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Concreto reforzadoConcreto reforzado

Parte de la Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras de

Concreto

Cálculo de Viviendas de Mampostería

Elaboró: M. I. Wiliams de la Cruz Rodríguez

E-Mail: albasusy@avantel.net

Diseño por resistencia últimaDiseño por resistencia última

Criterio básicoRFSF Rc ≤

Fc Factor de cargaS AccionesFR Factor de reducción de

resistenciaR Resistencia nominal

AccionesAcciones

Acciones permanentes:Cargas muertas

Acciones variables:Cargas vivas

Acciones accidentales:SismosViento

Factores de cargaFactores de carga

1.4 Acciones permanentes con acciones variables

1.5 Acciones permanentes y acciones variablesy en en casos de aglomeración depersonas

1.1 Acciones permanentes, acciones variables y acciones accidentales

Factores de reducción de resistencia, Factores de reducción de resistencia, FFRR

FR=0.90 FlexiónFR=0.80 CortanteFR=0.80 Flexocompresión cuando el

elemento esté confinado adecuadamente con hélices o estribos. También cuando el elemento falle en tensión

FR=0.70 Flexocompresión si el núcleo no está confinado y la falla es en compresión

( )qqfbdM cr 50.01''2 −=( )qqfbdFM

cRR50.01''2 −=

ConcretoConcreto

Clase 1: 2' /250 cmKgfc ≥

3/2.2 mTonc >γ

'5.1 ct ff =

'2 cf ff =

'14000 cc fE =

ConcretoConcreto

Clase 2:

33 /2.2/9.1 mTonmTon c ≤≤ γ

'2.1 ct ff =

'4.1 cf ff =

'8000 cc fE =

2' /250 cmKgfc <

HipótesisHipótesis

Secciones de cualquier forma

Distribución lineal de las deformaciones

Adherencia perfecta entre el concreto y el acero

Se desprecia la resistencia a tensión del concreto

La deformación última a compresión del concreto se supondrá igual a 0.003

Se acepta una distribución de esfuerzos en el concreto como se indica en la figura siguiente:

( )qqfbdFMcRR

50.01''2 −=

Distribución de esfuerzos en el Distribución de esfuerzos en el concretoconcreto

80.01=β

40.02=β

Límites del refuerzo. VigasLímites del refuerzo. Vigas

y

cmín f

fp

'70.0=

sismosin ,6000

4800''

+==

yy

cbmáx ff

fpp

+=

60004800''

yy

cb ff

fp

*'' 85.0 cc ff =

'* 80.0 cc ff =

**

''

125005.1 c

cc fff

−=

2* /250 cmKgfc ≤

2* /250 cmKgfc >

'cf Resistencia a compresión del concreto

sismocon 6000

480075.0''

+==

yy

cbmáx ff

fpp

FlexiónFlexión

( )qqfbdFMcRR

50.01''2 −=

''2

cR

u

fbdFMQ =

Qq 211 −−=

y

c

ffqp

''

=

pbdAs=

Vigas rectangulares simplemente armadas

Mu =12235 80 Kg-cm

fc’ = 250 Kg/cm2

f y= 4200Kg / cm2

b = 30cm

h = 40cm

r =2cm

Flexión, ejemploFlexión, ejemplo

Constantes

f f Kg / cmc*

c' 2= =0 80 200. f f Kg / cmc

''c* 2= =0 85 170.

Refuerzo mínimo

pf

fminc'

y=07.

p250

4200min = =07

0 0026.

.

Refuerzo máximo para elemento que resistirá fuerzas sísmicas

p pff fmax b

c''

y y= =

+

0 75 0 75

48006000

. .

p1704200 4200max = +

=075

48006000

0 0143. .

Flexión, ejemploFlexión, ejemplo

Refuerzo por flexión

Q =M

F bd fu

R2

c'' ( )( ) ( )Q =

12235800.90 30 36 41 170

020112..=

q = 1- 1- 2Q ( )q=1- 1- 2 0.2011 = 02268.

p =qff

c''

y

( )p =

0.2268 1704200

= 0 0092.

A pbds = ( )( )A 0.0092 30 cms2= =36 41 10 05. .

NAAnum vars.

s

v= N

10.051.98

Vsnum vars. = = 5 07.

( )( ) 0091.0

41.3630598.1

==dadop

Flexión, ejemploFlexión, ejemplo

4 Vs ° 3/8"

5 Vs ° 5/8"

30 cm

40 c

m

36.4

1 cm

SECCION

4 Vs ° 3/8"

5 Vs ° 5/8"

Cortante en vigasCortante en vigas

01.0<dadop ( )( )bdfpFV cRcR*3020.0 +=

01.0≥dadop ( )bdfFV cRcR*50.0=

Estas fórmulas se aplican en vigas en que la relación claro a peralte total no sea menor que 5. Se debe cumplir que L/h > 5.

Las resistencias calculadas se reducen un 30% si h > 70 cm

Se reducen otro 30% si (h/b) > 6dadop Porcentaje de refuerzo por flexión dado

Cortante en vigasCortante en vigas

Cuando L/h < 4 ( )bdfFVdMV cRcR

*50.05.25.3

−=

no mayor que ( )bdfFV cRcR*50.1=

La separación de los estribos se calcula con la fórmula:

( ) bfAF

VVdfAF

s yvR

cRu

yvR

5.3≤

−=

La separación s, no será menor de 5 cm

además las cargas y reacciones comprimen directamente las caras superior e inferior de la viga

M y V Momento flexionante y fuerza cortante en la sección considerada

Cortante en Vigas, separaciones Cortante en Vigas, separaciones máximas de los estribosmáximas de los estribos

( ) bfAF

VVdfAF

s yvR

cRu

yvR

5.3≤

−=

*5.1 cRucR fbdFVV ≤<Cuando2dsmáx =

*5.1 cRu fbdFV >Cuando4dsmáx =

*0.2 cRu fbdFV >Cuando Cambiar la sección

Longitudes de desarrollo del refuerzoLongitudes de desarrollo del refuerzo

Longitud de desarrollo básica, varillas en tensión

ybc

yvdb fd

f

fA006.0

06.0'

≥=l

Longitud de desarrollo

( ) cmf dbd 30mod ≥= ll

Longitudes de desarrollo del refuerzoLongitudes de desarrollo del refuerzo

1.21.2Barras mayores que la #6

22--(4200/f(4200/fyy))Barras con fy > de 4200 Kg/cm2

1.331.33En concreto ligero

1.41.4Barras horizontales o inclinadas colocadas de manera que bajo de ellas se cuelen más de 30 cm de concreto

FactorFactorCondición de refuerzoCondición de refuerzo

modfFactor de modificación

Ganchos estándarGanchos estándar

'

076.0

c

ybdh

f

fd≥l

cmdh 15≥l

bdh d8≥l

La longitud de desarrollo para varillas en compresión será el 60% de las varillas en tensión y en ningún caso será menor de 20 cm

Varillas en compresión

Control de agrietamientoControl de agrietamiento

Cuando fy > 3000 Kg/cm2, las secciones de máximo momento positivos y negativos se dimensionarán de manera de cumplir con la ecuación:

cmKgAdfZ cs /400003 ≤=

fs Esfuerzo en el acero 0.60fydc Recubrimiento del concreto medido desde la fibra

extrema en tensión del concreto al centro de la barra más próxima ella

A Area del concreto a tensión que rodea al acero de refuerzo en tensión y que tiene el mismo centroide del acero de refuerzo dividida entre el número de varillas

Control de agrietamientoControl de agrietamiento

Recubrimiento del refuerzoRecubrimiento del refuerzo

El recubrimiento libre de toda barra de refuerzo no será menor que un diámetro de la barra ni menor que:

3.00 cm3.00 cmColados en contacto con el suelo Colados en contacto con el suelo con plantillacon plantilla

5.00 cm5.00 cmColados en contacto con el suelo sin Colados en contacto con el suelo sin plantillaplantilla

1.50 cm1.50 cmLosasLosas

2.00 cm2.00 cmColumnas y trabesColumnas y trabes

Recubrimiento libreRecubrimiento libreTipo de elementoTipo de elemento

Separación entre barrasSeparación entre barras

1.5 veces el diámetro de la varilla ó 1.5 1.5 veces el diámetro de la varilla ó 1.5 veces el tamaño máximo del agregado ó veces el tamaño máximo del agregado ó 4.0 centímetros4.0 centímetros

ColumnasColumnas

Un diámetro de la varilla ó 1.5 veces el Un diámetro de la varilla ó 1.5 veces el tamaño máximo del agregadotamaño máximo del agregado

VigasVigas

Separación libre, xSeparación libre, xTipo de Tipo de elementoelemento

Si el refuerzo vertical se coloca en dos o más capas la distancia vertical libre entre las capas no será menor de un diámetro de la varilla ni menor de 2.00 cm

Traslapes de varillasTraslapes de varillas

No menor queNo menor quelld , d , para barras a compresiónpara barras a compresiónNi menor queNi menor que(0.01f(0.01fyy--10)d10)dbb

Varillas a compresiónVarillas a compresión

No menor queNo menor que1.331.33lldd

Ni menor queNi menor que(0.01f(0.01fyy--6)d6)dbb

Varillas a tensiónVarillas a tensión

TraslapeTraslapeTipo de varillaTipo de varilla

ColumnasColumnas

h

b

4≤bh

cmb 20≥

Porcentaje de refuerzo

ymín f

p 20= 06.0=máxp

Varillas mínimas

6.06.0Columnas Columnas circularescirculares

4.04.0Columnas Columnas cuadradascuadradas

Varillas Varillas mínimasmínimas

ElementoElemento

Separación de estribos, escoger el menor de los valores dados por:

b

y

df

850 ( )ed48

b

21

db, diámetro de la varilla longitudinal

de, diámetro del estribo

b menor dimensión de la columna

Columnas, detalles de estribosColumnas, detalles de estribos

Cerca de los extremos superior e inferior de la columna la separación de los estribos se reducirá a la mitad de la separación calculada en la mayor de las distancias dadas a continuación:

No menor que h

No menor que

No menor que 60cm

H61

Columnas, detalles de estribosColumnas, detalles de estribos

Cada barra de esquina y una de cada dos consecutivas tendrán soporte lateral suministrado por el doblez de un estribo con un ángulo interno no mayor que 135°

Ninguna barra que no tenga soporte lateral estará de otro con soporte lateral a más de 15 cm

Columnas, carga axialColumnas, carga axial

En columnas sometidas a compresión pura, la resistencia a carga axial se calcula con la ecuación:

yscgro fAfAP += ''

'* 80.0 cc ff = *'' 85.0 cc ff = 2* /250 cmKgfc ≤

**

''

125005.1 c

cc fff

−= 2* /250 cmKgfc >

2' /250 cmKgfc =

[ ]yscgRRO fAfAFP += ''

Columnas con hélicesColumnas con hélices

y

c

c

ges f

fAA

sdAp

'

145.04

−≥=

El porcentaje de refuerzo helicoidal se calcula con:

y

cs f

fp'

12.0≥

( )yscgRRO fAfAFP += ''

FR = 0.80 Confinado con hélices y falla en tensión

FR = 0.70 No confinado falla en compresión

Columnas con hélicesColumnas con hélices

Las hélices deben anclarse en sus extremos mediante 2.5 vueltas

El esfuerzo de fluencia de la hélice no debe ser superior a fy = 4200Kg/cm2

La separación libre máxima no debe exceder de 7.0 cm

La separación libre mínima se limita a 1.5 veces el tamaño máximo del agregado o a 2.5 centímetros

Los traslapes de la hélice tendrán 1.5 vueltas

Columnas con carga axial y flexión en Columnas con carga axial y flexión en una direcciónuna dirección

Se pueden construir diagramas de interacción para columnas con carga axial y flexión en una dirección.

En el caso de viviendas no es común que se tengan columnas con flexión en dos direcciones y columnas con efectos de esbeltez.

Las columnas se diseñan para una combinación de carga axial y momento, ambos factorizado:

uP uMSe debe diseñar con una excentricidad mínima, dada por

cmhemín 0.205.0 ≥=h, dimensión de la columna en la dirección de la flexión

Diagramas de interacciónDiagramas de interacción

DIMENSIONAMIENTO DE UNA COLUMNA DIMENSIONAMIENTO DE UNA COLUMNA CONSIDERANDO EL EFECTO DE UNA FUERZA CONSIDERANDO EL EFECTO DE UNA FUERZA CORTANTE.CORTANTE.

DATOS:

4.00

pU = 120 TON.

120

30 ton-m

20 ton-m

20ton-m

30

Mu

12.5 ton

Vu

Acciones internas

2/250´: cmkgcfConcreto =

Refuerzo en dos caras

Recubrimiento al centro de las barras : r = 5cm.

Reglamento : NTC-87

Determinar la sección y el refuerzo teniendo en cuenta la influencia de la fuerza cortante. Detallar los estribos.

MaterialesMateriales

2/4200: cmkgfAcero y =

DATOS PARA EL CALCULODATOS PARA EL CALCULO

( ) 2'* /20025080.080.0 cmkgfcf c ===

( ) 2*" /17020085.085.0 cmkgcfcf ===

DIMENSIONAMIENTO POR FLEXOCOMPRESIÓN

Suponer : b = 30cm; h = 45 cm; d = 40 cm.

∴== 89.04540

hd

Usamos la figura C.2 del apéndice C.

Auxiliares para el diseñoAuxiliares para el diseño

( )( )( )

( )( ) ( )41.0

170453070.01030

75.0170453070.0

12000

2

5

"2

"

===

===

xcfbhF

MR

cbhfFpK

R

u

R

u

q = 0.90 0364.0420017090.0"

===yfcfqρ

21.4945300364.0 cmxxAs ==

Usar 6 barras del No. 11 = 57.5cm 2 > 49.1cm2

Uso de diagramas de interacciónUso de diagramas de interacción

211# 58.9 cmAv =

Considerar estribos del numero 3

( ) ( )( )

( ) cmf

d

cmMenorcmd

y

b

e

90.454200

5.3850850

152

302

dimensión 60.4595.04848

==

==

==

Separación estribos máxima = 15cm.

Cálculo del refuerzo transversalCálculo del refuerzo transversal

Sección de 30 x 45 cm.

6 Barras del No. 11

Estribos del # 3 @ 15cm

En porción central, 9 @

7.5 cm. En los extremos.

67.666

4006columnas de

.60.45 mayor

==

==

Alturacm

cmhDimensión La longitud en que debe mantenerse la separación de 7.5 cm debe ser igual o superior a 67 cm

ResultadosResultados

( )( )( ) ( )5.57200045302007.020007.0 * +=+ SSc AAf

KgPKg U 12000304000 =>=

bdcompresióndecaraAS ) (

=ρ

01.0024.0403074.28

>==x

+=∴

g

UcRCR A

PfbdFV 07.015.0 *

Considerando la carga axial en la Considerando la carga axial en la resistencia a cortanteresistencia a cortante

( )( )( ) Kgx

00.110124530

120000007.0120040308.05.0 =

+=

( )( )( )( )( ) cm

VVdfAFs

CRU

YVR 26.128)1101212500(40420071.028.0 =

−==

−

( )( )( )( ) .20

244.45

305.3420071.028.0

5.326.128 cmd

bfAF

s yVR =>==>=

Refuerzo transversal adoptado:

En los extremos: 9 estribos del No. 3 @ 7.5cm, que abarcan un tramo superior al mínimo especificado de 67 cm.

En la porción central: Estribos del No. 3 @ 15 com por los requisitos de separación maxima.

Separación del refuerzoSeparación del refuerzo

Dimensionamiento de una columna de Dimensionamiento de una columna de sección rectangular, con helicessección rectangular, con helices

Cargas

Las cargas dadas son a nivel de servicio

a) Condición de carga muerta más carga viva

P = 150 ton.

Mx = 15 ton-m

My = 3 tom-m

Barra propuesta No.8Zuncho No. 3

P = 130 ton.

Mx = 35 ton-m

My = 12 ton-m

Materiales

2

2'

/4200:

/300:

cmKgfAcero

cmKgfConcreto

y

c

=

=

Tamaño maximo del agregado =2.5cm.

Recubrimiento libre : 3cm.

Condición de carga muerta más carga Condición de carga muerta más carga viva más sismoviva más sismo

Se pide : Determinar la sección y el refuerzo usando las graficas del apéndice

Detallar el zuncho.

Datos para el cálculo

2*''

2'*

/00.20485.0

/00.2403008.08.0

cmkgff

cmkgxff

cc

cc

==

===

Estimamos el recubrimiento r

cmcmr 5.527.527.113 ≈=++=

Cálculos preliminaresCálculos preliminares

Suma vectorial de momentos

a) Condición de carga muerta más carga viva

mtonyMxMM −=+=+= 3.15315 2222

b) Condición carga muerta más carga viva más sismo

mtonM −=+= 0.371235 22

Resistencias de diseño (carga última)

a) Condición de carga muerta más carga viva

( )( )

me

mtonMFMtonPFP

cU

cU

10.000.210

42.2142.213.154.1

00.2101504.1

==

−======

Resistencias requeridasResistencias requeridas

b) Condición carga muerta más carga viva más sismo

( )( )

me

mtonMtonP

U

U

28.0143

7.407.40371.1

1431301.1

==

−====

DIMENSIONAMIENTO SECCIÓN Y REFUERZO PRINCIPAL

Diametro supuesto : 55 cm.

d =D – 2r =55 – 2 x 5.5 = 44.00cm.

d/D = 44 / 55 = 0.8 Usar figura C.11

Resistencias requeridasResistencias requeridas

a) Condición de carga muerta más carga viva

e/D = 0.10 / 0.55 = 0.18

( )( ) 42.02045580.0

2100002''2 ===

cR

u

fDFPK

q = 0.2

b) Condición carga muerta más carga viva más sismo

e/D = 0.28 / 0.55 = 0.51

29.02045580.0

1430002 ==xx

Kq = 0.4 (rige)

Combinación críticaCombinación crítica

Auxiliares para el diseñoAuxiliares para el diseño

0019.042002044.0

''

===y

c

ffqρ

( )( ) 222

14.454

55019.04

mcDAs =Π

=Π

= ρ

Usar 9 barras del No. 8

Dimensionamiento de la hélice

y

c

y

c

c

gS f

fff

AA ''

12.0145.0 ≥

−=ρ

28# 07.5 cmAv =

Cálculo del refuerzo y héliceCálculo del refuerzo y hélice

( ) [ ] 26.1655

55)32( 2

2

2

2

=−

=−

=

D

DAA

c

g

Recubrimiento libre

0084.00086.0420030012.012.0

0084.04200300)126.1(45.0145.0

'

'

>==

=−==

−

y

c

y

c

c

g

ff

ff

AA

0086.0=∴ sρ

s

es sd

A4=ρ

(ds= diámetro del núcleo centro a centro de la hélice. Ae= área del zuncho)

Porcentaje de refuerzo de la hélicePorcentaje de refuerzo de la hélice

ss

e

dAs

ρ4

=

Para zuncho o hélice del No. 3:

cmxs 5.6)455(0086.0

71.04=

−=

Separación libre máxima = 7 cm.

Separación libre mínima = 1.5 x 2.5 = 4 cm. < 5cm.

Tamaño máximo del agregado

Separación de la héliceSeparación de la hélice

9 Barras del No. 8

Zuncho del No. 3 con un paso s = 6.5 cm

ResultadoResultado

D=55cm