD = 17.45%.
De la figura 2-7 se presenta el espectro armónico para los ángulos que
producen la eliminación selectiva de la tercera y quinta armónica y sus múltiplos
en por unidad, siendo la base la fundamental:
2.6 DISTRIBUCIÓN POR COMPARACIÓN CON ONDA SINUSOIDAL
Los ángulos 1 y 2 son obtenidos comparando una onda sinusoidal de
amplitud Vcc y frecuencia fundamental, con los niveles de voltajes ofrecidos por
la forma de onda cuadrada.
Figura 2-8 Distribución por comparación Sinusoidal.
Se cambia de un nivel inferior a un nivel superior cuando la sinusoidal
cruza el punto medio entre los dos niveles consecutivos como se muestra en la
figura 2-8.
De esta forma los ángulos se pueden calcular como:
11
1sin 14.484
12
3sin 48.594
(2-7)
De la ecuación (2-3) se puede obtener la distorsión armónica total
THD = 17.60%.
2.7 DISTRIBUCIÓN SIMÉTRICA DE LOS PULSOS DE COMANDO
Se puede encontrar de una manera más sencilla una distribución
simétrica de los ángulos de disparo. Por simple inspección es posible determinar,
al dividir al periodo de la onda fundamental por un múltiplo de 6 se encuentran,
los ángulos que generan una forma de onda con bajo contenido armónico. Para
el caso de cinco niveles el ángulo óptimo es 1180 3012 y 2 13 45 . En
este caso la distorsión armónica total es de THD=17.45%.
Figura 2-9 Simulación en PSIM de Inversor NPC de cinco niveles.
2.8 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DE UN INVERSOR NPC DE CINCONIVELES
Se ha simulado un circuito Inversor NPC de Cinco Niveles con el
programa computacional PSIM versión 4.1 ver figura 2-9. El objetivo de esta
simulación es comparar el espectro de frecuencia obtenido matemáticamente y
el que entrega la simulación, esto aplicando la herramienta FFT que es la
Transformada Rápida de Fourier.
Los parámetros que se han ingresado en la simulación son los que se
indican en la Tabla 2.2
En la figura 2-10, se muestran el voltaje de salida del inversor Van, y en la
figura 2-11 y 2-12 los distintos estados de conmutación de los semiconductores
S1, S2, S3 y S4 en el ciclo positivo, y las figura 2-13 y 2-14 los distintos estados
de conmutación de los semiconductores S1’, S2’, S3’ Y S4’ en el ciclo negativo.
Tabla 2.2 Voltaje de Salida para cada conmutación.
COMPONENTE SIMBOLOGÍA AJUSTEGATING G1 50 Hz, 0 222 318 360.GATING G2 50 Hz, 0 193 347 360.GATING G3 50 Hz, 13 167.GATING G4 50 Hz, 42 138.GATING G1’ 50 Hz, 0 42 138 360.GATING G2’ 50 Hz, 0 13 167 360.GATING G3’ 50 Hz, 193 347.GATING G4’ 50 Hz, 222 318.L L4 0.01 HR R5 0.5 Ohm
Figura 2-10 Tensión de salida del inversor NPC 5 niveles.
Figura 2-11 Conmutación de los interruptores S1 y S2.
Figura 2-12 Conmutación de los interruptores S3 y S4.
Figura 2-13 Conmutación de los interruptores S1’ y S2’.
Figura 2-14 Conmutación de los interruptores S3’ y S4’.
2.9 COMPARACIÓN ENTRE EL ESPECTRO ARMÓNICO CALCULADOTEÓRICAMENTE Y LA FUNCIÓN FFT INCORPORADA EN ELPROGRAMA COMPUTACIONAL PSIM4.1
Al simular el circuito, con los ángulos obtenidos en la sección 2.3
1 12.8 y 2 41.8 , los cuales producen la mínima distorsión armónica THD
para el circuito inversor de cinco niveles con modulación por pulso único, se
puede aplicar la herramienta Transformada Rápida de Fourier (FFT), la cual será
comparada con el análisis armónico obtenido de la ecuación (2-3).
En la figura 2-15 se puede apreciar el espectro armónico de los datos
obtenidos en el PSIM en por unidad, siendo la base la fundamental:
De la siguiente ecuación (2-3) se puede obtener los voltajes en la salida
Van, phara los distintos valores de armónicos en por unidad, siendo la base la
fundamental:
cos( 12.8 ) cos( 41.8 )180 180
2( )cos(12.8 ) cos(41.8 )
180 180
n n
nC n Vcc (2-8)
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
90.00
100.00
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
N
100%
Figura 2-15 Gráfica de FFT en PSIM de la tensión de salida del inversor de 5niveles pulso único.
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
90.00
100.00
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
N
100
Figura 2-16 Gráfica de Espectro Armónico Calculado en la ecuación 2-8.
2.10 ESPECTRO DE FRECUENCIAS DE LA TENSIÓN DE SALIDA PARAINVERSOR NPC TRIFÁSICO DE CINCO NIVELES CON MODULACIÓNPULSO ÚNICO
Si se conectan tres inversores NPC monofásicos cada uno desfasado en
120º con respecto al otro en disposición estrella, entonces se obtiene un inversor
NPC trifásico de cinco niveles, el cual se presenta el la figura 2-17. Al punto
común de los inversores se denominará ‘o’, mientras que el punto común de la
conexión estrella de la carga se denominará ‘n’. A los puntos de conexión entre
cada inversor monofásico y la carga se le llamará ‘u’, ‘v’ y ‘w’.
Para determinar las formas de onda de las tensiones de fase y línea, se
analizará el circuito equivalente presentado en la figura 2-18. Para el análisis se
considerará que la carga es balanceada y que los interruptores son ideales.
En la figura 2-19, se presenta la forma de onda en los terminales de cada
inversor monofásico.
14
Vcc
14
Vcc
14
Vcc
14
Vcc
14
Vcc
14
Vcc
14
Vcc
14
Vcc
14
Vcc
14
Vcc
14
Vcc
14
Vcc
Figura 2-17 Circuito inversor NPC de cinco niveles trifásico.
Figura 2-18 Circuito equivalente inversor NPC trifásico.
Figura 2-19 Formas de onda en los terminales de cada inversor monofásico.
De la figura 2-18 se pueden obtener las ecuaciones de las tensiones de
fase del inversor trifásico en función de las tensiones de los terminales de cada
inversor monofásico la cuales fueron obtenidas en la ecuación (2.2).
( ) ( ) ( ) ( )Vun t Vvn t Vuo t Vvo t (2-9)
( ) ( ) ( ) ( )Vvn t Vwn t Vvo t Vwo t (2-10)
( ) ( ) ( ) 0Vun t Vvn t Vwn t (2-11)
Representado en forma matricial:
1 1 0 ( ) ( ) ( )0 1 1 ( ) ( ) ( )1 1 1 ( ) 0
Vun t Vuo t Vvo tVvn t Vvo t Vwo tVwn t
(2-12)
Resolviendo la ecuación (2-12) para las tensiones de fase se tiene:
1( ) (2 ( ) ( ) ( ))3
Vun t Vuo t Vvo t Vwo t (2-13)
1( ) ( ( ) 2 ( ) ( ))3
Vvn t Vuo t Vvo t Vwo t (2-14)
1( ) ( ( ) ( ) 2 ( ))3
Vwn t Vuo t Vvo t Vwo t (2-15)
Las tensiones de línea del inversor trifásico se obtienen por inspección de
la figura 2-18:
( ) ( ) ( )Vuv t Vuo t Vvo t (2-16)
( ) ( ) ( )Vuw t Vuo t Vwo t (2-17)
( ) ( ) ( )Vvw t Vvo t Vwo t (2-18)
De la ecuación (2-2) se entrega la ecuación de la forma de onda para un
inversor NPC de cinco niveles monofásico:
,
2( ) cos( 1) cos( 2) ( )n impar
VccVuo t n n sen n t (2-19)
,
2 2( ) cos( 1) cos( 2) ( ( ))3n impar
VccVvo t n n sen n t (2-20)
,
2 2( ) cos( 1) cos( 2) ( ( ))3n impar
VccVwo t n n sen n t (2-21)
En la ecuación (2-22) se presenta la forma de onda de fase teóricas del
inversor NPC trifásico:
,
22 cos( 1) cos( 2) 1 cos ( )32( )
3 n impar
nn n sen n tVccVun t
n (2-22)
Se observa en la figura 2-20 que la tensión de fase del inversor trifásico
posee 7 niveles de tensión, los cuales son –2Vcc/3, -1Vcc/3, 0, 1Vcc/3, 2Vcc/3.
Las formas de onda de las otras tensiones de fase son análogas a la
anterior, pero desfasado en 120º. A continuación se presentan las ecuaciones
que definen las otras formas de onda de las tensiones de fase.
,
2 22 cos( 1) cos( 2) 1 cos ( ( ))3 32( )
n impar
nn n sen n tVccVvn t
n (2-23)
,
2 22 cos( 1) cos( 2) 1 cos ( ( ))3 32( )
n impar
nn n sen n tVccVwn t
n (2-24)
De la ecuación (2-16) se obtiene la forma de onda de las tensiones de
líneas del inversor trifásico:
2 2
,
2cos( )2 2 3cos( 1) cos( 2) (1 cos( ) ( ) sin tan( )23 3 ( )2 3( )
n impar
nn n n sen n n t a
sen nVccVuv t
n
(2-25)
0 50 100 150 200 250 300 350
400
200
200
400400
400
Vun x( )
3600x
360
2Figura 2-20 Formas de onda de la tensión de fase del inversor NPC trifásico.
0 50 100 150 200 250 300 350
400
200
200
400
Vuv x( )
x360
2
Figura 2-21 Formas de onda de la tensión de línea del inversor NPC trifásico.
Las otras tensiones de línea se pueden obtener desfasando en 120º la
ecuación (2-25). En la figura 2-21 se presenta gráficamente las formas de onda
de la tensión de línea del inversor trifásico, donde se puede apreciar que la
tensión de línea presenta 5 niveles siendo Vcc, Vcc/2, 0, -Vcc/2,-Vcc.:
2.11 ESPECTRO ARMÓNICO DEL INVERSOR TRIFÁSICOS COMPUESTOPOR INVERSORES MONOFÁSICOS DE CINCO NIVELES.
Una vez obtenidas las ecuaciones que rigen la forma de onda de las
tensiones de fase y de línea, y según la ecuación (2-26) se puede obtener la
distorsión armónica total de las tensiones de fase:
2
1,
2cos( 1) cos( 2) (1 cos( )3
( 1, 2) 2cos( 1) cos( 2) (1 cos( 1)3
n impar
n n n
nTHD (2-26)
Del mismo modo, la distorsión armónica total para las tensiones de línea
viene dado por la ecuación (2-27):
22 2
2 21,
2 2cos( 1) cos( 2) (1 cos( ) ( )3 3
( 1, 2)2 2cos( 1) cos( 2) (1 cos( 1) ( 1)3 3
n impar
n n n sen n
nTHD
sen
(2-27)
2.12 MÍNIMA DISTORSIÓN ARMÓNICA PARA INVERSOR TRIFÁSICO.
La distorsión armónica THD queda en función de 1 , por lo que se puede
realizar una gráfica de la distorsión armónica total v/s el ángulo de disparo de los
interruptores. Esto se realizará para las tensiones de fase y línea, y se
comparará con las obtenidas para un inversor NPC monofásico de 5 niveles.
De la ecuación (2-26) se grafica THD en función de 1 , donde
gráficamente se puede apreciar el ángulo que produce la mínima distorsión
armónica para las tensiones de fase:
0 20 40 60 80
0.2
0.4
THD 135
180
1180
Figura 2-22 Formas de onda de THD v/s 1 tensión de fase.
0 20 40 60 80
0.2
0.4
THD8
1802
2180
Figura 2-23 Formas de onda de THD v/s 2 tensión de fase.
De la figura 2-22 se puede obtener el ángulo que produce la mínima
distorsión armónica 1 8 . De esta misma forma gráfica se utiliza para
encontrar 2 .
De la figura 2-23 se puede obtener el ángulo que produce la mínima
distorsión armónica 2 24 , lo que produce una distorsión armónica total del
9.2%.
De la ecuación (2-27) se grafica THD en función de 1 , donde
gráficamente se puede apreciar el ángulo que produce la mínima distorsión
armónica para las tensiones de línea:
0 20 40 60 80
0.2
0.4
THD 135
180
1180
Figura 2-24 Formas de onda de THD v/s 1 tensión de línea.
0 20 40 60 80
0.2
0.4
THD8
1802
2180
Figura 2-25 Formas de onda de THD v/s 2 tensión de fase.
De la figura 2-25 se puede obtener el ángulo que produce la mínima
distorsión armónica 2 24 lo que produce una distorsión armónica total del
9.2%.
De lo anterior se puede concluir que el ángulo de disparo que produce la
mínima distorsión armónica para un inversor NPC monofásico de cinco niveles
es distinto al ángulo de disparo que produce la mínima THD para un inversor
NPC trifásico compuesto por 3 inversores NPC monofásicos de 5 niveles.
2.13 ESPECTRO ARMÓNICO PARA INVERSOR NPC TRIFÁSICO.
De la ecuación (2-28) y (2-29) se puede graficar el espectro armónico de
las tensiones de fase y línea del inversor NPC trifásico en por unidad, siendo la
base la fundamental.
22 cos( 8 ) cos( 24 ) 1 cos180 180 3
2( ) . .22 cos(8 ) cos(24 ) 1 cos
180 180 3
nn n
nC n Vcc p u (2-28)
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
90.00
100.00
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
N
100%
Figura 2-26 Espectro armónico de la tensión de fase con 1 8 y 2 24 .
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
90.00
100.00
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
N
100%
Figura 2-27 Espectro armónico de la tensión de línea con 1 8 y 2 24 .
2 2
2 2
2 2cos( 8 ) cos( 24 ) (1 cos( ) ( )180 180 3 3
2( ) . .2 2cos(8 ) cos(24 ) (1 cos( 1) ( 1)
180 180 3 3
n n n sen n
nC n Vcc p u
sen
(2-29)
2.14 COMPARACIÓN ENTRE EL ESPECTRO ARMÓNICO CALCULADOTEÓRICAMENTE Y LA FUNCIÓN FFT INCORPORADA EN ELPROGRAMA COMPUTACIONAL PSIM4.1
Al simular el circuito, con los ángulos obtenidos en la sección 2.11
1 8 y 2 24 , los cuales producen la mínima distorsión armónica THD para
el circuito inversor de cinco niveles con modulación por pulso único, se puede
aplicar una herramienta la cual es la Fast Fourier Transformer (FFT), la cual será
comparada con el análisis armónico obtenido de la ecuación (2-28) y (2-29).
En la figura 2-28 se puede apreciar el espectro armónico de los datos
obtenidos en el PSIM.
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
90.00
100.00
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
N
100%
Figura 2-28 Gráfica de FFT en PSIM de la tensión de salida Fase y Línea del
inversor de trifásico compuesto por inversor NPC de cinco niveles pulso único.
CAPÍTULO 3
ESPECTRO DE FRECUENCIAS DE LA TENSIÓN DE SALIDA PARA LOSINVERSORES NPC DE SIETE NIVELES
3.1 INTRODUCCIÓN
Este inversor cuenta con seis condensadores o fuentes de CC. Con los
cuales se pueden tener tres niveles de tensión, en el semiperiodo positivo y tres
en el semiciclo negativo, además del nivel nulo. El punto medio entre los
condensadores generan el punto neutro, por lo tanto, el valor máximo de tensión
en un semiciclo es ½ Vcc. El punto neutro es conectado a los terminales del
inversor a través de los diodos fijadores de tensión.
3.2 PRESENTACIÓN DEL INVERSOR DE SIETE NIVELES CONMODULACIÓN PULSO ÚNICO
La figura 3-1 muestra la configuración del circuito especial. El circuito está
compuesto de doce elementos de conmutación y necesita de una fuente
principal. Se requieren diez diodos y seis capacitores.
16
Vcc
16
Vcc
16
Vcc
16
Vcc
16
Vcc
16
Vcc
argc a
0I
1D
2D
3D
4D
5D
1'D
2 'D
3'D
4 'D
5'D
Va
Figura 3-1 Configuración de un inversor de siete niveles con modulación depulso único.
Tabla 3.1 Voltaje de Salida para cada conmutación NPC siete niveles.
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S1’ S2’ S3’ S4’ S5’ S6’ Van1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 01 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 Vcc/31 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 2Vcc/31 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 Vcc1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 2Vcc/31 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 Vcc/31 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 01 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 -Vcc/31 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 -2Vcc/30 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 -Vcc1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 -2Vcc/31 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 -Vcc/31 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0
En la Tabla 3.1 se muestran los estados de conmutación del inversor y los
respectivos voltajes generados están listados en esta tabla.
En la figura 3-2 muestra la tensión de salida de un inversor de siete
niveles.
Vcc
1 4
( )Van t
t2 3 5 6
13
Vcc
Vcc
13
Vcc
7 8 9 10 11 12
23
Vcc
23
Vcc
Figura 3-2 Forma de onda de la tensión de salida de un inversor de siete niveles.
3.3 EXPRESIÓN MATEMÁTICA DE LA FORMA DE ONDA DE LA SALIDADEL INVERSOR NPC DE SIETE NIVELES
Para encontrar las expresiones que definen las señales de salida del
inversor de la figura 3-2, es necesario primero encontrar la serie de Fourier, para
ello se definen 4 ángulos, los cuáles tienen las siguientes relaciones en función
de 1.
0 1 2 3 / 2
6 1 ; 5 2 ; 4 3
7 1 ; 8 2 ; 9 3
10 2 3 ; 11 2 2 ; 12 2 1
Como se puede apreciar la forma de onda quedará en función de 1, 2
y 3 . Una vez que se define las variables se procede a realizar la serie de
Fourier de la forma de onda en la salida del inversor.
Para la serie de Fourier se analizará solo el ciclo positivo de la forma de
onda del voltaje de salida de un inversor de siete niveles, como se realizó para el
de tres. Al analizar la onda de salida de un inversor de siete niveles, se puede
realizar la simplificación en los cálculos, al asumir que es el resultado de la
sumatoria de tres inversores de tres niveles pero con distintos ángulos, por eso
la serie de Fourier de la onda de salida quedará en función de estos tres
ángulos.
Por lo tanto la serie de Fourier de la onda de salida de un inversor de
siete niveles con modulación pulso único, queda de la siguiente forma:
1 2 3
,Im
(cos( ) cos( ) cos( )) ( )2( )n par
n n n sen n tVccf tn
(3-1)
3.4 MÍNIMA DISTORSIÓN ARMÓNICA TOTAL DEL INVERSOR DE SIETENIVELES
Una vez obtenida la función matemática de la tensión de salida del
inversor, se procede a obtener la distorsión armónica total de la forma de onda
THD en función de 1, 2 y 3 .
0 1 2 3 / 2
21 2 3
1 2 31, 1 2 3
cos( ) cos( ) cos(
( , , )cos( ) cos( ) cos( )n impar
n n nnTHD (3-2)
Para la función anterior, no es posible calcular los ángulos que entreguen
la mínima distorsión armónica de forma directa, por ello se han obtenido
gráficamente los ángulos óptimos este método se detalla a continuación.
Para distintos valores de 1 se deja 2 y 3 constante, (lo anterior se
desarrolla en una misma gráfica), y se puede apreciar que para cualquier 2 y
3 que cumplen con las condiciones antes descritas, se tendrá el mismo ángulo
que obtengo la mínima distorsión armónica. Lo anterior queda más claro al ver la
figura 3-3.
0 10 20 30 40
10
20
30
40
5050
0
THD 1( ) 100
4001
180
8.9
Figura 3-3 Distorsión armónica total de 1 para 2 y 3 constantes.
Para obtener 2 , se repite el procedimiento anterior.
De la gráfica 3-3 se puede apreciar que el ángulo 1 que produce la
mínima distorsión armónica corresponde 1 8.9º .
De la gráfica 3-4 se puede apreciar que el ángulo 2 que produce la
mínima distorsión armónica corresponde 2 27.6º .
Para obtener 3 , se repite el procedimiento anterior.
0 10 20 30 400
10
20
30
40
5050
0
THD 2( ) 100
4002
180
27.6
Figura 3-4 Distorsión armónica total de 2 para 1 y 3 constantes.
20 30 40 50 60 70 80
10
20
30
40
5050
0
THD 3( ) 100
80203
18050.6
Figura 3.5 Distorsión armónica total de 3 para 1 y 2 constantes.
De la gráfica anterior se puede apreciar que el ángulo 3 que produce la
mínima distorsión armónica corresponde 3 50.6º .
Ahora que se obtienen los ángulos que producen la mínima distorsión
armónica, se procede a calcularla:
21 2 3
1, 1 2 3
cos( ) cos( ) cos( )
(8.9 ,27.6 ,50.6 )cos( ) cos( ) cos( )n impar
n n nnTHD (3-3)
(8.9 ,27.6 ,50.6 ) 11.53%THD
3.5 ELIMINACIÓN SELECTIVA DE ARMÓNICAS
En el caso de una forma de onda cuadrada como en figura 3-2, se tiene
tres grados de libertad, por lo tanto pueden eliminarse las armónicas más
significativas que serían la tercera, la quinta y la séptima y sus múltiplos; de la
ecuación (3-1), se puede obtener la amplitud de las distintas armónicas:
1 2 32 cos( ) cos( ) cos( )n
Vcca n n nn
(3-4)
Así para la eliminación de la tercera, quinta y séptima armónica y sus
múltiplos quedaría de la siguiente forma:
3 1 2 32 [cos(3 ) cos(3 ) cos(3 )]3Vcca (3-5)
5 1 2 32 [cos(5 ) cos(5 ) cos(5 )]5Vcca (3-6)
7 1 2 32 [cos(7 ) cos(7 ) cos(7 )]7Vcca (3-7)
Resolviendo el sistema de ecuaciones se determina los valores de
1 11.7º , 2 26.9º y 3 56º . De la ecuación (3-2) se puede obtener la
distorsión armónica total THD = 11.87%.
3.6 DISTRIBUCIÓN POR COMPARACIÓN CON ONDA SINUSOIDAL
El método fue definido en la sección anterior 2.4. Para una forma de onda
con siete niveles. De esta forma los ángulos se pueden calcular como:
1 11 sin 9.66
1 32 sin 306
1 53 sin 56.46
De la ecuación (3-2) se puede obtener la distorsión armónica total
THD = 12.24%.
3.7 DISTRIBUCIÓN SIMÉTRICA DE LOS PULSOS
Se puede encontrar de una manera más sencilla una distribución
simétrica de los ángulos de disparo. Por simple inspección es posible determinar
que si se divide al periodo de la onda fundamental por un múltiplo de 6 se
encuentran ángulos que generan una forma de onda con bajo contenido
armónico. Para el caso de siete niveles el ángulo óptimo es1801 1018 ,
2 3 1 30 y 3 5 1 50 . En este caso la distorsión armónica total
es de THD=11.91%.
3.8 SIMULACIÓN COMPUTACIONAL DEL INVERSOR NPC DE SIETENIVELES
Se ha simulado un circuito Inversor NPC de siete niveles definido en la
sección 3.2 con el programa computacional PSIM versión 4.1 ver figura 3-5. El
objetivo de esta simulación es comparar el espectro de frecuencia obtenido
matemáticamente y el que entrega la simulación.
Los parámetros que se han ingresado en la simulación son los que se
indican en la Tabla 3.2.
Figura 3.5 Simulación en PSIM de Inversor NPC de Siete Niveles.
Tabla 3.2 Parámetros de ajuste de Simulación en PSIM de Inversor NPC de sieteniveles.
COMPONENTE SIMBOLOGÍA AJUSTEGATING S1 50 Hz, 0 231 309 360.GATING S2 50 Hz, 0 208 332 360.GATING S3 50 Hz, 0 189 351 360.GATING S4 50 Hz, 9 171.GATING S5 50 Hz, 28 152.GATING S6 50 Hz, 51 129.GATING S1´ 50 Hz, 0 51 129 360.GATING S2’ 50 Hz, 0 28 152 360.GATING S3’ 50 Hz, 0 9 171 360GATING S4’ 50 Hz, 189 351GATING S5’ 50 Hz, 208 332GATING S6’ 50 Hz, 231 309L L4 0.01 HR R5 0.5 Ohm
En la figura 3-6, se muestran el voltaje de salida del inversor de 7 niveles
Van, y en la figura 3-7 y 3-8 los distintos estados de conmutación de los
semiconductores S1 a S6 y de S1’ a S6’.
Figura 3-6 Tensión de salida Van del inversor de siete niveles simulado en Psim.
Figura 3-7 Conmutación de los interruptores S1, S2, S3, S4, S5 y S6.
Figura 3-8 Conmutación de los interruptores S1’, S2’, S3’, S4’, S5’ y S6’.
3.9 COMPARACIÓN ENTRE EL ESPECTRO ARMÓNICO CALCULADOTEÓRICAMENTE Y LA FUNCIÓN FFT INCORPORADA EN ELPROGRAMA COMPUTACIONAL PSIM4.1
Al simular el circuito, con los ángulos obtenidos en la sección 3.4
1 8.9º , 2 27.6º y 3 50.6º , los cuales producen la mínima distorsión
armónica THD para el circuito inversor de siete niveles con modulación por pulso
único, donde se obtendrá el espectro armónico del circuito simulado, la cual será
comparada con el análisis armónico obtenido de la ecuación (3-8).
En la figura 3-9 se puede apreciar el espectro armónico de los datos
obtenidos en el PSIM.
De la siguiente ecuación (3-8) se puede obtener los voltajes en la salida
Van, para los distintos valores de armónicos, este resultado es en por unidad:
1 2 3
1 2 3
cos( ) cos( ) cos( )
( )cos( ) cos( ) cos( )
n n nnC n (3-8)
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
90.00
100.00
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
N
100%
Figura 3-9 Gráfica del espectro armónico obtenido en la simulación en PSIM dela Tensión de Salida del inversor de 7 niveles pulso único.
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
90.00
100.00
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
N
100%
Figura 3-10 Gráfica de Espectro Armónico Calculado en la ecuación (3-8)
3.10 ESPECTRO DE FRECUENCIAS DE LA TENSIÓN DE SALIDA PARAINVERSOR NPC TRIFÁSICO DE SIETE NIVELES CON MODULACIÓNPULSO ÚNICO
Si se conectan tres inversores NPC monofásicos cada uno desfasado en
120º con respecto al otro en disposición estrella, entonces se obtiene un inversor
NPC trifásico de siete niveles, el cual se presenta el la figura 3-11. Al punto
común de los inversores se denominará ‘o’, mientras que el punto común de la
conexión estrella de la carga se denominará ‘n’. A los puntos de conexión entre
cada inversor monofásico y la carga se le llamará ‘u’, ‘v’ y ‘w’.
Para determinar las formas de onda de las tensiones de fase y línea, se
analizará el circuito equivalente presentado en la figura 1-13. Para el análisis se
considerará que la carga es balanceada y que los interruptores son ideales.
En la figura 3-12, se presenta la forma de onda en los terminales de cada
inversor monofásico.
16
Vcc
16
Vcc
16
Vcc
16
Vcc
16
Vcc
16
Vcc 16
Vcc
16
Vcc
16
Vcc
16
Vcc
16
Vcc
16
Vcc 16
Vcc
16
Vcc
16
Vcc
16
Vcc
16
Vcc
16
Vcc
1D
2D
3D
4D
5D
1'D
2'D
3'D
4'D
5'D
5D
4D
3D
2D
1D
1'D
2'D
3'D
4'D
5'D 5'D
4'D
3'D
2'D
1'D
1D
2D
3D
4D
5D
Figura 3-11 Circuito inversor NPC de siete niveles trifásico.
Figura 3-12 Formas de onda en los terminales de cada inversor monofásico.
De la figura 1-13 se pueden obtener las ecuaciones de las tensiones de
fase del inversor trifásico en función de las tensiones de los terminales de cada
inversor monofásico la cuales fueron obtenidas en la ecuación (3.2).
( ) ( ) ( ) ( )Vun t Vvn t Vuo t Vvo t (3-9)
( ) ( ) ( ) ( )Vvn t Vwn t Vvo t Vwo t (3-10)
( ) ( ) ( ) 0Vun t Vvn t Vwn t (3-11)
Representado en forma matricial:
1 1 0 ( ) ( ) ( )0 1 1 ( ) ( ) ( )1 1 1 ( ) 0
Vun t Vuo t Vvo tVvn t Vvo t Vwo tVwn t
(3-12)
Resolviendo la ecuación (3-12) para las tensiones de fase se tiene:1( ) (2 ( ) ( ) ( ))3
Vun t Vuo t Vvo t Vwo t (3-13)
1( ) ( ( ) 2 ( ) ( ))3
Vvn t Vuo t Vvo t Vwo t (3-14)
1( ) ( ( ) ( ) 2 ( ))3
Vwn t Vuo t Vvo t Vwo t (3-15)
Las tensiones de línea del inversor trifásico se obtienen por inspección de
la figura 1-13:
( ) ( ) ( )Vuv t Vuo t Vvo t (3-16)
( ) ( ) ( )Vuw t Vuo t Vwo t (3-17)
( ) ( ) ( )Vvw t Vvo t Vwo t (3-18)
De la ecuación (3-2) se entrega la ecuación de la forma de onda para un
inversor NPC de siete niveles monofásico:
,
2( ) cos( 1) cos( 2) cos( 3) ( )n impar
VccVuo t n n n sen n t (3-19)
,
2 2( ) cos( 1) cos( 2) cos( 3) ( ( ))3n impar
VccVvo t n n n sen n t (3-20)
,
2 2( ) cos( 1) cos( 2) cos( 3) ( ( ))3n impar
VccVwo t n n n sen n t (3-21)
En la ecuación (3-22) se presenta la forma de onda de fase teóricas del
inversor NPC trifásico:
,
22 cos( 1) cos( 2) cos( 3) 1 cos ( )32( )
3 n impar
nn n n sen n tVccVun t
n (3-22)
Se observa en la figura 3-13 que la tensión de fase del inversor trifásico
posee 7 niveles de tensión
Se observa en la figura 3-13 que la tensión de fase del inversor trifásico
posee 17 niveles de tensión.
Las formas de onda de las otras tensiones de fase son análogas a la
anterior, pero desfasado en 120º. A continuación se presentan las ecuaciones
que definen las otras formas de onda de las tensiones de fase.
,
2 22 cos( 1) cos( 2) cos( 3) 1 cos ( ( ))3 32( )
n impar
nn n n sen n tVccVvn t
n (3-23)
,
2 22 cos( 1) cos( 2) cos( 3) 1 cos ( ( ))3 32( )
n impar
nn n n sen n tVccVwn t
n (3-24)
De la ecuación (3-16) se obtiene la forma de onda de las tensiones de
líneas del inversor trifásico:
2 2
,
2cos( )2 2 3cos( 1) cos( 2) cos( 3) (1 cos( ) ( ) sin tan( )23 3 ( )2 3( )n impar
nn n n n sen n n t a
sen nVccVuv tn
(3-25)
Las otras tensiones de línea se pueden obtener desfasando en 120º la
ecuación (3-25). En la figura 3-14 se presenta gráficamente las formas de onda
de la tensión de línea del inversor trifásico, donde se puede apreciar que la
tensión de línea presenta 13 niveles.
0 50 100 150 200 250 300 350
400
200
200
400
Vun x( )
x360
2
Figura 3-13 Formas de onda de la tensión de fase del inversor NPC trifásico.
3.11 ESPECTRO ARMÓNICO DEL INVERSOR TRIFÁSICOS COMPUESTOPOR INVERSORES MONOFÁSICOS DE 7 NIVELES.
Una vez obtenidas las ecuaciones que rigen la forma de onda de las
tensiones de fase y de línea, y según la ecuación (3-26) se puede obtener la
distorsión armónica total de las tensiones de fase:2
1,
2cos( 1) cos( 2) cos( 3) (1 cos( )3
( 1, 2, 3) 2cos( 1) cos( 2) cos( 3) (1 cos( 1)3
n impar
n n n n
nTHD (3-26)
Del mismo modo, la distorsión armónica total para las tensiones de línea
viene dado por la ecuación (3-27):2
2 2
2 21,
2 2cos( 1) cos( 2) cos( 3) (1 cos( ) ( )3 3
( 1, 2, 3)2 2cos( 1) cos( 2) cos( 3) (1 cos( 1) ( 1)3 3
n impar
n n n n sen n
nTHD
sen
(3-27)
3.12 MÍNIMA DISTORSIÓN ARMÓNICA PARA INVERSOR TRIFÁSICO.
La distorsión armónica THD queda en función de 1 , 2 y 3 por lo que
se puede realizar una gráfica de la distorsión armónica total v/s el ángulo de
disparo de los interruptores. Esto se realizará para las tensiones de fase y línea,
y se comparará con las obtenidas para un inversor NPC monofásico de 7
niveles.
De la ecuación (3-26) se grafica THD en función de 1 , donde
gráficamente se puede apreciar el ángulo que produce la mínima distorsión
armónica para las tensiones de fase:
De la figura 3-15 se puede obtener el ángulo que produce la mínima
distorsión armónica para las tensiones de fase 1 5.4 . De esta misma forma
gráfica se utiliza para encontrar 2 .
0 20 40 60 800
10
20
30
40
5050
0
THD 116.4
18034180
9001
1805.4
Figura 3-15 Formas de onda de THD v/s 1 tensión de fase.
0 20 40 60 800
10
20
30
40
5050
0
THD5.4180
234180
9002
180
16.4
Figura 3-16 Formas de onda de THD v/s 2 tensión de fase.
De la figura 3-16 se puede obtener el ángulo que produce la mínima
distorsión armónica para las tensiones de fase 2 16.4 .
De la figura 3-17 se puede obtener el ángulo que produce la mínima
distorsión armónica para las tensiones de fase 3 34 .
De la ecuación (3-27) se grafica THD en función de 1, donde
gráficamente se puede apreciar el ángulo que produce la mínima distorsión
armónica para las tensiones de línea, figura 3-18.
0 20 40 60 800
10
20
30
40
5050
0
THD5.4
180
16.4
1803
9003
18034
Figura 3-17 Formas de onda de THD v/s 3 tensión de fase.
0 20 40 60 800
10
20
30
40
5050
0
THD 116.4
180
34
180
9001
1805.4
Figura 3-18 Formas de onda de THD v/s 1 tensión de línea.
0 20 40 60 800
10
20
30
40
5050
0
THD5.4
1802
34
180
9002
180
16.4
Figura 3-19 Formas de onda de THD v/s 2 tensión de línea.
0 20 40 60 800
10
20
30
40
5050
0
THD5.4
180
16.4
1803
9003
18034
Figura 3-20 Formas de onda de THD v/s 3 tensión de línea.
De las figuras 3-15, 3-16, 3-17, 3-18, 3-19 y 3-20 se puede obtener los
ángulos que produce la mínima distorsión armónica, los cuales son 1 5.4 ,
2 16.4 y 3 34 , tanto para las tensiones de fase como las de línea y
estos ángulos producen una distorsión armónica total del 6.25%.
De lo anterior se puede concluir que el ángulo de disparo que produce la
mínima distorsión armónica para un inversor NPC monofásico de siete niveles es
distinto al ángulo de disparo que produce la mínima THD para un inversor NPC
trifásico compuesto por 3 inversores NPC monofásicos de 7 niveles.
3.13 ESPECTRO ARMÓNICO PARA INVERSOR NPC TRIFÁSICO.
De la ecuación (3-26) y (3-27) se puede graficar el espectro armónico de
las tensiones de fase y línea del inversor NPC trifásico, en por unidad.
22 cos( 5.4 ) cos( 16.4 ) cos( 34 ) 1 cos180 180 180 3
2( )22 cos(5.4 ) cos(16.4 ) cos(34 ) 1 cos
180 180 180 3
nn n n
nC n Vcc (3-28)
2 2
2 2
2 2cos( 5.4 ) cos( 16.4 ) cos( 34 ) (1 cos( ) ( )180 180 180 3 3
2( )2 2cos(5.4 ) cos(16.4 ) cos( 34 ) (1 cos( 1) ( 1)
180 180 180 3 3
n n n n sen n
nC n Vcc
n sen
(3-29)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
N
100%
Figura 3-22 Espectro armónico de la tensión de línea con 1 5.4 , 2 16.4 y3 34 .
3.14 COMPARACIÓN ENTRE EL ESPECTRO ARMÓNICO CALCULADOTEÓRICAMENTE Y LA FUNCIÓN FFT INCORPORADA EN ELPROGRAMA COMPUTACIONAL PSIM4.1
Al simular el circuito, con los ángulos obtenidos en 3.13 1 5.4 ,
2 16.4 y 3 34 , los cuales producen la mínima distorsión armónica THD
para el circuito inversor trifásico de siete niveles con modulación por pulso único,
se puede obtener el espectro armónico de la tensión de salida del circuito
simulado, este espectro esta dado en por unidad sobre el valor de la tensión de
salida fundamental, la cual será comparada con el análisis armónico obtenido de
la ecuación (3-26) y (3-27), que será el espectro armónico calculado.
En la figura 3-23 se puede apreciar el espectro armónico de los datos
obtenidos en el PSIM.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
N
100%
Figura 3-23 Gráfica de FFT en PSIM de la tensión de salida Fase y Línea delinversor de trifásico compuesto por inversor NPC de siete niveles pulso único.
CAPÍTULO 4
ESPECTRO DE FRECUENCIAS DE LA TENSIÓN DE SALIDA PARAINVERSOR DE NUEVE NIVELES CON MODULACIÓN PULSO ÚNICO
4.1 INTRODUCCIÓN
Este inversor cuenta con ocho condensadores o fuente de CC. Con los
cuales se pueden tener cuatro niveles de tensión, además del nivel nulo, en el
semiperiodo positivo y cuatro en el semiciclo negativo. El punto medio entre los
condensadores generan el punto neutro, por lo tanto, el valor máximo de tensión
en un semiciclo es ½ Vcc. El punto neutro es conectado a los terminales del
inversor a través de los diodos fijadores de tensión.
4.2 PRESENTACIÓN DEL INVERSOR DE NUEVE NIVELES CONMODULACIÓN PULSO ÚNICO
La figura 4-1 muestra la configuración del circuito especial. El circuito está compuesto de catorceelementos de conmutación y necesita de una fuente principal. Se requieren doce diodos y ocho capacitores.
En la figura 4-2 muestra la tensión de salida de un inversor de nueve
niveles.
4.3 EXPRESIÓN MATEMÁTICA DE LA FORMA DE ONDA DE LA SALIDADEL INVERSOR DE NUEVE NIVELES
Para encontrar las expresiones que definen las señales de salida del
inversor de la figura 4-1, es necesario primero encontrar la serie de Fourier, para
ello se definen 8 ángulos, los cuáles tienen las siguientes relaciones en función
de 1.
18Vcc
argc a
0I
18
Vcc
18
Vcc
18
Vcc
18Vcc
18
Vcc
18Vcc
18Vcc
n Va
7D
1D
2D
3D
4D
5D
6D
1'D
2'D
3'D
4'D
5'D
6 'D
7 'D
Figura 4.1 Configuración de un inversor de nueve niveles con modulación depulso único.
Figura 4-2 Forma de onda de la tensión de salida de un inversor de nueve
niveles.
0 1 2 3 4 / 2
8 1 ; 7 2 ; 6 3 ;
5 4
9 1; 10 2; 11 3 ;
12 4
13 2 4 ; 14 2 3 ; 15 2 2 ;
16 2 1
Como se puede apreciar la forma de onda quedará en función de 1, 2 ,
3 y 4 . Una vez que se define las variables se procede a realizar la serie de
Fourier de la forma de onda en la salida del inversor.
Para la serie de Fourier se analizará solo el ciclo positivo de la forma de
onda del voltaje de salida de un inversor de nueve niveles, como se realizó para
el de tres niveles. Al ver la onda de salida de un inversor de nueve niveles se
puede pensar que es el resultado de la sumatoria de cuatro inversores de tres
niveles pero con distintos ángulos, por eso la serie de Fourier de la onda de
salida quedará en función de estos cuatro ángulos.
Por lo tanto la serie de Fourier de la onda de salida de un inversor de
nueve niveles con modulación pulso único, queda de la siguiente forma:
1 2 3 4
,Im
(cos( ) cos( ) cos( ) cos( )) ( )2( )n par
n n n n sen n tVccf tn
(4-1)
4.4 MÍNIMA DISTORSIÓN ARMÓNICA TOTAL DEL INVERSOR DE NUEVENIVELES
Una vez obtenida la función matemática de la tensión de salida del
inversor, se procede a obtener la distorsión armónica total de la forma de onda
THD en función de 1, 2 , 3 y 4 .
0 1 2 3 4 / 22
1 2 3 4
1 2 3 41, 1 2 3 4
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
( , , , )cos( ) cos( ) cos( ) cos( )n impar
n n n nnTHD (4-2)
Para la función anterior, no es posible calcular los ángulos que entreguen
la mínima distorsión armónica de forma directa, por ello se han obtenido
gráficamente los ángulos óptimos este método se detalla a continuación.
Para distintos valores de 1 se deja 2 , 3 y 4 constante, (lo anterior
se desarrolla en una misma gráfica) y se puede apreciar que para cualquier
2 , 3 y 4 , que cumple con las condiciones antes descritas se tendrá el mismo
ángulo en que se obtiene la mínima distorsión armónica de la tensión de salida
Van. Lo anterior queda más claro al ver la figura 4-3.
De la gráfica 4-3 se puede apreciar que el ángulo 1 que produce la
mínima distorsión armónica corresponde 1 6.8 .
Para obtener 2 , se repite el procedimiento anterior.
0 22.5 45 67.5 900
7.5
15
22.5
3030
0
THD6.8
1802
36.2
180
55.8
180
9002
180
20.8
Figura 4-4 Distorsión armónica total de 2 para 1, 3 y 4 constantes.
0 22.5 45 67.5 900
7.5
15
22.5
3030
0
THD6.8
180
20.8
1803
55.8
180
9003
18036.2
Figura 4-5 Distorsión armónica total de 3 para 1, 2 y 4 constantes.
De la gráfica 4-4 se puede apreciar que el ángulo 2 que produce la
mínima distorsión armónica corresponde 2 20.8 .
Para obtener 3 , se repite el procedimiento anterior.
De la gráfica 4-5 se puede apreciar que el ángulo 3 que produce la
mínima distorsión armónica corresponde 3 36.2 .
Para obtener 4 , se repite el procedimiento anterior.
0 22.5 45 67.5 900
7.5
15
22.5
3030
0
THD6.8
180
20.8
180
36.2
1804
9004
180
55.8
Figura 4-6 Distorsión armónica total de 4 para 1, 2 y 3constantes.
De la gráfica anterior se puede apreciar que el ángulo 4 que produce la
mínima distorsión armónica corresponde 4 55.8 .
Ahora que se obtienen los ángulos que producen la mínima distorsión
armónica, se procede a calcularla:
21 2 3 4
1, 1 2 3 4
cos( ) cos( ) cos( ) cos( )
(6.8 ,20.8 ,36.2 ,55.8 )cos( ) cos( ) cos( ) cos( )n impar
n n n nnTHD
(4-3)
(6.8 ,20.8 ,36.2 ,55.8 ) 8.9%THD
4.5 ELIMINACIÓN SELECTIVA DE ARMÓNICAS
En el caso de una forma de onda cuadrada como en figura 4-2, se tiene
cuatro grados de libertad, por lo tanto pueden eliminarse las armónicas más
significativas que serían la tercera, la quinta, la séptima y novena y sus múltiplos;
de la ecuación (4-1), se puede obtener la amplitud de las distintas armónicas:
1 2 3 42 cos( ) cos( ) cos( ) cos( )n
Vcca n n n nn
(4-4)
Así para la eliminación de la tercera, quinta, séptima y novena armónica y
sus múltiplos quedaría de la siguiente forma:
3 1 2 3 42 [cos(3 ) cos(3 ) cos(3 ) cos(3 )]3Vcca (4-5)
5 1 2 3 42 [cos(5 ) cos(5 ) cos(5 ) cos(5 )]5Vcca (4-6)
7 1 2 3 42 [cos(7 ) cos(7 ) cos(7 ) cos(7 )]7Vcca (4-7)
9 1 2 3 42 [cos(9 ) cos(9 ) cos(9 ) cos(9 )]9Vcca (4-8)
Resolviendo el sistema de ecuaciones se determina los valores de
1 0.9 , 2 24.9 , 3 35.1 y 4 60.9 . De la ecuación (4-2) se puede
obtener la distorsión armónica total THD = 11.69%.
4.6 DISTRIBUCIÓN POR COMPARACIÓN CON ONDA SINUSOIDAL
Para una forma de onda con nueve niveles. De esta forma los ángulos se
pueden calcular como:
1 11 sin 7.28
1 32 sin 228
1 53 sin 38.78
1 74 sin 618
De la ecuación (4-2) se puede obtener la distorsión armónica total
THD = 9.46%.
4.7 DISTRIBUCIÓN SIMÉTRICA DE LOS PULSOS
Se puede encontrar de una manera más sencilla una distribución
simétrica de los ángulos de disparo. Por simple inspección es posible determinar
que si se divide al periodo de la onda fundamental por un múltiplo de 6 se
encuentran ángulos que generan una forma de onda con bajo contenido
armónico. Para el caso de nueve niveles el ángulo óptimo es 1801 7.524
,
2 3 1 22.5 , 3 5 1 37.5 y 4 7 1 52.5 . En este caso la
distorsión armónica total es de THD=9.41%.
4.8 COMPARACIÓN ENTRE EL ESPECTRO ARMÓNICO CALCULADOTEÓRICAMENTE Y LA FUNCIÓN FFT INCORPORADA EN ELPROGRAMA COMPUTACIONAL PSIM4.1
Al simular el circuito, con los ángulos obtenidos en la sección 4.4
1 6.8 , 2 20.8 , 3 36.2 y 4 55.8 , los cuales producen la mínima
distorsión armónica THD para el circuito inversor de nueve niveles con
modulación por pulso único, donde se obtendrá el espectro armónico del circuito
simulado, la cual será comparada con el análisis armónico obtenido de la
ecuación (4-9).
En la figura 4-7 se puede apreciar el espectro armónico de los datos
obtenidos en el PSIM.
De la siguiente ecuación (4-1) se puede obtener los voltajes en la salida
Van, para los distintos valores de armónicos en por unidad:
cos( 1) cos( 2) cos( 3) cos( 4)
( )cos( 1) cos( 2) cos( 3) cos( 4)
n n n nnC n (4-9)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
N
100%
Figura 4-7 Gráfica del espectro armónico simulado en PSIM de la Tensión deSalida del inversor de 9 niveles pulso único.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
N
100%
Figura 4-8 Gráfica de Espectro Armónico Calculado en la ecuación (4-9)
4.9 ESPECTRO DE FRECUENCIAS DE LA TENSIÓN DE SALIDA PARAINVERSOR NPC TRIFÁSICO DE NUEVE NIVELES CON MODULACIÓNPULSO ÚNICO
Si se conectan tres inversores NPC monofásicos cada uno desfasado en
120º con respecto al otro en disposición estrella, entonces se obtiene un inversor
NPC trifásico de nueve niveles, el cual se presenta el la figura 4-9. Al punto
común de los inversores se denominará ‘o’, mientras que el punto común de la
conexión estrella de la carga se denominará ‘n’. A los puntos de conexión entre
cada inversor monofásico y la carga se le llamará ‘u’, ‘v’ y ‘w’.
Para determinar las formas de onda de las tensiones de fase y línea, se
analizará el circuito equivalente presentado en la figura 1-13. Para el análisis se
considerará que la carga es balanceada y que los interruptores son ideales.
De la figura 1-13 se pueden obtener las ecuaciones de las tensiones de
fase del inversor trifásico en función de las tensiones de los terminales de cada
inversor monofásico la cuales fueron obtenidas en la ecuación (4.2).
( ) ( ) ( ) ( )Vun t Vvn t Vuo t Vvo t (4-10)
( ) ( ) ( ) ( )Vvn t Vwn t Vvo t Vwo t (4-11)
( ) ( ) ( ) 0Vun t Vvn t Vwn t (4-12)
Representado en forma matricial:
1 1 0 ( ) ( ) ( )0 1 1 ( ) ( ) ( )1 1 1 ( ) 0
Vun t Vuo t Vvo tVvn t Vvo t Vwo tVwn t
(4-13)
Resolviendo la ecuación (4-13) para las tensiones de fase se tiene:
1( ) (2 ( ) ( ) ( ))3
Vun t Vuo t Vvo t Vwo t (4-14)
1( ) ( ( ) 2 ( ) ( ))3
Vvn t Vuo t Vvo t Vwo t (4-15)
1( ) ( ( ) ( ) 2 ( ))3
Vwn t Vuo t Vvo t Vwo t (4-16)
Las tensiones de línea del inversor trifásico se obtienen por inspección de
la figura 1-13:
d ( ) ( ) ( )Vuv t Vuo t Vvo t (4-17)
( ) ( ) ( )Vuw t Vuo t Vwo t (4-18)
( ) ( ) ( )Vvw t Vvo t Vwo t (4-19)
18
Vcc
18
Vcc
18
Vcc
18
Vcc
18
Vcc
18
Vcc
18
Vcc
18
Vcc
n
7D
1D
2D
3D
4D
5D
6D
1'D
2 'D
3'D
4 'D
5'D
6 'D
7 'D
18
Vcc
18
Vcc
18
Vcc
18
Vcc
18
Vcc
18
Vcc
18
Vcc
18
Vcc
7D
1D
2D
3D
4D
5D
6D
1'D
2 'D
3'D
4 'D
5'D
6 'D
7 'D
18
Vcc
18
Vcc
18
Vcc
18
Vcc
18
Vcc
18
Vcc
18
Vcc
18
Vcc
7D
1D
2D
3D
4D
5D
6D
1'D
2 'D
3'D
4 'D
5'D
6 'D
7 'D
Figura 4-9 Circuito inversor NPC de nueve niveles trifásico.
De la ecuación (4-2) se entrega la ecuación de la forma de onda para un
inversor NPC de siete niveles monofásico:
,
2( ) cos( 1) cos( 2) cos( 3) ( )n impar
VccVuo t n n n sen n t (4-20)
,
2 2( ) cos( 1) cos( 2) cos( 3) ( ( ))3n impar
VccVvo t n n n sen n t (4-21)
,
2 2( ) cos( 1) cos( 2) cos( 3) ( ( ))3n impar
VccVwo t n n n sen n t (4-22)
En la ecuación (4-14) se presenta la forma de onda de fase teóricas del
inversor NPC trifásico:
,
22 cos( 1) cos( 2) cos( 3) 1 cos ( )32( )
3 n impar
nn n n sen n tVccVun t
n (4-23)
0 50 100 150 200 250 300 350
600
400
200
200
400
600
Vun x( )
x360
2
Figura 4-10 Formas de onda de la tensión de fase del inversor NPC trifásico.
Se observa en la figura 4-10 que la tensión de fase del inversor trifásico
posee 21 niveles de tensión.
Las formas de onda de las otras tensiones de fase son análogas a la
anterior, pero desfasado en 120º. A continuación se presentan las ecuaciones
que definen las otras formas de onda de las tensiones de fase.
,
2 22 cos( 1) cos( 2) cos( 3) cos( 4) 1 cos ( ( ))3 32( )
n impar
nn n n n sen n tVccVvn t
n (4-24)
,
2 22 cos( 1) cos( 2) cos( 3) cos( 4) 1 cos ( ( ))3 32( )
n impar
nn n n n sen n tVccVwn t
n (4-25)
De la ecuación (4-17) se obtiene la forma de onda de las tensiones de
líneas del inversor trifásico:
2 2
,
2cos( )2 2 3cos( 1) cos( 2) cos( 3) cos( 4) (1 cos( ) ( ) sin tan( )23 3 ( )2 3( )n impar
nn n n n n sen n n t a
sen nVccVuv tn
(4-26)
Las otras tensiones de línea se pueden obtener desfasando en 120º la
ecuación (4-26). En la figura 4-11 se presenta gráficamente las formas de onda
de la tensión de línea del inversor trifásico, donde se puede apreciar que la
tensión de línea presenta 17 niveles:
0 50 100 150 200 250 300 350
500
500
Vuv x( )
x3602
Figura 4-11 Formas de onda de la tensión de línea del inversor NPC trifásico.
4.10 ESPECTRO ARMÓNICO DEL INVERSOR TRIFÁSICOS COMPUESTOPOR INVERSORES MONOFASICOS DE 9 NIVELES.
Una vez obtenidas las ecuaciones que rigen la forma de onda de las
tensiones de fase y de línea, y según la ecuación (4-24) se puede obtener la
distorsión armónica total de las tensiones de fase:2
1,
2cos( 1) cos( 2) cos( 3) cos( 4) (1 cos( )3
( 1, 2, 3, 4)2cos( 1) cos( 2) cos( 3) cos( 4) (1 cos( 1)3
n impar
n n n n n
nTHD(4-27)
Del mismo modo, la distorsión armónica total para las tensiones de línea
viene dado por la ecuación (4-26):2
2 2
2 21,
2 2cos( 1) cos( 2) cos( 3) cos( 4) (1 cos( ) ( )3 3
( 1, 2, 3, 4)2 2cos( 1) cos( 2) cos( 3) cos( 4) (1 cos( 1) ( 1)3 3
n imp
n n n n n sen n
nTHD
senar
(4-28)
4.11 MÍNIMA DISTORSIÓN ARMÓNICA PARA INVERSOR TRIFÁSICO.
La distorsión armónica THD queda en función de 1 , 2 , 3 y 4 por lo
que se puede realizar una gráfica de la distorsión armónica total v/s el ángulo de
disparo de los interruptores. Esto se realizará para las tensiones de fase y línea,
y se comparará con las obtenidas para un inversor NPC monofásico de 9
niveles.
De la ecuación (4-28) se grafica THD en función de 1 , donde
gráficamente se puede apreciar el ángulo que produce la mínima distorsión
armónica para las tensiones de fase:
0 20 40 60 800
10
20
30
40
5050
0
THD 112.6
180
25.5
180
40.1
180
9001
180
4.14
Figura 4-12 Formas de onda de THD v/s 1 tensión de fase.
0 20 40 60 800
10
20
30
40
5050
0
THD4.14
1802
25.5
180
40.1
180
9002
180
12.6
Figura 4-13 Formas de onda de THD v/s 2 tensión de fase.
De la figura 4-12 se puede obtener el ángulo que produce la mínima
distorsión armónica para las tensiones de fase 1 4.14º . De esta misma forma
gráfica se utiliza para encontrar 2 .
De la figura 4-13 se puede obtener el ángulo que produce la mínima
distorsión armónica para las tensiones de fase 2 12.6º .
De la figura 4-14 se puede obtener el ángulo que produce la mínima
distorsión armónica para las tensiones de fase 3 25.5º .
0 20 40 60 800
10
20
30
40
5050
0
THD4.14
180
12.6
1803
40.1
180
9003
180
25.5
Figura 4-14 Formas de onda de THD v/s 3 tensión de fase.
0 20 40 60 800
10
20
30
40
5050
0
THD4.14
18012.6
18025.5
1804
9004
180
40.1
Figura 4-15 Formas de onda de THD v/s 4 tensión de fase.
De la figura 4-15 se puede obtener el ángulo que produce la mínima
distorsión armónica para las tensiones de fase 4 40.1º .
Como en los capítulos anteriores la tensión de línea y la de fase
presentan el mismo espectro armónico, en el caso de los inversores trifásicos
sucede lo mismo, por lo tanto el espectro y la distorsión armónica total
presentado a continuación son iguales en ambos casos.
De la figura 4-12, 4-13 , 4-14 y 4-15 se puede obtener el ángulo que
produce la mínima distorsión armónica, 1 4.14º , 2 12.6º , 3 25.5º y
4 40.1º lo que produce una distorsión armónica total del 5%.
De lo anterior se puede concluir que el ángulo de disparo que produce la
mínima distorsión armónica para un inversor NPC monofásico de nueve niveles
es distinto al ángulo de disparo que produce la mínima THD para un inversor
NPC trifásico compuesto por 3 inversores NPC monofásicos de 9 niveles.
4.12 ESPECTRO ARMÓNICO PARA INVERSOR NPC TRIFÁSICO.
De la ecuación (4-29) y (4-30) se puede graficar el espectro armónico de
las tensiones de fase y línea del inversor NPC trifásico. A continuación se
presentan las gráficas en por unidad.
22 cos( 4.1 ) cos( 12.6 ) cos( 25.5 ) cos( 40.1 ) 1 cos180 180 180 180 3
2( )22 cos(4.1 ) cos(12.6 ) cos(25.5 ) cos(40.1 ) 1 cos
180 180 180 180 3
nn n n n
nC n Vcc
(4-29)
2 22 2cos( 4.1 ) cos( 12.6 ) cos( 25.5 ) cos( 40.1 ) (1 cos( ) ( )180 180 180 180 3 3
2( )
cos(4.1 ) cos(12.6 ) cos(25.5 ) cos(40.1 ) (1 cos(180 180 180 180
n n n n n sen n
nC n Vcc2 22 21) ( 1)
3 3sen
(4-30)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
N
100%
Figura 4-16 Espectro armónico de la tensión de fase y línea con 1 4.14º ,2 12.6º , 3 25.5ºy 4 40.1º .
4.13 COMPARACIÓN ENTRE EL ESPECTRO ARMÓNICO CALCULADOTEÓRICAMENTE Y LA FUNCIÓN FFT INCORPORADA EN ELPROGRAMA COMPUTACIONAL PSIM4.1
Al simular el circuito, con los ángulos obtenidos en la sección 4.11
1 4.14º , 2 12.6º , 3 25.5º y 4 40.1º , los cuales producen la mínima
distorsión armónica THD para el circuito inversor trifásico de nueve niveles con
modulación por pulso único, se puede obtener el espectro armónico de la tensión
de salida del circuito simulado, este espectro esta dado en por unidad sobre el
valor de la tensión de salida fundamental, la cual será comparada con el análisis
armónico obtenido de la ecuación (4-29) y (4-30).
En la figura 4-17 se puede apreciar el espectro armónico de los datos
obtenidos en el PSIM.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
N
100%
Figura 4-17 Gráfica de FFT en PSIM de la tensión de salida Fase y Línea delinversor de trifásico compuesto por inversor NPC de nueve niveles pulso único.
CONCLUSIÓN
Al final de este trabajo se puede concluir que para las formas de onda con
mayor número de niveles, la distorsión armónica total THD es menor que para
aquellas formas de ondas con menor nivel de tensión, debido a que la forma de
onda se asemeja más al formato de una sinusoidal. Además el número de
armónicas que pueden ser eliminadas en forma selectiva es igual al número de
niveles sobre cero.
Para los inversores multinivel con modulación por pulso único de tres
niveles, la elección del ángulo de disparo que producen la mínima distorsión
armónica, se puede realizar en forma analítica, pero para los inversores de
mayor nivel esta elección se puede complicar, por ello se planteo la solución de
parametrizar las ecuaciones en forma gráfica y así obtener los ángulos que
provoquen la mínima THD de una forma sencilla.
Los otros métodos como la distribución simétrica de pulsos y la
eliminación selectiva de armónicos, son bastantes sencillos de utilizar y el mayor
error que se puede producir con respecto a la mínima THD que se puede lograr
es del 7%, por lo que son métodos bastantes aceptables por su sencillez y
aproximación.
En la configuración de inversores trifásicos compuesto por tres inversores
monofásico, se puede concluir que la distorsión armónica total THD para las
tensiones de fase y de línea-línea, son iguales esto debido a que la cálculo de la
THD es un valor en por unidad, siendo el valor base la tensión de salida del
espectro fundamental, ya que las tensiones de de línea-línea esta desfasada y
multiplicada por 3 . Del mismo modo la forma del espectro de las tensiones de
fase y línea-línea son iguales, pero diferentes en magnitud.
BIBLIOGRAFÍA
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[11] "A Generalized Multilevel Inverter Topology with Self Voltage Balancing".Fang Zheng Peng. IEEE Transactions on Industry Applications, vol. 37, N°2, march/april 2001.
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