para una distribución de probabilidad binomial

Formula de probabilidades

Para una distribución de probabilidad binomial, deben darse las siguientes condiciones

En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso "éxito" y su contrario el suceso

"fracaso".

El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos

anteriormente, esto es que el valor de la probabilidad de cada prueba no se afecta por pruebas anteriores,

ni afecta pruebas futuras.

La probabilidad del suceso "éxito" es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra.

La probabilidad de el suceso "fracaso" es 1- p y la representamos por q .

El experimento consta de un número n de pruebas.

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Formula de probabilidades

De las "n" pruebas, calculamos la probabilidad de "k" éxitos

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Formula de probabilidades

Formula de probabilidades

Para la probabilidad acumulada en la distribución binomial, tenemos que:

Esto significa que la suma de las probabilidades desde cero hasta "n" es igual a uno.

Podemos verlo tambien como:

Por ejemplo, si n = 10 entonces:

Seguimos con n = 10 y tenemos que:

Formula de probabilidades

Otro ejemplo de probabilidad binomial acumulada:

Formula de probabilidades

Otro ejemplo:

Tambien:

Formula de probabilidades

Formula de probabilidades

Parámetros de la distribución binomial, la media y la desviación estándar.

Ejemplos.

Consideremos el siguiente juego, la apuesta a un número al arrojar un dado.

Consideraremos un "éxito" si sale el número que eligimos, y un "fracaso" si

sale otro número.

Tenemos que:

p = 1/6

q = 1-p = 5/6

Si hacemos una sola prueba donde P(k) es la probabilidad de k exitos.

tenemos que:

n = 1

P(0) = q = 5/6

P(1) = p = 1/6

Si hacemos dos pruebas, encontraremos lo siguiente:

n = 2

Primera prueba

Segunda prueba Descripción

Número de éxitos

Probabilidad primera prueba

Probabilidad segunda prueba

Probabilidad de las dos pruebas

q q Pierde las dos pruebas

0   5/6

  5/6

  25/36

p qGana la primera y pierde la segunda

1 

1/6 

5/6 

5/36

q p Pierde la 1      

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Formula de probabilidades

primera y gana la segunda

5/6 1/6 5/36

p p Gana las dos pruebas

2   1/6

  1/6

  1/36

Tendremos cuatro diferentes formas de obtener resultados, estas cuatro formas las vemos en la columna "descripción"

de la tabla anterior.

La probabilidad para cada resultado, se calcula multiplicando las probabilidades del resultado de cada prueba, dado que

estas son independientes.

El número de "éxitos" lo hacemos contando las "p" de cada línea.

Así podemos calcular la probabilidad desde cero hasta 2 éxitos.

Observa que para la P(1) sumamos dos veces cinco sextos que se encuentran

en los renglones verdes de la tabla anterior.

Los resultados en la siguiente tabla.

P(0)=25/36

P(1)= 2(5/36)=10/36=5/18

P(2)= 1/36

Podemos poner la probabilidad en decimales.

P(0)=25/36 = 0.694444444

P(1)= 5/18 = 0.277777777

P(2)= 1/36 = 0.02777777

Y hacemos su gráfica:

Formula de probabilidades

Ahora calcularemos lo mismo con la fórmula de distribución binomial.

Sustituimos con n = 2 y k = 0:

2! entre 2! es igual a uno.

Por definición 0! es igual a uno

Formula de probabilidades

1/6 elevado a la cero es uno.

Sustituimos con n = 2 y k = 1:

Formula de probabilidades

Sustituimos con n = 2 y k = 2:

Formula de probabilidades

Que son los mismos valores que obtuvimos de las tablas.

Ahora veamos que pasa si hacemos tres pruebas con el mismo ejemplo de apostar a un número de un dado.

Primera Segunda Tercera Pruebas Probabilidad Probabilidad Probabilidad Probabilidad

Formula de probabilidades

prueba prueba prueba ganadas primera prueba

segunda prueba

tercera prueba

de las tres pruebas

q q q 0   5/6

  5/6

  5/6

  125/216

q q p 1   5/6

  5/6

  1/6

  25/216

q p q 1   5/6

  1/6

  5/6

  25/216

q p p 2   5/6

  1/6

  1/6

  5/216

p q q 1   1/6

  5/6

  5/6

  25/216

p q p 2   1/6

  5/6

  1/6

  5/216

p p q 2   1/6

  1/6

  5/6

  5/216

p p p 3   1/6

  1/6

  1/6

  1/216

Calculamos los valores de las probabilidades desde cero hasta tres éxitos

P(0)=125/216

P(1)= 3(25/216)=75/216=25/72

P(2)= 3(5/216)=15/216 = 5/72

P(3)= 1/216

Ponemos la probabilidad en decimales.

P(0)=125/216 = 0.578703703

P(1)= 25/72 = 0.34722222222

P(2)= 15/216 = 0.0694444444

P(3)= 1/216 = 0.00046296296

Y hacemos su gráfica.

Formula de probabilidades

Calcularemos ahora las probabilidades de k éxitos para n = 3 con la fórmula binomial.

Para k = 0

Formula de probabilidades

Para k = 1

Formula de probabilidades

Para k = 2

partner-pub-4353 ISO-8859-1

Buscar

Formula de probabilidades

Para k = 3

Formula de probabilidades

Que son los mismos resultados de las tablas.

Hacemos el ejercicio para cuatro pruebas con el mismo ejemplo de

apostar a un número al lanzar un dado, observa los colores en la siguiente

tabla.

Primera prueba

Segunda prueba

Tercera prueba

Cuarta prueba

Pruebas ganadas

Probabilidad primera prueba

Probabilidad segunda prueba

Probabilidad tercera prueba

Probabilidad cuarta prueba

Probabilidad de lascuatro pruebas

q q q q 0          

Formula de probabilidades

5/6 5/6 5/6 5/6 625/1296

q q q p 1   5/6

  5/6

  5/6

  1/6

  125/1296

q q p q 1   5/6

  5/6

  1/6

  5/6

  125/1296

q q p p 2   5/6

  5/6

  1/6

  1/6

  25/1296

q p q q 1   5/6

  1/6

  5/6

  5/6

  625/1296

q p q p 2   5/6

  1/6

  5/6

  1/6

  25/1296

q p p q 2   5/6

  1/6

  1/6

  5/6

  25/1296

q p p p 3   5/6

  1/6

  1/6

  1/6

  5/1296

p q q q 1   1/6

  5/6

  5/6

  5/6

  125/1296

p q q p 2   1/6

  5/6

  5/6

  1/6

  25/1296

p q p q 2   1/6

  5/6

  1/6

  5/6

  25/1296

p q p p 3   1/6

  5/6

  1/6

  1/6

  5/1296

p p q q 2   1/6

  1/6

  5/6

  5/6

  25/1296

p p q p 3   1/6

  1/6

  5/6

  1/6

  5/1296

p p p q 3   1/6

  1/6

  1/6

  5/6

  5/1296

p p p p 4   1/6

  1/6

  1/6

  1/6

  1/1296

Calculamos los valores de las probabilidades desde cero hasta cuatro éxitos

P(0)=625/1296

P(1)= 4(125/1296)=500/1296=125/324

P(2)= 6(25/1296)=150/1296 = 25/216

P(3)= 4(5/1296) =20/1296 =5/324

P(4)= 1/1296

Ponemos la probabilidad en decimales.

P(0)=625/1296 = 0.482253086

P(1)= 125/324 = 0.385802469

P(2)= 25/216 = 0.11574074

P(3)= 5/324 = 0.015432098

Formula de probabilidades

P(4)= 1/1296 = 0.000771604938

Hacemos la gráfica.

Calcularemos ahora las probabilidades de k éxitos para n = 4 con la fórmula binomial.

Para k = 0

Formula de probabilidades

Para k = 1

Formula de probabilidades

Para k = 2

Formula de probabilidades

Formula de probabilidades

Para la probabilidad acumulada en la distribución binomial, tenemos que:

Esto significa que la suma de las probabilidades desde cero hasta "n" es igual a uno.

Podemos verlo tambien como:

Por ejemplo, si n = 10 entonces:

Seguimos con n = 10 y tenemos que:

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Tambien:

Comprende la fórmula de inferencia estádistica como son:

La estimación de la media. La estimación de un porcentaje. La estimación de la diferencia de dos medias. La estimación de diferencia de dos porcentajes.

Formula de probabilidades

Puedes conocer también:

Calculadora de estimación de la media.

Calculadora de la diferencia de dos medias.

ecuerda que todos nuestros recursos son gratuitos y que puedes utilizarlos las veces que quieras y compartirlos con tus amigos.Esperamos que te sean muy útiles.

Estimación de la media y estimación del porcentaje.

Formula de probabilidades

Estimación de la diferencia de dos medias y estimación de la diferencia de porcentajes.

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Prueba e intervalos

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Recuerda que todos nuestros recursos son gratuitos y que puedes utilizarlos las veces que quieras y compartirlos con tus amigos.Calculadora de la regresión lineal simple.

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Esperamos que te sean muy útiles.

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